Leonhard Euler ( / ɔɪ l ər / OY -lər ; [2] alemán: [ɔʏlɐ] ( escuchar ) ; [3] 15 abril 1707 a 18 septiembre 1783) era un suizo matemático , físico , astrónomo , geógrafo , lógico y ingeniero que hizo descubrimientos importantes e influyentes en muchas ramas de las matemáticas , como el cálculo infinitesimal y la teoría de grafos, al tiempo que realiza contribuciones pioneras en varias ramas, como la topología y la teoría analítica de números . También introdujo gran parte de la terminología y la notación matemáticas modernas , en particular para el análisis matemático , como la noción de función matemática . [4] También es conocido por su trabajo en mecánica , dinámica de fluidos , óptica , astronomía y teoría musical . [5]
Leonhard Euler | |
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Nació | Basilea , Suiza | 15 de abril de 1707
Fallecido | 18 de septiembre de 1783 [ SO : 7 de septiembre de 1783] | (76 años)
alma mater | Universidad de Basilea ( MPhil ) |
Conocido por | Ver lista completa |
Esposos) | Katharina Gsell (1734-1773) Salomé Abigail Gsell (1776-1783) |
Carrera científica | |
Campos | Matemáticas y física |
Instituciones | Academia Imperial Rusa de Ciencias Academia de Berlín |
Tesis | Dissertatio physica de sono (Disertación física sobre el sonido) (1726) |
Asesor de doctorado | Johann Bernoulli |
Estudiantes de doctorado | Johann Hennert |
Otros estudiantes notables | Nicolas Fuss Stepan Rumovsky Joseph-Louis Lagrange (corresponsal epistolar) |
Firma | |
Notas | |
Es el padre del matemático Johann Euler . Está catalogado por una genealogía académica como el equivalente al consejero de doctorado de Joseph Louis Lagrange. [1] |
Euler es considerado uno de los más grandes matemáticos de la historia. Una encuesta de Mathematical Intelligencer de 1988 clasificó 3 de sus resultados entre las 5 ecuaciones más bellas de la historia (su identidad icónica ocupó el puesto número uno). [6] Una declaración atribuida a Pierre-Simon Laplace expresa la influencia de Euler en las matemáticas: "Lea a Euler, lea a Euler, él es el maestro de todos nosotros". [7] [8] También es ampliamente considerado como el más prolífico, ya que sus obras completas llenan 92 volúmenes, [9] más que cualquier otra persona en el campo. Pasó la mayor parte de su vida adulta en San Petersburgo , Rusia , y en Berlín , entonces la capital de Prusia .
Entre sus muchos descubrimientos y desarrollos, a Euler se le atribuye: Popularizar la letra griega π (pi minúscula) para denotar la constante de Arquímedes (la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro); Primero empleando el término f (x) para describir el eje y de una función ; La letra i para expresar la unidad imaginaria equivalente a √-1; La letra griega Σ (sigma mayúscula) para expresar sumas; Para desarrollar e , una nueva constante matemática (comúnmente conocida como Número de Euler ) que es aproximadamente equivalente a 2.71828, que representa la base natural de un logaritmo , que tiene varias aplicaciones, como calcular el interés compuesto en ingeniería financiera. [10]
Euler también revolucionó el campo de la física al reformular las leyes clásicas de la física de Newton en nuevas leyes que podrían explicar el movimiento de los cuerpos rígidos más fácilmente, e hizo contribuciones significativas al estudio de las deformaciones elásticas de los objetos sólidos.
Vida temprana
Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707, en Basilea , Suiza, de Paul III Euler, un pastor de la Iglesia Reformada , y Marguerite née Brucker, la hija de otro pastor. Tenía dos hermanas menores, Anna Maria y Maria Magdalena, y un hermano menor, Johann Heinrich. [11] Poco después del nacimiento de Leonhard, la familia Euler se mudó de Basilea a la ciudad de Riehen , Suiza, donde Leonhard pasó la mayor parte de su infancia. Paul era amigo de la familia Bernoulli ; Johann Bernoulli , entonces considerado como el matemático más importante de Europa, eventualmente sería la influencia más importante en el joven Leonhard.
La educación formal de Euler comenzó en Basilea, donde fue enviado a vivir con su abuela materna. En 1720, a los trece años, se matriculó en la Universidad de Basilea . En 1723, recibió una Maestría en Filosofía con una disertación que comparaba las filosofías de Descartes y Newton . Durante ese tiempo, estaba recibiendo lecciones los sábados por la tarde de Johann Bernoulli, quien rápidamente descubrió el increíble talento de su nuevo alumno para las matemáticas. [12] En ese momento, los principales estudios de Euler incluían teología, griego y hebreo a instancias de su padre de convertirse en pastor, pero Bernoulli convenció a su padre de que Leonhard estaba destinado a convertirse en un gran matemático.
