En matemáticas , la función W de Lambert , también llamada función omega o logaritmo del producto , es una función multivalor , es decir, las ramas de la relación inversa de la función f ( w ) = we w , donde w es cualquier número complejo y e w es la función exponencial .
Para cada entero k hay una rama, denotada por W k ( z ) , que es una función de valor complejo de un argumento complejo. W 0 se conoce como rama principal . Estas funciones tienen la siguiente propiedad: si z y w son números complejos, entonces
se sostiene si y solo si
Cuando se trata de números reales solamente, las dos ramas W 0 y W -1 suficiente: para números reales x y y la ecuación
se puede resolver para y solo si x ≥ -1/mi; obtenemos y = W 0 ( x ) si x ≥ 0 y los dos valores y = W 0 ( x ) e y = W −1 ( x ) si - 1/mi≤ x <0 .
La relación de Lambert W no se puede expresar en términos de funciones elementales . [1] Es útil en combinatoria , por ejemplo, en la enumeración de árboles . Se puede usar para resolver varias ecuaciones que involucran exponenciales (por ejemplo, los máximos de las distribuciones de Planck , Bose-Einstein y Fermi-Dirac ) y también ocurre en la solución de ecuaciones diferenciales de retardo , como y ′ ( t ) = a y ( t - 1) . En bioquímica , y en particular cinética enzimática , se describe una solución de forma abierta para el análisis cinético del curso temporal de la cinética de Michaelis-Menten en términos de la función W de Lambert .
Terminología
La función Lambert W lleva el nombre de Johann Heinrich Lambert . La rama principal W 0 se denota Wp en la Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas , y la rama W −1 se denota Wm allí.
La convención de notación elegida aquí (con W 0 y W −1 ) sigue la referencia canónica sobre la función W de Lambert de Corless, Gonnet, Hare, Jeffrey y Knuth . [2]
El nombre "logaritmo de producto" se puede entender así: dado que la función inversa de f ( w ) = e w se llama logaritmo , tiene sentido llamar a la función inversa del producto que w w como "logaritmo de producto". Está relacionado con la constante Omega , que es igual a W 0 (1) .
Historia
Lambert consideró por primera vez la ecuación trascendental de Lambert relacionada en 1758, [3] que condujo a un artículo de Leonhard Euler en 1783 [4] que discutía el caso especial de we w .
La función que Lambert consideró fue
Euler transformó esta ecuación en la forma
Ambos autores derivaron una solución en serie para sus ecuaciones.
Una vez que Euler resolvió esta ecuación, consideró el caso a = b . Tomando límites, derivó la ecuación
Luego puso a = 1 y obtuvo una solución en serie convergente para la ecuación resultante, expresando x en términos de c .
Después de tomar derivadas con respecto a xy alguna manipulación, se obtiene la forma estándar de la función de Lambert.
En 1993, cuando se informó que la función Lambert W proporciona una solución exacta al modelo de la función delta de Dirac de doble pozo de la mecánica cuántica para cargas iguales, un problema fundamental en física, Corless y los desarrolladores del sistema de álgebra computacional Maple crearon una biblioteca búsqueda y descubrió que esta función era de naturaleza omnipresente. [2] [5]
Otro ejemplo donde se encuentra esta función es en la cinética de Michaelis-Menten .
Aunque era de conocimiento popular que la función de Lambert W no se puede expresar en términos de funciones elementales (Liouvillian), la primera prueba publicada no apareció hasta 2008. [6]
Propiedades elementales, ramas y rango
Hay muchas ramas contables de la función W , denotadas por W k ( z ) , para el entero k ; W 0 ( z ) es la rama principal (o principal). W 0 ( z ) se define para todos los números complejos z, mientras que W k ( z ) con k ≠ 0 se define para todos los z distintos de cero . Tenemos W 0 (0) = 0 y W k ( z ) = −∞ para todo k ≠ 0 .
El punto de bifurcación de la bifurcación principal está en z = - 1/mi, con un corte de rama que se extiende hasta −∞ a lo largo del eje real negativo. Este corte de rama separa la rama principal de las dos ramas W -1 y W 1 . En todas las ramas W k con k ≠ 0 , hay un punto de rama en z = 0 y una rama cortada a lo largo de todo el eje real negativo.
Las funciones W k ( z ), k ∈ Z son todas inyectivas y sus rangos son disjuntos. El rango de toda la función multivalor W es el plano complejo. La imagen del eje real es la unión del eje real y la cuadratriz de Hipias , la curva paramétrica w = - t cot t + it .
