La ecuación de Klein-Gordon ( ecuación de Klein-Fock-Gordon o, a veces, ecuación de Klein-Gordon-Fock ) es una ecuación de onda relativista , relacionada con la ecuación de Schrödinger . Es de segundo orden en el espacio y el tiempo y manifiestamente covariante de Lorentz . Es una versión cuantificada de la relación relativista energía-momento . Sus soluciones incluyen un campo cuántico escalar o pseudoescalar , un campo cuyos cuantos son partículas sin espinas. Su relevancia teórica es similar a la de la ecuación de Dirac . [1] Se pueden incorporar interacciones electromagnéticas, formando el tema deelectrodinámica escalar , pero debido a que las partículas comunes sin espín, como los piones, son inestables y también experimentan una fuerte interacción (con un término de interacción desconocido en hamiltoniano , [2] ) la utilidad práctica es limitada.
La ecuación se puede poner en forma de ecuación de Schrödinger. De esta forma se expresa como dos ecuaciones diferenciales acopladas, cada una de primer orden en el tiempo. [3] Las soluciones tienen dos componentes, que reflejan el grado de libertad de la carga en relatividad. [3] [4] Admite una cantidad conservada, pero esta no es positiva definida. Por tanto, la función de onda no puede interpretarse como una amplitud de probabilidad . En cambio, la cantidad conservada se interpreta como carga eléctrica , y la norma al cuadrado de la función de onda se interpreta como una densidad de carga . La ecuación describe todas las partículas sin espín con carga positiva, negativa y cero.
Cualquier solución de la ecuación de Dirac libre es, para cada uno de sus cuatro componentes, una solución de la ecuación de Klein-Gordon libre. La ecuación de Klein-Gordon no forma la base de una teoría relativista cuántica consistente de una partícula . No se conoce tal teoría para partículas de cualquier espín. Para una reconciliación completa de la mecánica cuántica con la relatividad especial, se necesita la teoría cuántica de campos , en la que la ecuación de Klein-Gordon resurge como la ecuación obedecida por los componentes de todos los campos cuánticos libres. [nb 1] En la teoría cuántica de campos, las soluciones de las versiones libres (que no interactúan) de las ecuaciones originales todavía juegan un papel. Son necesarios para construir el espacio de Hilbert (espacio de Fock ) y para expresar campos cuánticos mediante el uso de conjuntos completos (conjuntos que abarcan el espacio de Hilbert) de funciones de onda.
Declaración
La ecuación de Klein-Gordon con parámetro de masa es
Las soluciones de la ecuación son funciones de valores complejos de la variable de tiempo y variables espaciales ; el laplaciano actúa solo sobre las variables de espacio.
La ecuación a menudo se abrevia como
donde μ = mc / ħ , y □ es el operador de d'Alembert , definido por
(Estamos usando la firma métrica (-, +, +, +) ).
La ecuación de Klein-Gordon a menudo se escribe en unidades naturales :
- .
La forma de la ecuación de Klein-Gordon se deriva al requerir que las soluciones de onda plana
de la ecuación obedecen a la relación energía-momento de la relatividad especial:
A diferencia de la ecuación de Schrödinger, la ecuación de Klein-Gordon admite dos valores de ω para cada k : uno positivo y otro negativo. Solo separando las partes de frecuencia positiva y negativa se obtiene una ecuación que describe una función de onda relativista. Para el caso independiente del tiempo, la ecuación de Klein-Gordon se convierte en
que es formalmente lo mismo que la ecuación de Poisson homogénea filtrada .
Historia
La ecuación recibió su nombre de los físicos Oskar Klein y Walter Gordon , quienes en 1926 propusieron que describía electrones relativistas. Otros autores que hicieron afirmaciones similares en ese mismo año fueron Vladimir Fock , Johann Kudar, Théophile de Donder y Frans-H. van den Dungen y Louis de Broglie . Aunque resultó que modelar el espín del electrón requería la ecuación de Dirac , la ecuación de Klein-Gordon describe correctamente las partículas compuestas relativistas sin espín , como el pión . El 4 de julio de 2012, la Organización Europea para la Investigación Nuclear CERN anunció el descubrimiento del bosón de Higgs . Dado que el bosón de Higgs es una partícula de espín cero, es la primera partícula ostensiblemente elemental observada descrita por la ecuación de Klein-Gordon. Se requiere más experimentación y análisis para discernir si el bosón de Higgs observado es el del Modelo Estándar o una forma más exótica, posiblemente compuesta.