En 1726, Euler completó una disertación sobre la propagación del sonido con el título De Sono . [13] En ese momento, intentaba sin éxito obtener un puesto en la Universidad de Basilea. En 1727, participó por primera vez en el concurso Problema del Premio de la Academia de París ; el problema de ese año fue encontrar la mejor manera de colocar los mástiles en un barco. Pierre Bouguer , conocido como "el padre de la arquitectura naval", ganó y Euler ocupó el segundo lugar. Euler ganó más tarde este premio anual en doce ocasiones. [14]
Carrera profesional
San Petersburgo
Por esta época, los dos hijos de Johann Bernoulli, Daniel y Nicolaus , trabajaban en la Academia de Ciencias Imperial Rusa en San Petersburgo . El 31 de julio de 1726, Nicolás murió de apendicitis después de pasar menos de un año en Rusia. [15] [16] Cuando Daniel asumió el puesto de su hermano en la división de matemáticas / física, recomendó que el puesto en fisiología que había dejado vacante lo ocupara su amigo Euler. En noviembre de 1726, Euler aceptó con entusiasmo la oferta, pero retrasó el viaje a San Petersburgo mientras solicitaba sin éxito una cátedra de física en la Universidad de Basilea. [17]
Euler llegó a San Petersburgo el 17 de mayo de 1727. Fue ascendido de su puesto menor en el departamento médico de la academia a un puesto en el departamento de matemáticas. Se hospedó con Daniel Bernoulli con quien a menudo trabajó en estrecha colaboración. Euler dominó el ruso y se instaló en San Petersburgo. También asumió un trabajo adicional como médico en la Armada rusa . [18]
La Academia de San Petersburgo, establecida por Pedro el Grande , tenía como objetivo mejorar la educación en Rusia y cerrar la brecha científica con Europa Occidental. Como resultado, se hizo especialmente atractivo para académicos extranjeros como Euler. La academia poseía amplios recursos económicos y una amplia biblioteca extraída de las bibliotecas privadas del propio Peter y de la nobleza. Se matricularon muy pocos estudiantes en la academia para reducir la carga docente de la facultad. La academia enfatizó la investigación y ofreció a su facultad tanto el tiempo como la libertad para realizar preguntas científicas. [14]
La benefactora de la Academia, Catalina I , que había continuado con las políticas progresistas de su difunto esposo, murió el día de la llegada de Euler. La nobleza rusa luego ganó el poder con la ascensión de Pedro II, de doce años . La nobleza, que sospechaba de los científicos extranjeros de la academia, recortó los fondos y provocó otras dificultades para Euler y sus colegas.
Las condiciones mejoraron ligeramente después de la muerte de Pedro II, y Euler ascendió rápidamente en las filas de la academia y fue nombrado profesor de física en 1731. Dos años más tarde, Daniel Bernoulli, que estaba harto de la censura y la hostilidad que enfrentó en Saint Petersburgo, se fue a Basilea. Euler lo sucedió como jefe del departamento de matemáticas. [19]
El 7 de enero de 1734 se casó con Katharina Gsell (1707-1773), hija de Georg Gsell , pintor del Academy Gymnasium. [20] La joven pareja compró una casa junto al río Neva . De sus trece hijos, solo cinco sobrevivieron a la infancia. [21]
Berlina
Preocupado por la continua agitación en Rusia, Euler dejó San Petersburgo el 19 de junio de 1741 para ocupar un puesto en la Academia de Berlín , que le había ofrecido Federico el Grande de Prusia . Vivió durante 25 años en Berlín , donde escribió más de 380 artículos. En Berlín, publicó las dos obras por las que se haría más famoso: la Introductio in analysin infinitorum , un texto sobre funciones publicado en 1748, y las Institutiones calculi differentialis , [22] publicado en 1755 sobre cálculo diferencial . [23] En 1755, fue elegido miembro extranjero de la Real Academia Sueca de Ciencias .
