Grupo de mentiras

Group that is also a differentiable manifold with group operations that are smooth

Grupos de mentiras
Grupos clásicos GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n )
Grupos de Simple Lie Clásico A n B n C n D n Excepcional G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Otros grupos de Lie Circulo Lorentz Poincaré Grupo conformal Difeomorfismo Círculo Euclidiana
Álgebras de mentira Correspondencia entre grupos de mentiras y álgebra de mentiras Mapa exponencial Representación adjunta Forma de matanza Índice Simetría del punto de mentira Álgebra de mentira simple
Álgebra de mentira semimple Diagramas Dynkin Subálgebra de cartan Sistema raíz Grupo Weyl Forma real Complejificación Álgebra de mentira dividida Álgebra de mentira compacta
Teoría de la representación Representación de grupos de mentiras Representación del álgebra de mentiras Teoría de representación de álgebras de Lie semisimple Representaciones de grupos de Lie clásicos Teorema del mayor peso Teorema de Borel-Weil-Bott
Grupos de mentiras en física Física de partículas y teoría de la representación Representaciones del grupo Lorentz Representaciones del grupo Poincaré Representaciones del grupo galileo
Científicos Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm matando Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosario Grupos de Tabla de mentiras
v t mi

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
Nociones basicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo cociente Producto (semi) directo Homomorfismos de grupo núcleo imagen suma directa producto de corona sencillo finito infinito continuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diedro nilpotente soluble Glosario de teoría de grupos Lista de temas de teoría de grupos
Grupos finitos Clasificación de grupos simples finitos cíclico alterno Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall grupo p Grupo abeliano elemental Grupo Frobenius Multiplicador de Schur Grupo simétrico S n Klein de cuatro grupos V Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Celosías Enteros ( Z ) Grupo libre Grupos modulares PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Círculo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductivo Variedad abeliana Curva elíptica
v t mi

No confundir con el tipo Grupo de mentiras .

En matemáticas , un grupo de Lie (pronunciado / l iː / "Lee") es un grupo que también es una variedad diferenciable . Una variedad es un espacio que localmente se asemeja al espacio euclidiano , mientras que los grupos definen el concepto abstracto y genérico de multiplicación y la toma de inversas (división). Combinando estas dos ideas, se obtiene un grupo continuo donde los puntos se pueden multiplicar y se puede tomar su inversa. Si, además, la multiplicación y toma de inversas se definen como suaves (diferenciables), se obtiene un grupo de Lie.

Los grupos de mentiras proporcionan un modelo natural para el concepto de simetría continua , un ejemplo célebre de los cuales es la simetría rotacional en tres dimensiones (dada por el grupo ortogonal especial ). Los grupos de mentiras se utilizan ampliamente en muchas partes de la matemática y la física modernas .${\displaystyle {\text{SO}}(3)}$

Los grupos de mentiras se encontraron primero mediante el estudio de subgrupos de matrices contenidos en o , los grupos de matrices invertibles sobre o . Estos ahora se denominan grupos clásicos , ya que el concepto se ha extendido mucho más allá de estos orígenes. Los grupos de Lie llevan el nombre del matemático noruego Sophus Lie (1842-1899), quien sentó las bases de la teoría de los grupos de transformación continua . La motivación original de Lie para introducir grupos de Lie fue modelar las simetrías continuas de ecuaciones diferenciales , de la misma manera que los grupos finitos se usan en la teoría de Galois.${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {C} )}$ n × n {\displaystyle n\times n} ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$para modelar las simetrías discretas de ecuaciones algebraicas .

Resumen

El conjunto de todos los números complejos con valor absoluto 1 (correspondiente a puntos en el círculo del centro 0 y radio 1 en el plano complejo ) es un grupo de Lie bajo multiplicación compleja: el grupo del círculo .

Los grupos de mentiras son variedades diferenciables suaves y, como tales, pueden estudiarse mediante cálculo diferencial , en contraste con el caso de grupos topológicos más generales . Una de las ideas clave en la teoría de los grupos de Lie es reemplazar el objeto global , el grupo, con su versión local o linealizada, que el mismo Lie llamó su "grupo infinitesimal" y que desde entonces se conoce como su álgebra de Lie .

Los grupos de mentiras juegan un papel enorme en la geometría moderna , en varios niveles diferentes. Felix Klein argumentó en su programa de Erlangen que se pueden considerar varias "geometrías" especificando un grupo de transformación apropiado que deja invariables ciertas propiedades geométricas . Así, la geometría euclidiana corresponde a la elección del grupo E (3) de transformaciones que preservan la distancia del espacio euclidiano R ³ , la geometría conforme corresponde a la ampliación del grupo al grupo conforme , mientras que en la geometría proyectiva uno está interesado en las propiedades invariantes bajo lagrupo proyectivo . Esta idea llevó más tarde a la noción de una estructura G , donde G es un grupo de Lie de simetrías "locales" de una variedad.

