Cinemática

Branch of physics describing the motion of objects or groups of objects without considering its cause

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Parte de una serie sobre
Mecanica clasica
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})}$ Segunda ley del movimiento
Historia Cronología Libros de texto
Sucursales Aplicado Celestial Continuum Dinámica Cinemática Cinética Estática Estadístico
Fundamentos Aceleración Momento angular Pareja Principio de D'Alembert Energía cinético potencial Fuerza Marco de referencia Marco de referencia inercial Impulso Inercia  / Momento de inercia Masa Potencia mecánica Trabajo mecánico Momento Impulso Espacio Velocidad Tiempo Esfuerzo de torsión Velocidad Trabajo virtual
Formulaciones Leyes del movimiento de Newton Mecánica analítica Mecánica lagrangiana Mecánica hamiltoniana Mecánica routhiana Ecuación de Hamilton-Jacobi Ecuación de movimiento de Appell Mecánica de Koopman – von Neumann
Temas centrales Relación de amortiguación Desplazamiento Ecuaciones de movimiento Leyes del movimiento de Euler Fuerza ficticia Fricción Oscilador armónico Marco de referencia inercial  / no inercial Mecánica del movimiento de partículas planas Movimiento  ( lineal ) Ley de Newton de la gravitación universal Leyes del movimiento de Newton Velocidad relativa Cuerpo rígido dinámica Ecuaciones de Euler Movimiento armónico simple Vibración
Rotación Movimiento circular Marco de referencia giratorio Fuerza centrípeta Fuerza centrífuga reactivo fuerza Coriolis Péndulo Velocidad tangencial Velocidad rotacional Aceleración angular  / desplazamiento  / frecuencia  / velocidad
Científicos Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Categorias ► Mecánica clásica
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La cinemática es un subcampo de la física, desarrollado en la mecánica clásica , que describe el movimiento de puntos, cuerpos (objetos) y sistemas de cuerpos (grupos de objetos) sin considerar las fuerzas que los hacen moverse. ^{[1] [2] [3] La} cinemática, como campo de estudio, a menudo se conoce como la "geometría del movimiento" y ocasionalmente se ve como una rama de las matemáticas. ^{[4] [5] [6]}Un problema de cinemática comienza describiendo la geometría del sistema y declarando las condiciones iniciales de cualquier valor conocido de posición, velocidad y / o aceleración de puntos dentro del sistema. Luego, usando argumentos de geometría, se puede determinar la posición, velocidad y aceleración de cualquier parte desconocida del sistema. El estudio de cómo actúan las fuerzas sobre los cuerpos cae dentro de la cinética , no de la cinemática. Para obtener más detalles, consulte dinámica analítica .

La cinemática se utiliza en astrofísica para describir el movimiento de los cuerpos celestes y las colecciones de dichos cuerpos. En ingeniería mecánica , robótica y biomecánica ^{[7], la} cinemática se utiliza para describir el movimiento de sistemas compuestos por partes unidas (sistemas multienlace) como un motor , un brazo robótico o el esqueleto humano .

Las transformaciones geométricas, también llamadas transformaciones rígidas , se utilizan para describir el movimiento de componentes en un sistema mecánico , simplificando la derivación de las ecuaciones de movimiento. También son fundamentales para el análisis dinámico .

El análisis cinemático es el proceso de medir las cantidades cinemáticas que se utilizan para describir el movimiento. En ingeniería, por ejemplo, el análisis cinemático puede usarse para encontrar el rango de movimiento para un mecanismo dado y trabajar en reversa, usando síntesis cinemática para diseñar un mecanismo para un rango de movimiento deseado. ^[8] Además, la cinemática aplica la geometría algebraica al estudio de la ventaja mecánica de un sistema o mecanismo mecánico .

Etimología del término

El término cinemática es la versión en Inglés de AM Ampère 's Cinematique , ^[9] que construye a partir del griego κίνημα kinema ( 'movimiento, movimiento'), en sí deriva de κινεῖν kinein ( 'para mover'). ^{[10] [11]}

Cinemática y cinématique están relacionadas con la palabra francesa cinéma, pero ninguna deriva directamente de ella. Sin embargo, comparten una raíz en común, ya que cinéma proviene de la forma abreviada de cinématographe, "proyector de películas y cámara", una vez más de la palabra griega para movimiento y del griego γρᾰ́φω grapho ("escribir"). ^[12]

Cinemática de la trayectoria de una partícula en un marco de referencia no giratorio

Cantidades cinemáticas de una partícula clásica: masa m , posición r , velocidad v , aceleración a .

Vector de velocidad v , siempre tangente a la trayectoria del movimiento.

Vector de aceleración a , no paralelo al movimiento radial pero compensado por las aceleraciones angular y de Coriolis, ni tangente a la trayectoria pero compensado por las aceleraciones centrípeta y radial.

Vectores cinemáticos en coordenadas polares planas. Observe que la configuración no está restringida al espacio 2d, sino a un plano en cualquier dimensión superior.

La cinemática de partículas es el estudio de la trayectoria de las partículas. La posición de una partícula se define como el vector de coordenadas desde el origen de un marco de coordenadas hasta la partícula. Por ejemplo, considere una torre a 50 m al sur de su casa, donde el marco de coordenadas está centrado en su casa, de modo que el este está en la dirección del eje x y el norte está en la dirección del eje y , luego la coordenada vector a la base de la torre es r = (0, −50 m, 0). Si la torre tiene 50 m de altura, y esta altura se mide a lo largo del eje z , entonces el vector de coordenadas a la parte superior de la torre es r = (0, −50 m, 50 m) .

En el caso más general, se utiliza un sistema de coordenadas tridimensional para definir la posición de una partícula. Sin embargo, si la partícula está obligada a moverse dentro de un plano, un sistema de coordenadas bidimensional es suficiente. Todas las observaciones en física están incompletas sin ser descritas con respecto a un marco de referencia.

El vector de posición de una partícula es un vector dibujado desde el origen del marco de referencia hasta la partícula. Expresa tanto la distancia del punto desde el origen como su dirección desde el origen. En tres dimensiones, el vector de posición se puede expresar como${\displaystyle {\bf {r}}}$

${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}+z{\hat {k}},}$

donde , , y son las coordenadas cartesianas y , y son los vectores unitarios a lo largo del , y ejes de coordenadas, respectivamente. La magnitud del vector de posición da la distancia entre el punto y el origen.${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\hat {\imath }}}$${\displaystyle {\hat {\jmath }}}$${\displaystyle {\hat {k}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \left|\mathbf {r} \right|}$${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle |\mathbf {r} |={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.}$

Los cosenos de dirección del vector de posición proporcionan una medida cuantitativa de dirección. En general, el vector de posición de un objeto dependerá del marco de referencia; diferentes cuadros conducirán a diferentes valores para el vector de posición.

