En la teoría de la medida , una rama de las matemáticas , la medida de Lebesgue , que lleva el nombre del matemático francés Henri Lebesgue , es la forma estándar de asignar una medida a subconjuntos del espacio euclidiano n- dimensional . Para n = 1, 2 o 3, coincide con la medida estándar de longitud , área o volumen . En general, también se le llama n volumen -dimensional , n -volumen , o simplemente volumen . [1]Se utiliza en todo análisis real , en particular para definir la integración de Lebesgue . Los conjuntos a los que se les puede asignar una medida de Lebesgue se denominan medibles de Lebesgue ; la medida del conjunto A medible de Lebesgue se denota aquí por λ ( A ).
Henri Lebesgue describió esta medida en el año 1901, seguido al año siguiente por su descripción de la integral de Lebesgue . Ambos fueron publicados como parte de su disertación en 1902. [2]
La medida de Lebesgue a menudo se denota por dx , pero esto no debe confundirse con la noción distinta de forma de volumen .
Definición
Para cualquier intervalo (o ) en el set de números reales, dejemos denotar su longitud. Para cualquier subconjunto, la medida exterior de Lebesgue [3] se define como un mínimo
Algunos conjuntos satisfacen el criterio de Carathéodory , que requiere que para cada,
El conjunto de todos esos forma una σ -álgebra . Para cualquiera, su medida de Lebesgue se define como su medida exterior de Lebesgue: .
Un conjunto que no satisface el criterio de Carathéodory no es medible en Lebesgue. Existen conjuntos no medibles ; un ejemplo son los sets Vitali .
Intuición
La primera parte de la definición establece que el subconjunto de los números reales se reduce a su medida exterior por la cobertura de conjuntos de intervalos abiertos. Cada uno de estos conjuntos de intervalos cubre en el sentido de que cuando los intervalos se combinan por unión, contienen . La longitud total de cualquier intervalo de cobertura establecido puede sobrestimar fácilmente la medida de porque es un subconjunto de la unión de los intervalos, por lo que los intervalos pueden incluir puntos que no están en . La medida exterior de Lebesgue surge como el mayor límite inferior (infimum) de las longitudes de entre todos los conjuntos posibles. Intuitivamente, es la longitud total de esos conjuntos de intervalos la que se ajusta más estrechamente y no se superpongan.
Eso caracteriza la medida exterior de Lebesgue. Que esta medida externa se traduzca en la medida de Lebesgue propiamente dicha depende de una condición adicional. Esta condición se prueba tomando subconjuntos de los números reales usando como un instrumento para dividir en dos particiones: la parte de que se cruza con y la parte restante de que no esta en : la diferencia establecida de y . Estas particiones deestán sujetos a la medida exterior. Si para todos los posibles subconjuntos de los números reales, las particiones de cortado por tienen medidas exteriores cuya suma es la medida exterior de , entonces la medida exterior de Lebesgue de da su medida de Lebesgue. Intuitivamente, esta condición significa que el conjunto no debe tener algunas propiedades curiosas que provoquen una discrepancia en la medida de otro conjunto cuando se utiliza como una "máscara" para "recortar" ese conjunto, insinuando la existencia de conjuntos para los que la medida exterior de Lebesgue no da la medida de Lebesgue. (De hecho, estos conjuntos no son medibles según Lebesgue).
Ejemplos de
- Cualquier intervalo cerrado [ a , b ] de números reales es medible según Lebesgue, y su medida de Lebesgue es la longitud b - a . El intervalo abierto ( un , b ) tiene la misma medida, ya que la diferencia entre los dos conjuntos consiste solamente en los puntos extremos de una y b y tiene medida cero .
- Cualquier producto cartesiano de intervalos [ a , b ] y [ c , d ] es medible por Lebesgue, y su medida de Lebesgue es ( b - a ) ( d - c ) , el área del rectángulo correspondiente .
- Además, cada conjunto de Borel es medible según Lebesgue. Sin embargo, hay conjuntos medibles de Lebesgue que no son conjuntos de Borel. [4] [5]
- Cualquier contable conjunto de números reales tiene medida de Lebesgue 0. En particular, la medida de Lebesgue del conjunto de los números algebraicos es 0, a pesar de que el conjunto es denso en R .
- El conjunto de Cantor y el conjunto de números de Liouville son ejemplos de conjuntos incontables que tienen la medida de Lebesgue 0.
- Si se cumple el axioma de determinación, entonces todos los conjuntos de reales son medibles según Lebesgue. Sin embargo, la determinación no es compatible con el axioma de elección .