Los grupos de Lie (y sus álgebras de Lie asociadas) desempeñan un papel importante en la física moderna, y el grupo de Lie suele desempeñar el papel de una simetría de un sistema físico. Aquí, las representaciones del grupo de Lie (o de su álgebra de Lie ) son especialmente importantes. La teoría de la representación se utiliza ampliamente en física de partículas . Los grupos cuyas representaciones son de especial importancia incluyen el grupo de rotación SO (3) (o su doble cobertura SU (2) ), el grupo unitario especial SU (3) y el grupo de Poincaré .

En un nivel "global", siempre que un grupo de Lie actúa sobre un objeto geométrico, como un Riemanniano o una variedad simpléctica , esta acción proporciona una medida de rigidez y produce una rica estructura algebraica. La presencia de simetrías continuas expresadas a través de una acción de grupo de Lie sobre una variedad impone fuertes restricciones a su geometría y facilita el análisis de la variedad. Las acciones lineales de los grupos de Lie son especialmente importantes y se estudian en la teoría de la representación .

En las décadas de 1940 y 1950, Ellis Kolchin , Armand Borel y Claude Chevalley se dieron cuenta de que muchos resultados fundamentales relacionados con los grupos de Lie se pueden desarrollar completamente algebraicamente, dando lugar a la teoría de grupos algebraicos definidos sobre un campo arbitrario . Esta idea abrió nuevas posibilidades en álgebra pura, al proporcionar una construcción uniforme para la mayoría de los grupos simples finitos , así como en geometría algebraica . La teoría de las formas automórficas , una rama importante de la teoría de números moderna , se ocupa extensamente de los análogos de los grupos de Lie sobre los anillos de Adele ; p -ádico Los grupos de mentiras juegan un papel importante, a través de sus conexiones con las representaciones de Galois en la teoría de números.

Definiciones y ejemplos

Un grupo de Lie real es un grupo que también es una variedad suave real de dimensión finita , en la que las operaciones de grupo de multiplicación e inversión son mapas suaves . Suavidad de la multiplicación de grupos

${\displaystyle \mu :G\times G\to G\quad \mu (x,y)=xy}$

medios que μ es un mapeo suave del producto colector G × G en G . Los dos requisitos se pueden combinar con el único requisito de que el mapeo

${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{-1}y}$

ser un mapeo suave del colector de producto en G .

Primeros ejemplos

• Las matrices invertibles reales 2 × 2 forman un grupo bajo multiplicación, denotado por GL (2, R ) o por GL ₂ ( R ):

${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbf {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\,\det A=ad-bc\neq 0\right\}.}$

Este es un grupo de Lie real no compacto de cuatro dimensiones ; es un subconjunto abierto de . Este grupo está desconectado ; tiene dos componentes conectados que corresponden a los valores positivos y negativos del determinante .${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

• Las matrices de rotación forman un subgrupo de GL (2, R ) , denotado por SO (2, R ) . Es un grupo de Lie por derecho propio: específicamente, un grupo de Lie conectado compacto unidimensional que es difeomorfo al círculo . Usando el ángulo de rotación como parámetro, este grupo se puede parametrizar de la siguiente manera:${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbf {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\,\varphi \in \mathbf {R} /2\pi \mathbf {Z} \right\}.}$

La suma de los ángulos corresponde a la multiplicación de los elementos de SO (2, R ) , y tomar el ángulo opuesto corresponde a la inversión. Por tanto, tanto la multiplicación como la inversión son mapas diferenciables.

• El grupo afín de una dimensión es un grupo de Lie de matriz bidimensional, que consta de matrices triangulares superiores reales, siendo la primera entrada diagonal positiva y la segunda entrada diagonal 1. Por lo tanto, el grupo consta de matrices de la forma${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right),\quad a>0,\,b\in \mathbb {R} .}$

No es un ejemplo

A continuación, presentamos un ejemplo de un grupo con un número incontable de elementos que no es un grupo de Lie bajo una determinada topología. El grupo dado por

${\displaystyle H=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right):\,\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right):\,\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},}$

con un número irracional fijo , es un subgrupo del toro que no es un grupo de Lie cuando se le da la topología del subespacio . ^[1] Si tomamos cualquier vecindario pequeño de un punto en , por ejemplo, la porción de en se desconecta. El grupo se enrolla repetidamente alrededor del toro sin llegar nunca a un punto anterior de la espiral y, por lo tanto, forma un subgrupo denso de .${\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle h}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle U}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$

Una parte del grupo adentro . Pequeños vecindarios del elemento están desconectados en la topología de subconjunto en${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$${\displaystyle h\in H}$${\displaystyle H}$

El grupo puede, sin embargo, se dará una topología diferente, en el que la distancia entre dos puntos se define como la longitud de la trayectoria más corta en el grupo de unión a . En esta topología, se identifica homeomórficamente con la línea real identificando cada elemento con el número en la definición de . Con esta topología, es solo el grupo de números reales bajo suma y, por lo tanto, es un grupo de Lie.${\displaystyle H}$${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle h_{2}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

El grupo es un ejemplo de un " subgrupo de Lie " de un grupo de Lie que no está cerrado. Vea la discusión a continuación de los subgrupos de Lie en la sección sobre conceptos básicos.${\displaystyle H}$

