En cálculo , la regla integral de Leibniz para la diferenciación bajo el signo de la integral, llamada así por Gottfried Leibniz , establece que para una integral de la forma
dónde , la derivada de esta integral se puede expresar como
donde la derivada parcial indica que dentro de la integral, solo se considera la variación de f ( x , t ) con x al tomar la derivada. [1] Tenga en cuenta que si y son constantes en lugar de funciones de, tenemos el caso especial:
Además, si y , que también es una situación común (por ejemplo, en la prueba de la fórmula de integración repetida de Cauchy), tenemos:
Así, bajo ciertas condiciones, se pueden intercambiar los operadores diferenciales parciales e integrales . Este importante resultado es particularmente útil en la diferenciación de transformadas integrales . Un ejemplo de ello es la función generadora de momentos en la teoría de la probabilidad , una variación de la transformada de Laplace , que se puede diferenciar para generar los momentos de una variable aleatoria . La aplicación de la regla integral de Leibniz es esencialmente una cuestión sobre el intercambio de límites .
Forma general: diferenciación bajo el signo integral
- Teorema. Sea f ( x , t ) una función tal que tanto f ( x , t ) como su derivada parcial f x ( x , t ) son continuas en t y x en alguna región del plano ( x , t ), incluyendo a ( x ) ≤ t ≤ b ( x ) , x 0 ≤ x ≤ x 1 . Suponga también que las funciones a ( x ) y b ( x ) son continuas y ambas tienen derivadas continuas para x 0 ≤ x ≤ x 1 . Entonces, para x 0 ≤ x ≤ x 1 ,
Esta fórmula es la forma general de la regla integral de Leibniz y se puede derivar usando el teorema fundamental del cálculo . El (primer) teorema fundamental del cálculo es solo el caso particular de la fórmula anterior donde a ( x ) = a , una constante, b ( x ) = x , y f ( x , t ) = f ( t ).
Si los límites superior e inferior se toman como constantes, entonces la fórmula toma la forma de una ecuación de operador :
dónde es la derivada parcial con respecto a y es el operador integral con respecto a durante un intervalo fijo . Es decir, está relacionado con la simetría de segundas derivadas , pero involucra tanto integrales como derivadas. Este caso también se conoce como la regla integral de Leibniz.
Los siguientes tres teoremas básicos sobre el intercambio de límites son esencialmente equivalentes:
- el intercambio de una derivada y una integral (diferenciación bajo el signo de la integral; es decir, la regla integral de Leibniz);
- el cambio de orden de las derivadas parciales;
- el cambio de orden de integración (integración bajo el signo integral; es decir, el teorema de Fubini ).
Caso tridimensional dependiente del tiempo
Una regla integral de Leibniz para una superficie bidimensional que se mueve en un espacio tridimensional es [2]
dónde:
- F ( r , t ) es un campo vectorial en la posición espacial r en el tiempo t ,
- Σ es una superficie delimitada por la curva cerrada ∂Σ,
- d A es un elemento vectorial de la superficie Σ,
- d s es un elemento vectorial de la curva ∂Σ,
- v es la velocidad de movimiento de la región Σ,
- ∇⋅ es la divergencia del vector ,
- × es el producto cruzado vectorial ,
- Las integrales dobles son integrales de superficie sobre la superficie Σ, y la integral de línea está sobre la curva delimitadora ∂Σ.
Mayores dimensiones
La regla integral de Leibniz se puede extender a integrales multidimensionales. En dos y tres dimensiones, esta regla se conoce mejor en el campo de la dinámica de fluidos como el teorema del transporte de Reynolds :
dónde es una función escalar, D ( t ) y ∂ D ( t ) denotan una región conectada que varía en el tiempo de R 3 y su límite, respectivamente,es la velocidad euleriano del límite (ver lagrangiana y las coordenadas de Euler ) y d Σ = n dS es la componente normal unidad de la superficie de elemento .