La ecuación de Klein-Gordon fue considerada por primera vez como una ecuación de onda cuántica por Schrödinger en su búsqueda de una ecuación que describiera las ondas de De Broglie . La ecuación se encuentra en sus cuadernos de notas de finales de 1925, y parece haber preparado un manuscrito aplicándola al átomo de hidrógeno. Sin embargo, debido a que no toma en cuenta el espín del electrón, la ecuación predice incorrectamente la estructura fina del átomo de hidrógeno, incluida la sobreestimación de la magnitud general del patrón de división por un factor de4 n/2 n - 1para el n -ésimo nivel de energía. Sin embargo, el espectro relativista de la ecuación de Dirac se recupera fácilmente si el número cuántico de momento orbital l se reemplaza por el número cuántico de momento angular total j . [5] En enero de 1926, Schrödinger presentó para su publicación su ecuación, una aproximación no relativista que predice los niveles de energía de Bohr del hidrógeno sin una estructura fina .
En 1926, poco después de que se introdujera la ecuación de Schrödinger, Vladimir Fock escribió un artículo sobre su generalización para el caso de los campos magnéticos , donde las fuerzas dependían de la velocidad , y derivó de forma independiente esta ecuación. Tanto Klein como Fock utilizaron el método de Kaluza y Klein. Fock también determinó la teoría del gauge para la ecuación de onda . La ecuación de Klein-Gordon para una partícula libre tiene una solución de onda plana simple .
Derivación
La ecuación no relativista para la energía de una partícula libre es
Al cuantificar esto, obtenemos la ecuación de Schrödinger no relativista para una partícula libre:
dónde
es el operador de momento ( ∇ es el operador del ), y
es el operador energético .
La ecuación de Schrödinger adolece de no ser relativísticamente invariante , lo que significa que es incompatible con la relatividad especial .
Es natural intentar usar la identidad de la relatividad especial que describe la energía:
Entonces, simplemente insertando los operadores de la mecánica cuántica para el momento y la energía produce la ecuación
La raíz cuadrada de un operador diferencial se puede definir con la ayuda de las transformaciones de Fourier , pero debido a la asimetría de las derivadas del espacio y el tiempo, Dirac encontró imposible incluir campos electromagnéticos externos de una manera relativista invariante. Entonces buscó otra ecuación que pueda modificarse para describir la acción de las fuerzas electromagnéticas. Además, esta ecuación, tal como está, no es local (ver también Introducción a las ecuaciones no locales ).
En cambio, Klein y Gordon comenzaron con el cuadrado de la identidad anterior, es decir,
que, cuando se cuantifica, da
que simplifica a
Reordenamiento de los términos de rendimiento
Dado que se ha eliminado de esta ecuación toda referencia a números imaginarios, se puede aplicar a campos que tienen valor real , así como a aquellos que tienen valores complejos .
Reescribiendo los dos primeros términos usando la inversa de la métrica de Minkowski diag (- c 2 , 1, 1, 1) y escribiendo la convención de suma de Einstein explícitamente obtenemos
Por tanto, la ecuación de Klein-Gordon se puede escribir en notación covariante. Esto a menudo significa una abreviatura en forma de
dónde
y
Este operador se llama operador d'Alembert .
Hoy, esta forma se interpreta como la ecuación de campo relativista para partículas de espín -0. [3] Además, cualquier componente de cualquier solución de la ecuación de Dirac libre (para una partícula de espín-1/2 ) es automáticamente una solución de la ecuación de Klein-Gordon libre. Esto se generaliza a partículas de cualquier giro debido a las ecuaciones de Bargmann-Wigner . Además, en la teoría cuántica de campos , cada componente de cada campo cuántico debe satisfacer la ecuación libre de Klein-Gordon, [6] haciendo de la ecuación una expresión genérica de campos cuánticos.
