En matemáticas , el operador de Laplace o Laplaciano es un operador diferencial dado por la divergencia del gradiente de una función en el espacio euclidiano . Por lo general, se denota con los símbolos., (dónde es el operador nabla ), o. En un sistema de coordenadas cartesiano , el laplaciano está dado por la suma de las segundas derivadas parciales de la función con respecto a cada variable independiente . En otros sistemas de coordenadas , como coordenadas cilíndricas y esféricas , el laplaciano también tiene una forma útil. De manera informal, el Δ f ( p ) laplaciano de una función f en un punto p mide cuánto se desvía el valor promedio de f sobre esferas pequeñas o bolas centradas en p de f ( p ) .
El operador de Laplace lleva el nombre del matemático francés Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), quien aplicó por primera vez el operador al estudio de la mecánica celeste , donde el operador da un múltiplo constante de la densidad de masa cuando se aplica a la gravedad potencial debido a la distribución de masa con esa densidad dada. Las soluciones de la ecuación Δ f = 0 , ahora llamada ecuación de Laplace , son las llamadas funciones armónicas y representan los posibles campos gravitacionales en regiones de vacío .
El laplaciano ocurre en ecuaciones diferenciales que describen muchos fenómenos físicos, como los potenciales eléctricos y gravitacionales , la ecuación de difusión para el flujo de calor y fluidos , la propagación de ondas y la mecánica cuántica . El laplaciano representa la densidad de flujo del gradiente de flujo de una función. Por ejemplo, la velocidad neta a la que una sustancia química disuelta en un fluido se acerca o se aleja de algún punto es proporcional al Laplaciano de la concentración de la sustancia química en ese punto; expresada simbólicamente, la ecuación resultante es la ecuación de difusión. Por estas razones, se usa ampliamente en las ciencias para modelar una variedad de fenómenos físicos. El laplaciano es el operador elíptico más simple y es el núcleo de la teoría de Hodge , así como los resultados de la cohomología de Rham . En el procesamiento de imágenes y la visión por computadora , el operador laplaciano se ha utilizado para diversas tareas, como la detección de manchas y bordes .
Definición
El operador de Laplace es un operador diferencial de segundo orden en el espacio euclidiano n- dimensional , definido como la divergencia () del gradiente (). Así que sies una función de valor real dos veces diferenciable , entonces el laplaciano de es definido por:
( 1 )
donde las últimas notaciones se derivan de la escritura formal:
De manera equivalente, el laplaciano de f es la suma de todas las segundas derivadas parciales sin mezclar en las coordenadas cartesianas x i :
( 2 )
Como operador diferencial de segundo orden, el operador de Laplace asigna funciones C k a funciones C k −2 para k ≥ 2 . La expresión ( 1 ) (o equivalentemente ( 2 )) define un operador Δ: C k ( R n ) → C k −2 ( R n ) , o más generalmente, un operador Δ: C k (Ω) → C k - 2 (Ω) para cualquier conjunto abierto Ω .
Motivación
Difusión
En la teoría física de la difusión , el operador de Laplace (a través de la ecuación de Laplace ) surge naturalmente en la descripción matemática del equilibrio . [1] Específicamente, si u es la densidad en equilibrio de alguna cantidad, como una concentración química, entonces el flujo neto de u a través del límite de cualquier región uniforme V es cero, siempre que no haya una fuente o sumidero dentro de V :
donde n es el exterior unitario normal a la frontera de V . Por el teorema de la divergencia ,
Dado que esto es válido para todas las regiones suaves V , se puede demostrar que esto implica:
El lado izquierdo de esta ecuación es el operador de Laplace. El propio operador de Laplace tiene una interpretación física de la difusión fuera de equilibrio como la medida en que un punto representa una fuente o sumidero de concentración química, en un sentido precisado por la ecuación de difusión .
Promedios
Dada una función dos veces continuamente diferenciable , un punto y un numero real , dejamos ser el valor medio de sobre la pelota con radio centrado en , y ser el valor medio de sobre la esfera con radio centrado en . Entonces tenemos: [2]
y
Densidad asociada a un potencial
Si φ denota el potencial electrostático asociado a una distribución de carga q , entonces la distribución de carga en sí está dada por el negativo del laplaciano de φ :
donde ε 0 es la constante eléctrica .
