En mecánica celeste , una órbita de Kepler (u órbita de Kepler , llamada así por el astrónomo alemán Johannes Kepler ) es el movimiento de un cuerpo en relación con otro, como una elipse , parábola o hipérbola , que forma un plano orbital bidimensional en tres dimensiones . espacio dimensional. Una órbita de Kepler también puede formar una línea recta . Considera solo la atracción gravitacional puntual de dos cuerpos, despreciando las perturbaciones debidas a las interacciones gravitacionales con otros objetos, el arrastre atmosférico , la presión de la radiación solar , uncuerpo central esférico , etc. Por tanto, se dice que es una solución de un caso especial del problema de los dos cuerpos , conocido como el problema de Kepler . Como teoría de la mecánica clásica , tampoco tiene en cuenta los efectos de la relatividad general . Las órbitas keplerianas se pueden parametrizar en seis elementos orbitales de varias formas.
En la mayoría de las aplicaciones, existe un cuerpo central grande, cuyo centro de masa se supone que es el centro de masa de todo el sistema. Por descomposición, las órbitas de dos objetos de masa similar se pueden describir como órbitas de Kepler alrededor de su centro de masa común, su baricentro .
Introducción
Desde la antigüedad hasta los siglos XVI y XVII, se creía que los movimientos de los planetas seguían caminos geocéntricos perfectamente circulares como lo enseñaron los antiguos filósofos griegos Aristóteles y Ptolomeo . Las variaciones en los movimientos de los planetas se explicaron por caminos circulares más pequeños superpuestos en el camino más grande (ver epiciclo ). A medida que las mediciones de los planetas se volvieron cada vez más precisas, se propusieron revisiones a la teoría. En 1543, Nicolás Copérnico publicó un modelo heliocéntrico del Sistema Solar , aunque todavía creía que los planetas viajaban en trayectorias perfectamente circulares centradas en el Sol. [1]
Historia de Kepler y el telescopio
Kepler se mudó a Praga y comenzó a trabajar con Tycho Brahe . Tycho le dio la tarea de revisar toda la información que Tycho tenía sobre Marte. Kepler notó que la posición de Marte estaba sujeta a muchos errores y creaba problemas para muchos modelos. Esto llevó a Kepler a configurar 3 leyes del movimiento planetario.
Primera ley: los planetas se mueven en elipses con el Sol en un foco
La ley cambiaría una excentricidad de 0.0. y enfoca más de una excentricidad de 0.8. que muestran que las órbitas circular y elíptica tienen el mismo período y foco, pero diferentes barridos de área definida por el Sol.
Esto conduce a la Segunda Ley: el vector de radio describe áreas iguales en tiempos iguales.
Estas dos leyes se publicaron en el libro Astronomia Nova de Kepler en 1609.
Para un círculo, el movimiento es uniforme, sin embargo, para que la elíptica barra el área a una velocidad uniforme, el objeto se mueve rápidamente cuando el vector del radio es corto y se mueve más lento cuando el vector del radio es largo.
Kepler publicó su Tercera Ley del Movimiento Planetario en 1619, en su libro Harmonices Mundi . Newton usó la Tercera Ley para definir sus leyes de gravitación.
La tercera ley: Los cuadrados de los tiempos periódicos son entre sí como los cubos de las distancias medias. [2]
Desarrollo de las leyes
En 1601, Johannes Kepler adquirió las extensas y meticulosas observaciones de los planetas realizadas por Tycho Brahe . Kepler pasaría los próximos cinco años tratando de ajustar las observaciones del planeta Marte a varias curvas. En 1609, Kepler publicó las dos primeras de sus tres leyes del movimiento planetario . La primera ley establece:
De manera más general, la trayectoria de un objeto sometido a movimiento keplerio también puede seguir una parábola o hipérbola , que, junto con las elipses, pertenecen a un grupo de curvas conocidas como secciones cónicas . Matemáticamente, la distancia entre un cuerpo central y un cuerpo en órbita se puede expresar como:
dónde:
- es la distancia
- es el semieje mayor , que define el tamaño de la órbita
- es la excentricidad , que define la forma de la órbita
- es la verdadera anomalía , que es el ángulo entre la posición actual del objeto en órbita y la ubicación en la órbita en la que está más cerca del cuerpo central (llamado periapsis ).