Ecuación de Klein-Gordon en un potencial
La ecuación de Klein-Gordon se puede generalizar para describir un campo en algún potencial V ( ψ ) como [7]
Corriente conservada
La corriente conservada asociada a la simetría U (1) de un campo complejo satisfacer la ecuación de Klein-Gordon dice
La forma de la corriente conservada se puede derivar sistemáticamente aplicando el teorema de Noether a la simetría U (1). No lo haremos aquí, simplemente daremos una prueba de que esta corriente conservada es correcta.
De la ecuación de Klein-Gordon para un campo complejo de masa , escrito en notación covariante
y su complejo conjugado
tenemos, multiplicando por la izquierda respectivamente por y (y omitiendo por brevedad el explícito dependencia),
Restando el primero del segundo, obtenemos
entonces también sabemos
de donde obtenemos la ley de conservación para el campo Klein-Gordon:
Solución relativista de partículas libres
La ecuación de Klein-Gordon para una partícula libre se puede escribir como
Buscamos soluciones de onda plana de la forma
para alguna frecuencia angular constante ω ∈ ℝ y un número de onda k ∈ ℝ 3 . La sustitución da la relación de dispersión
Energía y el momento se observa que son proporcionales a Ohmio y k :
Entonces, la relación de dispersión es solo la ecuación relativista clásica:
Para partículas sin masa, podemos establecer m = 0 , recuperando la relación entre energía y momento para partículas sin masa:
Acción
La ecuación de Klein-Gordon también se puede derivar mediante un método variacional , considerando la acción [ dudoso ]
donde ψ es el campo de Klein-Gordon y m es su masa. El conjugado complejo de ψ se escribe ψ . Si el campo escalar se toma como valor real, entonces ψ = ψ , y se acostumbra introducir un factor de 1/2 para ambos términos.
Aplicando la fórmula del tensor de esfuerzo-energía de Hilbert a la densidad lagrangiana (la cantidad dentro de la integral), podemos derivar el tensor de esfuerzo-energía del campo escalar. Es
Mediante la integración de la componente de tiempo-tiempo T 00 en todo el espacio, se puede demostrar que las soluciones de onda plana de frecuencia positiva y negativa pueden asociarse físicamente con partículas con energía positiva . Este no es el caso de la ecuación de Dirac y su tensor de energía-momento. [3]
Límite no relativista
Campo clásico
Tomando el límite no relativista ( v << c ) de un campo clásico de Klein-Gordon ψ ( x , t) comienza con el ansatz que factoriza el término de energía de masa oscilatoria en reposo ,
Definiendo la energía cinética , en el límite no relativista v ~ p << c , y por lo tanto
Al aplicar esto se obtiene el límite no relativista de la derivada de la segunda ,
Sustituyendo en la ecuación libre de Klein-Gordon, , rinde
que (dividiendo el exponencial y restando el término de masa) se simplifica a
Este es un campo clásico de Schrödinger .
Campo cuántico
El límite análogo de un campo cuántico de Klein-Gordon se complica por la no conmutatividad del operador de campo. En el límite v << c , los operadores de creación y aniquilación se desacoplan y se comportan como campos cuánticos independientes de Schrödinger .
Interacción electromagnética
Hay una forma sencilla de hacer que cualquier campo interactúe con el electromagnetismo de una manera invariante de calibre : reemplace los operadores derivados con los operadores derivados covariantes de calibre. Esto se debe a que para mantener la simetría de las ecuaciones físicas para la función de ondabajo una transformación de ancho local U (1), dónde es un ángulo de fase localmente variable, cuya transformación redirige la función de onda en el espacio de fase complejo definido por , se requiere que los derivados ordinarios ser reemplazado por derivados covariantes de calibre , mientras que los campos de indicador se transforman como . Con la firma métrica (-, +, +, +), la ecuación de Klein-Gordon se convierte en
en unidades naturales , donde A es el potencial vectorial. Si bien es posible agregar muchos términos de orden superior, por ejemplo,
estos términos no son renormalizables en 3 + 1 dimensiones.
La ecuación de campo para un campo escalar cargado se multiplica por i , [ aclaración necesaria ] lo que significa que el campo debe ser complejo. Para que un campo se cargue, debe tener dos componentes que puedan rotar entre sí, la parte real y la imaginaria.