La trayectoria de una partícula es una función vectorial del tiempo , que define la curva trazada por la partícula en movimiento, dada por${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t){\hat {\imath }}+y(t){\hat {\jmath }}+z(t){\hat {k}},}$

donde , y describen cada coordenada de la posición de la partícula en función del tiempo.${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle z(t)}$

La distancia recorrida es siempre mayor o igual al desplazamiento.

Velocidad y velocidad

La velocidad de una partícula es una cantidad vectorial que describe la magnitud y la dirección del movimiento de la partícula. Más matemáticamente, la tasa de cambio del vector de posición de un punto, con respecto al tiempo, es la velocidad del punto. Considere la razón formada al dividir la diferencia de dos posiciones de una partícula por el intervalo de tiempo. Esta relación se llama velocidad promedio durante ese intervalo de tiempo y se define como

${\displaystyle \mathbf {v} _{\rm {avg}}={\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}\ ,}$

donde es el cambio en el vector de posición durante el intervalo de tiempo . En el límite en que el intervalo de tiempo se acerca a cero, la velocidad promedio se acerca a la velocidad instantánea, definida como la derivada del vector de posición en el tiempo,${\displaystyle \Delta \mathbf {r} }$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}={\dot {x}}_{p}{\hat {\imath }}+{\dot {y}}_{P}{\hat {\jmath }}+{\dot {z}}_{P}{\hat {k}},}$

donde el punto denota una derivada con respecto al tiempo (p . ej .). Por tanto, la velocidad de una partícula es la tasa temporal de cambio de su posición. Además, esta velocidad es tangente a la trayectoria de la partícula de la partícula en cada posición a lo largo de su trayectoria. Tenga en cuenta que en un marco de referencia no giratorio, las derivadas de las direcciones de las coordenadas no se consideran ya que sus direcciones y magnitudes son constantes.${\displaystyle {\dot {x}}=dx/dt}$

La rapidez de un objeto es la magnitud de su velocidad. Es una cantidad escalar:

${\displaystyle v=|\mathbf {v} |={\frac {ds}{dt}},}$

donde es la longitud del arco medida a lo largo de la trayectoria de la partícula. Esta longitud de arco siempre debe aumentar a medida que se mueve la partícula. Por lo tanto, no es negativo, lo que implica que la velocidad tampoco es negativa.${\displaystyle s}$${\displaystyle ds/dt}$

Aceleración

El vector de velocidad puede cambiar en magnitud y dirección o ambas a la vez. Por tanto, la aceleración explica tanto la tasa de cambio de la magnitud del vector velocidad como la tasa de cambio de dirección de ese vector. El mismo razonamiento utilizado con respecto a la posición de una partícula para definir la velocidad, se puede aplicar a la velocidad para definir la aceleración. La aceleración de una partícula es el vector definido por la tasa de cambio del vector velocidad. La aceleración promedio de una partícula durante un intervalo de tiempo se define como la relación.

${\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}={\frac {\Delta \mathbf {V} }{\Delta t}}\ ,}$

donde Δ V es la diferencia en el vector de velocidad y Δ t es el intervalo de tiempo.

La aceleración de la partícula es el límite de la aceleración promedio cuando el intervalo de tiempo se acerca a cero, que es la derivada del tiempo,

${\displaystyle \mathbf {A} =\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta \mathbf {V} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {V} }{dt}}={\dot {\mathbf {V} }}={\dot {v}}_{x}{\hat {\imath }}+{\dot {v}}_{y}{\hat {\jmath }}+{\dot {v}}_{z}{\hat {k}}}$

o

${\displaystyle \mathbf {A} ={\ddot {\mathbf {P} }}={\ddot {x}}_{p}{\hat {\imath }}+{\ddot {y}}_{P}{\hat {\jmath }}+{\ddot {z}}_{P}{\hat {k}}}$

Por tanto, la aceleración es la primera derivada del vector de velocidad y la segunda derivada del vector de posición de esa partícula. Tenga en cuenta que en un marco de referencia no giratorio, las derivadas de las direcciones de las coordenadas no se consideran ya que sus direcciones y magnitudes son constantes.

La magnitud de la aceleración de un objeto es la magnitud | A | de su vector de aceleración. Es una cantidad escalar:

${\displaystyle |\mathbf {A} |=|{\dot {\mathbf {V} }}|={\frac {dv}{dt}},}$

Vector de posición relativa

Un vector de posición relativa es un vector que define la posición de un punto en relación con otro. Es la diferencia de posición de los dos puntos. La posición de un punto A en relación con otro punto B es simplemente la diferencia entre sus posiciones

${\displaystyle \mathbf {P} _{A/B}=\mathbf {P} _{A}-\mathbf {P} _{B}}$

que es la diferencia entre los componentes de sus vectores de posición.

Si el punto A tiene componentes de posición ${\displaystyle \mathbf {P} _{A}=\left(X_{A},Y_{A},Z_{A}\right)}$

Si el punto B tiene componentes de posición ${\displaystyle \mathbf {P} _{B}=\left(X_{B},Y_{B},Z_{B}\right)}$

entonces la posición del punto A con respecto al punto B es la diferencia entre sus componentes: ${\displaystyle \mathbf {P} _{A/B}=\mathbf {P} _{A}-\mathbf {P} _{B}=\left(X_{A}-X_{B},Y_{A}-Y_{B},Z_{A}-Z_{B}\right)}$

Velocidad relativa

Artículo principal: velocidad relativa

Velocidades relativas entre dos partículas en mecánica clásica.

La velocidad de un punto en relación con otro es simplemente la diferencia entre sus velocidades

${\displaystyle \mathbf {V} _{A/B}=\mathbf {V} _{A}-\mathbf {V} _{B}}$

que es la diferencia entre los componentes de sus velocidades.

Si el punto A tiene componentes de velocidad ${\displaystyle \mathbf {V} _{A}=\left(V_{A_{x}},V_{A_{y}},V_{A_{z}}\right)}$

y el punto B tiene componentes de velocidad ${\displaystyle \mathbf {V} _{B}=\left(V_{B_{x}},V_{B_{y}},V_{B_{z}}\right)}$

entonces la velocidad del punto A con respecto al punto B es la diferencia entre sus componentes: ${\displaystyle \mathbf {V} _{A/B}=\mathbf {V} _{A}-\mathbf {V} _{B}=\left(V_{A_{x}}-V_{B_{x}},V_{A_{y}}-V_{B_{y}},V_{A_{z}}-V_{B_{z}}\right)}$

Alternativamente, este mismo resultado podría obtenerse mediante el cálculo de la derivada temporal de la posición relativa vector R _{B / A} .