Grupos de Matrix Lie

Vamos a denotar el grupo de matrices invertibles con entradas en . Cualquier subgrupo cerrado de es un grupo de Lie; ^{[2] Los} grupos de Lie de este tipo se denominan grupos de Lie matriciales. Dado que la mayoría de los ejemplos interesantes de grupos de Lie se pueden realizar como grupos de Lie matriciales, algunos libros de texto restringen la atención a esta clase, incluidos los de Hall ^[3] y Rossmann. ^[4] Restringir la atención a los grupos de Lie matriciales simplifica la definición del álgebra de Lie y el mapa exponencial. Los siguientes son ejemplos estándar de grupos de Lie matriciales.${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$

• Los grupos lineales especiales sobre y , y , que constan de matrices con determinante uno y entradas en o${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Los grupos unitarios y grupos unitarios especiales, y , constituidos por matrices complejas que satisfacen (y también en el caso de )${\displaystyle {\text{U}}(n)}$${\displaystyle {\text{SU}}(n)}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle U^{*}=U^{-1}}$${\displaystyle \det(U)=1}$${\displaystyle {\text{SU}}(n)}$
• Los grupos ortogonales y los grupos ortogonales especiales, y , constituidos por matrices reales que satisfacen (y también en el caso de )${\displaystyle {\text{O}}(n)}$${\displaystyle {\text{SO}}(n)}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle R^{\mathrm {T} }=R^{-1}}$${\displaystyle \det(R)=1}$${\displaystyle {\text{SO}}(n)}$

Todos los ejemplos anteriores caen bajo el título de los grupos clásicos .

Conceptos relacionados

Un grupo de Lie complejo se define de la misma manera usando variedades complejas en lugar de reales (ejemplo :) , y de manera similar, usando una compleción métrica alternativa de , se puede definir un grupo de Lie p -ádico sobre los números p -ádicos , una grupo en el que cada punto tiene una vecindad p -ádica.${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

El quinto problema de Hilbert preguntaba si la sustitución de variedades diferenciables por topológicas o analíticas puede producir nuevos ejemplos. La respuesta a esta pregunta resultó ser negativa: en 1952, Gleason , Montgomery y Zippin demostraron que si G es una variedad topológica con operaciones de grupo continuas, entonces existe exactamente una estructura analítica en G que lo convierte en un grupo de Lie (ver también la conjetura de Hilbert-Smith ). Si se permite que la variedad subyacente sea de dimensión infinita (por ejemplo, una variedad de Hilbert ), entonces se llega a la noción de un grupo de Lie de dimensión infinita. Es posible definir análogos de muchosGrupos de mentiras sobre campos finitos , y estos dan la mayoría de los ejemplos de grupos simples finitos .

El lenguaje de la teoría de categorías proporciona una definición concisa para los grupos de Lie: un grupo de Lie es un objeto de grupo en la categoría de variedades suaves. Esto es importante porque permite generalizar la noción de grupo de Lie a supergrupos de Lie .

Definición topológica

Un grupo de Lie puede definirse como un grupo topológico (de Hausdorff ) que, cerca del elemento de identidad, parece un grupo de transformación, sin referencia a variedades diferenciables. ^[5] Primero, definimos un grupo de Lie inmersivamente lineal como un subgrupo G del grupo lineal general tal que${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$

1. para algún vecindario V del elemento de identidad e en G , la topología en V es la topología subespacial de y V está cerrada .${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$
2. G tiene, como mucho, innumerables componentes conectados.

(Por ejemplo, un subgrupo cerrado de ; es decir, un grupo de Lie de matriz satisface las condiciones anteriores).${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$

Entonces, un grupo de Lie se define como un grupo topológico que (1) es localmente isomórfico cerca de las identidades de un grupo de Lie inmersivamente lineal y (2) tiene como mucho una cantidad contable de componentes conectados. Mostrar la definición topológica es equivalente a la habitual es técnico (y los lectores principiantes deben omitir lo siguiente) pero se hace aproximadamente de la siguiente manera:

1. Dado un grupo de Lie G en el sentido múltiple habitual, la correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie (o una versión del tercer teorema de Lie ) construye un subgrupo de Lie sumergido que comparte el mismo álgebra de Lie; por tanto, son localmente isomorfos. Por tanto, G satisface la definición topológica anterior.${\displaystyle G'\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle G,G'}$
2. Por el contrario, dejar que G un grupo topológico que es un grupo de Lie en el sentido topológico arriba y elige un grupo de Lie immersely lineal que es localmente isomorfo a G . Entonces, por una versión del teorema de subgrupo cerrado , es una variedad real-analítica y luego, a través del isomorfismo local, G adquiere una estructura de una variedad cerca del elemento identidad. Entonces se muestra que la ley de grupo sobre G puede estar dada por series de potencias formales; ^[6] por lo que las operaciones del grupo son real-analíticas y G en sí mismo es una variedad real-analítica.${\displaystyle G'}$${\displaystyle G'}$

La definición topológica implica la afirmación de que si dos grupos de Lie son isomorfos como grupos topológicos, entonces son isomorfos como grupos de Lie. De hecho, establece el principio general de que, en gran medida, la topología de un grupo de Lie junto con la ley de grupo determina la geometría del grupo.