Alternativamente, la ecuación se puede expresar como:
Dónde se llama recto semilato de la curva. Esta forma de la ecuación es particularmente útil cuando se trata de trayectorias parabólicas, para las cuales el semieje mayor es infinito.
A pesar de desarrollar estas leyes a partir de observaciones, Kepler nunca pudo desarrollar una teoría para explicar estos movimientos. [3]
Isaac Newton
Entre 1665 y 1666, Isaac Newton desarrolló varios conceptos relacionados con el movimiento, la gravitación y el cálculo diferencial. Sin embargo, estos conceptos no se publicaron hasta 1687 en los Principia , en los que esbozó sus leyes de movimiento y su ley de gravitación universal . Su segunda de sus tres leyes del movimiento establece:
La aceleración de un cuerpo es paralela y directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo, está en la dirección de la fuerza neta y es inversamente proporcional a la masa del cuerpo:
Dónde:
- es el vector de fuerza
- es la masa del cuerpo sobre la que actúa la fuerza
- es el vector de aceleración, la segunda derivada temporal del vector de posición
Estrictamente hablando, esta forma de la ecuación solo se aplica a un objeto de masa constante, lo que es cierto según las suposiciones simplificadoras que se hacen a continuación.
La ley de gravitación de Newton establece:
Cada masa puntual atrae a todas las demás masas puntuales mediante una fuerza que apunta a lo largo de la línea que interseca ambos puntos. La fuerza es proporcional al producto de las dos masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las masas puntuales:
dónde:
- es la magnitud de la fuerza gravitacional entre las dos masas puntuales
- es la constante gravitacional
- es la masa del primer punto de masa
- es la masa del segundo punto de masa
- es la distancia entre las dos masas puntuales
A partir de las leyes del movimiento y la ley de la gravitación universal, Newton pudo derivar las leyes de Kepler, que son específicas del movimiento orbital en astronomía. Dado que las leyes de Kepler estaban bien respaldadas por datos de observación, esta coherencia proporcionó un fuerte apoyo a la validez de la teoría generalizada de Newton y de la mecánica unificada celeste y ordinaria. Estas leyes del movimiento formaron la base de la mecánica celeste moderna hasta que Albert Einstein introdujo los conceptos de relatividad general y especial a principios del siglo XX. Para la mayoría de las aplicaciones, el movimiento keplerio se aproxima a los movimientos de planetas y satélites con grados de precisión relativamente altos y se usa ampliamente en astronomía y astrodinámica .
Problema simplificado de dos cuerpos
- Ver también análisis de órbita
Para resolver el movimiento de un objeto en un sistema de dos cuerpos , se pueden hacer dos supuestos simplificadores:
- 1. Los cuerpos son esféricamente simétricos y pueden tratarse como masas puntuales.
- 2. No hay fuerzas externas o internas que actúen sobre los cuerpos más que su gravitación mutua.
Las formas de los grandes cuerpos celestes están cerca de esferas. Por simetría, la fuerza gravitacional neta que atrae un punto de masa hacia una esfera homogénea debe dirigirse hacia su centro. El teorema de la capa (también probado por Isaac Newton) establece que la magnitud de esta fuerza es la misma que si toda la masa se concentrara en el medio de la esfera, incluso si la densidad de la esfera varía con la profundidad (como ocurre con la mayoría de los celestes cuerpos). De esto se deduce inmediatamente que la atracción entre dos esferas homogéneas es como si ambas tuvieran su masa concentrada en su centro.
Los objetos más pequeños, como los asteroides o las naves espaciales, a menudo tienen una forma que se desvía mucho de una esfera. Pero las fuerzas gravitacionales producidas por estas irregularidades son generalmente pequeñas en comparación con la gravedad del cuerpo central. La diferencia entre una forma irregular y una esfera perfecta también disminuye con las distancias, y la mayoría de las distancias orbitales son muy grandes en comparación con el diámetro de un pequeño cuerpo en órbita. Por lo tanto, para algunas aplicaciones, la irregularidad de la forma se puede ignorar sin un impacto significativo en la precisión. Este efecto es bastante notable para los satélites terrestres artificiales, especialmente aquellos en órbitas bajas.