En el caso de que la velocidad sea cercana a la velocidad de la luz c (generalmente dentro del 95%), en relatividad especial se usa otro esquema de velocidad relativa llamado rapidez , que depende de la razón de V a c .

Aceleración relativa

La aceleración de un punto C en relación con otro punto B es simplemente la diferencia entre sus aceleraciones.

${\displaystyle \mathbf {A} _{C/B}=\mathbf {A} _{C}-\mathbf {A} _{B}}$

que es la diferencia entre los componentes de sus aceleraciones.

Si el punto C tiene componentes de aceleración ${\displaystyle \mathbf {A} _{C}=\left(A_{C_{x}},A_{C_{y}},A_{C_{z}}\right)}$

y el punto B tiene componentes de aceleración ${\displaystyle \mathbf {A} _{B}=\left(A_{B_{x}},A_{B_{y}},A_{B_{z}}\right)}$

entonces la aceleración del punto C con respecto al punto B es la diferencia entre sus componentes: ${\displaystyle \mathbf {A} _{C/B}=\mathbf {A} _{C}-\mathbf {A} _{B}=\left(A_{C_{x}}-A_{B_{x}},A_{C_{y}}-A_{B_{y}},A_{C_{z}}-A_{B_{z}}\right)}$

Alternativamente, este mismo resultado podría obtenerse mediante el cálculo de la segunda derivada en el tiempo del vector de posición relativa P _{B / A} . ^[13]

Suponiendo que se conocen las condiciones iniciales de la posición, y la velocidad en el tiempo , la primera integración produce la velocidad de la partícula en función del tiempo.${\displaystyle \mathbf {P} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {V} _{0}}$${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \mathbf {V} (t)=\mathbf {V} _{0}+\int _{0}^{t}\mathbf {A} d\tau =\mathbf {V} _{0}+\mathbf {A} t.}$

Una segunda integración cede su camino (trayectoria),

${\displaystyle \mathbf {P} (t)=\mathbf {P} _{0}+\int _{0}^{t}\mathbf {V} (\tau )d\tau =\mathbf {P} _{0}+\int _{0}^{t}(\mathbf {V} _{0}+\mathbf {A} \tau )d\tau =\mathbf {P} _{0}+\mathbf {V} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {A} t^{2}.}$

Se pueden derivar relaciones adicionales entre desplazamiento, velocidad, aceleración y tiempo. Dado que la aceleración es constante,

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\Delta \mathbf {V} }{\Delta t}}={\frac {\mathbf {V} -\mathbf {V} _{0}}{t}}}$ se puede sustituir en la ecuación anterior para dar:

${\displaystyle \mathbf {P} (t)=\mathbf {P} _{0}+\left({\frac {\mathbf {V} +\mathbf {V} _{0}}{2}}\right)t.}$

Se puede tener una relación entre velocidad, posición y aceleración sin dependencia explícita del tiempo resolviendo la aceleración promedio por tiempo y sustituyendo y simplificando

${\displaystyle t={\frac {\mathbf {V} -\mathbf {V} _{0}}{\mathbf {A} }}}$

${\displaystyle (\mathbf {P} -\mathbf {P} _{0})\circ \mathbf {A} =\left(\mathbf {V} -\mathbf {V} _{0}\right)\circ {\frac {\mathbf {V} +\mathbf {V} _{0}}{2}}\ ,}$

donde ∘ denota el producto escalar , que es apropiado ya que los productos son escalares en lugar de vectores.

${\displaystyle 2(\mathbf {P} -\mathbf {P} _{0})\circ \mathbf {A} =|\mathbf {V} |^{2}-|\mathbf {V} _{0}|^{2}.}$

El punto puede ser reemplazado por el coseno del ángulo α entre los vectores ^{[ cita requerida ]} y los vectores por sus magnitudes, en cuyo caso:

${\displaystyle 2|\mathbf {P} -\mathbf {P} _{0}|\cdot |\mathbf {A} |\cdot \cos \alpha =|\mathbf {V} |^{2}-|\mathbf {V} _{0}|^{2}.}$

En el caso de la aceleración siempre en la dirección del movimiento y la dirección del movimiento debe ser positiva o negativa, el ángulo entre los vectores ( α ) es 0, entonces , y${\displaystyle \cos 0=1}$

${\displaystyle |\mathbf {V} |^{2}=|\mathbf {V} _{0}|^{2}+2|\mathbf {A} |\cdot |\mathbf {P} -\mathbf {P} _{0}|.}$

Esto se puede simplificar usando la notación para las magnitudes de los vectores ^{[ cita requerida ]} donde puede ser cualquier trayectoria curvilínea tomada cuando la aceleración tangencial constante se aplica a lo largo de esa trayectoria ^{[ cita requerida ]} , entonces${\displaystyle ||\mathbf {A} ||=a,||\mathbf {V} ||=v,||\mathbf {P} -\mathbf {P} _{0}||=\Delta x}$${\displaystyle \Delta x}$

${\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2a\cdot \Delta x.}$

Esto reduce las ecuaciones paramétricas de movimiento de la partícula a una relación cartesiana de velocidad versus posición. Esta relación es útil cuando se desconoce el tiempo. También sabemos que o es el área bajo el gráfico av, t. ^[14]${\displaystyle \Delta x=\int v\,dt}$${\displaystyle \Delta x}$

Gráfico de física de tiempo de velocidad

Podemos tomar agregando el área superior y el área inferior. El área inferior es un rectángulo y el área de un rectángulo es donde es el ancho y es la altura. ^[15] En este caso y (tenga en cuenta que aquí es diferente de la aceleración ). Esto significa que el área inferior es . Ahora busquemos el área superior (un triángulo). El área de un trangle es donde está la base y es la altura. ^[16] En este caso, & o . Sumar y da como resultado la ecuación da como resultado la ecuación . ^[17]${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle A\cdot B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A=t}$${\displaystyle B=v_{0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle tv_{0}}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}BH}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B=t}$${\displaystyle H=at}$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}BH={\frac {1}{2}}att={\frac {1}{2}}at^{2}={\frac {at^{2}}{2}}}$${\displaystyle tv_{0}}$${\displaystyle {\frac {at^{2}}{2}}}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \Delta x=v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}}$Esta ecuación es muy útil cuando se desconoce la velocidad final v .