Más ejemplos de grupos de mentiras

Ver también: Tabla de grupos de Lie y Lista de grupos de Lie simples

Los grupos de mentiras ocurren en abundancia a lo largo de las matemáticas y la física. Los grupos de matrices o grupos algebraicos son (aproximadamente) grupos de matrices (por ejemplo, grupos ortogonales y simplécticos ), y estos dan la mayoría de los ejemplos más comunes de grupos de Lie.

Dimensiones uno y dos

Los únicos grupos de Lie conectados con dimensión uno son la línea real (siendo la operación de grupo la suma) y el grupo circular de números complejos con valor absoluto uno (siendo la operación de grupo la multiplicación). El grupo a menudo se denota como el grupo de matrices unitarias.${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle 1\times 1}$

En dos dimensiones, si restringimos la atención a grupos simplemente conectados, entonces se clasifican por sus álgebras de Lie. Hay (hasta el isomorfismo) solo dos álgebras de Lie de dimensión dos. Los grupos de Lie asociados simplemente conectados son (siendo la operación de grupo la suma de vectores) y el grupo afín en la dimensión uno, descritos en la subsección anterior bajo "primeros ejemplos".${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Ejemplos adicionales

• El grupo SU (2) es el grupo de matrices unitarias con determinante . Topológicamente, es la -esfera ; como grupo, puede identificarse con el grupo de cuaterniones unitarios .${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle S^{3}}$
• El grupo de Heisenberg es un grupo de dimensión Lie nilpotente conectado , que juega un papel clave en la mecánica cuántica .${\displaystyle 3}$
• El grupo de Lorentz es un grupo de Lie de 6 dimensiones de isometrías lineales del espacio de Minkowski .
• El grupo de Poincaré es un grupo de Lie de 10 dimensiones de isometrías afines del espacio de Minkowski.
• Los grupos de Lie excepcionales de los tipos G 2 , F 4 , E 6 , E 7 , E 8 tienen dimensiones 14, 52, 78, 133 y 248. Junto con la serie ABCD de grupos de Lie simples , los grupos excepcionales completan la lista de grupos de mentiras simples.
• El grupo simpléctico consta de todas las matrices que conservan una forma simpléctica en . Es un grupo de dimensiones de Lie conectado .${\displaystyle {\text{Sp}}(2n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle 2n\times 2n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle 2n^{2}+n}$

Construcciones

Hay varias formas estándar de formar nuevos grupos de Lie a partir de los antiguos:

• El producto de dos grupos de Lie es un grupo de Lie.
• Cualquier subgrupo topológicamente cerrado de un grupo de Lie es un grupo de Lie. Esto se conoce como teorema del subgrupo cerrado o teorema de Cartan .
• El cociente de un grupo de Lie por un subgrupo normal cerrado es un grupo de Lie.
• La cobertura universal de un grupo de Lie conectado es un grupo de Lie. Por ejemplo, el grupo es la portada universal del grupo circular . De hecho, cualquier recubrimiento de un colector diferenciable es también un colector diferenciable, pero al especificar la cobertura universal , se garantiza una estructura de grupo (compatible con sus otras estructuras).${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle S^{1}}$

Nociones relacionadas

Algunos ejemplos de grupos que no son grupos de Lie (excepto en el sentido trivial de que cualquier grupo que tenga a lo sumo muchos elementos numerables puede verse como un grupo de Lie de dimensión 0, con la topología discreta ), son:

• Grupos de dimensión infinita, tales como el grupo aditivo de un espacio vectorial real de dimensión infinita, o el espacio de funciones suaves desde un colector a un grupo de Lie , . Estos no son grupos de Lie, ya que no son variedades de dimensión finita .${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle C^{\infty }(X,G)}$
• Algunos grupos totalmente desconectados , como el grupo de Galois de una extensión infinita de campos, o el grupo aditivo de los números p -ádicos. Estos no son grupos de mentiras porque sus espacios subyacentes no son variedades reales. (Algunos de estos grupos son " grupos de Lie p -ádicos".) En general, solo los grupos topológicos que tienen propiedades locales similares a R ⁿ para algún número entero positivo n pueden ser grupos de Lie (por supuesto, también deben tener una estructura diferenciable).

Conceptos básicos

El álgebra de Lie asociada con un grupo de Lie

Artículo principal: Correspondencia entre grupos de Lie y álgebra de Lie

A cada grupo de Lie podemos asociar un álgebra de Lie cuyo espacio vectorial subyacente es el espacio tangente del grupo de Lie en el elemento de identidad y que captura completamente la estructura local del grupo. De manera informal, podemos pensar en elementos del álgebra de Lie como elementos del grupo que están " infinitesimalmente cerca" de la identidad, y el corchete de Lie del álgebra de Lie está relacionado con el conmutador de dos de esos elementos infinitesimales. Antes de dar la definición abstracta damos algunos ejemplos:

• El álgebra de Lie del espacio vectorial R ⁿ es solo R ⁿ con el corchete de Lie dado por
      [ A ,  B ] = 0.
  (En general, el corchete de Lie de un grupo de Lie conectado es siempre 0 si y solo si el grupo de Lie es abeliano .)
• El álgebra de Lie del grupo lineal general GL ( n , C ) de matrices invertibles es el espacio vectorial M ( n , C ) de matrices cuadradas con el corchete de Lie dado por
      [ A ,  B ] = AB  -  BA .
• Si G es un subgrupo cerrado de GL ( n , C ), entonces el álgebra de Lie de G se puede considerar informalmente como las matrices m de M ( n , R ) tales que 1 + ε m está en G , donde ε es un infinitesimal número positivo con ε ²  = 0 (por supuesto, no existe tal número real ε). Por ejemplo, el grupo ortogonal O ( n , R ) consta de matrices A con AA ^T  = 1, por lo que el álgebra de Lie consta de matrices m con (1 + ε m ) (1 + ε m) ^T  = 1, que es equivalente a m  +  m ^T  = 0 porque ε ²  = 0.
• La descripción anterior se puede hacer más rigurosa como sigue. El álgebra de Lie de un subgrupo cerrado G de GL ( n , C ), se puede calcular como

${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)=\{X\in M(n;\mathbb {C} )|\operatorname {exp} (tX)\in G{\text{ for all }}t{\text{ in }}\mathbb {\mathbb {R} } \},}$^{[7] [3]} donde exp ( tX ) se define utilizando la matriz exponencial . A continuación, puede mostrarse que el álgebra de Lie de G es un espacio vectorial real que está cerrada bajo la operación de soporte,. ^[8]${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$

Es fácil trabajar con la definición concreta dada anteriormente para grupos de matrices, pero tiene algunos problemas menores: para usarla, primero debemos representar un grupo de Lie como un grupo de matrices, pero no todos los grupos de Lie pueden representarse de esta manera, y ni siquiera es obvio que el álgebra de Lie sea independiente de la representación que usamos. ^[9] Para solucionar estos problemas, damos la definición general del álgebra de Lie de un grupo de Lie (en 4 pasos):

1. Los campos vectoriales en cualquier variedad suave M se pueden considerar como derivaciones X del anillo de funciones suaves en la variedad y, por lo tanto, forman un álgebra de Lie bajo el corchete de Lie [ X ,  Y ] =  XY  -  YX , porque el corchete de Lie de cualquier dos derivaciones es una derivación.
2. Si G es cualquier grupo que actúa suavemente sobre la variedad M , entonces actúa sobre los campos vectoriales, y el espacio vectorial de los campos vectoriales fijados por el grupo se cierra bajo el corchete de Lie y, por lo tanto, también forma un álgebra de Lie.
3. Aplicamos esta construcción al caso en que la variedad M es el espacio subyacente de un grupo de Lie  G , con G actuando sobre G  =  M por traslaciones a la izquierda L _g ( h ) =  gh . Esto muestra que el espacio de los campos vectoriales invariantes izquierdos (campos vectoriales que satisfacen L _{g *} X _h =  X _gh para cada h en G , donde L _{g *} denota el diferencial de L _g) en un grupo de Lie es un álgebra de Lie bajo el corchete de Lie de campos vectoriales.
4. Cualquier vector tangente en la identidad de un grupo de Lie puede extenderse a un campo vectorial invariante a la izquierda trasladando a la izquierda el vector tangente a otros puntos de la variedad. Específicamente, la extensión invariante a la izquierda de un elemento v del espacio tangente en la identidad es el campo vectorial definido por v ^ _g  =  L _{g *} v . Esto identifica el espacio tangente T _ae G en la identidad con el espacio de campos vectoriales invariantes izquierda, y por lo tanto hace que el espacio tangente en la identidad en un álgebra de Lie, llamado el álgebra de Lie de G , denotado generalmente por un Fraktur Así, el soporte de la mentira en${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$viene dado explícitamente por [ v ,  w ] = [ v ^,  w ^] _e .

Esta álgebra de Lie es de dimensión finita y tiene la misma dimensión que el colector de G . El álgebra de Lie de G determina G hasta "isomorfismo local", donde dos grupos de Lie se denominan localmente isomorfos si se ven iguales cerca del elemento de identidad. Los problemas relacionados con los grupos de Lie a menudo se resuelven resolviendo primero el problema correspondiente para las álgebras de Lie, y el resultado de los grupos se suele seguir fácilmente. Por ejemplo, los grupos de Lie simples generalmente se clasifican clasificando primero las álgebras de Lie correspondientes.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

También podríamos definir una estructura de álgebra de Lie en T _e usando campos vectoriales invariantes derechos en lugar de campos vectoriales invariantes izquierdos. Esto conduce al mismo álgebra de Lie, porque el mapa inverso en G se puede usar para identificar campos vectoriales invariantes izquierdos con campos vectoriales invariantes derechos, y actúa como -1 en el espacio tangente T _e .

La estructura del álgebra de Lie en T _e también se puede describir de la siguiente manera: la operación del conmutador

( x , y ) → xyx ⁻¹ y ⁻¹

en G × G envía ( e ,  e ) a e , por lo que sus rendimientos derivados de una operación bilineal en T _ae G . Esta operación bilineal es en realidad el mapa cero, pero la segunda derivada, bajo la identificación adecuada de los espacios tangentes, produce una operación que satisface los axiomas de un corchete de Lie , y es igual al doble de la definida a través de campos vectoriales invariantes a la izquierda.

