En el área de las matemáticas conocida como teoría de grupos , el teorema de correspondencia , [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] a veces denominado el cuarto teorema del isomorfismo [6] [ 9] [nota 1] [nota 2] o el teorema de la red , [10] establece que sies un subgrupo normal de un grupo , entonces existe una biyección del conjunto de todos los subgrupos de conteniendo , en el conjunto de todos los subgrupos del grupo cociente . La estructura de los subgrupos de es exactamente la misma que la estructura de los subgrupos de conteniendo , con colapsado al elemento de identidad .
Específicamente, si
- G es un grupo,
- N es un subgrupo normal de G ,
- es el conjunto de todos los subgrupos A de G tal que , y
- es el conjunto de todos los subgrupos de G / N ,
entonces hay un mapa biyectivo tal que
- para todos
Además, se dice que si A y B están en, y A '= A / N y B' = B / N , entonces
- si y solo si ;
- Si luego , dónde es el índice de A en B (el número de clases laterales bA de A en B );
- dónde es el subgrupo de generado por
- , y
- es un subgrupo normal de si y solo si es un subgrupo normal de .
Esta lista está lejos de ser exhaustiva. De hecho, la mayoría de las propiedades de los subgrupos se conservan en sus imágenes bajo la biyección en subgrupos de un grupo cociente.
De manera más general, existe una conexión monótona de Galois entre la celosía de subgrupos de (no necesariamente contiene ) y la red de subgrupos de : el adjunto inferior de un subgrupo de es dado por y el anexo superior de un subgrupo de es un dado por . El operador de cierre asociado en subgrupos de es ; el operador de kernel asociado en subgrupos de es la identidad.
Resultados similares son válidos para anillos , módulos , espacios vectoriales y álgebras .
Ver también
Notas
- ^ Algunos autores utilizan el "cuarto teorema del isomorfismo" para designar el lema de Zassenhaus ; véase, por ejemplo, Alperin & Bell (p. 13) o Robert Wilson (2009). Los grupos simples finitos . Saltador. pag. 7 . ISBN 978-1-84800-988-2.
- ^ Dependiendo de cómo se cuenten los teoremas del isomorfismo , el teorema de correspondencia también se puede llamar el tercer teorema del isomorfismo; véase, por ejemplo, HE Rose (2009), pág. 78.
Referencias
- ^ Derek John Scott Robinson (2003). Una introducción al álgebra abstracta . Walter de Gruyter. pag. 64 . ISBN 978-3-11-017544-8.
- ^ JF Humphreys (1996). Un curso de teoría de grupos . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 65 . ISBN 978-0-19-853459-4.
- ^ HE Rose (2009). Un curso sobre grupos finitos . Saltador. pag. 78 . ISBN 978-1-84882-889-6.
- ^ JL Alperin; Rowen B. Bell (1995). Grupos y Representaciones . Saltador. pag. 11 . ISBN 978-1-4612-0799-3.
- ^ I. Martín Isaacs (1994). Álgebra: un curso de posgrado . American Mathematical Soc. pag. 35 . ISBN 978-0-8218-4799-2.
- ^ a b Joseph Rotman (1995). Introducción a la teoría de grupos (4ª ed.). Saltador. págs. 37 –38. ISBN 978-1-4612-4176-8.
- ^ W. Keith Nicholson (2012). Introducción al álgebra abstracta (4ª ed.). John Wiley e hijos. pag. 352. ISBN 978-1-118-31173-8.
- ^ Steven Roman (2011). Fundamentos de la teoría de grupos: un enfoque avanzado . Springer Science & Business Media. págs. 113-115. ISBN 978-0-8176-8301-6.
- ^ Jonathan K. Hodge; Steven Schlicker; Ted Sundstrom (2013). Álgebra abstracta: un enfoque basado en la investigación . Prensa CRC. pag. 425. ISBN 978-1-4665-6708-5.
- ^ WR Scott: Teoría de grupos , Prentice Hall, 1964, p. 27.