Figura 2: Velocidad y aceleración para movimiento circular no uniforme: el vector de velocidad es tangencial a la órbita, pero el vector de aceleración no es radialmente hacia adentro debido a su componente tangencial a _θ que aumenta la tasa de rotación: d ω / d t = | un _theta | / R .

Trayectorias de partículas en coordenadas polares cilíndricas

Ver también: Coordenadas generalizadas , Coordenadas curvilíneas , Coordenadas ortogonales y Fórmulas de Frenet-Serret

A menudo es conveniente formular la trayectoria de una partícula P (t) = (X (t), Y (t) y Z (t)) utilizando coordenadas polares en el plano X - Y. En este caso, su velocidad y aceleración toman una forma conveniente.

Recordemos que la trayectoria de una partícula P se define por su vector de coordenadas P medido en un marco de referencia fijo F . A medida que la partícula se mueve, su vector de coordenadas P (t) traza su trayectoria, que es una curva en el espacio, dada por:

${\displaystyle {\textbf {P}}(t)=X(t){\hat {\imath }}+Y(t){\hat {\jmath }}+Z(t){\hat {k}},}$

donde i , j y k son los vectores unitarios a lo largo de los ejes X , Y y Z del sistema de referencia F , respectivamente.

Considere una partícula P que se mueve solo sobre la superficie de un cilindro circular R (t) = constante, es posible alinear el eje Z del marco fijo F con el eje del cilindro. Entonces, el ángulo θ alrededor de este eje en el plano X - Y se puede usar para definir la trayectoria como,

${\displaystyle {\textbf {P}}(t)=R\cos \theta (t){\hat {\imath }}+R\sin \theta (t){\hat {\jmath }}+Z(t){\hat {k}}.}$

Las coordenadas cilíndricas para P (t) se pueden simplificar introduciendo los vectores unitarios radial y tangencial,

${\displaystyle {\textbf {e}}_{r}=\cos \theta (t){\hat {\imath }}+\sin \theta (t){\hat {\jmath }},\quad {\textbf {e}}_{\theta }=-\sin \theta (t){\hat {\imath }}+\cos \theta (t){\hat {\jmath }}.}$

y sus derivadas temporales del cálculo elemental:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\textbf {e}}_{r}={\dot {\textbf {e}}}_{r}={\dot {\theta }}{\textbf {e}}_{\theta }}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\dot {\textbf {e}}}_{r}={\ddot {\textbf {e}}}_{r}={\ddot {\theta }}{\textbf {e}}_{\theta }-{\dot {\theta }}{\textbf {e}}_{r}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\textbf {e}}_{\theta }={\dot {\textbf {e}}}_{\theta }=-{\dot {\theta }}{\textbf {e}}_{r}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\dot {\textbf {e}}}_{\theta }={\ddot {\textbf {e}}}_{\theta }=-{\ddot {\theta }}{\textbf {e}}_{r}-{\dot {\theta }}^{2}{\textbf {e}}_{\theta }}$.

Usando esta notación, P (t) toma la forma,

${\displaystyle {\textbf {P}}(t)=R{\textbf {e}}_{r}+Z(t){\hat {k}},}$

donde R es constante en el caso de la partícula que se mueve sólo en la superficie de un cilindro de radio R .

En general, la trayectoria P (t) no está limitada a reposar sobre un cilindro circular, por lo que el radio R varía con el tiempo y la trayectoria de la partícula en coordenadas polares cilíndricas se convierte en:

${\displaystyle {\textbf {P}}(t)=R(t){\textbf {e}}_{r}+Z(t){\hat {k}}.}$

Donde R, theta y Z pueden ser funciones de tiempo continuamente diferenciables y la notación de función se elimina por simplicidad. El vector de velocidad V _P es la derivada en el tiempo de la trayectoria P (t), que produce:

${\displaystyle {\textbf {V}}_{P}={\frac {d}{dt}}(R{\textbf {e}}_{r}+Z{\hat {k}})={\dot {R}}{\textbf {e}}_{r}+R{\dot {\textbf {e}}}_{r}+{\dot {Z}}{\hat {k}}={\dot {R}}{\textbf {e}}_{r}+R{\dot {\theta }}{\textbf {e}}_{\theta }+{\dot {Z}}{\hat {k}}}$.

De manera similar, la aceleración A _P , que es la derivada en el tiempo de la velocidad V _P , está dada por:

${\displaystyle {\textbf {A}}_{P}={\frac {d}{dt}}({\dot {R}}{\textbf {e}}_{r}+R{\dot {\theta }}{\textbf {e}}_{\theta }+{\dot {Z}}{\hat {k}})=({\ddot {R}}-R{\dot {\theta }}^{2}){\textbf {e}}_{r}+(R{\ddot {\theta }}+2{\dot {R}}{\dot {\theta }}){\textbf {e}}_{\theta }+{\ddot {Z}}{\hat {k}}.}$

El término actúa hacia el centro de curvatura de la trayectoria en ese punto de la trayectoria, comúnmente se denomina aceleración centrípeta. El término se llama aceleración de Coriolis.${\displaystyle -R{\dot {\theta }}^{2}{\textbf {e}}_{r}}$${\displaystyle 2{\dot {R}}{\dot {\theta }}{\textbf {e}}_{\theta }}$

Radio constante

Si la trayectoria de la partícula está limitada a reposar sobre un cilindro, entonces el radio R es constante y los vectores de velocidad y aceleración se simplifican. La velocidad de V _P es la derivada en el tiempo de la trayectoria P (t),

${\displaystyle {\textbf {V}}_{P}={\frac {d}{dt}}(R{\textbf {e}}_{r}+Z{\hat {k}})=R{\dot {\theta }}{\textbf {e}}_{\theta }+{\dot {Z}}{\hat {k}}.}$

El vector de aceleración se convierte en:

${\displaystyle {\textbf {A}}_{P}={\frac {d}{dt}}(R{\dot {\theta }}{\textbf {e}}_{\theta }+{\dot {Z}}{\hat {k}})=-R{\dot {\theta }}^{2}{\textbf {e}}_{r}+R{\ddot {\theta }}{\textbf {e}}_{\theta }+{\ddot {Z}}{\hat {k}}.}$

Trayectorias circulares planas

Cada partícula de la rueda viaja en una trayectoria circular plana (Kinematics of Machinery, 1876). ^[18]

Un caso especial de la trayectoria de una partícula en un cilindro circular ocurre cuando no hay movimiento a lo largo del eje Z :

${\displaystyle {\textbf {P}}(t)=R{\textbf {e}}_{r}+Z_{0}{\hat {k}},}$

donde R y Z ₀ son constantes. En este caso, la velocidad V _P viene dada por:

${\displaystyle {\textbf {V}}_{P}={\frac {d}{dt}}(R{\textbf {e}}_{r}+Z_{0}{\hat {k}})=R{\dot {\theta }}{\textbf {e}}_{\theta }=R\omega {\textbf {e}}_{\theta },}$

dónde

${\displaystyle \omega ={\dot {\theta }},}$

es la velocidad angular del vector unitario e _θ alrededor del eje z del cilindro.