Además, se le pidió a Euler que fuera tutora de Friederike Charlotte de Brandenburg-Schwedt , la princesa de Anhalt-Dessau y sobrina de Frederick. Euler le escribió más de 200 cartas a principios de la década de 1760, que luego se compilaron en un volumen de gran venta titulado Cartas de Euler sobre diferentes temas de filosofía natural dirigidas a una princesa alemana . [24] Este trabajo contenía la exposición de Euler sobre varios temas relacionados con la física y las matemáticas, además de ofrecer valiosos conocimientos sobre la personalidad y las creencias religiosas de Euler. Este libro se volvió más leído que cualquiera de sus trabajos matemáticos y se publicó en Europa y Estados Unidos. La popularidad de las "Cartas" atestigua la capacidad de Euler para comunicar asuntos científicos de manera efectiva a una audiencia no especializada, una habilidad poco común para un científico de investigación dedicado. [23]
A pesar de la inmensa contribución de Euler al prestigio de la Academia, eventualmente incurrió en la ira de Frederick y terminó teniendo que abandonar Berlín. El rey de Prusia tenía un gran círculo de intelectuales en su corte, y encontraba al matemático poco sofisticado y mal informado en asuntos que iban más allá de los números y las cifras. Euler era un hombre sencillo y devotamente religioso que nunca cuestionó el orden social existente o las creencias convencionales, en muchos sentidos el polo opuesto de Voltaire , que disfrutaba de un alto lugar de prestigio en la corte de Frederick. Euler no era un polemista experto y, a menudo, se esforzaba por discutir sobre temas de los que sabía poco, lo que lo convertía en el blanco frecuente del ingenio de Voltaire. [23] Frederick también expresó su decepción con las habilidades prácticas de ingeniería de Euler:
Quería tener un chorro de agua en mi jardín: Euler calculó la fuerza de las ruedas necesaria para elevar el agua a un depósito, desde donde debería caer por canales, finalmente brotando en Sanssouci . Mi molino se realizó geométricamente y no pudo levantar un bocado de agua a menos de cincuenta pasos del embalse. ¡Vanidad de vanidades! ¡Vanidad de la geometría! [25]
Vida personal
Deterioro de la vista
La vista de Euler empeoró a lo largo de su carrera matemática. En 1738, tres años después de casi morir por la fiebre, quedó casi ciego del ojo derecho, pero Euler culpó de su condición al minucioso trabajo de cartografía que realizó para la Academia de San Petersburgo. La visión de Euler en ese ojo empeoró durante su estancia en Alemania, hasta el punto de que Federico se refirió a él como " Cíclope ". Euler comentó sobre su pérdida de visión: "Ahora tendré menos distracciones". [26] Más tarde desarrolló una catarata en su ojo izquierdo, que fue descubierta en 1766. Apenas unas semanas después de su descubrimiento, una restauración quirúrgica fallida lo dejó casi totalmente ciego. Entonces tenía 59 años. Sin embargo, su condición pareció tener poco efecto en su productividad, ya que la compensó con sus habilidades de cálculo mental y su memoria excepcional. Por ejemplo, Euler podía repetir la Eneida de Virgilio de principio a fin sin dudarlo, y para cada página de la edición podía indicar qué línea era la primera y cuál la última. Con la ayuda de sus escribas, la productividad de Euler en muchas áreas de estudio de hecho aumentó. Produjo, en promedio, un artículo matemático cada semana en el año 1775. [27] Los Euler tenían un nombre doble, Euler-Schölpi, el último de los cuales deriva de schelb y schief , que significa entrecerrar los ojos, bizcos o torcido. Esto sugiere que los Euler eran susceptibles a problemas oculares. [28]
Regreso a Rusia y muerte
En 1760, con la Guerra de los Siete Años en pleno apogeo, la granja de Euler en Charlottenburg fue saqueada por las tropas rusas en avance. Al enterarse de este evento, el general Ivan Petrovich Saltykov pagó una indemnización por los daños causados a la propiedad de Euler, y la emperatriz Isabel de Rusia añadió más tarde un pago adicional de 4000 rublos, una cantidad exorbitante en ese momento. [29] La situación política en Rusia se estabilizó después del acceso al trono de Catalina la Grande , por lo que en 1766 Euler aceptó una invitación para regresar a la Academia de San Petersburgo. Sus condiciones eran bastante exorbitantes: un salario anual de 3000 rublos, una pensión para su esposa y la promesa de nombramientos de alto rango para sus hijos. Todas estas solicitudes fueron concedidas. Pasó el resto de su vida en Rusia. Sin embargo, su segunda estadía en el país se vio empañada por la tragedia. Un incendio en San Petersburgo en 1771 le costó su casa y casi su vida. En 1773, perdió a su esposa Katharina después de 40 años de matrimonio.