La acción de un escalar cargado sin masa es la versión covariante de la acción sin carga:
Interacción gravitacional
En la relatividad general , incluimos el efecto de la gravedad reemplazando las derivadas parciales con covariantes , y la ecuación de Klein-Gordon se convierte (en la firma mayoritariamente positiva ) [8]
o equivalente,
donde g αβ es la inversa del tensor métrico que es el campo de potencial gravitacional, g es el determinante del tensor métrico, ∇ μ es la derivada covariante y Γ σ μν es el símbolo de Christoffel que es el campo de fuerza gravitacional .
Ver también
- Ecuación de Dirac
- Teoría cuántica de campos
- Interacción cuartica
- Ecuaciones de onda relativistas
- Ecuación de Rarita-Schwinger
- Teoría del campo escalar
- Ecuación seno-Gordon
Observaciones
- ^ Steven Weinberg hace hincapié en esto. Deja de lado el tratamiento de la mecánica de ondas relativista en su introducción por lo demás completa a las aplicaciones modernas de la mecánica cuántica, explicando: "Me parece que la forma en que esto se presenta generalmente en los libros sobre mecánica cuántica es profundamente engañosa". (Del prefacio en Lectures on Quantum Mechanics , refiriéndose a los tratamientos de la ecuación de Dirac en su sabor original.)
Otros, como lo hace Walter Greiner en su serie sobre física teórica, dan una descripción completa del desarrollo histórico y la visión de la mecánica cuántica relativista. antes de llegar a la interpretación moderna, con la justificación de que es muy deseable o incluso necesario desde un punto de vista pedagógico tomar el camino largo.
Notas
- ^ Bruto 1993 .
- ^ Greiner y Müller 1994 .
- ↑ a b c d Greiner 2000 , Cap. 1.
- ^ Feshbach y Villars, 1958 .
- ^ Ver Itzykson, C .; Zuber, J.-B. (1985). Teoría cuántica de campos . McGraw-Hill. págs. 73–74 . ISBN 0-07-032071-3.Eq. 2,87 es idéntico a la ecuación. 2.86, excepto que presenta j en lugar de l .
- ^ Weinberg 2002 , cap. 5.
- ^ David Tong, Conferencias sobre teoría cuántica de campos , Conferencia 1, Sección 1.1.1.
- ^ Fulling, SA (1996). Aspectos de la teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 117. ISBN 0-07-066353-X.
Referencias
- Davydov, AS (1976). Mecánica cuántica, 2ª edición . Pergamon Press . ISBN 0-08-020437-6.
- Feshbach, H .; Villars, F. (1958). "Mecánica de ondas relativista elemental de espín 0 y espín 1/2 partículas". Reseñas de Física Moderna . 30 (1): 24–45. Código Bibliográfico : 1958RvMP ... 30 ... 24F . doi : 10.1103 / RevModPhys.30.24 .
- Gordon, Walter (1926). "Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie". Zeitschrift für Physik . 40 (1–2): 117. Bibcode : 1926ZPhy ... 40..117G . doi : 10.1007 / BF01390840 . S2CID 122254400 .
- Greiner, W. (2000). Mecánica cuántica relativista. Ecuaciones de onda (3ª ed.). Springer Verlag . ISBN 3-5406-74578.
- Greiner, W .; Müller, B. (1994). Mecánica cuántica: simetrías (2ª ed.). Saltador. ISBN 978-3540580805.
- Gross, F. (1993). Mecánica cuántica relativista y teoría de campos (1ª ed.). Wiley-VCH . ISBN 978-0471591139.
- Klein, O. (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift für Physik . 37 (12): 895. bibcode : 1926ZPhy ... 37..895K . doi : 10.1007 / BF01397481 .
- Sakurai, JJ (1967). Mecánica cuántica avanzada . Addison Wesley . ISBN 0-201-06710-2.
- Weinberg, S. (2002). La teoría cuántica de los campos . Yo . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-55001-7.
enlaces externos
- "Ecuación de Klein-Gordon" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Ecuación de Klein-Gordon" . MathWorld .
- Ecuación lineal de Klein-Gordon en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
- Ecuación no lineal de Klein-Gordon en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
- Introducción a las ecuaciones no locales .