Ésta es una consecuencia de la ley de Gauss . De hecho, si V es cualquier región suave, entonces, según la ley de Gauss, el flujo del campo electrostático E es proporcional a la carga encerrada:
donde la primera igualdad se debe al teorema de divergencia . Dado que el campo electrostático es el gradiente (negativo) del potencial, esto ahora da:
Entonces, dado que esto es válido para todas las regiones V , debemos tener
El mismo enfoque implica que el negativo del Laplaciano del potencial gravitacional es la distribución de masa . A menudo se da la distribución de carga (o masa) y se desconoce el potencial asociado. Encontrar la función potencial sujeta a condiciones de contorno adecuadas es equivalente a resolver la ecuación de Poisson .
Minimización de energía
Otra motivación para que el Laplaciano aparezca en la física es que las soluciones para Δ f = 0 en una región U son funciones que hacen que la energía de Dirichlet sea funcional estacionaria :
Para ver esto, supongamos que f : U → R es una función, y T : T → R es una función que se desvanece en el límite de U . Luego:
donde la última igualdad sigue usando la primera identidad de Green . Este cálculo muestra que si Δ f = 0 , entonces E está estacionario alrededor de f . Por el contrario, si E es estacionario alrededor de f , entonces Δ f = 0 por el lema fundamental del cálculo de variaciones .
Expresiones coordinadas
Dos dimensiones
El operador de Laplace en dos dimensiones viene dado por:
En coordenadas cartesianas ,
donde x e y son el estándar de coordenadas cartesianas de la xy un plano.
En coordenadas polares ,
donde r representa la distancia radial y θ el ángulo.
Tres dimensiones
En tres dimensiones, es común trabajar con el laplaciano en una variedad de diferentes sistemas de coordenadas.
En coordenadas cartesianas ,
En coordenadas cilíndricas ,
dónde representa la distancia radial, φ el ángulo de acimut yz la altura.
En coordenadas esféricas :
donde φ representa el ángulo azimutal y θ el ángulo cenital o co-latitud .
En coordenadas curvilíneas generales ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ):
donde se implica la suma de los índices repetidos , g mn es el tensor métrico inverso y Γ l mn son los símbolos de Christoffel para las coordenadas seleccionadas.
N dimensiones
En coordenadas curvilíneas arbitrarias en N dimensiones ( ξ 1 ,…, ξ N ), podemos escribir el Laplaciano en términos del tensor métrico inverso ,:
de la fórmula de Voss - Weyl [3] para la divergencia .
En coordenadas esféricas en N dimensiones , con la parametrización x = rθ ∈ R N donde r representa un radio real positivo y θ un elemento de la esfera unitaria S N −1 ,
donde Δ S N −1 es el operador de Laplace-Beltrami en la ( N -1) -esfera, conocida como laplaciana esférica. Los dos términos de la derivada radial se pueden reescribir de manera equivalente como:
Como consecuencia, el Laplaciano esférico de una función definida en S N −1 ⊂ R N se puede calcular como el Laplaciano ordinario de la función extendida a R N ∖ {0} de modo que sea constante a lo largo de los rayos, es decir, homogéneo de grado cero.
Invariancia euclidiana
El laplaciano es invariante bajo todas las transformaciones euclidianas : rotaciones y traslaciones . En dos dimensiones, por ejemplo, esto significa que:
para todos θ , una , y b . En dimensiones arbitrarias,
siempre que ρ sea una rotación, y de la misma manera:
siempre que τ sea una traducción. (De manera más general, esto sigue siendo cierto cuando ρ es una transformación ortogonal , como una reflexión ).
De hecho, el álgebra de todos los operadores diferenciales lineales escalares, con coeficientes constantes, que conmuta con todas las transformaciones euclidianas, es el álgebra polinomial generada por el operador de Laplace.
Teoría espectral
El espectro del operador de Laplace consta de todos los valores propios λ para los que existe una función propia correspondiente f con:
Esto se conoce como la ecuación de Helmholtz .