Homomorfismos e isomorfismos

Si G y H son grupos de Lie, entonces un homomorfismo de grupo de Lie f  : G → H es un homomorfismo de grupo suave . En el caso de grupos de Lie complejos, se requiere que dicho homomorfismo sea un mapa holomórfico . Sin embargo, estos requisitos son un poco estrictos; todo homomorfismo continuo entre grupos de Lie reales resulta ser (real) analítico . ^[10]

La composición de dos homomorfismos de Lie es de nuevo un homomorfismo, y la clase de todos los grupos de Lie, junto con estos morfismos, forma una categoría . Además, cada homomorfismo de grupo de Lie induce un homomorfismo entre las correspondientes álgebras de Lie. Sea un homomorfismo de grupo de Lie y sea ​​su derivado en la identidad. Si identificamos las álgebras de Lie de G y H con sus espacios tangentes en los elementos de identidad, entonces hay un mapa entre las álgebras de Lie correspondientes:${\displaystyle \phi \colon G\to H}$${\displaystyle \phi _{*}}$${\displaystyle \phi _{*}}$

${\displaystyle \phi _{*}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$

Se puede demostrar que en realidad es un homomorfismo de álgebra de Lie (lo que significa que es un mapa lineal que conserva el corchete de Lie ). En el lenguaje de la teoría de categorías , tenemos un funtor covariante de la categoría de grupos de Lie a la categoría de álgebras de Lie que envía un grupo de Lie a su álgebra de Lie y un homomorfismo de grupo de Lie a su derivada en la identidad.${\displaystyle \phi _{*}}$

Dos grupos de Lie se denominan isomorfos si existe un homomorfismo biyectivo entre ellos cuyo inverso es también un homomorfismo de grupo de Lie. De manera equivalente, es un difeomorfismo que también es un homomorfismo de grupo.

Grupo de mentiras versus isomorfismos de álgebra de mentiras

Los grupos de Lie isomórficos tienen necesariamente álgebras de Lie isomórficas; Entonces es razonable preguntarse cómo se relacionan las clases de isomorfismo de los grupos de Lie con las clases de isomorfismo de las álgebras de Lie.

El primer resultado en esta dirección es el tercer teorema de Lie , que establece que todo álgebra de Lie real de dimensión finita es el álgebra de Lie de algún grupo de Lie (lineal). Una forma de demostrar el tercer teorema de Lie es usar el teorema de Ado , que dice que todo álgebra de Lie real de dimensión finita es isomórfica a un álgebra de Lie matricial. Mientras tanto, para cada álgebra de Lie de matriz de dimensión finita, hay un grupo lineal (grupo de matriz de Lie) con esta álgebra como álgebra de Lie. ^[11]

Por otro lado, los grupos de Lie con álgebras de Lie isomórficas no necesitan ser isomórficas. Además, este resultado sigue siendo cierto incluso si asumimos que los grupos están conectados. En otras palabras, la estructura global de un grupo de Lie no está determinada por su álgebra de Lie; por ejemplo, si Z es cualquier subgrupo discreto del centro de G, entonces G y G / Z tienen el mismo álgebra de Lie (consulte la tabla de grupos de Lie para ver ejemplos). Un ejemplo de importancia en física son los grupos SU (2) y SO (3) . Estos dos grupos tienen álgebras de Lie isomórficas, ^[12]pero los grupos en sí mismos no son isomorfos, porque SU (2) simplemente está conectado pero SO (3) no lo está. ^[13]

Por otro lado, si requerimos que el grupo de Lie esté simplemente conectado , entonces la estructura global está determinada por su álgebra de Lie: dos grupos de Lie simplemente conectados con álgebras de Lie isomórficas son isomorfos. ^[14] (Consulte la siguiente subsección para obtener más información sobre los grupos de Lie simplemente conectados.) A la luz del tercer teorema de Lie, podemos decir que existe una correspondencia biunívoca entre las clases de isomorfismos de álgebras de Lie reales de dimensión finita y clases de isomorfismo de grupos de Lie simplemente conectados.

Grupos de mentiras simplemente conectados

Ver también: grupo de mentira-correspondencia de álgebra de mentira y grupo fundamental § grupos de mentira

Se dice que un grupo de Lie está simplemente conectado si cada bucle puede reducirse continuamente a un punto . Esta noción es importante debido al siguiente resultado que tiene una conexión simple como hipótesis:${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Teorema : ^[15] Supongamos y son grupos de Lie con álgebras de Lie y y que es un homomorfismo álgebra de Lie. Si está simplemente conectado, entonces hay un homomorfismo de grupo de Lie único tal que , donde es el diferencial de en la identidad.${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \phi :G\rightarrow H}$${\displaystyle \phi _{*}=f}$${\displaystyle \phi _{*}}$${\displaystyle \phi }$

El tercer teorema de Lie dice que todo álgebra de Lie real de dimensión finita es el álgebra de Lie de un grupo de Lie. Se deduce del tercer teorema de Lie y del resultado anterior que todo álgebra de Lie real de dimensión finita es el álgebra de Lie de un grupo de Lie único simplemente conectado.