Inverso
El gráfico de rango anterior también delinea las regiones en el plano complejo donde la relación inversa simple es verdad. f = ze z implica que existe una n tal que, donde n depende del valor de z . El valor del entero n cambia abruptamente cuando ze z está en el corte de rama de, lo que significa que ze z ≤ 0 , excepto paradonde es ze z ≤ −1 / e .
Definiendo , Donde x e y son reales, y expresando e z en coordenadas polares, se ve que
Para , la rama cortada para es el eje real no positivo, de modo que
y
Para , la rama cortada para es el eje real con , de modo que la desigualdad se convierta
Dentro de las regiones delimitadas por lo anterior, no hay cambios discontinuos en , y esas regiones especifican dónde la función W es simplemente invertible, es decir.
Cálculo
Derivado
Por diferenciación implícita , se puede demostrar que todas las ramas de W satisfacen la ecuación diferencial
( W no es diferenciable para z = - 1/mi.) Como consecuencia, obtenemos la siguiente fórmula para la derivada de W :
Usando la identidad e W ( z ) = z/W ( z ), obtenemos la siguiente fórmula equivalente:
En el origen tenemos
Integral
La función W ( x ) , y muchas expresiones que involucran a W ( x ) , se pueden integrar usando la sustitución w = W ( x ) , es decir, x = we w :
(La última ecuación es más común en la literatura pero no está definida en x = 0 ). Una consecuencia de esto (usando el hecho de que W 0 ( e ) = 1 ) es la identidad
Expansiones asintóticas
La serie de Taylor de W 0 alrededor de 0 se puede encontrar utilizando el teorema de inversión de Lagrange y está dada por
El radio de convergencia es1/mi, como puede verse en la prueba de razón . La función definida por esta serie se puede extender a una función holomórfica definida en todos los números complejos con una rama cortada a lo largo del intervalo (−∞, - 1/mi] ; esta función holomórfica define la rama principal de la función W de Lambert .
Para valores grandes de x , W 0 es asintótico a
donde L 1 = ln x , L 2 = ln ln x , y [l + m
l + 1] es unnúmero de Stirlingno negativodel primer tipo. [2] Manteniendo solo los dos primeros términos de la expansión,
La otra rama real, W −1 , definida en el intervalo [- 1/mi, 0) , tiene una aproximación de la misma forma cuando x tiende a cero, en este caso L 1 = ln (- x ) y L 2 = ln (−ln (- x )) . [2]
Poderes enteros y complejos
Las potencias enteras de W 0 también admiten expansiones de series simples de Taylor (o Laurent ) en cero:
Más en general, para r ∈ ℤ , la fórmula de inversión de Lagrange da
que es, en general, una serie de Laurent de orden r . De manera equivalente, este último se puede escribir en forma de una expansión de Taylor de potencias de W 0 ( x ) / x :
que se cumple para cualquier r ∈ ℂ y | x | < 1/mi.
Límites y desigualdades
Se conocen varios límites no asintóticos para la función de Lambert.
Hoorfar y Hassani [7] demostraron que el siguiente límite se cumple para x ≥ e :
También mostraron el límite general
para cada y , con igualdad solo para . El límite permite que se establezcan muchos otros límites, como tomar que da el límite
En 2013 se comprobó [8] que la rama W −1 se puede delimitar de la siguiente manera:
Identidades
Algunas identidades se derivan de la definición:
Tenga en cuenta que, dado que f ( x ) = xe x no es inyectivo , no siempre se sostiene que W ( f ( x )) = x , al igual que con las funciones trigonométricas inversas . Para x <0 y x ≠ −1 fijos , la ecuación xe x = ye y tiene dos soluciones en y , una de las cuales es, por supuesto, y = x . Entonces, para i = 0 y x <−1 , así como para i = −1 y x ∈ (−1, 0) , y = W i ( xe x ) es la otra solución.
Algunas otras identidades: [9]
- [10]
- (que se puede extender a otros n y x si se elige la rama correcta).
Sustituyendo −ln x en la definición:
Con la exponencial iterada de Euler h ( x ) :
Valores especiales
Para cualquier número x algebraico distinto de cero , W ( x ) es un número trascendental . De hecho, si W ( x ) es cero, entonces x debe ser cero también, y si W ( x ) es distinto de cero y algebraico, entonces, según el teorema de Lindemann-Weierstrass , e W ( x ) debe ser trascendental, lo que implica que x = W ( x ) e W ( x ) también debe ser trascendental.
Los siguientes son valores especiales de la rama principal:
- (la constante omega ).
