En teoría de la probabilidad , la ley (o fórmula ) de la probabilidad total es una regla fundamental relacionado probabilidades marginales de probabilidades condicionales . Expresa la probabilidad total de un resultado que puede realizarse a través de varios eventos distintos , de ahí el nombre.
Declaración
La ley de probabilidad total es [1] un teorema que, en su caso discreto, establece sies una partición finita o numerablemente infinita de un espacio muestral (en otras palabras, un conjunto de eventos disjuntos por pares cuya unión es el espacio muestral completo) y cada evento es medible , entonces para cualquier eventodel mismo espacio de probabilidad :
o, alternativamente, [1]
donde, para cualquier para cual estos términos simplemente se omiten de la suma, porque es finito.
La suma se puede interpretar como un promedio ponderado y, en consecuencia, la probabilidad marginal,, a veces se denomina "probabilidad media"; [2] "probabilidad general" se utiliza a veces en escritos menos formales. [3]
La ley de la probabilidad total también se puede establecer para probabilidades condicionales.
Tomando el como arriba, y asumiendo es un evento independiente de cualquiera de los:
Formulación informal
La declaración matemática anterior podría interpretarse de la siguiente manera: dado un evento, con probabilidades condicionales conocidas dadas cualquiera de las eventos, cada uno con una probabilidad conocida en sí mismo, ¿cuál es la probabilidad total de que ¿pasará? La respuesta a esta pregunta viene dada por.
Caso continuo
La ley de la probabilidad total se extiende al caso del condicionamiento sobre eventos generados por variables aleatorias continuas. Dejarser un espacio de probabilidad . Suponer es una variable aleatoria con función de distribución , y un evento en . Entonces la ley de probabilidad total establece
Si admite una función de densidad , entonces el resultado es
Además, para el caso específico donde , dónde es un conjunto borel, entonces esto produce
Ejemplo
Suponga que dos fábricas suministran bombillas al mercado. Las bombillas de Factory X funcionan durante más de 5000 horas en el 99% de los casos, mientras que las bombillas de Factory Y funcionan durante más de 5000 horas en el 95% de los casos. Se sabe que la fábrica X suministra el 60% del total de bombillas disponibles y Y suministra el 40% del total de bombillas disponibles. ¿Cuál es la probabilidad de que una bombilla comprada funcione durante más de 5000 horas?
Aplicando la ley de probabilidad total, tenemos:
dónde
- es la probabilidad de que la bombilla comprada haya sido fabricada por la fábrica X ;
- es la probabilidad de que la bombilla comprada haya sido fabricada por la fábrica Y ;
- es la probabilidad de que una bombilla fabricada por X funcione durante más de 5000 horas;
- es la probabilidad de que una bombilla fabricada por Y funcione durante más de 5000 horas.
Por lo tanto, cada bombilla comprada tiene un 97,4% de posibilidades de funcionar durante más de 5000 horas.
Otros nombres
El término ley de probabilidad total a veces se considera la ley de alternativas , que es un caso especial de la ley de probabilidad total que se aplica a variables aleatorias discretas . [ cita requerida ] Un autor usa la terminología de la "Regla de Probabilidades Condicionales Promedio", [4] mientras que otro se refiere a ella como la "ley continua de alternativas" en el caso continuo. [5] Grimmett y Welsh [6] dan este resultado como el teorema de la partición , un nombre que también le dan a la ley relacionada de la expectativa total .
Ver también
Notas
- ^ a b Zwillinger, D., Kokoska, S. (2000) Tablas y fórmulas de estadística y probabilidad estándar de CRC, CRC Press. ISBN 1-58488-059-7 página 31.
- ^ Paul E. Pfeiffer (1978). Conceptos de teoría de la probabilidad . Publicaciones de Courier Dover. págs. 47–48. ISBN 978-0-486-63677-1.
- ^ Deborah Rumsey (2006). Probabilidad para tontos . Para Dummies. pag. 58. ISBN 978-0-471-75141-0. CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- ^ Jim Pitman (1993). Probabilidad . Saltador. pag. 41. ISBN 0-387-97974-3.
- ^ Kenneth Baclawski (2008). Introducción a la probabilidad con R . Prensa CRC. pag. 179. ISBN 978-1-4200-6521-3.
- ^ Probabilidad: una introducción , por Geoffrey Grimmett y Dominic Welsh , Publicaciones científicas de Oxford, 1986, Teorema 1B.
Referencias
- Introducción a la probabilidad y la estadística por Robert J. Beaver, Barbara M. Beaver, Thomson Brooks / Cole, 2005, página 159.
- Teoría de la estadística , por Mark J. Schervish, Springer, 1995.
- Esquema de probabilidad de Schaum, segunda edición , por John J. Schiller, Seymour Lipschutz, McGraw – Hill Professional, 2010, página 89.
- Un primer curso en modelos estocásticos , por HC Tijms, John Wiley and Sons, 2003, páginas 431–432.
- Un curso intermedio en probabilidad , por Alan Gut, Springer, 1995, páginas 5–6.