Si Ω es un dominio acotado en R n , entonces las funciones propias del Laplaciano son una base ortonormal para el espacio de Hilbert L 2 (Ω) . Este resultado se deriva esencialmente del teorema espectral sobre operadores autoadjuntos compactos , aplicado al inverso del laplaciano (que es compacto, por la desigualdad de Poincaré y el teorema de Rellich-Kondrachov ). [4] También se puede demostrar que las funciones propias son funciones infinitamente diferenciables . [5] De manera más general, estos resultados son válidos para el operador de Laplace-Beltrami en cualquier variedad compacta de Riemann con límite, o de hecho para el problema de valor propio de Dirichlet de cualquier operador elíptico con coeficientes suaves en un dominio acotado. Cuando Ω es la n -esfera , las funciones propias del Laplaciano son los armónicos esféricos .
Vector Laplaciano
El operador vectorial de Laplace , también denotado por, es un operador diferencial definido sobre un campo vectorial . [6] El vector Laplaciano es similar al Laplaciano escalar; mientras que el Laplaciano escalar se aplica a un campo escalar y devuelve una cantidad escalar, el Laplaciano vectorial se aplica a un campo vectorial , devolviendo una cantidad vectorial. Cuando se calcula en coordenadas cartesianas ortonormales , el campo vectorial devuelto es igual al campo vectorial del laplaciano escalar aplicado a cada componente vectorial.
El vector laplaciano de un campo vectorial Se define como
En coordenadas cartesianas , esto se reduce a la forma mucho más simple:
dónde , , y son los componentes de . Este puede verse como un caso especial de la fórmula de Lagrange; ver producto triple de Vector .
Para expresiones del vector Laplaciano en otros sistemas de coordenadas, vea Del en coordenadas cilíndricas y esféricas .
Generalización
El laplaciano de cualquier campo tensorial ("tensor" incluye escalar y vector) se define como la divergencia del gradiente del tensor:
Para el caso especial donde es un escalar (un tensor de grado cero), el laplaciano toma la forma familiar.
Si es un vector (un tensor de primer grado), el gradiente es una derivada covariante que da como resultado un tensor de segundo grado, y la divergencia de este es nuevamente un vector. La fórmula para el vector Laplaciano anterior se puede usar para evitar la matemática del tensor y se puede demostrar que es equivalente a la divergencia de la matriz jacobiana que se muestra a continuación para el gradiente de un vector:
Y, de la misma manera, un producto escalar, que se evalúa como un vector, de un vector por el gradiente de otro vector (un tensor de segundo grado) puede verse como un producto de matrices:
Esta identidad es un resultado dependiente de las coordenadas y no es general.
Uso en física
Un ejemplo del uso del vector laplaciano son las ecuaciones de Navier-Stokes para un flujo incompresible newtoniano :
donde el término con el vector Laplaciano del campo de velocidadrepresenta las tensiones viscosas en el fluido.
Otro ejemplo es la ecuación de onda para el campo eléctrico que se puede derivar de las ecuaciones de Maxwell en ausencia de cargas y corrientes:
La ecuación anterior también se puede escribir como:
dónde
es el D'Alembertiano , utilizado en la ecuación de Klein-Gordon .
Generalizaciones
Se puede definir una versión del Laplaciano siempre que tenga sentido la función energética de Dirichlet , que es la teoría de las formas de Dirichlet . Para espacios con estructura adicional, se pueden dar descripciones más explícitas del Laplaciano, como sigue.
Operador Laplace-Beltrami
El laplaciano también se puede generalizar a un operador elíptico llamado operador de Laplace-Beltrami definido en una variedad de Riemann . El operador de d'Alembert se generaliza a un operador hiperbólico en variedades pseudo-Riemannianas . El operador de Laplace-Beltrami, cuando se aplica a una función, es la traza ( tr ) del hessiano de la función :
donde la traza se toma con respecto a la inversa del tensor métrico . El operador de Laplace-Beltrami también se puede generalizar a un operador (también llamado operador de Laplace-Beltrami) que opera en campos tensoriales , mediante una fórmula similar.