El enunciado general de la regla integral de Leibniz requiere conceptos de geometría diferencial , específicamente formas diferenciales , derivados exteriores , productos de cuña y productos interiores . Con esas herramientas, la regla integral de Leibniz en n dimensiones es [2]
donde Ω ( t ) es un dominio de integración variable en el tiempo, ω es una forma p , es el campo vectorial de la velocidad, denota el producto interior con, d x ω es la derivada exterior de ω con respecto a las variables espaciales solamente y es la derivada de ω en el tiempo.
Sin embargo, todas estas identidades se pueden derivar de una declaración más general sobre los derivados de Lie:
Aquí, el colector ambiental en el que la forma diferencial la vida incluye tanto el espacio como el tiempo.
- es la región de integración (una subvariedad) en un instante dado (no depende de , ya que su parametrización como subvarietal define su posición en el tiempo),
- es la derivada de Lie ,
- es el campo vectorial del espacio-tiempo obtenido al agregar el campo vectorial unitario en la dirección del tiempo al campo vectorial puramente espacial de las fórmulas anteriores (es decir, es la velocidad espaciotemporal de ),
- es un difeomorfismo del grupo de un parámetro generado por el flujo de , y
- es la imagen de bajo tal difeomorfismo.
Algo notable acerca de esta forma es que puede explicar el caso cuando cambia su forma y tamaño con el tiempo, ya que tales deformaciones están completamente determinadas por .
Declaración de la teoría de la medida
Dejar ser un subconjunto abierto de , y ser un espacio de medida . Suponer cumple las siguientes condiciones:
- es una función integrable de Lebesgue de para cada .
- Para casi todos , la derivada existe para todos .
- Hay una función integrable tal que para todos y casi todos .
Entonces, para todos ,
La demostración se basa en el teorema de convergencia dominado y el teorema del valor medio (detalles a continuación).
Pruebas
Prueba de forma básica
En primer lugar, demostramos el caso de límites constantes de integración una y b .
Usamos el teorema de Fubini para cambiar el orden de integración. Para cada x y h , tal que h > 0 y tanto x como x + h están dentro de [ x 0 , x 1 ], tenemos:
Tenga en cuenta que las integrales en cuestión están bien definidas ya que es continuo en el rectángulo cerrado y así también allí uniformemente continuo; así, sus integrales por dt o dx son continuas en la otra variable y también integrables por ella (esencialmente esto se debe a que para funciones uniformemente continuas, uno puede pasar el límite a través del signo de integración, como se explica más adelante).
Por lo tanto:
Donde hemos definido:
(podemos reemplazar x 0 aquí por cualquier otro punto entre x 0 y x )
F es diferenciable con derivada, por lo que podemos tomar el límite donde h se acerca a cero. Para el lado izquierdo, este límite es:
Para el lado derecho, obtenemos:
Y así probamos el resultado deseado:
Otra prueba usando el teorema de convergencia acotada
Si las integrales en cuestión son integrales de Lebesgue , podemos usar el teorema de convergencia acotada (válido para estas integrales, pero no para integrales de Riemann ) para mostrar que el límite puede pasar a través del signo de la integral.
Tenga en cuenta que esta demostración es más débil en el sentido de que solo muestra que f x ( x , t ) es integrable de Lebesgue, pero no que es integrable de Riemann. En la prueba anterior (más fuerte), si f ( x , t ) es integrable de Riemann, entonces también lo es f x ( x , t ) (y, por lo tanto, obviamente también es integrable de Lebesgue).
Dejar
( 1 )
Por la definición de la derivada,
( 2 )
Sustituya la ecuación ( 1 ) en la ecuación ( 2 ). La diferencia de dos integrales es igual a la integral de la diferencia, y 1 / h es una constante, por lo que
Ahora mostramos que el límite se puede pasar a través del signo integral.
Afirmamos que el paso del límite bajo el signo integral es válido por el teorema de la convergencia acotada (un corolario del teorema de la convergencia dominada ). Para cada δ > 0, considere el cociente de diferencias
Para t fijo, el teorema del valor medio implica que existe z en el intervalo [ x , x + δ ] tal que
La continuidad de f x ( x , t ) y la compacidad del dominio juntas implican que f x ( x , t ) está acotada. La aplicación anterior del teorema del valor medio, por lo tanto, da un uniforme (independiente de) atado en . Los cocientes de diferencias convergen puntualmente a la derivada parcial f x asumiendo que existe la derivada parcial.