Los planetas giran a velocidades variables y, por lo tanto, pueden tomar una forma ligeramente achatada debido a la fuerza centrífuga. Con una forma tan achatada, la atracción gravitacional se desviará un poco de la de una esfera homogénea. A mayores distancias, el efecto de esta oblatura se vuelve insignificante. Los movimientos planetarios en el Sistema Solar se pueden calcular con suficiente precisión si se tratan como masas puntuales.
Objetos de masa de dos puntos con masas y y vectores de posición y en relación con algunos sistemas de referencia inerciales experimentan fuerzas gravitacionales:
dónde es el vector de posición relativa de la masa 1 con respecto a la masa 2, expresada como:
y es el vector unitario en esa dirección yes la longitud de ese vector.
Dividiendo por sus respectivas masas y restando la segunda ecuación de la primera, se obtiene la ecuación de movimiento para la aceleración del primer objeto con respecto al segundo:
( 1 )
dónde es el parámetro gravitacional y es igual a
En muchas aplicaciones, se puede hacer un tercer supuesto simplificador:
- 3. En comparación con el cuerpo central, la masa del cuerpo en órbita es insignificante. Matemáticamente, m 1 >> m 2 , entonces α = G ( m 1 + m 2 ) ≈ Gm 1 .
Esta suposición no es necesaria para resolver el problema simplificado de dos cuerpos, pero simplifica los cálculos, particularmente con satélites en órbita terrestre y planetas en órbita alrededor del Sol. Incluso la masa de Júpiter es menor que la del Sol en un factor de 1047, [4] lo que constituiría un error de 0.096% en el valor de α. Las excepciones notables incluyen el sistema Tierra-Luna (relación de masa de 81,3), el sistema Plutón-Caronte (relación de masa de 8,9) y sistemas estelares binarios.
Bajo estos supuestos, la ecuación diferencial para el caso de dos cuerpos se puede resolver completamente matemáticamente y la órbita resultante que sigue las leyes de Kepler del movimiento planetario se denomina "órbita de Kepler". Las órbitas de todos los planetas son órbitas de Kepler de alta precisión alrededor del Sol. Las pequeñas desviaciones se deben a las atracciones gravitacionales mucho más débiles entre los planetas y, en el caso de Mercurio , a la relatividad general . Las órbitas de los satélites artificiales alrededor de la Tierra son, con bastante aproximación, órbitas de Kepler con pequeñas perturbaciones debido a la atracción gravitacional del Sol, la Luna y el achatamiento de la Tierra. En aplicaciones de alta precisión para las que la ecuación de movimiento debe integrarse numéricamente teniendo en cuenta todas las fuerzas gravitacionales y no gravitacionales (como la presión de la radiación solar y el arrastre atmosférico ), los conceptos de la órbita de Kepler son de suma importancia y se utilizan mucho.
Elementos keplerianos
Cualquier trayectoria kepleriana se puede definir mediante seis parámetros. El movimiento de un objeto que se mueve en un espacio tridimensional se caracteriza por un vector de posición y un vector de velocidad. Cada vector tiene tres componentes, por lo que el número total de valores necesarios para definir una trayectoria a través del espacio es seis. Una órbita se define generalmente por seis elementos (conocidos como elementos keplerianos ) que se pueden calcular a partir de la posición y la velocidad, tres de los cuales ya se han discutido. Estos elementos son convenientes porque de los seis, cinco no cambian para una órbita no perturbada (un marcado contraste con dos vectores en constante cambio). Se puede predecir la ubicación futura de un objeto dentro de su órbita y su nueva posición y velocidad se pueden obtener fácilmente a partir de los elementos orbitales.
Dos definen el tamaño y la forma de la trayectoria:
- Semieje mayor ()
- Excentricidad ()
Tres definen la orientación del plano orbital :
- Inclinación () define el ángulo entre el plano orbital y el plano de referencia.
- Longitud del nodo ascendente () define el ángulo entre la dirección de referencia y el cruce ascendente de la órbita en el plano de referencia (el nodo ascendente).
- Argumento de periapsis () define el ángulo entre el nodo ascendente y la periapsis.
