Ecuación de Kepler

En mecánica orbital , la ecuación de Kepler relaciona varias propiedades geométricas de la órbita de un cuerpo sujeto a una fuerza central .

Soluciones de la ecuación de Kepler para cinco excentricidades diferentes entre 0 y 1

Fue deducida por primera vez por Johannes Kepler en 1609 en el Capítulo 60 de su Astronomia nova , ^{[1] [2]} y en el libro V de su Epítome de la Astronomía Copernicana (1621) Kepler propuso una solución iterativa a la ecuación. ^{[3] [4]} La ecuación ha jugado un papel importante en la historia de la física y las matemáticas, particularmente la mecánica celeste clásica .

Ecuación

La ecuación de Kepler es

${\displaystyle M=E-e\sin E}$

donde M es la anomalía media , E es la excéntrica anomalía , y e es la excentricidad .

La 'anomalía excéntrica' E es útil para calcular la posición de un punto que se mueve en una órbita kepleriana. Como, por ejemplo, si el cuerpo pasa el periastrón en las coordenadas x = a (1 - e ) , y = 0 , en el tiempo t = t ₀ , entonces para averiguar la posición del cuerpo en cualquier momento, primero calcule la media anomalía M del tiempo y el movimiento medio n por la fórmula M = n ( t - t ₀ ) , luego resuelva la ecuación de Kepler anterior para obtener E , luego obtenga las coordenadas de:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x&=&a(\cos E-e)\\y&=&b\sin E\end{array}}}$

donde a es el semi-eje mayor , b el semi-eje menor .

La ecuación de Kepler es una ecuación trascendental porque el seno es una función trascendental , lo que significa que no se puede resolver para E algebraicamente . Análisis numérico y series de expansiones son generalmente necesarios para evaluar E .

Formas alternativas

Hay varias formas de la ecuación de Kepler. Cada forma está asociada con un tipo específico de órbita. La ecuación estándar de Kepler se utiliza para órbitas elípticas (0 ≤ e <1). La ecuación hiperbólica de Kepler se utiliza para trayectorias hiperbólicas ( e > 1). La ecuación radial de Kepler se utiliza para trayectorias lineales (radiales) ( e = 1). La ecuación de Barker se utiliza para trayectorias parabólicas ( e = 1).

Cuando e = 0, la órbita es circular. Al aumentar e , el círculo se vuelve elíptico. Cuando e = 1, hay tres posibilidades:

• una trayectoria parabólica,
• una trayectoria que entra o sale a lo largo de un rayo infinito que emana del centro de atracción,
• o una trayectoria que va y viene a lo largo de un segmento de línea desde el centro de atracción hasta un punto a cierta distancia.

Un ligero aumento de e por encima de 1 da como resultado una órbita hiperbólica con un ángulo de giro de poco menos de 180 grados. Los aumentos adicionales reducen el ángulo de giro y, a medida que e llega al infinito, la órbita se convierte en una línea recta de longitud infinita.

Ecuación hiperbólica de Kepler

La ecuación hiperbólica de Kepler es:

${\displaystyle M=e\sinh H-H}$

donde H es la anomalía excéntrica hiperbólica. Esta ecuación se deriva redefiniendo M para que sea la raíz cuadrada de -1 por el lado derecho de la ecuación elíptica:

${\displaystyle M=i\left(E-e\sin E\right)}$

(en el que E ahora es imaginario) y luego reemplazando E por iH .

Ecuación radial de Kepler

La ecuación radial de Kepler es:

${\displaystyle t(x)=\sin ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x(1-x)}}}$

donde t es proporcional al tiempo y x es proporcional a la distancia desde el centro de atracción a lo largo del rayo. Esta ecuación se obtiene multiplicando la ecuación de Kepler por 1/2 y estableciendo e en 1:

${\displaystyle t(x)={\frac {1}{2}}\left[E-\sin(E)\right].}$

y luego hacer la sustitución

${\displaystyle E=2\sin ^{-1}({\sqrt {x}}).}$

Problema inverso

Calcular M para un valor dado de E es sencillo. Sin embargo, resolver para E cuando se da M puede ser considerablemente más desafiante. No existe una solución de forma cerrada .

Se puede escribir una expresión en serie infinita para la solución de la ecuación de Kepler usando la inversión de Lagrange , pero la serie no converge para todas las combinaciones de e y M (ver más abajo).

La confusión sobre la solubilidad de la ecuación de Kepler ha persistido en la literatura durante cuatro siglos. ^{[5] El} propio Kepler expresó sus dudas sobre la posibilidad de encontrar una solución general:

Estoy suficientemente satisfecho de que [la ecuación de Kepler] no puede resolverse a priori, debido a la diferente naturaleza del arco y del seno. Pero si me equivoco y alguien me indica el camino, será a mis ojos el gran Apolonio .