El argumento anterior muestra que para cada secuencia { δ n } → 0, la secuenciaestá uniformemente acotado y converge puntualmente af x . El teorema de la convergencia acotada establece que si una secuencia de funciones en un conjunto de medidas finitas está uniformemente acotada y converge puntualmente, entonces el paso del límite por debajo de la integral es válido. En particular, el límite y la integral se pueden intercambiar para cada secuencia { δ n } → 0. Por lo tanto, el límite cuando δ → 0 se puede pasar a través del signo de la integral.
Formulario de límites variables
Para una función continua de valor real g de una variable real , y funciones diferenciables de valor real y de una variable real,
Esto se sigue de la regla de la cadena y del primer teorema fundamental del cálculo . Definir
- ,
y
- . (El límite inferior solo tiene que ser un número en el dominio de )
Luego, se puede escribir como una composición :. La regla de la cadena implica entonces que
- .
Según el primer teorema fundamental del cálculo ,. Por lo tanto, sustituyendo este resultado anterior, obtenemos la ecuación deseada:
- .
Nota: Este formulario puede ser particularmente útil si la expresión a diferenciar tiene el siguiente formato:
Porque no depende de los límites de integración, se puede mover desde debajo del signo integral, y la forma anterior se puede usar con la regla del Producto , es decir
Forma general con límites variables
Colocar
donde un y b son funciones de α que incrementos de exhibición delta una y Δ b , respectivamente, cuando α se incrementa en Δ α . Luego,
Una forma del teorema del valor medio ,, donde a < ξ < b , se puede aplicar a la primera y última integrales de la fórmula para Δ φ anterior, dando como resultado
Dividir por Delta alpha y dejar Delta alpha → 0. Aviso ξ 1 → una y ξ 2 → b . Podemos pasar el límite a través del signo integral:
nuevamente por el teorema de convergencia acotada. Esto produce la forma general de la regla integral de Leibniz,
Prueba alternativa de forma general con límites variables, utilizando la regla de la cadena
La forma general de la regla integral de Leibniz con límites variables se puede derivar como consecuencia de la forma básica de la regla integral de Leibniz, la regla de la cadena multivariable y el primer teorema fundamental del cálculo . Suponer se define en un rectángulo en el avión, para y . Además, asume y la derivada parcial son funciones continuas en este rectángulo. Suponerson funciones diferenciables de valor real definidas en, con valores en (es decir, para cada ). Ahora, establezca
- , para y
y
- , para
Entonces, por las propiedades de las integrales definidas , podemos escribir
Dado que las funciones son diferenciables (ver el comentario al final de la demostración), por la regla de la cadena multivariable , se sigue que es diferenciable, y su derivada viene dada por la fórmula:
Ahora, tenga en cuenta que para cada y por cada , tenemos eso , porque al tomar la derivada parcial con respecto a de , estamos manteniendo fijo en la expresión ; por tanto, se aplica la forma básica de la regla integral de Leibniz con límites constantes de integración. A continuación, según el primer teorema fundamental del cálculo , tenemos que; porque al tomar la derivada parcial con respecto a de , la primera variable es fijo, por lo que el teorema fundamental se puede aplicar.
Sustituyendo estos resultados en la ecuación para arriba da:
como se desee.
Hay un punto técnico en la demostración anterior que vale la pena señalar: aplicar la regla de la cadena a requiere que ya sea diferenciable . Aquí es donde usamos nuestras suposiciones sobre. Como se mencionó anteriormente, las derivadas parciales de están dadas por las fórmulas y . Desdees continua, su integral también es una función continua, [3] y dado que también es continua, estos dos resultados muestran que tanto las derivadas parciales de son continuos. Dado que la continuidad de las derivadas parciales implica la diferenciabilidad de la función, [4] es de hecho diferenciable.
