En análisis matemático , el teorema de inversión de Lagrange , también conocido como fórmula de Lagrange-Bürmann , da la expansión de la serie de Taylor de la función inversa de una función analítica .
Declaración
Suponga que z se define como una función de w mediante una ecuación de la forma
donde f es analítica en un punto de una yEntonces es posible invertir o resolver la ecuación para w , expresándola en la formadado por una serie de potencias [1]
dónde
El teorema establece además que esta serie tiene un radio de convergencia distinto de cero, es decir, representa una función analítica de z en una vecindad deA esto también se le llama reversión de serie .
Si se omiten las afirmaciones sobre analiticidad, la fórmula también es válida para series de potencias formales y se puede generalizar de varias formas: se puede formular para funciones de varias variables; se puede ampliar para proporcionar una fórmula lista para F ( g ( z )) para cualquier función analítica F ; y se puede generalizar al casodonde la inversa g es una función multivalor.
El teorema fue probado por Lagrange [2] y generalizado por Hans Heinrich Bürmann , [3] [4] [5] ambos a finales del siglo XVIII. Existe una derivación sencilla utilizando análisis complejos e integración de contornos ; [6] la versión formal compleja de series de potencia es una consecuencia de conocer la fórmula de los polinomios , por lo que se puede aplicar la teoría de funciones analíticas . En realidad, la maquinaria de la teoría de la función analítica entra solo de manera formal en esta prueba, en el sentido de que lo que realmente se necesita es alguna propiedad del residuo formal , y se dispone de una prueba formal más directa .
Si f es una serie de potencias formales, entonces la fórmula anterior no da los coeficientes de la serie inversa composicional g directamente en términos de los coeficientes de la serie f . Si se pueden expresar las funciones f y g en series formales de potencias como
con f 0 = 0 y f 1 ≠ 0 , entonces se puede dar una forma explícita de coeficientes inversos en términos de polinomios de Bell : [7]
dónde
es el factorial ascendente .
Cuando f 1 = 1 , la última fórmula se puede interpretar en términos de las caras de losedros asociados [8]
dónde para cada rostro del asociaedro
Ejemplo
Por ejemplo, la ecuación algebraica de grado p
se puede resolver para x mediante la fórmula de inversión de Lagrange para la función f ( x ) = x - x p , resultando en una solución formal en serie
Por las pruebas de convergencia, esta serie es de hecho convergente para que también es el disco más grande en el que se puede definir un inverso local af .
Aplicaciones
Fórmula de Lagrange-Bürmann
Existe un caso especial del teorema de inversión de Lagrange que se usa en combinatoria y se aplica cuando para algunos analíticos con Llevar para obtener Entonces por lo inverso (satisfactorio ), tenemos
que se puede escribir alternativamente como
dónde es un operador que extrae el coeficiente de en la serie de Taylor de una función de w .
Una generalización de la fórmula se conoce como fórmula de Lagrange-Bürmann :
donde H es una función analítica arbitraria.
A veces, la derivada H ′ ( w ) puede ser bastante complicada. Una versión más simple de la fórmula reemplaza H ′ ( w ) con H ( w ) (1 - φ ′ ( w ) / φ ( w )) para obtener
lo que implica φ ′ ( w ) en lugar de H ′ ( w ) .
Función Lambert W
La función Lambert W es la función que está implícitamente definido por la ecuación
Podemos usar el teorema para calcular la serie de Taylor de a Nosotros tomamos y Reconociendo que
esto da
El radio de convergencia de esta serie es(dando la rama principal de la función de Lambert).
Una serie que converge para una z mayor (aunque no para toda z ) también se puede derivar mediante inversión de series. La función satisface la ecuación
Luego se puede expandir en una serie de potencia e invertir. Esto da una serie para
se puede calcular sustituyendo para z en la serie anterior. Por ejemplo, sustituir −1 por z da el valor de
Árboles binarios
Considere el conjunto de árboles binarios sin etiquetar . Un elemento dees una hoja de tamaño cero o un nodo raíz con dos subárboles. Denotamos por el número de árboles binarios en nodos.
Quitar la raíz divide un árbol binario en dos árboles de menor tamaño. Esto produce la ecuación funcional de la función generadora
Dejando , uno tiene así Aplicando el teorema con rendimientos
Esto muestra que es el n º número catalán .
Aproximación asintótica de integrales
En el teorema de Laplace-Erdelyi que da la aproximación asintótica para integrales de tipo Laplace, la función de inversión se toma como un paso crucial.
Ver también
- La fórmula de Faà di Bruno da coeficientes de la composición de dos series formales de potencia en términos de los coeficientes de esas dos series. De manera equivalente, es una fórmula para el n º derivada de una función compuesta.
- Teorema de reversión de Lagrange para otro teorema a veces llamado teorema de inversión
- Serie de poder formal # La fórmula de inversión de Lagrange
Referencias
- ^ M. Abramowitz; IA Stegun, eds. (1972). "3.6.6. Expansión de Lagrange". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Nueva York: Dover. pag. 14.
- ^ Lagrange, Joseph-Louis (1770). "Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries" . Histoire de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin : 251–326. https://archive.org/details/uvresdelagrange18natigoog/page/n13 (Nota: aunque Lagrange envió este artículo en 1768, no se publicó hasta 1770).
- ^ Bürmann, Hans Heinrich, "Essai de calcul fonctionnaire aux constantes ad-libitum", presentado en 1796 al Institut National de France. Para obtener un resumen de este artículo, consulte: Hindenburg, Carl Friedrich, ed. (1798). "Versuch einer vereinfachten Analysis; ein Auszug eines Auszuges von Herrn Bürmann" [Intento de un análisis simplificado; un extracto de un compendio del Sr. Bürmann]. Archiv der reinen und angewandten Mathematik [ Archivo de matemáticas puras y aplicadas ]. 2 . Leipzig, Alemania: Schäferischen Buchhandlung. págs. 495–499.
- ↑ Bürmann, Hans Heinrich, "Formules du développement, de retour et d'integration", presentado al Institut National de France. El manuscrito de Bürmann sobrevive en los archivos de la École Nationale des Ponts et Chaussées [Escuela Nacional de Puentes y Carreteras] en París. (Ver ms. 1715.)
- ^ Un informe sobre el teorema de Bürmann por Joseph-Louis Lagrange y Adrien-Marie Legendre aparece en: "Rapport sur deux mémoires d'analyse du professeur Burmann", Mémoires de l'Institut National des Sciences et Arts: Sciences Mathématiques et Physiques , vol. 2, páginas 13-17 (1799).
- ^ ET Whittaker y GN Watson . Un curso de análisis moderno . Prensa de la Universidad de Cambridge; 4ª edición (2 de enero de 1927), págs. 129–130
- ↑ Eqn (11.43), pág. 437, CA Charalambides, Combinatoria enumerativa, Chapman & Hall / CRC, 2002
- ^ Aguiar, Marcelo; Ardila, Federico (2017). "Monoides de Hopf y permutaedros generalizados". arXiv : 1709.07504 [ math.CO ].
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Bürmann" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Reversión de la serie" . MathWorld .
- Serie Bürmann – Lagrange en Springer EOM