- Los conjuntos Vitali son ejemplos de conjuntos que no son medibles con respecto a la medida de Lebesgue. Su existencia se basa en el axioma de elección .
- Curvas de Osgood son planas simples curvas con positivo medida de Lebesgue [6] (que puede obtenerse a través de pequeña variación de la curva de Peano construcción). La curva del dragón es otro ejemplo inusual.
- Cualquier línea en , por , tiene una medida de Lebesgue cero. En general, todo hiperplano adecuado tiene una medida de Lebesgue cero en su espacio ambiental .
Propiedades
La medida de Lebesgue en R n tiene las siguientes propiedades:
- Si A es un producto cartesiano de intervalos I 1 × I 2 × ⋯ × I n , entonces A es medible según Lebesgue yAquí, | Yo | denota la longitud del intervalo I .
- Si A es una unión disjunta de innumerables conjuntos disjuntos mensurables de Lebesgue, entonces A es él mismo mensurable de Lebesgue y λ ( A ) es igual a la suma (o serie infinita ) de las medidas de los conjuntos mensurables involucrados.
- Si A es medible según Lebesgue, entonces también lo es su complemento .
- λ ( A ) ≥ 0 para cada conjunto A medible de Lebesgue .
- Si A y B son medibles según Lebesgue y A es un subconjunto de B , entonces λ ( A ) ≤ λ ( B ). (Una consecuencia de 2, 3 y 4.)
- Las uniones contables y las intersecciones de conjuntos mensurables de Lebesgue son mensurables de Lebesgue. (No es una consecuencia de 2 y 3, porque una familia de conjuntos que está cerrada bajo complementos y uniones contables disjuntas no necesita cerrarse bajo uniones contables:.)
- Si A es un subconjunto abierto o cerrado de R n (o incluso el conjunto de Borel , consulte el espacio métrico ), entonces A es medible según Lebesgue.
- Si A es un conjunto medible de Lebesgue, entonces es "aproximadamente abierto" y "aproximadamente cerrado" en el sentido de la medida de Lebesgue (ver el teorema de regularidad para la medida de Lebesgue ).
- Un conjunto medible de Lebesgue puede "exprimirse" entre un conjunto abierto contenedor y un conjunto cerrado contenido. Esta propiedad se ha utilizado como una definición alternativa de la mensurabilidad de Lebesgue. Más precisamente, es Lebesgue-medible si y solo si para cada existe un conjunto abierto y un set cerrado tal que y . [7]
- Un conjunto Lebesgue-medible puede ser "exprimido" entre una que contiene G δ conjunto y una contenida F σ . Es decir, si A es medible según Lebesgue, entonces existe un conjunto G δ G y un F σ F tal que G ⊇ A ⊇ F y λ ( G \ A ) = λ ( A \ F ) = 0.
- La medida de Lebesgue es tanto localmente finita como interna regular , por lo que es una medida de radón .
- La medida de Lebesgue es estrictamente positiva en conjuntos abiertos no vacíos, por lo que su soporte es el conjunto de R n .
- Si A es un conjunto medible de Lebesgue con λ ( A ) = 0 (un conjunto nulo ), entonces cada subconjunto de A es también un conjunto nulo. A fortiori , cada subconjunto de A es medible.
- Si A es medible por Lebesgue y x es un elemento de R n , entonces la traslación de A por x , definida por A + x = { a + x : a ∈ A }, también es medible por Lebesgue y tiene la misma medida que Una .
- Si A es medible según Lebesgue y, luego la dilatación de por definido por también es medible en Lebesgue y tiene medida
- De manera más general, si T es una transformación lineal y A es un subconjunto medible de R n , entonces T ( A ) también es medible según Lebesgue y tiene la medida.
Todo lo anterior se puede resumir sucintamente de la siguiente manera (aunque las dos últimas afirmaciones están vinculadas de manera no trivial a lo siguiente):
- Los conjuntos medibles de Lebesgue forman un σ -álgebra que contiene todos los productos de intervalos, y λ es la única medida invariante de traducción completa en ese σ-álgebra con
La medida de Lebesgue también tiene la propiedad de ser σ -finita .
Conjuntos nulos
Un subconjunto de R n es un conjunto nulo si, para cada ε> 0, puede cubrirse con muchos productos contables de n intervalos cuyo volumen total sea como máximo ε. Todos los conjuntos contables son conjuntos nulos.