Y finalmente:
- Verdadera anomalía () define la posición del cuerpo en órbita a lo largo de la trayectoria, medida a partir de la periapsis. Se pueden usar varios valores alternativos en lugar de la anomalía verdadera, siendo el más comúnla anomalía media y, el tiempo transcurrido desde la periapsis.
Porque , y son simplemente medidas angulares que definen la orientación de la trayectoria en el marco de referencia, no son estrictamente necesarias cuando se habla del movimiento del objeto dentro del plano orbital. Se han mencionado aquí para que estén completos, pero no son necesarios para las pruebas a continuación.
Solución matemática de la ecuación diferencial ( 1 ) anterior
Para el movimiento bajo cualquier fuerza central, es decir, una fuerza paralela ar , el momento angular relativo específico permanece constante:
Dado que el producto cruzado del vector de posición y su velocidad permanece constante, deben estar en el mismo plano, ortogonal a . Esto implica que la función vectorial es una curva plana .
Debido a que la ecuación tiene simetría alrededor de su origen, es más fácil de resolver en coordenadas polares. Sin embargo, es importante tener en cuenta que la ecuación ( 1 ) se refiere a la aceleración lineal a diferencia de angular o radial aceleración. Por tanto, hay que tener cuidado al transformar la ecuación. Introduciendo un sistema de coordenadas cartesianoy vectores unitarios polares en el plano ortogonal a :
Ahora podemos reescribir la función vectorial y sus derivados como:
(ver " Cálculo de vectores "). Sustituyendo estos en ( 1 ), encontramos:
Esto da la ecuación diferencial polar no ordinaria:
( 2 )
Para resolver esta ecuación, se deben eliminar todas las derivadas del tiempo. Esto trae:
( 3 )
Tomando la derivada en el tiempo de ( 3 ) se obtiene
( 4 )
Las ecuaciones ( 3 ) y ( 4 ) nos permiten eliminar las derivadas de tiempo de. Para eliminar las derivadas de tiempo de, la regla de la cadena se usa para encontrar sustituciones apropiadas:
( 5 )
( 6 )
Usando estas cuatro sustituciones, todas las derivadas de tiempo en ( 2 ) pueden ser eliminadas, produciendo una ecuación diferencial ordinaria para en función de
( 7 )
La ecuación diferencial ( 7 ) se puede resolver analíticamente mediante la sustitución de variables
( 8 )
El uso de la regla de la cadena para la diferenciación obtiene:
( 9 )
( 10 )
Usando las expresiones ( 10 ) y ( 9 ) para y obtiene
( 11 )
con la solución general
( 12 )
donde e yson constantes de integración dependiendo de los valores iniciales para s y
En lugar de utilizar la constante de integración explícitamente se introduce la convención de que los vectores unitarios que definen el sistema de coordenadas en el plano orbital se seleccionan de manera que toma el valor cero ye es positivo. Esto entonces significa que es cero en el punto donde es máxima y por lo tanto es mínimo. Definiendo el parámetro p como uno tiene eso
Derivación alternativa
Otra forma de resolver esta ecuación sin el uso de ecuaciones diferenciales polares es la siguiente:
Definir un vector unitario tal que y . Resulta que
Ahora considera
(ver producto triple de Vector ). Darse cuenta de
Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior se obtiene:
Integrando ambos lados:
donde c es un vector constante. Salpicar esto con r produce un resultado interesante:
dónde es el ángulo entre y . Resolviendo para r :
Darse cuenta de son efectivamente las coordenadas polares de la función vectorial. Haciendo las sustituciones y , llegamos nuevamente a la ecuación
( 13 )
Ésta es la ecuación en coordenadas polares para una sección cónica con origen en un punto focal. El argumento se llama "anomalía verdadera".
Propiedades de la ecuación de trayectoria
Para este es un círculo con radio p .