Un ejemplo de un grupo simplemente conectado es el grupo unitario especial SU (2) , que como variedad es la 3-esfera. El grupo de rotación SO (3) , por otro lado, no está simplemente conectado. (Véase Topología de SO (3)) . El hecho de que SO (3) no esté simplemente conectado está íntimamente relacionado con la distinción entre espín entero y espín medio entero en la mecánica cuántica. Otros ejemplos de grupos de Lie simplemente conectados incluyen el grupo unitario especial SU (n) , el grupo de giro (doble cobertura del grupo de rotación) Spin (n) para y el grupo simpléctico compacto Sp (n) . ^[dieciséis]${\displaystyle n\geq 3}$

Los métodos para determinar si un grupo de Lie está simplemente conectado o no se discuten en el artículo sobre grupos fundamentales de grupos de Lie .

El mapa exponencial

Artículo principal: Mapa exponencial (teoría de Lie)

Ver también: derivada del mapa exponencial y coordenadas normales

El mapa exponencial del álgebra de Lie del grupo lineal general a está definido por la matriz exponencial , dada por la serie de potencias habitual:${\displaystyle M(n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle GL(n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle GL(n;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+\cdots }$

para matrices . Si es un subgrupo cerrado de , entonces el mapa exponencial toma el álgebra de Lie de en ; por tanto, tenemos un mapa exponencial para todos los grupos de matrices. Cada elemento que esté lo suficientemente cerca de la identidad es el exponencial de una matriz en el álgebra de Lie. ^[17]${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle GL(n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

La definición anterior es fácil de usar, pero no está definida para grupos de Lie que no son grupos de matriz, y no está claro que el mapa exponencial de un grupo de Lie no dependa de su representación como grupo de matriz. Podemos resolver ambos problemas usando una definición más abstracta del mapa exponencial que funciona para todos los grupos de Lie, como sigue.

Para cada vector en el álgebra de Lie de (es decir, el espacio tangente a en la identidad), se prueba que hay un subgrupo único de un parámetro tal que . Decir que es un subgrupo de un parámetro significa simplemente que es un mapa suave y que ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle c:\mathbb {R} \rightarrow G}$${\displaystyle c'(0)=X}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle c(s+t)=c(s)c(t)\ }$

para todos y . La operación del lado derecho es la multiplicación de grupos en . La similitud formal de esta fórmula con la válida para la función exponencial justifica la definición${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \exp(X)=c(1).\ }$

Esto se llama mapa exponencial y mapea el álgebra de Lie en el grupo de Lie . Proporciona un difeomorfismo entre una vecindad de 0 pulg y una vecindad de pulg . Este mapa exponencial es una generalización de la función exponencial para números reales (porque es el álgebra de Lie del grupo de Lie de números reales positivos con multiplicación), para números complejos (porque es el álgebra de Lie del grupo de Lie de números complejos distintos de cero con multiplicación) y para matrices (porque con el conmutador regular es el álgebra de Lie del grupo de Lie de todas las matrices invertibles).${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle M(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$

Debido a que el mapa exponencial es sobreyectivo en algún vecindario de , es común llamar a elementos del álgebra de Lie generadores infinitesimales del grupo . El subgrupo de generado por es el componente de identidad de .${\displaystyle N}$${\displaystyle e}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

El mapa exponencial y el álgebra de Lie determinan la estructura de grupo local de cada grupo de Lie conectado, debido a la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff : existe una vecindad del elemento cero de , tal que para tenemos${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle X,Y\in U}$

${\displaystyle \exp(X)\,\exp(Y)=\exp \left(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],Y]-{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],X]-\cdots \right),}$

donde los términos omitidos son conocidos e involucran corchetes de Lie de cuatro o más elementos. En caso y conmutación, esta fórmula se reduce a la conocida ley exponencial${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)}$

El mapa exponencial relaciona homomorfismos de grupos de Lie. Es decir, si es un homomorfismo de grupo de Lie y el mapa inducido en las álgebras de Lie correspondientes, entonces para todos tenemos${\displaystyle \phi :G\to H}$${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \phi (\exp(x))=\exp(\phi _{*}(x)).\,}$

En otras palabras, el siguiente diagrama conmuta , ^{[Nota 1]}

(En resumen, exp es una transformación natural del functor Lie al functor identidad en la categoría de grupos de Lie).

El mapa exponencial del álgebra de Lie al grupo de Lie no siempre está activado , incluso si el grupo está conectado (aunque sí se asigna al grupo de Lie para grupos conectados que son compactos o nilpotentes). Por ejemplo, el mapa exponencial de SL (2, R ) no es sobreyectivo. Además, el mapa exponencial no es sobreyectivo ni inyectivo para grupos de Lie de dimensión infinita (ver más abajo) modelados en el espacio C ∞ Fréchet , incluso desde una pequeña vecindad arbitraria de 0 a una vecindad correspondiente de 1.