Representaciones
La rama principal de la función de Lambert se puede representar mediante una integral propia, debido a Poisson: [11]
En el dominio más amplio - 1/mi≤ x ≤ e , la representación considerablemente más simple la encuentra Mező: [12]
El mismo autor encontró otra representación de la rama principal: [13]
La siguiente representación de fracción continua también es válida para la rama principal: [14]
Además, si | W ( z ) | <1 : [15]
A su vez, si | W ( z ) | > e , entonces
Otras fórmulas
Integrales definidas
Hay varias fórmulas integrales definidas útiles que involucran la rama principal de la función W , incluidas las siguientes:
La primera identidad se puede encontrar escribiendo la integral gaussiana en coordenadas polares .
La segunda identidad se puede derivar haciendo la sustitución u = W ( x ) , que da
Por lo tanto
La tercera identidad puede derivarse de la segunda haciendo la sustitución u = x −2 y la primera también puede derivarse de la tercera por la sustitución z = 1/√ 2tan x .
Excepto por z a lo largo del corte de la rama (−∞, - 1/mi] (donde la integral no converge), la rama principal de la función W de Lambert se puede calcular mediante la siguiente integral: [16]
donde las dos expresiones integrales son equivalentes debido a la simetría del integrando.
Integrales indefinidas
Primera prueba |
---|
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2da prueba |
---|
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Prueba |
---|
|
Prueba |
---|
|
Aplicaciones
Resolver ecuaciones
La función W de Lambert se utiliza para resolver ecuaciones en las que la incógnita aparece tanto en la base como en el exponente, o tanto dentro como fuera de un logaritmo. La estrategia es convertir dicha ecuación en una de la forma ze z = w y luego resolver para z . utilizando la función W.
Por ejemplo, la ecuación
(donde x es un número real desconocido) se puede resolver reescribiéndolo como
Esta última ecuación tiene la forma deseada y las soluciones para x real son:
y por lo tanto:
Generalmente, la solución a
es:
donde una , b , y c son constantes complejas, con b y c no es igual a cero, y el W función es de cualquier orden entero.
Flujos viscosos
Los frentes y depósitos de flujo granular y de escombros, y los frentes de fluidos viscosos en eventos naturales y en experimentos de laboratorio se pueden describir utilizando la función omega de Lambert-Euler de la siguiente manera:
donde H ( x ) es la altura del flujo de escombros, x es la posición del canal aguas abajo, L es el parámetro del modelo unificado que consta de varios parámetros físicos y geométricos del flujo, la altura del flujo y el gradiente de presión hidráulica.
En el flujo de tubería , la función W de Lambert es parte de la formulación explícita de la ecuación de Colebrook para encontrar el factor de fricción de Darcy . Este factor se utiliza para determinar la caída de presión a través de un tramo recto de tubería cuando el flujo es turbulento . [17]
Neuroimagen
La función Lambert W se empleó en el campo de la neuroimagen para vincular el flujo sanguíneo cerebral y los cambios en el consumo de oxígeno dentro de un vóxel cerebral, con la correspondiente señal dependiente del nivel de oxigenación sanguínea (BOLD). [18]
Ingeniería Química
La función Lambert W se empleó en el campo de la ingeniería química para modelar el espesor de la película porosa del electrodo en un supercondensador a base de carbono vítreo para el almacenamiento de energía electroquímica. La función Lambert W resultó ser la solución exacta para un proceso de activación térmica en fase gaseosa donde el crecimiento de la película de carbono y la combustión de la misma película compiten entre sí. [19] [20]
Ciencia de los Materiales
La función Lambert W se empleó en el campo del crecimiento de la película epitaxial para la determinación del espesor crítico de la película de inicio de la dislocación . Este es el espesor calculado de una película epitaxial, donde debido a principios termodinámicos la película desarrollará dislocaciones cristalográficas para minimizar la energía elástica almacenada en las películas. Antes de la aplicación de Lambert W para este problema, el espesor crítico tenía que determinarse resolviendo una ecuación implícita. Lambert W lo convierte en una ecuación explícita para un manejo analítico con facilidad. [21]
Medios porosos