Para esta es una elipse con
( 14 )
( 15 )
Para esta es una parábola con distancia focal
Para esto es una hipérbola con
( 16 )
( 17 )
La siguiente imagen ilustra un círculo (gris), una elipse (rojo), una parábola (verde) y una hipérbola (azul)
El punto de la línea horizontal que sale a la derecha del punto focal es el punto con para el cual la distancia al foco toma el valor mínimo el pericentro. Para la elipse también hay un apocentro para el cual la distancia al foco toma el valor máximo. Para la hipérbola, el rango de es
y para una parábola el rango es
Usando la regla de la cadena para la diferenciación ( 5 ), la ecuación ( 2 ) y la definición de p como se obtiene que el componente de velocidad radial es
( 18 )
y que la componente tangencial (componente de velocidad perpendicular a ) es
( 19 )
La conexión entre el argumento polar y el tiempo t es ligeramente diferente para las órbitas elípticas e hiperbólicas.
Para una órbita elíptica se cambia a la " anomalía excéntrica " E para la cual
( 20 )
( 21 )
y consecuentemente
( 22 )
( 23 )
y el momento angular H es
( 24 )
La integración con respecto al tiempo t da
( 25 )
bajo el supuesto de que el tiempo se selecciona de manera que la constante de integración sea cero.
Como por definición de p uno tiene
( 26 )
esto se puede escribir
( 27 )
Para una órbita hiperbólica se utilizan las funciones hiperbólicas para la parametrización
( 28 )
( 29 )
por cual uno tiene
( 30 )
( 31 )
y el momento angular H es
( 32 )
Integrando con respecto al tiempo t obtiene
( 33 )
es decir
( 34 )
Para encontrar qué hora t corresponde a una cierta anomalía verdadera se calcula el parámetro correspondiente E conectado al tiempo con la relación ( 27 ) para una elíptica y con la relación ( 34 ) para una órbita hiperbólica.
Tenga en cuenta que las relaciones ( 27 ) y ( 34 ) definen un mapeo entre los rangos
Algunas fórmulas adicionales
Para una órbita elíptica se obtiene de ( 20 ) y ( 21 ) que
( 35 )
y por lo tanto que
( 36 )
De ( 36 ) se sigue que
A partir de la construcción geométrica que define la anomalía excéntrica , queda claro que los vectores y están en el mismo lado del eje x . De esto se deduce entonces que los vectores y están en el mismo cuadrante. Uno por lo tanto tiene que
( 37 )
y eso
( 38 )
( 39 )
dónde ""es el argumento polar del vector y n se selecciona de tal manera que
Para el cálculo numérico de Se puede utilizar la función estándar ATAN2 (y, x) (o en doble precisión DATAN2 (y, x)) disponible, por ejemplo, en el lenguaje de programación FORTRAN .
Tenga en cuenta que este es un mapeo entre los rangos
Para una órbita hiperbólica se obtiene de ( 28 ) y ( 29 ) que
( 40 )
y por lo tanto que
( 41 )
Como
y como y tienen el mismo signo, se sigue que
( 42 )
Esta relación es conveniente para pasar entre "anomalía verdadera" y el parámetro E , este último conectado al tiempo a través de la relación ( 34 ). Tenga en cuenta que este es un mapeo entre los rangos
y eso se puede calcular usando la relación
De la relación ( 27 ) se deduce que el período orbital P para una órbita elíptica es
( 43 )
Como la energía potencial correspondiente al campo de fuerza de la relación ( 1 ) es
se sigue de ( 13 ), ( 14 ), ( 18 ) y ( 19 ) que la suma de la energía cinética y potencial
para una órbita elíptica es
( 44 )
y de ( 13 ), ( 16 ), ( 18 ) y ( 19 ) que la suma de la energía cinética y potencial para una órbita hiperbólica es
( 45 )
Relativo al sistema de coordenadas inercial
en el plano orbital con hacia el pericentro se obtiene de ( 18 ) y ( 19 ) que las componentes de la velocidad son
( 46 )
( 47 )
Ver también Ecuación del centro - Expansiones analíticas
La Ecuación del centro relaciona la anomalía media con la anomalía verdadera para órbitas elípticas, para excentricidad numérica pequeña.
Determinación de la órbita de Kepler que corresponde a un estado inicial dado
Este es el " problema de valor inicial " para la ecuación diferencial ( 1 ) que es una ecuación de primer orden para el "vector de estado" de 6 dimensiones cuando se escribe como
( 48 )
( 49 )
Para cualquier valor para el "vector de estado" inicial la órbita de Kepler correspondiente a la solución de este problema de valor inicial se puede encontrar con el siguiente algoritmo:
Definir los vectores unitarios ortogonales mediante
( 50 )
( 51 )
con y
De ( 13 ), ( 18 ) y ( 19 ) se sigue que al establecer
( 52 )
y definiendo y tal que
( 53 )
( 54 )
dónde
( 55 )
uno obtiene una órbita de Kepler que para una verdadera anomalía tiene la misma r , y valores como los definidos por ( 50 ) y ( 51 ).
