En geometría , un politopo (por ejemplo, un polígono o un poliedro ), o un mosaico , es isotoxal o transitivo de bordes si sus simetrías actúan de manera transitiva en sus bordes. De manera informal, esto significa que solo hay un tipo de borde para el objeto: dados dos bordes, hay una traslación, rotación y / o reflexión que moverá un borde al otro, dejando la región ocupada por el objeto sin cambios.
El término isotoxal se deriva del griego τόξον que significa arco .
Polígonos isotoxales
Un polígono isotoxal es un polígono equilátero de lados pares , pero no todos los polígonos equiláteros son isotóxicos. Los duales de los polígonos isotoxales son polígonos isogonales . 4 n -gonales son centralmente simétricos, por lo que también lo son los zonogonos .
En general, un isotoxal 2 n -gon tendrá una simetría diédrica D n (* nn ) . Un rombo es un polígono isotoxal con simetría D 2 (* 22). Todos los polígonos regulares ( triángulo equilátero , cuadrado , etc.) son isotoxales y tienen el doble del orden de simetría mínimo: un n -gon regular tiene una simetría diédrica D n (* nn ).
Un isotoxal 2 n -gon se puede etiquetar como {n α } con el ángulo interno más externo α. El segundo ángulo interno β puede ser mayor o menor de 180 grados, formando polígonos convexos o cóncavos. Los polígonos en estrella también pueden ser isotoxales, etiquetados como {( n / q ) α }, con q < n -1 y mcd ( n , q ) = 1, con q como el número de giro o la densidad . [1] Los vértices internos cóncavos se pueden definir para q < n / 2. Si hay un divisor común más grande, como a , {( na / qa ) α } se puede reducir como un compuesto a {( n / q ) α }, con una copia rotada.
Un conjunto de teselaciones uniformes se puede definir con polígonos isotóxicos como un tipo inferior de caras regulares.
Lados (2 n ) | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | dieciséis |
---|---|---|---|---|---|---|---|
{n α } Convexo β <180 Cóncavo β> 180 | {2 α } | {3 α } | {4 α } | {5 α } | {6 α } | {7 α } | {8 α } |
2 vueltas {( n / 2) α } | - | {(3/2) α } | 2 {2 α } | {(5/2) α } | 2 {3 α } | {(7/2) α } | 2 {4 α } |
3 vueltas {( n / 3) α } | - | - | {(4/3) α } | {(5/3) α } | 3 {2 α } | {(7/3) α } | {(8/3) α } |
4 vueltas {( n / 4) α } | - | - | - | {(5/4) α } | 2 {(3/2) α } | {(7/4) α } | 4 {2 α } |
5 vueltas {( n / 5) α } | - | - | - | - | {(6/5) α } | {(7/5) α } | {(8/5) α } |
6 vueltas {( n / 6) α } | - | - | - | - | - | {(7/6) α } | 2 {(4/3) α } |
7 vueltas {( n / 7) α } | - | - | - | - | - | - | {(8/7) α } |
Poliedros y teselados isotoxales
Los poliedros regulares son isoédricos (transitivos por caras), isogonales (transitivos por vértices) e isotoxales (transitivos por bordes).
Los poliedros cuasirregulares , como el cuboctaedro y el icosidodecaedro , son isogonales e isotoxales, pero no isoédricos. Sus duales, incluidos el dodecaedro rómbico y el triacontaedro rómbico , son isoédricos e isotoxales, pero no isogonales.
Poliedro cuasirregular | Quasiregular doble poliedro | Poliedro estrella cuasirregular | Poliedro cuasirregular de doble estrella | Quasiregular alicatado | Quasiregular doble suelo de baldosas |
---|---|---|---|---|---|
Un cuboctaedro es un poliedro isogonal e isotoxal | Un dodecaedro rómbico es un poliedro isoédrico e isotoxal | Un gran icosidodecaedro es un poliedro en estrella isogonal e isotoxal | Un gran triacontaedro rómbico es un poliedro en estrella isoédrico e isotoxal | El mosaico trihexagonal es un mosaico isogonal e isotoxal | El mosaico rhombille es un mosaico isoédrico e isotoxal con simetría p6m (* 632). |
No todos los poliedros o teselados bidimensionales construidos a partir de polígonos regulares son isotóxicos. Por ejemplo, el icosaedro truncado (la conocida pelota de fútbol) no es isotoxal, ya que tiene dos tipos de bordes: hexágono-hexágono y hexágono-pentágono, y no es posible que una simetría del sólido mueva un borde hexágono-hexágono sobre un borde. borde hexagonal-pentágono.
Un poliedro isotoxal tiene el mismo ángulo diedro para todos los bordes.
El dual de un poliedro convexo es también un poliedro convexo. [2]
El dual de un poliedro no convexo es también un poliedro no convexo. [2] (Por contraposición).
El dual de un poliedro isotoxal es también un poliedro isotoxal. (Consulte el artículo Poliedro dual ).
Hay nueve poliedros isotoxales convexos: los cinco sólidos platónicos ( regulares ) , los dos núcleos comunes ( cuasirregulares ) de sólidos platónicos duales y sus dos duales.
Hay catorce poliedros isotoxales no convexos: los cuatro poliedros (regulares) de Kepler-Poinsot , los dos núcleos comunes (cuasirregulares) de los poliedros duales de Kepler-Poinsot, y sus dos duales, más la estrella ditrigonal (3 | p q ) cuasirregular poliedros y sus tres duales.
Hay al menos cinco compuestos poliédricos isotoxales: los cinco compuestos poliédricos regulares ; sus cinco duales son también los cinco compuestos poliédricos regulares (o un gemelo quiral).
Hay al menos cinco teselaciones poligonales isotoxales del plano euclidiano, e infinitas teselaciones poligonales isotoxales del plano hiperbólico, incluidas las construcciones de Wythoff de las teselaciones hiperbólicas regulares { p , q } y grupos no rectos ( pqr ).
Ver también
- Tabla de ángulos diedros poliedros
- Vértice-transitivo
- Cara transitiva
- Transitivo celular
Referencias
- ↑ Tilings and Patterns Branko Gruenbaum, GC Shephard, 1987. 2.5 Tilings usando polígonos en estrella, pp.82-85.
- ^ a b "dualidad" . maths.ac-noumea.nc . Consultado el 30 de septiembre de 2020 .
- Peter R. Cromwell, Polyhedra , Cambridge University Press 1997, ISBN 0-521-55432-2 , pág. 371 Transitividad
- Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Azulejos y Patrones . Nueva York: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1. (6.4 mosaicos isotoxales, 309-321)
- Coxeter, Harold Scott MacDonald ; Longuet-Higgins, MS; Miller, JCP (1954), "Poliedros uniformes", Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Físicas y Matemáticas , 246 (916): 401–450, Bibcode : 1954RSPTA.246..401C , doi : 10.1098 / rsta.1954.0003 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 91532 , MR 0062446 , S2CID 202575183