La aceleración A _P de la partícula P viene dada ahora por:

${\displaystyle {\textbf {A}}_{P}={\frac {d}{dt}}(R{\dot {\theta }}{\textbf {e}}_{\theta })=-R{\dot {\theta }}^{2}{\textbf {e}}_{r}+R{\ddot {\theta }}{\textbf {e}}_{\theta }.}$

Los componentes

${\displaystyle a_{r}=-R{\dot {\theta }}^{2},\quad a_{\theta }=R{\ddot {\theta }},}$

se denominan, respectivamente, las componentes radial y tangencial de la aceleración.

La notación para la velocidad angular y la aceleración angular se define a menudo como

${\displaystyle \omega ={\dot {\theta }},\quad \alpha ={\ddot {\theta }},}$

por lo que los componentes de aceleración radial y tangencial para trayectorias circulares también se escriben como

${\displaystyle a_{r}=-R\omega ^{2},\quad a_{\theta }=R\alpha .}$

Trayectorias puntuales en un cuerpo que se mueve en el plano

El movimiento de los componentes de un sistema mecánico se analiza adjuntando un marco de referencia a cada parte y determinando cómo se mueven los distintos marcos de referencia entre sí. Si la rigidez estructural de las piezas es suficiente, entonces se puede despreciar su deformación y se pueden utilizar transformaciones rígidas para definir este movimiento relativo. Esto reduce la descripción del movimiento de las diversas partes de un sistema mecánico complicado a un problema de describir la geometría de cada parte y la asociación geométrica de cada parte con respecto a otras partes.

La geometría es el estudio de las propiedades de las figuras que permanecen iguales mientras el espacio se transforma de diversas formas; más técnicamente, es el estudio de las invariantes bajo un conjunto de transformaciones. ^[19] Estas transformaciones pueden provocar el desplazamiento del triángulo en el plano, dejando el ángulo del vértice y las distancias entre vértices sin cambios. La cinemática se describe a menudo como geometría aplicada, donde el movimiento de un sistema mecánico se describe utilizando las transformaciones rígidas de la geometría euclidiana.

Las coordenadas de los puntos en un plano son vectores bidimensionales en R ² (espacio bidimensional). Las transformaciones rígidas son aquellas que preservan la distancia entre dos puntos cualesquiera. El conjunto de transformaciones rígidas en un espacio n -dimensional se denomina grupo euclidiano especial en R ⁿ , y se denota SE (n) .

Desplazamientos y movimiento

El movimiento de cada uno de los componentes de la máquina de vapor Boulton & Watt (1784) está modelado por un conjunto continuo de desplazamientos rígidos.

La posición de un componente de un sistema mecánico con respecto a otro se define introduciendo un marco de referencia , digamos M , en uno que se mueve con respecto a un marco fijo, F, en el otro. La transformación rígida, o desplazamiento, de M con respecto a F define la posición relativa de los dos componentes. Un desplazamiento consiste en la combinación de una rotación y una traslación .

El conjunto de todos los desplazamientos de M en relación con F se denomina espacio de configuración de M. Una curva suave de una posición a otra en este espacio de configuración es un conjunto continuo de desplazamientos, llamado movimiento de M en relación con F. El movimiento de un El cuerpo consta de un conjunto continuo de rotaciones y traslaciones.

Representación matricial

La combinación de rotación y traslación en el plano R ² puede representarse mediante un cierto tipo de matriz 3x3 conocida como transformada homogénea. La transformada homogénea de 3x3 se construye a partir de una matriz de rotación A (φ) de 2x2 y el vector de traslación de 2x1 d = (d _x , d _y ), como:

${\displaystyle [T(\phi ,\mathbf {d} )]={\begin{bmatrix}A(\phi )&\mathbf {d} \\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Estas transformadas homogéneas realizan transformaciones rígidas en los puntos del plano z = 1, es decir, en puntos con coordenadas p = (x, y, 1).

En particular, deje p definir las coordenadas de puntos en un sistema de referencia M coincidente con un marco fijo F. Entonces, cuando el origen de M es desplazado por el vector de traslación d en relación con el origen de F y se hace girar por el ángulo φ con respecto a el eje x de F , las nuevas coordenadas en F de los puntos en M vienen dadas por:

${\displaystyle {\textbf {P}}=[T(\phi ,\mathbf {d} )]{\textbf {p}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x\\y\\1\end{Bmatrix}}.}$

Las transformaciones homogéneas representan transformaciones afines . Esta formulación es necesaria porque una traducción no es una transformación lineal de R ² . Sin embargo, al usar geometría proyectiva, de modo que R ² se considere un subconjunto de R ³ , las traslaciones se convierten en transformaciones lineales afines. ^[20]

Traducción pura

Si un cuerpo rígido se mueve de modo que su marco de referencia M no gira (∅ = 0) en relación con el marco fijo F , el movimiento se llama traslación pura. En este caso, la trayectoria de cada punto del cuerpo es un desplazamiento de la trayectoria d (t) del origen de M, es decir:

${\displaystyle {\textbf {P}}(t)=[T(0,{\textbf {d}}(t))]{\textbf {p}}={\textbf {d}}(t)+{\textbf {p}}.}$

Por lo tanto, para los cuerpos en traslación pura, la velocidad y la aceleración de cada punto P en el cuerpo están dadas por:

${\displaystyle {\textbf {V}}_{P}={\dot {\textbf {P}}}(t)={\dot {\textbf {d}}}(t)={\textbf {V}}_{O},\quad {\textbf {A}}_{P}={\ddot {\textbf {P}}}(t)={\ddot {\textbf {d}}}(t)={\textbf {A}}_{O},}$

donde el punto representa la derivada con respecto al tiempo y V _O y A _O son la velocidad y la aceleración, respectivamente, del origen del bastidor móvil M . Recuerde que el vector coordenado p en M es constante, por lo que su derivada es cero.

Rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo

Artículo principal: movimiento circular

Figura 1: El vector de velocidad angular Ω apunta hacia arriba para la rotación hacia la izquierda y hacia abajo para la rotación hacia la derecha, como se especifica en la regla de la mano derecha . La posición angular θ ( t ) cambia con el tiempo a una tasa ω ( t ) = d θ / d t .

La cinemática rotacional o angular es la descripción de la rotación de un objeto. ^[21] La descripción de la rotación requiere algún método para describir la orientación. Las descripciones comunes incluyen ángulos de Euler y la cinemática de giros inducidos por productos algebraicos.

En lo que sigue, la atención se limita a la simple rotación alrededor de un eje de orientación fija. El eje z se ha elegido por conveniencia.

Posición

Esto permite la descripción de una rotación como la posición angular de un marco de referencia plano M con respecto a un F fijo alrededor de este eje z compartido . Las coordenadas p = ( x , y ) en M están relacionadas con las coordenadas P = (X, Y) en F por la ecuación matricial:

${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} ,}$

dónde

${\displaystyle [A(t)]={\begin{bmatrix}\cos \theta (t)&-\sin \theta (t)\\\sin \theta (t)&\cos \theta (t)\end{bmatrix}},}$

es la matriz de rotación que define la posición angular de M con respecto a F en función del tiempo.

Velocidad

Si el punto p no se mueve en M , su velocidad en F viene dada por

${\displaystyle \mathbf {V} _{P}={\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {A}}(t)]\mathbf {p} .}$

Es conveniente eliminar las coordenadas py escribir esto como una operación sobre la trayectoria P (t),

${\displaystyle \mathbf {V} _{P}=[{\dot {A}}(t)][A(t)^{-1}]\mathbf {P} =[\Omega ]\mathbf {P} ,}$

donde la matriz

${\displaystyle [\Omega ]={\begin{bmatrix}0&-\omega \\\omega &0\end{bmatrix}},}$

que se conoce como la matriz de velocidad angular de M con respecto a F . El parámetro ω es la derivada en el tiempo del ángulo θ, es decir:

${\displaystyle \omega ={\frac {d\theta }{dt}}.}$

Aceleración

La aceleración de P (t) en F se obtiene como la derivada del tiempo de la velocidad,

${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\ddot {P}}(t)=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ]{\dot {\mathbf {P} }},}$

que se convierte en

${\displaystyle \mathbf {A} _{P}=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ][\Omega ]\mathbf {P} ,}$

dónde

${\displaystyle [{\dot {\Omega }}]={\begin{bmatrix}0&-\alpha \\\alpha &0\end{bmatrix}},}$

es la matriz de aceleración angular de M sobre F , y

${\displaystyle \alpha ={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}.}$

La descripción de la rotación involucra estas tres cantidades:

• Posición angular  : la distancia orientada desde un origen seleccionado en el eje de rotación hasta un punto de un objeto es un vector r ( t ) que ubica el punto. El vector r ( t ) tiene alguna proyección (o, de manera equivalente, algún componente) r _⊥ ( t ) en un plano perpendicular al eje de rotación. Entonces, la posición angular de ese punto es el ángulo θ desde un eje de referencia (típicamente el eje x positivo ) al vector r _⊥ ( t ) en un sentido de rotación conocido (típicamente dado por la regla de la mano derecha ).
• Velocidad angular  : la velocidad angular ω es la tasa a la que cambia la posición angular θ con respecto al tiempo t:

${\displaystyle \omega ={\frac {d\theta }{dt}}}$

La velocidad angular se representa en la Figura 1 por un vector Ω que apunta a lo largo del eje de rotación con magnitud ω y sentido determinado por la dirección de rotación dada por la regla de la mano derecha .

• Aceleración angular  : la magnitud de la aceleración angular α es la tasa a la que cambia la velocidad angular ω con respecto al tiempo t:

${\displaystyle \alpha ={\frac {d\omega }{dt}}}$

Las ecuaciones de la cinemática de traslación se pueden extender fácilmente a la cinemática rotacional plana para una aceleración angular constante con intercambios de variables simples:

${\displaystyle \omega _{\mathrm {f} }=\omega _{\mathrm {i} }+\alpha t\!}$

${\displaystyle \theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }=\omega _{\mathrm {i} }t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}}$

${\displaystyle \theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }={\tfrac {1}{2}}(\omega _{\mathrm {f} }+\omega _{\mathrm {i} })t}$

${\displaystyle \omega _{\mathrm {f} }^{2}=\omega _{\mathrm {i} }^{2}+2\alpha (\theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }).}$

Aquí θ _i y θ _f son, respectivamente, las posiciones angulares inicial y final, ω _i y ω _f son, respectivamente, las velocidades angulares inicial y final, y α es la aceleración angular constante. Aunque la posición en el espacio y la velocidad en el espacio son ambos vectores verdaderos (en términos de sus propiedades bajo rotación), al igual que la velocidad angular, el ángulo en sí no es un vector verdadero.

Trayectorias puntuales en el cuerpo moviéndose en tres dimensiones

Fórmulas importantes en cinemática definen la velocidad y la aceleración de puntos en un cuerpo en movimiento a medida que trazan trayectorias en el espacio tridimensional. Esto es particularmente importante para el centro de masa de un cuerpo, que se usa para derivar ecuaciones de movimiento usando la segunda ley de Newton o las ecuaciones de Lagrange .

Posición

Para definir estas fórmulas, el movimiento de un componente B de un sistema mecánico se define por el conjunto de rotaciones [A (t)] y traslaciones d (t) ensambladas en la transformación homogénea [T (t)] = [A (t), d (t)]. Si p son las coordenadas de un punto P en B medidas en el marco de referencia móvil M , entonces la trayectoria de este punto trazada en F viene dada por:

${\displaystyle {\textbf {P}}(t)=[T(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {P}}\\1\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&{\textbf {d}}(t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.}$

Esta notación no distingue entre P = (X, Y, Z, 1) y P = (X, Y, Z), que es de esperar que sea claro en el contexto.

Esta ecuación para la trayectoria de P se puede invertir para calcular el vector de coordenadas p en M como:

${\displaystyle {\textbf {p}}=[T(t)]^{-1}{\textbf {P}}(t)={\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)^{T}&-A(t)^{T}{\textbf {d}}(t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {P}}(t)\\1\end{Bmatrix}}.}$

Esta expresión utiliza el hecho de que la transposición de una matriz de rotación también es su inversa, es decir:

${\displaystyle [A(t)]^{T}[A(t)]=I.\!}$

Velocidad

La velocidad del punto P a lo largo de su trayectoria P (t) se obtiene como la derivada en el tiempo de este vector de posición,

${\displaystyle {\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {V}}_{P}\\0\end{Bmatrix}}={\dot {\begin{bmatrix}A(t)&{\textbf {d}}(t)\\0&1\end{bmatrix}}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\textbf {d}}}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.}$

El punto denota la derivada con respecto al tiempo; debido a que p es constante, su derivada es cero.