Tres años después de la muerte de su esposa, Euler se casó con su media hermana, Salome Abigail Gsell (1723-1794). [30] Este matrimonio duró hasta su muerte. En 1782 fue elegido miembro honorario extranjero de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias . [31]
En San Petersburgo, el 18 de septiembre de 1783, después de un almuerzo con su familia, Euler estaba discutiendo el planeta Urano recién descubierto y su órbita con un compañero académico Anders Johan Lexell , cuando colapsó debido a una hemorragia cerebral . Él murió unas cuantas horas después. [32] Jacob von Staehlin-Storcksburg escribió un breve obituario para la Academia de Ciencias de Rusia y el matemático ruso Nicolas Fuss , uno de los discípulos de Euler, escribió un elogio más detallado, [33] que pronunció en una reunión conmemorativa. En su elogio para la Academia Francesa, el matemático y filósofo francés Marqués de Condorcet , escribió:
il cessa de calculer et de vivre - ... dejó de calcular y de vivir. [34]
Euler fue enterrado junto a Katharina en el cementerio luterano de Smolensk en la isla Goloday . En 1785, la Academia de Ciencias de Rusia colocó un busto de mármol de Leonhard Euler en un pedestal junto al asiento del Director y, en 1837, colocó una lápida sobre la tumba de Euler. Para conmemorar el 250 aniversario del nacimiento de Euler, la lápida se trasladó en 1956, junto con sus restos, a la necrópolis del siglo XVIII en el Monasterio Alexander Nevsky .
Contribuciones a las matemáticas y la física
Euler trabajó en casi todas las áreas de las matemáticas, como geometría , cálculo infinitesimal , trigonometría , álgebra y teoría de números , así como física continua , teoría lunar y otras áreas de la física . Es una figura fundamental en la historia de las matemáticas; si se imprimiera, sus obras, muchas de las cuales son de interés fundamental, ocuparían entre 60 y 80 volúmenes en cuarto . [27] El nombre de Euler está asociado con una gran cantidad de temas .
Euler es el único matemático que tiene dos números con su nombre: el importante número de Euler en cálculo , e , aproximadamente igual a 2,71828, y la constante de Euler-Mascheroni γ ( gamma ) a veces denominada simplemente "constante de Euler", aproximadamente igual a 0.57721. No se sabe si γ es racional o irracional . [35]
Notación matemática
Euler introdujo y popularizó varias convenciones de notación a través de sus numerosos libros de texto de amplia circulación. En particular, introdujo el concepto de función [4] y fue el primero en escribir f ( x ) para denotar la función f aplicada al argumento x . También introdujo la notación moderna para las funciones trigonométricas , la letra e para la base del logaritmo natural (ahora también conocida como número de Euler ), la letra griega Σ para las sumas y la letra i para denotar la unidad imaginaria . [36] El uso de la letra griega π para denotar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro también fue popularizado por Euler, aunque se originó con el matemático galés William Jones . [37]
Análisis
El desarrollo del cálculo infinitesimal estuvo a la vanguardia de la investigación matemática del siglo XVIII, y los Bernoullis, amigos de la familia de Euler, fueron responsables de gran parte de los primeros avances en este campo. Gracias a su influencia, el estudio del cálculo se convirtió en el foco principal del trabajo de Euler. Si bien algunas de las demostraciones de Euler no son aceptables según los estándares modernos de rigor matemático [38] (en particular, su confianza en el principio de la generalidad del álgebra ), sus ideas condujeron a muchos grandes avances. Euler es bien conocido en análisis por su uso frecuente y desarrollo de series de potencias , la expresión de funciones como sumas de infinitos términos, tales como
Euler demostró directamente las expansiones de la serie de potencias para ey la función tangente inversa . ( Newton y Leibniz dieron una demostración indirecta mediante la técnica de la serie de potencias inversas entre 1670 y 1680). Su atrevido uso de las series de potencias le permitió resolver el famoso problema de Basilea en 1735 (proporcionó un argumento más elaborado en 1741): [38 ]
Euler introdujo el uso de la función exponencial y los logaritmos en las demostraciones analíticas. Descubrió formas de expresar varias funciones logarítmicas utilizando series de potencias y definió con éxito logaritmos para números negativos y complejos , ampliando así enormemente el alcance de las aplicaciones matemáticas de los logaritmos. [36] También definió la función exponencial para números complejos y descubrió su relación con las funciones trigonométricas . Para cualquier número real φ (tomado como radianes), la fórmula de Euler establece que la función exponencial compleja satisface
Un caso especial de la fórmula anterior se conoce como identidad de Euler ,
llamada "la fórmula más notable en matemáticas" por Richard P. Feynman , por sus usos únicos de las nociones de suma, multiplicación, exponenciación e igualdad, y los usos únicos de las constantes importantes 0, 1, e , i y π . [39] En 1988, los lectores de Mathematical Intelligencer la votaron como "la fórmula matemática más hermosa de la historia". [40] En total, Euler fue responsable de tres de las cinco fórmulas principales en esa encuesta. [40]
La fórmula de De Moivre es una consecuencia directa de la fórmula de Euler .