Forma tridimensional dependiente del tiempo
En el momento t, la superficie Σ en la Figura 1 contiene un conjunto de puntos dispuestos alrededor de un centroide. La función Se puede escribir como
con independiente del tiempo. Las variables se desplazan a un nuevo marco de referencia adjunto a la superficie móvil, con origen en. Para una superficie de traslación rígida, los límites de integración son independientes del tiempo, por lo que:
donde los límites de integración que limitan la integral a la región Σ ya no dependen del tiempo, por lo que la diferenciación pasa por la integración para actuar solo sobre el integrando:
con la velocidad de movimiento de la superficie definida por
Esta ecuación expresa la derivada material del campo, es decir, la derivada con respecto a un sistema de coordenadas adjunto a la superficie en movimiento. Una vez encontrada la derivada, las variables se pueden cambiar al marco de referencia original. Notamos que (ver artículo sobre curl )
y que el teorema de Stokes iguala la integral de superficie del rizo sobre Σ con una integral de línea sobre ∂Σ:
El signo de la integral de línea se basa en la regla de la mano derecha para la elección de la dirección del elemento de línea d s . Para establecer este signo, por ejemplo, suponga que el campo F apunta en la dirección z positiva , y la superficie Σ es una porción del plano xy con perímetro ∂Σ. Adoptamos la normal a Σ para que esté en la dirección z positiva . El recorrido positivo de ∂Σ es entonces en sentido antihorario (regla de la mano derecha con el pulgar a lo largo del eje z ). Entonces, la integral del lado izquierdo determina un flujo positivo de F a través de Σ. Suponga que Σ se traduce en la dirección x positiva a la velocidad v . Un elemento del límite de Σ paralelo al eje y , digamos d s , barre un área v t × d s en el tiempo t . Si integramos alrededor del límite ∂Σ en sentido antihorario, v t × d s apunta en la dirección z negativa en el lado izquierdo de ∂Σ (donde d s apunta hacia abajo), y en la dirección z positiva a la derecha lado de ∂Σ (donde d s apunta hacia arriba), lo cual tiene sentido porque Σ se mueve hacia la derecha, agregando área a la derecha y perdiéndola a la izquierda. Sobre esa base, el flujo de F aumenta a la derecha de ∂Σ y disminuye a la izquierda. Sin embargo, el producto escalar v × F • d s = - F × v • d s = - F • v × d s . En consecuencia, el signo de la integral de línea se toma como negativo.
Si v es una constante,
que es el resultado citado. Esta prueba no considera la posibilidad de que la superficie se deforme a medida que se mueve.
Derivación alternativa
Lema. Uno tiene:
Prueba. De la demostración del teorema fundamental del cálculo ,
y
Supongamos un y b son constantes, y que f ( x ) implica una α parámetro que es constante en la integración pero puede variar para formar diferentes integrales. Suponga que f ( x , α ) es una función continua de x y α en el conjunto compacto {( x , α ): α 0 ≤ α ≤ α 1 y a ≤ x ≤ b }, y que la derivada parcial f α ( x , α ) existe y es continua. Si uno define:
luego puede diferenciarse con respecto a α diferenciando bajo el signo integral, es decir,
Según el teorema de Heine-Cantor , es uniformemente continuo en ese conjunto. En otras palabras, para cualquier ε > 0 existe Δα tal que para todos los valores de x en [ a , b ],
Por otro lado,
Por tanto, φ (α) es una función continua.
Similarmente si existe y es continuo, entonces para todo ε> 0 existe Δα tal que:
Por lo tanto,
dónde
Ahora, ε → 0 cuando Δ α → 0, entonces
Esta es la fórmula que nos propusimos probar.
Ahora suponga
donde un y b son funciones de α que tienen incrementos delta una y Δ b , respectivamente, cuando α se incrementa en Δ α . Luego,
Una forma del teorema del valor medio ,donde a < ξ < b , se puede aplicar a la primera y última integrales de la fórmula para Δ φ anterior, lo que resulta en
Dividiendo por Delta alpha , dejando Delta alpha → 0, notando ξ 1 → una y ξ 2 → b y el uso de la derivación anteriormente para
rendimientos
Ésta es la forma general de la regla integral de Leibniz.