Esta fórmula puede ser modificado para obtener la velocidad de P mediante la operación en su trayectoria P (t) medida en el marco fijo F . Sustituyendo la transformada inversa de p en la ecuación de velocidad se obtiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}{\textbf {P}}(t)={\begin{Bmatrix}{\textbf {V}}_{P}\\0\end{Bmatrix}}&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\textbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&{\textbf {d}}\\0&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{Bmatrix}{\textbf {P}}(t)\\1\end{Bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\textbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}A^{-1}{\begin{bmatrix}1&-{\textbf {d}}\\0&A\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {P}}(t)\\1\end{Bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{-1}&-{\dot {A}}A^{-1}{\textbf {d}}+{\dot {\textbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {P}}(t)\\1\end{Bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{T}&-{\dot {A}}A^{T}{\textbf {d}}+{\dot {\textbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {P}}(t)\\1\end{Bmatrix}}\\{\textbf {V}}_{P}&=[S]{\textbf {P}}.\end{aligned}}}$

La matriz [S] viene dada por:

${\displaystyle [S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega {\textbf {d}}+{\dot {\textbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle [\Omega ]={\dot {A}}A^{T},}$

es la matriz de velocidad angular.

Multiplicando por el operador [S], la fórmula para la velocidad V _P toma la forma:

${\displaystyle {\textbf {V}}_{P}=[\Omega ]({\textbf {P}}-{\textbf {d}})+{\dot {\textbf {d}}}=\omega \times {\textbf {R}}_{P/O}+{\textbf {V}}_{O},}$

donde el vector ω es el vector de velocidad angular obtenido de las componentes de la matriz [Ω]; el vector

${\displaystyle {\textbf {R}}_{P/O}={\textbf {P}}-{\textbf {d}},}$

es la posición de P con respecto al origen O del marco móvil M ; y

${\displaystyle {\textbf {V}}_{O}={\dot {\textbf {d}}},}$

es la velocidad del origen O .

Aceleración

La aceleración de un punto P en un cuerpo en movimiento B se obtiene como la derivada en el tiempo de su vector de velocidad:

${\displaystyle {\textbf {A}}_{P}={\frac {d}{dt}}{\textbf {V}}_{P}={\frac {d}{dt}}{\big (}[S]{\textbf {P}}{\big )}=[{\dot {S}}]{\textbf {P}}+[S]{\dot {\textbf {P}}}=[{\dot {S}}]{\textbf {P}}+[S][S]{\textbf {P}}.}$

Esta ecuación se puede ampliar en primer lugar calculando

${\displaystyle [{\dot {S}}]={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}{\textbf {d}}-\Omega {\dot {\textbf {d}}}+{\ddot {\textbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}{\textbf {d}}-\Omega {\textbf {V}}_{O}+{\textbf {A}}_{O}\\0&0\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle [S]^{2}={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega {\textbf {d}}+{\textbf {V}}_{O}\\0&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}\Omega ^{2}&-\Omega ^{2}{\textbf {d}}+\Omega {\textbf {V}}_{O}\\0&0\end{bmatrix}}.}$

La fórmula para la aceleración A _P ahora se puede obtener como:

${\displaystyle {\textbf {A}}_{P}={\dot {\Omega }}({\textbf {P}}-{\textbf {d}})+{\textbf {A}}_{O}+\Omega ^{2}({\textbf {P}}-{\textbf {d}}),}$

o

${\displaystyle {\textbf {A}}_{P}=\alpha \times {\textbf {R}}_{P/O}+\omega \times \omega \times {\textbf {R}}_{P/O}+{\textbf {A}}_{O},}$

donde α es el vector de aceleración angular obtenido de la derivada de la matriz de velocidad angular;

${\displaystyle {\textbf {R}}_{P/O}={\textbf {P}}-{\textbf {d}},}$

es el vector de posición relativa (la posición de P con respecto al origen O del marco móvil M ); y

${\displaystyle {\textbf {A}}_{O}={\ddot {\textbf {d}}}}$

es la aceleración del origen del bastidor móvil M .

Restricciones cinemáticas

Las restricciones cinemáticas son restricciones sobre el movimiento de los componentes de un sistema mecánico. Se puede considerar que las restricciones cinemáticas tienen dos formas básicas, (i) restricciones que surgen de bisagras, deslizadores y juntas de leva que definen la construcción del sistema, llamadas restricciones holonómicas , y (ii) restricciones impuestas a la velocidad del sistema tales como la restricción de filo de cuchillo de los patines de hielo en un plano plano, o rodar sin deslizar un disco o esfera en contacto con un plano, que se denominan restricciones no holonómicas . Los siguientes son algunos ejemplos comunes.

Acoplamiento cinemático

Un acoplamiento cinemático restringe exactamente los 6 grados de libertad.

Rodar sin resbalar

Un objeto que rueda contra una superficie sin deslizarse obedece a la condición de que la velocidad de su centro de masa sea ​​igual al producto cruzado de su velocidad angular con un vector desde el punto de contacto hasta el centro de masa:

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{G}(t)={\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}}_{G/O}.}$

Para el caso de un objeto que no se vuelca ni gira, esto se reduce a .${\displaystyle v=r\omega }$

Cordón inextensible

Este es el caso en el que los cuerpos están conectados por una cuerda idealizada que permanece en tensión y no puede cambiar de longitud. La restricción es que la suma de las longitudes de todos los segmentos del cordón es la longitud total y, en consecuencia, la derivada en el tiempo de esta suma es cero. ^{[22] [23] [24]} Un problema dinámico de este tipo es el péndulo . Otro ejemplo es un tambor que se hace girar por la fuerza de la gravedad sobre un peso que cae y está sujeto a la llanta por la cuerda inextensible. ^[25] Un problema de equilibrio (es decir, no cinemático) de este tipo es la catenaria . ^[26]

Pares cinemáticos

Artículo principal: par cinemático

Reuleaux llamó a las conexiones ideales entre los componentes que forman una máquina de pares cinemáticos . Distinguió entre pares superiores de los que se decía que tenían contacto lineal entre los dos enlaces y pares inferiores que tenían contacto de área entre los enlaces. J. Phillips muestra que hay muchas formas de construir pares que no se ajustan a esta clasificación simple. ^[27]