Euler elaboró la teoría de las funciones trascendentales superiores introduciendo la función gamma e introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones cuárticas . Encontró una manera de calcular integrales con límites complejos, presagiando el desarrollo del análisis complejo moderno . Inventó el cálculo de variaciones, incluido su resultado más conocido, la ecuación de Euler-Lagrange .
Euler fue pionero en el uso de métodos analíticos para resolver problemas de teoría de números. Al hacerlo, unió dos ramas dispares de las matemáticas e introdujo un nuevo campo de estudio, la teoría analítica de números . Al abrir camino para este nuevo campo, Euler creó la teoría de series hipergeométricas , series q , funciones trigonométricas hiperbólicas y la teoría analítica de fracciones continuas . Por ejemplo, demostró la infinitud de los números primos usando la divergencia de la serie armónica y usó métodos analíticos para obtener cierta comprensión de la forma en que se distribuyen los números primos . El trabajo de Euler en esta área condujo al desarrollo del teorema de los números primos . [41]
Teoría de los números
El interés de Euler por la teoría de números se remonta a la influencia de Christian Goldbach , su amigo en la Academia de San Petersburgo. Gran parte de los primeros trabajos de Euler sobre teoría de números se basó en los trabajos de Pierre de Fermat . Euler desarrolló algunas de las ideas de Fermat y refutó algunas de sus conjeturas.
Euler vinculó la naturaleza de la distribución principal con las ideas en análisis. Demostró que la suma de los recíprocos de los números primos diverge . Al hacerlo, descubrió la conexión entre la función zeta de Riemann y los números primos; esto se conoce como la fórmula del producto de Euler para la función zeta de Riemann .
Euler demostró las identidades de Newton , el pequeño teorema de Fermat , el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados , e hizo distintas contribuciones al teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange . También inventó la función totient φ ( n ), el número de enteros positivos de menos de o igual que el número entero n que son primos entre sí a n . Utilizando las propiedades de esta función, generalizó el pequeño teorema de Fermat a lo que ahora se conoce como teorema de Euler . Contribuyó significativamente a la teoría de los números perfectos , que había fascinado a los matemáticos desde Euclides . Demostró que la relación mostrada entre números perfectos pares y primos de Mersenne demostrada anteriormente por Euclides era uno a uno, un resultado también conocido como el teorema de Euclides-Euler . Euler también conjeturó la ley de reciprocidad cuadrática . El concepto se considera un teorema fundamental de la teoría de números, y sus ideas allanaron el camino para el trabajo de Carl Friedrich Gauss . [42] En 1772, Euler había demostrado que 2 31 - 1 = 2,147,483,647 es un número primo de Mersenne. Es posible que haya sido la prima más grande conocida hasta 1867. [43]
Teoría de grafos
En 1735, Euler presentó una solución al problema conocido como los Siete Puentes de Königsberg . [44] La ciudad de Königsberg , Prusia , se estableció en el río Pregel e incluía dos grandes islas que estaban conectadas entre sí y con el continente por siete puentes. El problema es decidir si es posible seguir un camino que cruza cada puente exactamente una vez y vuelve al punto de partida. No es posible: no hay circuito euleriano . Esta solución se considera el primer teorema de la teoría de grafos , específicamente de la teoría de grafos planares . [44]
Euler también descubrió la fórmula relacionar el número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo , [45] y, por tanto, de un grafo plano . La constante en esta fórmula ahora se conoce como la característica de Euler para el gráfico (u otro objeto matemático) y está relacionada con el género del objeto. [46] El estudio y generalización de esta fórmula, específicamente por Cauchy [47] y L'Huilier , [48] está en el origen de la topología .
Matemáticas Aplicadas
Algunos de los mayores éxitos de Euler fueron en la solución de problemas del mundo real analíticamente, y en la descripción de numerosas aplicaciones de los números de Bernoulli , la serie de Fourier , números de Euler , las constantes e y π , las fracciones y las integrales continuaron. Integró Leibniz 's cálculo diferencial con la de Newton Método de las fluxiones , y herramientas desarrollados que hicieron más fácil de aplicar el cálculo a problemas físicos. Hizo grandes avances en la mejora de la aproximación numérica de integrales, inventando lo que ahora se conoce como aproximaciones de Euler . Las más notables de estas aproximaciones son el método de Euler y la fórmula de Euler-Maclaurin . También facilitó el uso de ecuaciones diferenciales , en particular introduciendo la constante de Euler-Mascheroni :
Uno de los intereses más inusuales de Euler fue la aplicación de ideas matemáticas en la música. En 1739 escribió Tentamen novae theoriae musicae, con la esperanza de incorporar eventualmente la teoría musical como parte de las matemáticas. Esta parte de su trabajo, sin embargo, no recibió mucha atención y una vez fue descrita como demasiado matemática para los músicos y demasiado musical para los matemáticos. [49]
En 1911, casi 130 años después de la muerte de Euler, Alfred J. Lotka usó el trabajo de Euler para derivar la ecuación de Euler-Lotka para calcular tasas de crecimiento poblacional para poblaciones estructuradas por edad, un método fundamental que se usa comúnmente en biología y ecología de poblaciones.