Si un subconjunto de R n tiene una dimensión de Hausdorff menor que n, entonces es un conjunto nulo con respecto a la medida de Lebesgue n- dimensional. Aquí la dimensión de Hausdorff es relativa a la métrica euclidiana en R n (o cualquier métrica de Lipschitz equivalente a ella). Por otro lado, un conjunto puede tener una dimensión topológica menor que ny tener una medida de Lebesgue n- dimensional positiva . Un ejemplo de esto es el conjunto Smith-Volterra-Cantor que tiene una dimensión topológica 0 pero tiene una medida de Lebesgue unidimensional positiva.
Para demostrar que un conjunto A dado es medible según Lebesgue, normalmente se intenta encontrar un conjunto B "más agradable" que difiera de A sólo por un conjunto nulo (en el sentido de que la diferencia simétrica ( A - B ) ∪ ( B - A ) es un conjunto nulo) y luego demuestre que B se puede generar usando uniones contables e intersecciones de conjuntos abiertos o cerrados.
Construcción de la medida de Lebesgue
La construcción moderna de la medida de Lebesgue es una aplicación del teorema de extensión de Carathéodory . Procede de la siguiente manera.
Fix n ∈ N . Una caja en R n es un conjunto de la forma
donde b i ≥ a i , y el símbolo del producto aquí representa un producto cartesiano. El volumen de esta caja se define como
Para cualquier subconjunto A de R n , podemos definir su medida exterior λ * ( A ) por:
Luego definimos el conjunto A como medible según Lebesgue si para cada subconjunto S de R n ,
Estos conjuntos mensurables de Lebesgue forman un σ -algebra , y la medida de Lebesgue se define por λ ( A ) = λ * ( A ) para cualquier conjunto A mensurable de Lebesgue .
La existencia de conjuntos que no son medibles por Lebesgue es una consecuencia del axioma de elección de la teoría de conjuntos , que es independiente de muchos de los sistemas convencionales de axiomas para la teoría de conjuntos . El teorema de Vitali , que se deriva del axioma, establece que existen subconjuntos de R que no son medibles por Lebesgue. Suponiendo el axioma de elección, se han demostrado conjuntos no medibles con muchas propiedades sorprendentes, como los de la paradoja de Banach-Tarski .
En 1970, Robert M. Solovay demostró que la existencia de conjuntos que no son medibles por Lebesgue no se puede demostrar dentro del marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en ausencia del axioma de elección (ver modelo de Solovay ). [8]
Relación con otras medidas
La medida de Borel concuerda con la medida de Lebesgue en aquellos conjuntos para los que está definida; sin embargo, hay muchos más conjuntos mensurables de Lebesgue que conjuntos mensurables de Borel. La medida de Borel es invariante en la traducción, pero no completa .
La medida de Haar se puede definir en cualquier grupo localmente compacto y es una generalización de la medida de Lebesgue ( R n con adición es un grupo localmente compacto).
La medida de Hausdorff es una generalización de la medida de Lebesgue que es útil para medir los subconjuntos de R n de dimensiones inferiores a n , como subvariedades , por ejemplo, superficies o curvas en R 3 y conjuntos fractales . La medida de Hausdorff no debe confundirse con la noción de dimensión de Hausdorff .
Se puede demostrar que no existe un análogo de dimensión infinita de la medida de Lebesgue .
Ver también
- Teorema de la densidad de Lebesgue
- Medida de Lebesgue del conjunto de números de Liouville
- Conjunto no medible
- Conjunto vitali
Referencias
- ^ El término volumen también se usa, más estrictamente, como sinónimo de volumen tridimensional
- ^ Henri Lebesgue (1902). "Intégrale, longueur, aire". Université de Paris. Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Royden, HL (1988). Análisis real (3ª ed.). Nueva York: Macmillan. pag. 56. ISBN 0-02-404151-3.
- ^ Asaf Karagila. "¿Qué conjuntos son medibles en Lebesgue?" . intercambio de pila de matemáticas . Consultado el 26 de septiembre de 2015 .
- ^ Asaf Karagila. "¿Existe una sigma-álgebra en R estrictamente entre las álgebras de Borel y Lebesgue?" . intercambio de pila de matemáticas . Consultado el 26 de septiembre de 2015 .
- ^ Osgood, William F. (enero de 1903). "Una curva de Jordan de área positiva" . Transacciones de la American Mathematical Society . Sociedad Matemática Estadounidense. 4 (1): 107–112. doi : 10.2307 / 1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986455 .
- ^ Carothers, NL (2000). Análisis real . Cambridge: Cambridge University Press. págs. 293 . ISBN 9780521497565.
- ^ Solovay, Robert M. (1970). "Un modelo de teoría de conjuntos en el que cada conjunto de reales es medible según Lebesgue". Annals of Mathematics . Segunda Serie. 92 (1): 1–56. doi : 10.2307 / 1970696 . JSTOR 1970696 .