Ejemplos de
Ejemplo 1: límites fijos
Considere la función
La función bajo el signo integral no es continua en el punto ( x , α ) = (0, 0), y la función φ ( α ) tiene una discontinuidad en α = 0 porque φ ( α ) se acerca a ± π / 2 cuando α → 0 ± .
Si diferenciamos φ ( α ) con respecto a α bajo el signo integral, obtenemos
lo cual es, por supuesto, cierto para todos los valores de α excepto α = 0. Esto puede integrarse (con respecto a α ) para encontrar
Ejemplo 2: límites variables
Un ejemplo con límites variables:
Aplicaciones
Evaluar integrales definidas
La formula
puede ser de utilidad al evaluar ciertas integrales definidas. Cuando se usa en este contexto, la regla integral de Leibniz para diferenciar bajo el signo integral también se conoce como truco de integración de Feynman.
Ejemplo 3
Considerar
Ahora,
Como varía de a , tenemos
Por eso,
Por lo tanto,
Integrando ambos lados con respecto a , obtenemos:
se desprende de evaluar :
Para determinar de la misma manera, deberíamos necesitar sustituir en un valor de mayor que 1 en . Esto es algo inconveniente. En cambio, sustituimos, dónde . Luego,
Por lo tanto,
La definición de ahora está completo:
La discusión anterior, por supuesto, no se aplica cuando , ya que no se cumplen las condiciones para la diferenciabilidad.
Ejemplo 4
Primero calculamos:
Los límites de la integración son independientes de , tenemos:
Por otro lado:
Al equiparar estas dos relaciones se obtiene
De manera similar, persiguiendo rendimientos
La suma de los dos resultados produce
que calcula como se desee.
Esta derivación puede generalizarse. Tenga en cuenta que si definimos
se puede demostrar fácilmente que
Dado , esta fórmula de reducción integral se puede utilizar para calcular todos los valores de por . Integrales como y también se puede manejar mediante la sustitución de Weierstrass .
Ejemplo 5
Aquí, consideramos la integral
Diferenciar bajo la integral con respecto a , tenemos
Por lo tanto:
Pero por definición así y
Ejemplo 6
Aquí, consideramos la integral
Introducimos una nueva variable φ y reescribimos la integral como
Cuando φ = 1, esto es igual a la integral original. Sin embargo, esta integral más general puede diferenciarse con respecto a:
Ahora, corrija φ y considere el campo vectorial en definido por . Además, elija la parametrización orientada positiva del círculo unitario dada por , , así que eso . Entonces la integral final anterior es precisamente
la integral de línea de encima . Según el teorema de Green , esto es igual a la integral doble
dónde es el disco de la unidad cerrada . Su integrando es idénticamente 0, por lo quees igualmente idénticamente cero. Esto implica que f ( φ ) es constante. La constante se puede determinar evaluando a :
Por lo tanto, la integral original también es igual a .
Otros problemas a resolver
Existen innumerables otras integrales que se pueden resolver utilizando la técnica de diferenciación bajo el signo integral. Por ejemplo, en cada uno de los siguientes casos, la integral original puede ser reemplazada por una integral similar que tenga un nuevo parámetro:
La primera integral, la integral de Dirichlet , es absolutamente convergente para α positivo pero solo condicionalmente convergente cuando. Por tanto, la diferenciación bajo el signo integral es fácil de justificar cuando, pero demostrando que la fórmula resultante sigue siendo válida cuando requiere un trabajo cuidadoso.
Series infinitas
La versión de la diferenciación de la teoría de la medida bajo el signo integral también se aplica a la suma (finita o infinita) al interpretar la suma como una medida de conteo . Un ejemplo de una aplicación es el hecho de que las series de potencias son diferenciables en su radio de convergencia.