Física y astronomía
Euler ayudó a desarrollar la ecuación de vigas de Euler-Bernoulli , que se convirtió en la piedra angular de la ingeniería. Además de aplicar con éxito sus herramientas analíticas a problemas de mecánica clásica , Euler aplicó estas técnicas a problemas celestes. Su trabajo en astronomía fue reconocido por múltiples premios de la Academia de París a lo largo de su carrera. Sus logros incluyen determinar con gran precisión las órbitas de los cometas y otros cuerpos celestes, comprender la naturaleza de los cometas y calcular la paralaje del Sol. Sus cálculos contribuyeron al desarrollo de tablas de longitud precisas . [50]
Euler hizo importantes contribuciones en óptica . No estaba de acuerdo con la teoría corpuscular de la luz de Newton en la Óptica , que era entonces la teoría predominante. Sus artículos de la década de 1740 sobre óptica ayudaron a asegurar que la teoría ondulatoria de la luz propuesta por Christiaan Huygens se convertiría en el modo de pensamiento dominante, al menos hasta el desarrollo de la teoría cuántica de la luz . [51]
En 1757 publicó un importante conjunto de ecuaciones para el flujo no viscoso , que ahora se conocen como ecuaciones de Euler . [52] En forma diferencial, las ecuaciones son:
dónde
- ρ es la densidad de masa del fluido ,
- u es el vector de velocidad del fluido, con componentes u , v y w ,
- E = ρ e + ½ ρ ( u 2 + v 2 + w 2 ) es la energía total por unidad de volumen , siendo e la energía interna por unidad de masa del fluido,
- p es la presión ,
- ⊗ denota el producto tensorial , y
- 0 es el vector cero .
Euler es bien conocido en ingeniería estructural por su fórmula que proporciona la carga de pandeo crítica de un puntal ideal, que depende solo de su longitud y rigidez a la flexión: [53]
dónde
- F = fuerza máxima o crítica (carga vertical en la columna),
- E = módulo de elasticidad ,
- I = momento de inercia del área ,
- L = longitud de columna no admitida,
- K = factor de longitud efectiva de la columna, cuyo valor depende de las condiciones de soporte final de la columna, como sigue.
- Para ambos extremos fijados (con bisagras, para girar libremente), K = 1.0.
- Para ambos extremos fijos, K = 0,50.
- Para un extremo fijo y el otro con pasador , K = 0,699…
- Para un extremo fijo y el otro extremo libre para moverse lateralmente, K = 2.0.
- KL es la longitud efectiva de la columna.
Lógica
A Euler se le atribuye el uso de curvas cerradas para ilustrar el razonamiento silogístico (1768). Estos diagramas se conocen como diagramas de Euler . [54]
Un diagrama de Euler es un medio diagramático de representar conjuntos y sus relaciones. Los diagramas de Euler consisten en curvas cerradas simples (generalmente círculos) en el plano que representan conjuntos . Cada curva de Euler divide el plano en dos regiones o "zonas": el interior, que representa simbólicamente los elementos del conjunto, y el exterior, que representa todos los elementos que no son miembros del conjunto. Los tamaños o formas de las curvas no son importantes; la importancia del diagrama está en cómo se superponen. Las relaciones espaciales entre las regiones delimitadas por cada curva (superposición, contención o ninguna) corresponden a relaciones teóricas de conjuntos ( intersección , subconjunto y disjunción ). Las curvas cuyas zonas interiores no se cruzan representan conjuntos disjuntos . Dos curvas cuyas zonas interiores se cruzan representan conjuntos que tienen elementos comunes; la zona dentro de ambas curvas representa el conjunto de elementos comunes a ambos conjuntos (la intersección de los conjuntos). Una curva que está contenida completamente dentro de la zona interior de otra representa un subconjunto de ella. Los diagramas de Euler (y su refinamiento a los diagramas de Venn ) se incorporaron como parte de la instrucción en la teoría de conjuntos como parte del nuevo movimiento matemático en la década de 1960. Desde entonces, también han sido adoptados por otros campos curriculares como la lectura. [55]
Música
Incluso cuando se trata de música, el enfoque de Euler es principalmente matemático. Sus escritos sobre música no son particularmente numerosos (unos cientos de páginas, en su producción total de unas treinta mil páginas), pero reflejan una preocupación temprana y que no lo abandonó a lo largo de su vida. [56]