Otra generalización del operador de Laplace que está disponible en variedades pseudo-Riemannianas usa la derivada exterior , en términos de la cual el "Laplaciano del geómetro" se expresa como
Aquí δ es el codiferencial , que también se puede expresar en términos de la estrella de Hodge y la derivada exterior. Este operador difiere en signo del "laplaciano del analista" definido anteriormente. De manera más general, el laplaciano "Hodge" se define en formas diferenciales α por
Esto se conoce como el operador Laplace-de Rham , que está relacionado con el operador Laplace-Beltrami por la identidad Weitzenböck .
D'Alembertian
El laplaciano puede generalizarse de ciertas formas a espacios no euclidianos , donde puede ser elíptico , hiperbólico o ultrahiperbólico .
En el espacio de Minkowski, el operador de Laplace-Beltrami se convierte en el operador de D'Alembert ⧠ o D'Alembertian:
Es la generalización del operador de Laplace en el sentido de que es el operador diferencial el que es invariante bajo el grupo de isometría del espacio subyacente y se reduce al operador de Laplace si se restringe a funciones independientes del tiempo. El signo general de la métrica aquí se elige de modo que las partes espaciales del operador admitan un signo negativo, que es la convención habitual en la física de partículas de alta energía . El operador de D'Alembert también se conoce como operador de onda porque es el operador diferencial que aparece en las ecuaciones de onda y también es parte de la ecuación de Klein-Gordon , que se reduce a la ecuación de onda en el caso sin masa.
El factor adicional de c en la métrica es necesario en física si el espacio y el tiempo se miden en diferentes unidades; Se necesitaría un factor similar si, por ejemplo, la dirección x se midiera en metros mientras que la dirección y se midiera en centímetros. De hecho, los físicos teóricos suelen trabajar en unidades tales que c = 1 para simplificar la ecuación.
Ver también
- Operador de Laplace-Beltrami , generalización a subvariedades en el espacio euclidiano y variedad riemanniana y pseudo-riemanniana.
- El operador vector Laplaciano , una generalización del Laplaciano a campos vectoriales .
- El laplaciano en geometría diferencial .
- El operador discreto de Laplace es un análogo en diferencias finitas del Laplaciano continuo, definido en gráficos y cuadrículas.
- El laplaciano es un operador común en el procesamiento de imágenes y la visión por computadora (ver el laplaciano de gaussiano , detector de gotas y espacio de escala ).
- La lista de fórmulas en la geometría riemanniana contiene expresiones para el laplaciano en términos de símbolos de Christoffel.
- Lema de Weyl (ecuación de Laplace) .
- Teorema de Earnshaw que muestra que la suspensión gravitacional, electrostática o magnética estática es imposible.
- Del en coordenadas cilíndricas y esféricas .
- Otras situaciones en las que se define un laplaciano son: análisis de fractales , cálculo de escalas de tiempo y cálculo exterior discreto .
Notas
- ^ Evans 1998 , §2.2
- ↑ Ovall, Jeffrey S. ( 1 de marzo de 2016). "Los valores laplacianos y medios y extremos" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 123 (3): 287-291.
- ^ Grinfeld, Pavel. "La fórmula de Voss-Weyl" . Consultado el 9 de enero de 2018 .
- ^ Gilbarg y Trudinger 2001 , Teorema 8.6
- ^ Gilbarg y Trudinger 2001 , Corolario 8.11
- ^ MathWorld. "Vector Laplaciano" .
Referencias
- Evans, L. (1998), Ecuaciones diferenciales parciales , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0772-9
- Feynman, R .; Leighton, R; Sands, M. (1970), "Capítulo 12: Análogos electrostáticos", Conferencias de Física Feynman , 2 , Addison-Wesley-Longman
- Gilbarg, D .; Trudinger, N. (2001), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Springer, ISBN 978-3-540-41160-4.
- Schey, HM (1996), Div, Grad, Curl y todo eso , WW Norton, ISBN 978-0-393-96997-9.
Otras lecturas
- http://farside.ph.utexas.edu/teaching/em/lectures/node23.html
enlaces externos
- "Operador de Laplace" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Laplaciano" . MathWorld .
- Laplaciano en derivación de coordenadas polares