-  Johannes Kepler ^[6]

Ecuación inversa de Kepler

La ecuación de Kepler inversa es la solución de la ecuación de Kepler para todos los valores reales de ${\displaystyle e}$:

${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\bigg (}{\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}{\bigg )}^{\!\!\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e=1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\Big (}{\frac {\theta }{\theta -e\sin(\theta )}}{\Big )}^{\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e\neq 1\end{cases}}}$

Evaluar esto rinde:

${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle s+{\frac {1}{60}}s^{3}+{\frac {1}{1400}}s^{5}+{\frac {1}{25200}}s^{7}+{\frac {43}{17248000}}s^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}s^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}s^{13}+\cdots {\text{ with }}s=(6M)^{1/3},&e=1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-e}}M-{\frac {e}{(1-e)^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9e^{2}+e)}{(1-e)^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225e^{3}+54e^{2}+e)}{(1-e)^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025e^{4}+4131e^{3}+243e^{2}+e)}{(1-e)^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}+\cdots ,&e\neq 1\end{cases}}}$

Estas series se pueden reproducir en Mathematica con la operación InverseSeries.

InverseSeries[Series[M - Sin[M], {M, 0, 10}]]

InverseSeries[Series[M - e Sin[M], {M, 0, 10}]]

Estas funciones son series simples de Maclaurin . Tales representaciones en serie de Taylor de funciones trascendentales se consideran definiciones de esas funciones. Por lo tanto, esta solución es una definición formal de la ecuación de Kepler inversa. Sin embargo, E no es una función entera de M en un no-cero dada correo . La derivada

${\displaystyle dM/dE=1-e\cos E}$

va a cero en un conjunto infinito de números complejos cuando e <1. Hay soluciones en${\displaystyle E=\pm i\cosh ^{-1}(1/e),}$ y en esos valores

${\displaystyle M=E-e\sin E=\pm i\left(\cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)}$

(donde el cosh inverso se considera positivo) y dE / dM llega al infinito en estos puntos. Esto significa que el radio de convergencia de la serie de Maclaurin es${\displaystyle \cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}}$y la serie no convergerá para valores de M mayores que esto. La serie también se puede utilizar para el caso hiperbólico, en cuyo caso el radio de convergencia es${\displaystyle \cos ^{-1}(1/e)-{\sqrt {e^{2}-1}}.}$La serie para cuando e  = 1 converge cuando m <2π .

Si bien esta solución es la más simple en cierto sentido matemático, ^{[ ¿cuál? ]} , se prefieren otras soluciones para la mayoría de las aplicaciones. Alternativamente, la ecuación de Kepler se puede resolver numéricamente.

Karl Stumpff encontró la solución para e ≠ 1 en 1968, ^[7] pero no se reconoció su importancia. ^{[8] [ aclaración necesaria ]}

También se puede escribir una serie de Maclaurin en e . Esta serie no converge cuando e es mayor que el límite de Laplace (aproximadamente 0,66), independientemente del valor de M (a menos que M sea ​​un múltiplo de 2π ), pero converge para todo M si e es menor que el límite de Laplace. Los coeficientes de la serie, distintos del primero (que es simplemente M ), dependen de M de forma periódica con período 2π .

Ecuación radial inversa de Kepler

La ecuación radial inversa de Kepler ( e = 1) también se puede escribir como:

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0^{+}}\left({\frac {t^{{\frac {2}{3}}n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\!\left(r^{n}\left({\frac {3}{2}}{\Big (}\sin ^{-1}({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\Big )}\right)^{\!-{\frac {2}{3}}n}\right)\right)\right]}$

Evaluar esto rinde:

${\displaystyle x(t)=p-{\frac {1}{5}}p^{2}-{\frac {3}{175}}p^{3}-{\frac {23}{7875}}p^{4}-{\frac {1894}{3931875}}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}p^{7}-\ \cdots \ {\bigg |}{p=\left({\tfrac {3}{2}}t\right)^{2/3}}}$

Para obtener este resultado usando Mathematica :

InverseSeries[Series[ArcSin[Sqrt[t]] - Sqrt[(1 - t) t], {t, 0, 15}]]

Aproximación numérica del problema inverso

Para la mayoría de las aplicaciones, el problema inverso se puede calcular numéricamente encontrando la raíz de la función:

${\displaystyle f(E)=E-e\sin(E)-M(t)}$

Esto se puede hacer de forma iterativa mediante el método de Newton :

${\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {f(E_{n})}{f'(E_{n})}}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}}$

Tenga en cuenta que E y M están en unidades de radianes en este cálculo. Esta iteración se repite hasta que se obtiene la precisión deseada (por ejemplo, cuando f ( E ) Para la mayoría de las órbitas elípticas, es suficiente un valor inicial de ón>E ₀ = M ( t ). Para órbitas con e > 0.8, se debe usar un valor inicial de E ₀ = π . Si e es idénticamente 1 , entonces la derivada de f , que está en el denominador del método de Newton, puede acercarse a cero, haciendo que los métodos basados ​​en derivadas como Newton-Raphson, secante o regula falsamente sean numéricamente inestables. En ese caso, el método de bisección proporcionará una convergencia garantizada, sobre todo porque la solución puede acotarse en un pequeño intervalo inicial. En las computadoras modernas, es posible lograr 4 o 5 dígitos de precisión en 17 a 18 iteraciones. ^[9] Se puede utilizar un enfoque similar para la forma hiperbólica de la ecuación de Kepler. ^{[10] : 66–67} En el caso de una trayectoria parabólica, se utiliza la ecuación de Barker .