Un primer punto de la teoría musical de Euler es la definición de "géneros", es decir, de posibles divisiones de la octava utilizando los números primos 3 y 5. Euler describe 18 de estos géneros, con la definición general 2 m A, donde A es el "exponente "del género (es decir, la suma de los exponentes de 3 y 5) y 2 m (donde" m es un número indefinido, pequeño o grande, siempre que los sonidos sean perceptibles " [57] ), expresa que la relación se mantiene independientemente del número de octavas en cuestión. El primer género, con A = 1, es la octava misma (o sus duplicados); el segundo género, 2 m .3, es la octava dividida por la quinta (quinto + cuarto, C – G – C); el tercer género es 2 m .5, tercera mayor + sexta menor (C – E – C); el cuarto es de 2 m .3 2 , dos cuartos y un tono (C – F – B ♭ –C); el quinto es de 2 m .3.5 (C – E – G – B – C); etc. Los géneros 12 (2 m .3 3 .5), 13 (2 m .3 2 .5 2 ) y 14 (2 m .3.5 3 ) son versiones corregidas de lo diatónico, cromático y enarmónico , respectivamente, de los Antiguos. . El género 18 (2 m .3 3 .5 2 ) es el "diatónico-cromático", "usado generalmente en todas las composiciones", [58] y que resulta ser idéntico al sistema descrito por Johann Mattheson . [59] Euler vislumbró más tarde la posibilidad de describir géneros incluyendo el número primo 7. [60]
Euler ideó un gráfico específico, el Speculum musicum , [61] para ilustrar el género diatónico-cromático, y discutió caminos en este gráfico para intervalos específicos, recordando su interés en los Siete Puentes de Königsberg (ver arriba ). El dispositivo despertó un interés renovado como el Tonnetz en la teoría neo-riemanniana (ver también Lattice (música) ). [62]
Euler utilizó además el principio del "exponente" para proponer una derivación del gradus suavitatis (grado de suavidad, de agradabilidad) de los intervalos y acordes a partir de sus factores primos; hay que tener en cuenta que él consideró la entonación justa, es decir, 1 y el números primos 3 y 5 solamente. [63] Se han propuesto fórmulas que extienden este sistema a cualquier número de números primos, por ejemplo, en la forma
- ds = Σ ( k yo p yo - k yo ) + 1
donde p i son números primos y k i sus exponentes. [64]
Filosofía personal y creencias religiosas.
Euler y su amigo Daniel Bernoulli se oponían al monadismo de Leibniz y la filosofía de Christian Wolff . Euler insistió en que el conocimiento se basa en parte sobre la base de leyes cuantitativas precisas, algo que el monadismo y la ciencia de Wolff eran incapaces de proporcionar. Las inclinaciones religiosas de Euler también podrían haber influido en su disgusto por la doctrina; llegó al extremo de etiquetar las ideas de Wolff como "paganas y ateas". [sesenta y cinco]
Mucho de lo que se conoce sobre las creencias religiosas de Euler se puede deducir de sus Cartas a una princesa alemana y de una obra anterior, Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister ( Defensa de la revelación divina contra las objeciones de los librepensadores ). Estas obras muestran que Euler era un cristiano devoto que creía que la Biblia estaba inspirada; el Rettung fue principalmente un argumento a favor de la inspiración divina de las escrituras . [66]
Hay una famosa leyenda [67] inspirada en los argumentos de Euler con filósofos seculares sobre religión, que se desarrolla durante la segunda etapa de Euler en la Academia de San Petersburgo. El filósofo francés Denis Diderot estaba de visita en Rusia por invitación de Catalina la Grande. Sin embargo, la emperatriz se alarmó de que los argumentos del filósofo a favor del ateísmo estuvieran influyendo en los miembros de su corte, por lo que se le pidió a Euler que se enfrentara al francés. Diderot fue informado de que un matemático erudito había presentado una prueba de la existencia de Dios : accedió a ver la prueba tal como se presentó en el tribunal. Euler apareció, avanzó hacia Diderot, y en un tono de perfecta convicción anunció esta incongruencia : "Señor,a + b n/norte= x , por lo tanto, Dios existe, ¡responde! "Diderot, para quien (dice la historia) todas las matemáticas eran un galimatías, se quedó estupefacto cuando estallaron carcajadas en la corte. Avergonzado, pidió salir de Rusia, una solicitud que fue amablemente concedida por Por muy divertida que sea la anécdota, es apócrifa , dado que el propio Diderot investigó en matemáticas. [68] La leyenda aparentemente fue contada por primera vez por Dieudonné Thiébault [69] con adornos de Augustus De Morgan . [70] [71 ]
Conmemoraciones
Euler apareció en la sexta y séptima serie de billetes de 10 francos suizos y en numerosos sellos postales suizos, alemanes y rusos. El asteroide 2002 Euler fue nombrado en su honor. También es conmemorado por la Iglesia Luterana en su Calendario de los Santos el 24 de mayo: era un cristiano devoto (y creyente en la infalibilidad bíblica ) que escribió apologéticas y argumentó enérgicamente contra los ateos prominentes de su tiempo. [66]
Bibliografía seleccionada
Euler tiene una extensa bibliografía . Sus libros más conocidos incluyen:
- Mechanica (1736).
- Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744) . El título en latín se traduce como un método para encontrar líneas curvas que gocen de propiedades de máximo o mínimo, o solución de problemas isoperimétricos en el sentido más amplio aceptado . [72]
- Introductio in analysin infinitorum (1748). Traducción al inglés Introducción al análisis del infinito de John Blanton (Libro I, ISBN 978-0-387-96824-7 , Springer-Verlag 1988; Libro II, ISBN 978-0-387-97132-2 , Springer-Verlag 1989).
- Dos libros de texto influyentes sobre cálculo: Institutiones calculi differentialis (1755) e Institutionum calculi integralis (1768-1770).
- Euler, Leonhard (2015). Elementos de álgebra . ISBN 978-1-5089-0118-1.(Una traducción de Euler's Vollständige Anleitung zur Algebra , 1765. Este texto de álgebra elemental comienza con una discusión de la naturaleza de los números y brinda una introducción completa al álgebra, incluidas fórmulas para soluciones de ecuaciones polinómicas).
- Cartas a una princesa alemana (1768-1772).
La primera colección de la obra de Euler fue realizada por Paul Heinrich von Fuss en 1862. [73] Una colección definitiva de las obras de Euler, titulada Opera Omnia , ha sido publicada desde 1911 por la Comisión Euler de la Academia Suiza de Ciencias . Una lista cronológica completa de las obras de Euler está disponible en The Eneström Index . [74] Las versiones de texto completo y acceso abierto de muchos de los artículos de Euler están disponibles en el idioma original y las traducciones al inglés en el Archivo Euler, alojado por la Universidad del Pacífico. El Archivo Euler se inició en Dartmouth College [75] antes de pasar a la Asociación Matemática de América [76] y, más recientemente, a la Universidad del Pacífico en 2017.
Ilustración de Solutio problematis ... a. 1743 propositi publicado en Acta Eruditorum , 1744
La portada del Methodus inveniendi lineas curvas de Euler .
Ver también
- Número de Euler , e ≈ 2.71828 , la base del logaritmo natural , también conocida como constante de Napier
- Martin Knutzen
- Lista de cosas que llevan el nombre de Leonhard Euler
- La historia de las matemáticas # "Las fronteras del espacio"
Referencias
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enlaces externos
- Medios relacionados con Leonhard Euler en Wikimedia Commons
- LeonhardEuler.com
- Weisstein, Eric Wolfgang (ed.). "Euler, Leonhard (1707-1783)" . ScienceWorld .
- Leonhard Euler en la Encyclopædia Britannica
- Leonhard Euler en el Proyecto de genealogía matemática
- Cómo lo hizo Euler contiene columnas que explican cómo Euler resolvió varios problemas
- Archivo Euler
- Leonhard Euler - Œuvres complètes Gallica-Math
- Comité Euler de la Academia Suiza de Ciencias
- Referencias de Leonhard Euler
- Euler Tricentenario 2007
- La Sociedad Euler
- Árbol genealógico de Euler
- Correspondencia de Euler con Federico el Grande, rey de Prusia
- O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Leonhard Euler" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
- Conjetura de Euler Quartic
- Retrato de Leonhard Euler del Archivo Digital de Registros del Observatorio Lick, Colecciones Digitales de la Biblioteca UC Santa Cruz Archivado el 13 de marzo de 2017 en la Wayback Machine.
- Dioptricae de Euler (1769-1771) , 3 vols. - facsímil digital de la biblioteca de Linda Hall
- Obras de Leonhard Euler en LibriVox (audiolibros de dominio público)
- Leonhard Euler en IMDb
- Archivo Euler de la Universidad del Pacífico