Celosía de subgrupos

En matemáticas , la red de subgrupos de un grupo ${\displaystyle G}$es la celosía cuyos elementos son los subgrupos de${\displaystyle G}$, con la relación de orden parcial que se establece inclusión . En esta red, la unión de dos subgrupos es el subgrupo generado por su unión , y la unión de dos subgrupos es su intersección .

Diagrama de Hasse de la red de subgrupos del grupo diedro Dih ₄ , con los subgrupos representados por sus gráficos de ciclo

Ejemplo

El grupo diedro Dih ₄ tiene diez subgrupos, contándose a sí mismo y al subgrupo trivial . Cinco de los ocho elementos del grupo generan subgrupos de orden dos, y los otros dos elementos no identitarios generan ambos el mismo subgrupo cíclico de orden cuatro. Además, hay dos subgrupos de la forma Z ₂ × Z ₂ , generados por pares de elementos de orden dos. La celosía formada por estos diez subgrupos se muestra en la ilustración.

Este ejemplo también muestra que la celosía de todos los subgrupos de un grupo no es una celosía modular en general. De hecho, esta celosía particular contiene el "pentágono" prohibido N ₅ como una subred .

Propiedades

Para cualquier subgrupo A , B y C de un grupo con A ≤ C ( un subgrupo de C ), entonces AB ∩ C = A (B ∩ C) ; la multiplicación aquí es el producto de subgrupos . Esta propiedad se ha denominado propiedad modular de los grupos ( Aschbacher 2000 ) o ley modular (de Dedekind ) ( Robinson 1996 , Cohn 2000 ). Dado que para dos subgrupos normales el producto es en realidad el subgrupo más pequeño que contiene los dos, los subgrupos normales forman una red modular .

El teorema de Lattice establece una conexión de Galois entre la red de subgrupos de un grupo y la de sus cocientes.

El lema de Zassenhaus da un isomorfismo entre ciertas combinaciones de cocientes y productos en la red de subgrupos.

En general, no hay ninguna restricción sobre la forma de la red de subgrupos, en el sentido de que cada red es isomorfa a una subred de la red de subgrupos de algún grupo. Además, todo entramado finito es isomorfo a un sub-entramado del entramado de subgrupos de algún grupo finito ( Schmidt 1994 , p. 9).

Celosías características

Los subgrupos con ciertas propiedades forman celosías, pero otras propiedades no.

• Los subgrupos normales siempre forman una celosía modular. De hecho, la propiedad esencial que garantiza que la celosía sea modular es que los subgrupos se conmutan entre sí, es decir, que son subgrupos cuasinormales .
• Los subgrupos normales nilpotentes forman una red, que es (parte de) el contenido del teorema de Fitting .
• En general, para cualquier clase de ajuste F , tanto los subgrupos F subnormales como los subgrupos F normales forman rejillas. Esto incluye lo anterior con F la clase de grupos nilpotentes, así como otros ejemplos como F la clase de grupos solubles . Una clase de grupos se denomina clase Adecuada si está cerrada bajo isomorfismo, subgrupos subnormales y productos de subgrupos subnormales.
• Los subgrupos centrales forman una red.

Sin embargo, ni los subgrupos finitos ni los subgrupos de torsión forman una red: por ejemplo, el producto libre ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} *\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$ es generado por dos elementos de torsión, pero es infinito y contiene elementos de orden infinito.

El hecho de que los subgrupos normales formen una celosía modular es un caso particular de un resultado más general, a saber, que en cualquier variedad de Maltsev (de los cuales los grupos son un ejemplo), la celosía de congruencias es modular ( Kearnes & Kiss 2013 ).

Caracterización de grupos por sus celosías de subgrupos

La información teórica de celosía sobre la celosía de subgrupos a veces se puede utilizar para inferir información sobre el grupo original, una idea que se remonta al trabajo de Øystein Ore  ( 1937 , 1938 ). Por ejemplo, como demostró Ore, un grupo es localmente cíclico si y solo si su red de subgrupos es distributiva . Si además el enrejado satisface la condición de cadena ascendente , entonces el grupo es cíclico.

Los grupos cuya celosía de subgrupos es una celosía complementada se denominan grupos complementados ( Zacher 1953 ), y los grupos cuya celosía de subgrupos son celosías modulares se denominan grupos Iwasawa o grupos modulares ( Iwasawa 1941 ). También existen caracterizaciones de la teoría de celosía de este tipo para grupos solubles y grupos perfectos ( Suzuki 1951 ).

Referencias

• Aschbacher, M. (2000). Teoría de grupos finitos . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 6. ISBN 978-0-521-78675-1.
• Baer, ​​Reinhold (1939). "La importancia del sistema de subgrupos para la estructura del grupo". Revista Estadounidense de Matemáticas . Prensa de la Universidad Johns Hopkins. 61 (1): 1–44. doi : 10.2307 / 2371383 . JSTOR  2371383 .
• Cohn, Paul Moritz (2000). Álgebra clásica . Wiley. pag. 248. ISBN 978-0-471-87731-8.
• Iwasawa, Kenkiti (1941), "Über die endlichen Gruppen und die Verbände ihrer Untergruppen", J. Fac. Sci. Diablillo. Univ. Tokio. Secta. I. , 4 : 171–199, MR  0005721
• Kearnes, Keith; Beso, Emil W. (2013). La forma de las celosías de congruencia . American Mathematical Soc. pag. 3. ISBN 978-0-8218-8323-5.
• Mineral, Øystein (1937). "Estructuras y teoría de grupos. I". Diario de matemáticas de Duke . 3 (2): 149-174. doi : 10.1215 / S0012-7094-37-00311-9 . Señor  1545977 .
• Mineral, Øystein (1938). "Estructuras y teoría de grupos. II". Diario de matemáticas de Duke . 4 (2): 247–269. doi : 10.1215 / S0012-7094-38-00419-3 . hdl : 10338.dmlcz / 100155 . Señor  1546048 .
• Robinson, Derek (1996). Un curso de teoría de grupos . Springer Science & Business Media. pag. 15. ISBN 978-0-387-94461-6.
• Rottlaender, Ada (1928). "Nachweis der Existenz nicht-isomorpher Gruppen von gleicher Situation der Untergruppen". Mathematische Zeitschrift . 28 (1): 641–653. doi : 10.1007 / BF01181188 . S2CID  120596994 .
• Schmidt, Roland (1994). Rejillas de subgrupos de grupos . Exposiciones en Matemáticas. 14 . Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-011213-9. Reseña de Ralph Freese en Bull. AMS 33 (4): 487–492.
• Suzuki, Michio (1951). "Sobre la celosía de subgrupos de grupos finitos" . Transacciones de la American Mathematical Society . Sociedad Matemática Estadounidense. 70 (2): 345–371. doi : 10.2307 / 1990375 . JSTOR  1990375 .
• Suzuki, Michio (1956). Estructura de un grupo y estructura de su entramado de subgrupos . Berlín: Springer Verlag.
• Yakovlev, BV (1974). "Condiciones bajo las cuales una celosía es isomorfa a una celosía de subgrupos de un grupo". Álgebra y lógica . 13 (6): 400–412. doi : 10.1007 / BF01462952 . S2CID  119943975 .
• Zacher, Giovanni (1953). "Caratterizzazione dei gruppi risolubili d'ordine finito complementati" . Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova . 22 : 113-122. ISSN  0041-8994 . Señor  0057878 .

enlaces externos

• Entrada PlanetMath en celosía de subgrupos
• Ejemplo: celosía de subgrupos del grupo simétrico S4