La función Lambert W se ha empleado en el campo del flujo de fluidos en medios porosos para modelar la inclinación de una interfaz que separa dos fluidos segregados por gravedad en un lecho poroso inclinado homogéneo de inmersión y espesor constantes donde el fluido más pesado, inyectado en el extremo inferior desplaza el líquido del encendedor que se produce a la misma velocidad desde el extremo superior. La rama principal de la solución corresponde a los desplazamientos estables, mientras que la rama -1 se aplica si el desplazamiento es inestable con el fluido más pesado corriendo por debajo del fluido más ligero. [22]
Números de Bernoulli y género Todd
La ecuación (vinculada con las funciones generadoras de los números de Bernoulli y el género Todd ):
se puede resolver mediante las dos ramas reales W 0 y W −1 :
Esta aplicación muestra que la diferencia de rama de la función W se puede emplear para resolver otras ecuaciones trascendentales. [23]
Estadísticas
El centroide de un conjunto de histogramas definidos con respecto a la divergencia simétrizada de Kullback-Leibler (también llamada divergencia de Jeffreys [24] ) tiene una forma cerrada utilizando la función W de Lambert . [25]
Agrupación de pruebas para enfermedades infecciosas
Resolver el tamaño de grupo óptimo para agrupar las pruebas de modo que al menos un individuo esté infectado implica la función de Lambert W. [26] [27] [28]
Soluciones exactas de la ecuación de Schrödinger
La función Lambert W aparece en un potencial mecánico-cuántico, que proporciona el quinto - junto a los del oscilador armónico más el centrífugo, el Coulomb más el cuadrado inverso, el Morse y el potencial de la raíz cuadrada inversa - solución exacta al estacionario- ecuación dimensional de Schrödinger en términos de las funciones hipergeométricas confluentes. El potencial se da como
Una peculiaridad de la solución es que cada una de las dos soluciones fundamentales que componen la solución general de la ecuación de Schrödinger viene dada por una combinación de dos funciones hipergeométricas confluentes de un argumento proporcional a [29]
La función Lambert W también aparece en la solución exacta para la energía del estado ligado de la ecuación unidimensional de Schrödinger con un potencial delta doble .
Soluciones exactas de las ecuaciones del vacío de Einstein
En la solución métrica de Schwarzschild de las ecuaciones de vacío de Einstein, se necesita la función W para ir de las coordenadas de Eddington-Finkelstein a las coordenadas de Schwarzschild. Por esta razón, también aparece en la construcción de las coordenadas Kruskal-Szekeres .
Resonancias del potencial delta-shell
Las resonancias de la onda S del potencial delta-shell se pueden escribir exactamente en términos de la función W de Lambert . [30]
Equilibrio termodinámico
Si una reacción involucra reactivos y productos que tienen capacidades caloríficas que son constantes con la temperatura, entonces la constante de equilibrio K obedece
para algunas constantes a , b , y c . Cuando c (igual aΔ C p/R) No es cero, podemos encontrar el valor o valores de T , donde K es igual a un valor dado de la siguiente manera, donde utilizamos L para ln T .
Si una y ç tienen el mismo signo, ya sea que habrá dos soluciones o ninguna (o uno si el argumento de W es exactamente - 1/mi). (La solución superior puede no ser relevante). Si tienen signos opuestos, habrá una solución.
Separación de fases de mezclas de polímeros
En el cálculo del diagrama de fases de mezclas de polímeros termodinámicamente incompatibles según el modelo de Edmond-Ogston , las soluciones para líneas binodales y de unión se formulan en términos de funciones de Lambert W. [31]
Ley de desplazamiento de Wien en un universo de dimensión D
La ley de desplazamiento de Wien se expresa como . Con y , dónde es la densidad de energía de energía espectral, se encuentra . La soluciónmuestra que la densidad de energía espectral depende de la dimensionalidad del universo. [32]
Correspondencia AdS / CFT
Las correcciones clásicas de tamaño finito a las relaciones de dispersión de magnones gigantes , picos individuales y cadenas de GKP se pueden expresar en términos de la función W de Lambert . [33] [34]
Epidemiología
En el límite t → ∞ del modelo SIR , la proporción de individuos susceptibles y recuperados tiene una solución en términos de la función W de Lambert . [35]
Determinación del tiempo de vuelo de un proyectil.
El tiempo total del viaje de un proyectil que experimenta una resistencia del aire proporcional a su velocidad se puede determinar en forma exacta utilizando la función W de Lambert .