En la cultura popular
La diferenciación bajo el signo integral se menciona en las memorias más vendidas del físico Richard Feynman ¡ Seguramente está bromeando, Sr. Feynman! en el capítulo "Una caja de herramientas diferente". Describe cómo lo aprendió, mientras estaba en la escuela secundaria , de un texto antiguo, Cálculo avanzado (1926), de Frederick S. Woods (quien era profesor de matemáticas en el Instituto de Tecnología de Massachusetts ). La técnica no se enseñó a menudo cuando Feynman recibió más tarde su educación formal en cálculo , pero al usar esta técnica, Feynman pudo resolver problemas de integración que de otro modo serían difíciles a su llegada a la escuela de posgrado en la Universidad de Princeton :
Una cosa que nunca aprendí fue la integración de contornos . Había aprendido a hacer integrales mediante varios métodos que se muestran en un libro que me había dado el profesor de física de mi escuela secundaria, el Sr. Bader. Un día me dijo que me quedara después de clases. "Feynman", dijo, "hablas demasiado y haces demasiado ruido. Ya sé por qué. Estás aburrido. Así que te voy a dar un libro. Ve allá en la parte de atrás, en la esquina". y estudie este libro, y cuando sepa todo lo que contiene, podrá volver a hablar ". Entonces, en cada clase de física, no presté atención a lo que estaba sucediendo con la Ley de Pascal, o lo que sea que estuvieran haciendo. Estaba en la parte de atrás con este libro: "Cálculo avanzado" , de Woods. Bader sabía que había estudiado "Cálculo para el hombre práctico" un poco, así que me dio los trabajos reales: era para un curso de tercer o cuarto año de la universidad. Tenía series de Fourier , funciones de Bessel , determinantes , funciones elípticas, todo tipo de cosas maravillosas de las que yo no sabía nada. Ese libro también mostró cómo diferenciar parámetros bajo el signo integral: es una operación determinada. Resulta que eso no se enseña mucho en las universidades; no lo enfatizan. Pero comprendí cómo usar ese método, y usé esa maldita herramienta una y otra vez. Entonces, como fui autodidacta con ese libro, tenía métodos peculiares para hacer integrales. El resultado fue que, cuando los chicos del MIT o Princeton tenían problemas para hacer una determinada integral, era porque no podían hacerlo con los métodos estándar que habían aprendido en la escuela. Si fuera integración de contorno, la habrían encontrado; si fuera una simple expansión en serie, la habrían encontrado. Luego vengo y trato de diferenciar bajo el signo integral, y a menudo funcionó. Así que obtuve una gran reputación por hacer integrales, solo porque mi caja de herramientas era diferente a la de todos los demás, y ellos habían probado todas sus herramientas antes de plantearme el problema.
Ver también
- Cadena de reglas
- Diferenciación de integrales
- Regla de Leibniz (regla de producto generalizada)
- Teorema del transporte de Reynolds , una generalización de la regla de Leibniz
Referencias
- ^ Protter, Murray H .; Morrey, Charles B., Jr. (1985). "Diferenciación bajo el signo integral" . Cálculo intermedio (Segunda ed.). Nueva York: Springer. págs. 421–426. ISBN 978-0-387-96058-6.
- ^ a b Flanders, Harly (junio-julio de 1973). "Diferenciación bajo el signo integral" (PDF) . American Mathematical Monthly . 80 (6): 615–627. doi : 10.2307 / 2319163 . JSTOR 2319163 .
- ^ Spivak, Michael (1994). Cálculo (3 ed.). Houston, Texas: Publicar o perecer, Inc. pp. 267 -268. ISBN 978-0-914098-89-8.
- ^ Spivak, Michael (1965). Cálculo en colectores . Compañía editorial de Addison-Wesley. pag. 31. ISBN 978-0-8053-9021-6.
Otras lecturas
- Amazigo, John C .; Rubenfeld, Lester A. (1980). "Integrales simples: regla de Leibnitz; integración numérica" . Cálculo avanzado y sus aplicaciones a la ingeniería y las ciencias físicas . Nueva York: Wiley. págs. 155-165 . ISBN 0-471-04934-4.
- Kaplan, Wilfred (1973). "Integrales dependiendo de un parámetro: regla de Leibnitz". Cálculo avanzado (2ª ed.). Lectura: Addison-Wesley. págs. 285–288.
enlaces externos
- Harron, Rob. "La regla de Leibniz" (PDF) .