Si esta órbita de Kepler también tiene la misma vectores de esta verdadera anomalía como los definidos por ( 50 ) y ( 51 ) el vector de estado de la órbita de Kepler toma los valores deseados por verdadera anomalía .
El sistema de coordenadas fijo inercialmente estándar en el plano orbital (con dirigida desde el centro de la esfera homogénea al pericentro) definiendo la orientación de la sección cónica (elipse, parábola o hipérbola) se puede determinar entonces con la relación
( 56 )
( 57 )
Nótese que las relaciones ( 53 ) y ( 54 ) tienen una singularidad cuando y
es decir
( 58 )
que es el caso de que se trata de una órbita circular que se ajusta al estado inicial
La órbita osculante de Kepler
Para cualquier vector estatal la órbita de Kepler correspondiente a este estado se puede calcular con el algoritmo definido anteriormente. Primero los parámetros se determinan a partir de y luego los vectores unitarios ortogonales en el plano orbital utilizando las relaciones ( 56 ) y ( 57 ).
Si ahora la ecuación de movimiento es
( 59 )
dónde
es una función distinta a
los parámetros resultantes
definido por Todo variará con el tiempo a diferencia del caso de una órbita de Kepler para la cual solo el parámetro variará
La órbita de Kepler calculada de esta manera que tiene el mismo "vector de estado" que la solución a la "ecuación de movimiento" ( 59 ) en el tiempo t se dice que está "osculando" en este momento.
Este concepto es útil, por ejemplo, en caso de
dónde
es una pequeña "fuerza perturbadora" debida, por ejemplo, a un leve tirón gravitacional de otros cuerpos celestes. Los parámetros de la órbita osculante de Kepler cambiarán entonces lentamente y la órbita osculante de Kepler es una buena aproximación a la órbita real durante un período de tiempo considerable antes y después del tiempo de osculación.
Este concepto también puede ser útil para un cohete durante un vuelo motorizado, ya que luego indica en qué órbita de Kepler continuará el cohete en caso de que se apague el empuje.
Para una órbita "cercana a circular", el concepto de " vector de excentricidad " definido comoes útil. De ( 53 ), ( 54 ) y ( 56 ) se sigue que
( 60 )
es decir es una función diferenciable suave del vector de estado también si este estado corresponde a una órbita circular.
Ver también
- Problema de dos cuerpos
- Problema gravitacional de dos cuerpos
- Problema de Kepler
- Leyes de Kepler del movimiento planetario
- Órbita elíptica
- Trayectoria hiperbólica
- Trayectoria parabólica
- Trayectoria radial
- Modelado de órbitas
Citas
- ^ Copérnico. págs. 513–514
- ↑ Gould, Alan (24 de septiembre de 2016). "Johannes Kepler: su vida, sus leyes y tiempos" . NASA . Consultado el 3 de diciembre de 2018 .
- ^ Bate, Mueller, White. págs. 177–181
- ^ http://ssd.jpl.nasa.gov
Referencias
- El'Yasberg "Teoría del vuelo de satélites terrestres artificiales", programa de Israel para traducciones científicas (1967)
- Bate, Roger; Mueller, Donald; White, Jerry (1971). Fundamentos de Astrodinámica . Dover Publications, Inc., Nueva York. ISBN 0-486-60061-0.
- Copérnico, Nicolás (1952), "Libro I, Capítulo 4, El movimiento de los cuerpos celestes es regular, circular y eterno, o está compuesto de movimientos circulares", Sobre las revoluciones de las esferas celestiales , Grandes libros del mundo occidental , 16 , traducido por Charles Glenn Wallis, Chicago: William Benton, págs. 497–838
enlaces externos
- Subprograma JAVA que anima la órbita de un satélite en una órbita elíptica de Kepler alrededor de la Tierra con cualquier valor de semieje mayor y excentricidad.