Propagación de ondas superficiales electromagnéticas
La ecuación trascendental que aparece en la determinación del número de onda de propagación de una onda superficial electromagnética simétrica axialmente (un modo TM01 único de baja atenuación) que se propaga en un cable metálico cilíndrico da lugar a una ecuación como u ln u = v (donde u y v agrupar los factores geométricos y físicos del problema), que se resuelve mediante la función W de Lambert . La primera solución a este problema, debida a Sommerfeld alrededor de 1898, ya contenía un método iterativo para determinar el valor de la función W de Lambert . [36]
Generalizaciones
La función estándar de Lambert W expresa soluciones exactas a ecuaciones algebraicas trascendentales (en x ) de la forma:
( 1 )
donde un 0 , c y r son constantes reales. La solucion es
Las generalizaciones de la función W de Lambert [37] [38] [39] incluyen:
- Una aplicación a la relatividad general y la mecánica cuántica ( gravedad cuántica ) en dimensiones inferiores, de hecho un vínculo (desconocido antes de 2007 [40] ) entre estas dos áreas, donde el lado derecho de ( 1 ) se reemplaza por un polinomio cuadrático en x :
( 2 )
- donde r 1 y r 2 son constantes reales distintas, las raíces del polinomio cuadrático. Aquí, la solución es una función que tiene un solo argumento x pero los términos como r i y a 0 son parámetros de esa función. A este respecto, la generalización se asemeja a la hipergeométrica función y la Meijer G función pero pertenece a una diferente clase de funciones. Cuando r 1 = r 2 , ambos lados de ( 2 ) se pueden factorizar y reducir a ( 1 ) y, por lo tanto, la solución se reduce a la de la función W estándar . La ecuación ( 2 ) expresa la ecuación que gobierna el campo de dilatón , de la cual se deriva la métrica del problema de gravedad R = T o lineal de dos cuerpos en dimensiones 1 + 1 (una dimensión espacial y una dimensión temporal) para el caso de descanso desigual. masas, así como las energías propias del modelo de función delta de Dirac de doble pozo de la mecánica cuántica para cargas desiguales en una dimensión.
- Soluciones analíticas de las energías propias de un caso especial del problema de la mecánica cuántica de los tres cuerpos , a saber, el ion-molécula de hidrógeno (tridimensional) . [41] Aquí, el lado derecho de ( 1 ) se reemplaza por una razón de polinomios de orden infinito en x :
( 3 )
- donde r i y s i son constantes reales distintos y x es una función de la eigenenergy y la distancia internuclear R . La ecuación ( 3 ) con sus casos especializados expresados en ( 1 ) y ( 2 ) está relacionada con una gran clase de ecuaciones diferenciales de retardo . La noción de GH Hardy de una "derivada falsa" proporciona raíces múltiples exactas a casos especiales de ( 3 ). [42]
Las aplicaciones de la función W de Lambert en problemas físicos fundamentales no se agotan incluso para el caso estándar expresado en ( 1 ) como se ha visto recientemente en el área de la física atómica, molecular y óptica . [43]
Parcelas
z = Re ( W 0 ( x + iy ))
z = Im ( W 0 ( x + iy ))
z = | W 0 ( x + iy ) |
Superposición de las tres parcelas anteriores
Evaluación numérica
La función W puede aproximarse usando el método de Newton , con aproximaciones sucesivas a w = W ( z ) (entonces z = we w ) siendo
La función W también se puede aproximar usando el método de Halley ,
dado en Corless et al. [2] para calcular W .
Software
La función Lambert W se implementa como LambertW en Maple , lambertw en GP (y glambertW en PARI ), lambertw en Matlab , [44] también lambertw en Octave con el paquete specfun , como lambert_w en Maxima, [45] como ProductLog (con un alias silencioso LambertW ) en Mathematica , [46] como lambertw en el paquete de funciones especiales de Python scipy , [47] como LambertW en el módulo ntheory de Perl , [48] y como funciones gsl_sf_lambert_W0 , gsl_sf_lambert_Wm1 en la sección de funciones especiales de la biblioteca científica GNU (GSL). En las bibliotecas de Boost C ++ , las llamadas son lambert_w0 , lambert_wm1 , lambert_w0_prime y lambert_wm1_prime . En R , la función Lambert W se implementa como las funciones lambertW0 y lambertWm1 en el paquete lamW . [49]
Un código C ++ para todas las ramas de la función compleja de Lambert W está disponible en la página de inicio de István Mező. [50]
Ver también
- Función Wright Omega
- Ecuación del trinomio de Lambert
- Teorema de la inversión de Lagrange
- Matemáticas experimentales
- Método de Holstein-Herring
- R = modelo T
- Lema π de Ross
Notas
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Referencias
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enlaces externos
- Biblioteca digital del Instituto Nacional de Ciencia y Tecnología - Lambert W
- MathWorld - Lambert W -Función
- Calcular la función W de Lambert
- Corless y col. Notas sobre la investigación de Lambert W
- Implementación de GPL C ++ con la iteración de Halley y Fritsch.
- Funciones especiales de la biblioteca científica GNU - GSL