Iteración de punto fijo

Un método relacionado comienza señalando que ${\displaystyle E=M+e\sin {E}}$. Sustituyendo repetidamente la expresión de la derecha por la${\displaystyle E}$a la derecha produce un algoritmo de iteración de punto fijo simple para evaluar${\displaystyle E(e,M)}$. Este método es idéntico a la solución 1621 de Kepler. ^[4]

función E ( e , M , n )    E = M   para k = 1 a n      E = M + e * sin E      siguiente k  volver E 

El número de iteraciones, ${\displaystyle n}$, depende del valor de ${\displaystyle e}$. La forma hiperbólica también tiene${\displaystyle H=e\sinh H-M}$.

Este método está relacionado con la solución del método de Newton anterior en que

${\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}=E_{n}+{\frac {(M+e\sin {E_{n}}-E_{n})(1+e\cos {E_{n}})}{1-e^{2}(\cos {E_{n}})^{2}}}}$

Al primer pedido en pequeñas cantidades. ${\displaystyle M-E_{n}}$ y ${\displaystyle e}$,

${\displaystyle E_{n+1}\approx M+e\sin {E_{n}}}$.

Ver también

• Leyes de Kepler del movimiento planetario
• Problema de Kepler
• Problema de Kepler en la relatividad general
• Trayectoria radial

Referencias

1. Kepler, Johannes (1609). "LX. Methodus, ex hac Physica, hoc est genuina & verissima hypothesi, extruendi utramque partem æquationis y distantes genuinas: quorum utrumque simul per vicariam fieri hactenus non potuit. Argumentum falsæ hypotheseos" . Astronomia Nova Aitiologētos, Seu Physica Coelestis, tradita commentariis De Motibus Stellæ Martis, Ex observaciónibus GV Tychonis Brahe (en latín). págs. 299–300.
2. Aaboe, Asger (2001). Episodios de la historia temprana de la astronomía . Saltador. págs. 146-147. ISBN 978-0-387-95136-2.
3. Kepler, Johannes (1621). "Libri V. Pars altera.". Epítome astronomiæ Copernicanæ usitatâ formâ Quæstionum & Responsionum conscripta, inq; VII. Libros digesta, quorum tres hi priores sunt de Doctrina Sphæricâ (en latín). págs. 695–696.
4. Swerdlow, Noel M. (2000). "Solución iterativa de Kepler a la ecuación de Kepler" . Revista de Historia de la Astronomía . 31 : 339–341. Código Bibliográfico : 2000JHA .... 31..339S . doi : 10.1177 / 002182860003100404 .
5. A menudo se afirma que la ecuación de Kepler "no se puede resolver analíticamente"; ver por ejemplo aquí . Si esto es cierto o no depende de si se considera una serie infinita (o una que no siempre converge) como una solución analítica. Otros autores hacen la absurda afirmación de que no se puede resolver en absoluto; véase, por ejemplo, Madabushi VK Chari; Sheppard Joel Salon; Métodos numéricos en electromagnetismo , Academic Press, San Diego, CA, EE. UU., 2000, ISBN  0-12-615760-X , pág. 659
6. "Mihi ſufficit credere, ſolvi a priori non poſſe, propter arcus & ſinus ετερογενειαν. Erranti mihi, quicumque viam monſtraverit, es erit mihi magnus Apollonius".Hall, Asaph (mayo de 1883). "Problema de Kepler" . Annals of Mathematics . 10 (3): 65–66. doi : 10.2307 / 2635832 .
7. Stumpff, Karl (1 de junio de 1968). "Sobre la aplicación de la serie de Lie a los problemas de la mecánica celeste" . Nota técnica de la NASA D-4460.
8. Colwell, Peter (1993). Resolver la ecuación de Kepler durante tres siglos . Willmann – Bell. pag. 43. ISBN 0-943396-40-9.
9. Keister, Adrian. "El análisis numérico de encontrar la altura de un segmento circular" . Tecnología Wineman . Wineman Technology, Inc . Consultado el 28 de diciembre de 2019 .
10. Pfleger, Thomas; Montenbruck, Oliver (1998). Astronomía en la computadora personal (Tercera ed.). Berlín, Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-662-03349-4.

enlaces externos

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• Conway, Bruce A. (1986). Un algoritmo mejorado de Laguerre para la solución de la ecuación de Kepler . doi : 10.2514 / 6.1986-84 .
• Mikkola, Seppo (1987). "Una aproximación cúbica para la ecuación de Kepler". Mecánica celeste . 40 (3). Código bibliográfico : 1987CeMec..40..329M . doi : 10.1007 / BF01235850 .
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• Ecuación de Kepler en Wolfram Mathworld