Par inferior

Un par inferior es una articulación ideal, o restricción holonómica, que mantiene el contacto entre un punto, línea o plano en un cuerpo sólido (tridimensional) en movimiento y una línea de punto o plano correspondiente en el cuerpo sólido fijo. Existen los siguientes casos:

• Un par de revoluciones, o articulación articulada, requiere una línea o eje en el cuerpo en movimiento para permanecer colineal con una línea en el cuerpo fijo, y un plano perpendicular a esta línea en el cuerpo en movimiento mantiene contacto con un plano perpendicular similar. en el cuerpo fijo. Esto impone cinco restricciones al movimiento relativo de los eslabones, que por lo tanto tiene un grado de libertad, que es pura rotación alrededor del eje de la bisagra.
• Una articulación prismática, o deslizador, requiere que una línea, o eje, en el cuerpo móvil permanezca colineal con una línea en el cuerpo fijo, y un plano paralelo a esta línea en el cuerpo móvil mantenga contacto con un plano paralelo similar en el cuerpo fijo. Esto impone cinco restricciones al movimiento relativo de los enlaces, que por lo tanto tiene un grado de libertad. Este grado de libertad es la distancia del deslizamiento a lo largo de la línea.
• Una articulación cilíndrica requiere que una línea, o eje, en el cuerpo móvil permanezca colineal con una línea en el cuerpo fijo. Es una combinación de una articulación giratoria y una articulación deslizante. Esta articulación tiene dos grados de libertad. La posición del cuerpo en movimiento se define tanto por la rotación como por el deslizamiento a lo largo del eje.
• Una articulación esférica, o articulación de rótula, requiere que un punto del cuerpo móvil mantenga contacto con un punto del cuerpo fijo. Esta articulación tiene tres grados de libertad.
• Una articulación plana requiere que un plano del cuerpo en movimiento mantenga contacto con un plano del cuerpo fijo. Esta articulación tiene tres grados de libertad.

Pares superiores

En términos generales, un par superior es una restricción que requiere una curva o superficie en el cuerpo en movimiento para mantener contacto con una curva o superficie en el cuerpo fijo. Por ejemplo, el contacto entre una leva y su seguidor es un par superior llamado junta de leva . Del mismo modo, el contacto entre las curvas involutivas que forman los dientes de engrane de dos engranajes son juntas de leva.

Cadenas cinemáticas

Ilustración de un enlace de cuatro barras de http://en.wikisource.org/wiki/The_Kinematics_of_Machinery Kinematics of Machinery, 1876

Los cuerpos rígidos ("eslabones") conectados por pares cinemáticos ("articulaciones") se conocen como cadenas cinemáticas . Los mecanismos y robots son ejemplos de cadenas cinemáticas. El grado de libertad de una cadena cinemática se calcula a partir del número de eslabones y el número y tipo de articulaciones utilizando la fórmula de movilidad . Esta fórmula también se puede utilizar para enumerar las topologías de cadenas cinemáticas que tienen un determinado grado de libertad, lo que se conoce como síntesis de tipos en el diseño de máquinas.

Ejemplos

Los enlaces planos de un grado de libertad ensamblados a partir de enlaces N y bisagras j o juntas deslizantes son:

• N = 2, j = 1: un varillaje de dos barras que es la palanca;
• N = 4, j = 4: el enlace de cuatro barras ;
• N = 6, j = 7: un enlace de seis barras . Este debe tener dos eslabones ("eslabones ternarios") que soporten tres articulaciones. Hay dos topologías distintas que dependen de cómo se conectan los dos enlaces ternarios. En la topología de Watt , los dos enlaces ternarios tienen una articulación común; en la topología de Stephenson , los dos enlaces ternarios no tienen una unión común y están conectados por enlaces binarios. ^[28]
• N = 8, j = 10: enlace de ocho barras con 16 topologías diferentes;
• N = 10, j = 13: enlace de diez barras con 230 topologías diferentes;
• N = 12, j = 16: enlace de doce barras con 6856 topologías.

Para cadenas más grandes y sus topologías de enlace, consulte RP Sunkari y LC Schmidt, "Síntesis estructural de cadenas cinemáticas planas mediante la adaptación de un algoritmo de tipo Mckay", Mechanism and Machine Theory # 41, págs. 1021-1030 (2006).

Ver también

Absement Aceleración Mecánica analítica Mecánica Aplicada Mecánica celeste Fuerza centrípeta Mecanica clasica Distancia

Dinámica (física) Fuerza ficticia Cinemática directa Varillaje de cuatro barras Cinemática inversa Jerk (física) Leyes de Kepler

Acoplamiento cinemático Diagrama cinemático Síntesis cinemática Cinética (física) Movimiento (física) Mecánica orbital Estática Velocidad Cinemática integral

• Criterio de Chebychev-Grübler-Kutzbach

Referencias

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27. Phillips, Jack (2007). Freedom in Machinery, Volumes 1–2 (reimpresión ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-67331-0.
28. Tsai, Lung-Wen (2001). Diseño de mecanismos: enumeración de estructuras cinemáticas según su función (ed. Ilustrada). Prensa CRC. pag. 121. ISBN 978-0-8493-0901-4.

Lectura adicional

• Koetsier, Teun (1994), "§8.3 Cinemática", en Grattan-Guinness, Ivor (ed.), Enciclopedia complementaria de la historia y la filosofía de las ciencias matemáticas , 2 , Routledge , págs. 994–1001, ISBN 0-415-09239-6
• Luna, Francis C. (2007). Las Máquinas de Leonardo Da Vinci y Franz Reuleaux, Cinemática de Máquinas desde el Renacimiento hasta el Siglo XX . Saltador. ISBN 978-1-4020-5598-0.
• Estudio Eduard (1913) traductor DH Delphenich, "Fundamentos y objetivos de la cinemática analítica" .

Enlaces externos

Busque cinemática en Wiktionary, el diccionario gratuito.

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la cinemática .

• Subprograma Java de cinemática 1D
• Physclips: Mecánica con animaciones y videoclips de la Universidad de Nueva Gales del Sur.
• Biblioteca digital de modelos cinemáticos para el diseño (KMODDL) , con películas y fotos de cientos de modelos funcionales de sistemas mecánicos en la Universidad de Cornell y una biblioteca de libros electrónicos de textos clásicos sobre diseño e ingeniería mecánica.
• Posicionamiento de micro pulgadas con componentes cinemáticos