Subgrupo de mentiras

Un subgrupo de Lie de un grupo de Lie es un grupo de Lie que es un subconjunto de y tal que el mapa de inclusión de a es una inmersión inyectiva y un homomorfismo de grupo . Según el teorema de Cartan , un subgrupo cerrado de admite una estructura suave única que lo convierte en un subgrupo de Lie incrustado de —es decir, un subgrupo de Lie de modo que el mapa de inclusión es una incrustación suave.${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Son abundantes los ejemplos de subgrupos no cerrados; por ejemplo toma para ser un toro de dimensión 2 o mayor, y dejar que sea un subgrupo con un parámetro de pendiente irracional , es decir, uno que serpentea alrededor en G . Luego hay un homomorfismo de grupo de Lie con . El cierre de será un sub-toro en .${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \to G}$${\displaystyle \mathrm {im} (\varphi )=H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

El mapa exponencial da una correspondencia uno a uno entre los subgrupos de Lie conectados de un grupo de Lie conectado y las subálgebras del álgebra de Lie de . ^[18] Normalmente, el subgrupo correspondiente a una subálgebra no es un subgrupo cerrado. No existe un criterio basado únicamente en la estructura del cual determina qué subálgebras corresponden a subgrupos cerrados.${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Representaciones

Artículo principal: Representación de un grupo de mentiras

Ver también: Grupo compacto § Teoría de representación de un grupo de Lie compacto conectado y representación del álgebra de Lie

Un aspecto importante del estudio de los grupos de Lie son sus representaciones, es decir, la forma en que pueden actuar (linealmente) en los espacios vectoriales. En física, los grupos de Lie a menudo codifican las simetrías de un sistema físico. La forma en que uno hace uso de esta simetría para ayudar a analizar el sistema es a menudo a través de la teoría de la representación. Consideremos, por ejemplo, el tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica, . Suponga que el sistema en cuestión tiene el grupo de rotación SO (3) como una simetría, lo que significa que el operador hamiltoniano conmuta con la acción de SO (3) en la función de onda . (Un ejemplo importante de tal sistema es el átomo de hidrógeno ). Esta suposición no significa necesariamente que las soluciones${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$son funciones invariantes en rotación. Más bien, significa que el espacio de soluciones a es invariante bajo rotaciones (para cada valor fijo de ). Este espacio, por tanto, constituye una representación de SO (3). Estas representaciones han sido clasificadas y la clasificación conduce a una simplificación sustancial del problema , esencialmente convirtiendo una ecuación diferencial parcial tridimensional en una ecuación diferencial ordinaria unidimensional.${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$${\displaystyle E}$

El caso de un grupo de Lie compacto conectado K (incluido el caso recién mencionado de SO (3)) es particularmente manejable. ^[19] En ese caso, toda representación de dimensión finita de K se descompone como una suma directa de representaciones irreductibles. Las representaciones irreductibles, a su vez, fueron clasificadas por Hermann Weyl . La clasificación se hace en términos del "mayor peso" de la representación. La clasificación está estrechamente relacionada con la clasificación de representaciones de un álgebra de Lie semisimple .

También se pueden estudiar (en general infinitas dimensiones) representaciones unitarias de un grupo de Lie arbitrario (no necesariamente compacto). Por ejemplo, es posible dar una descripción explícita relativamente simple de las representaciones del grupo SL (2, R) y las representaciones del grupo de Poincaré .

Historia temprana

Según la fuente más autorizada sobre la historia temprana de los grupos de Lie (Hawkins, p. 1), el propio Sophus Lie consideró el invierno de 1873-1874 como la fecha de nacimiento de su teoría de los grupos continuos. Hawkins, sin embargo, sugiere que fue "la prodigiosa actividad investigadora de Lie durante el período de cuatro años desde el otoño de 1869 hasta el otoño de 1873" lo que llevó a la creación de la teoría ( ibid ). Algunas de las primeras ideas de Lie se desarrollaron en estrecha colaboración con Felix Klein . Lie se reunió con Klein todos los días desde octubre de 1869 hasta 1872: en Berlín desde finales de octubre de 1869 hasta finales de febrero de 1870, y en París, Göttingen y Erlangen en los dos años siguientes ( ibid., pag. 2). Lie afirmó que todos los resultados principales se obtuvieron en 1884. Pero durante la década de 1870 todos sus artículos (excepto la primera nota) se publicaron en revistas noruegas, lo que impidió el reconocimiento del trabajo en el resto de Europa ( ibid , p. 76 ). En 1884, un joven matemático alemán, Friedrich Engel , empezó a trabajar con Lie en un tratado sistemático para exponer su teoría de los grupos continuos. De este esfuerzo resultó la Theorie der Transformationsgruppen en tres volúmenes , publicada en 1888, 1890 y 1893. El término groupes de Lie apareció por primera vez en francés en 1893 en la tesis del estudiante de Lie, Arthur Tresse. ^[20]

Las ideas de Lie no se aislaron del resto de las matemáticas. De hecho, su interés por la geometría de las ecuaciones diferenciales fue motivado por primera vez por el trabajo de Carl Gustav Jacobi , sobre la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden y sobre las ecuaciones de la mecánica clásica . Gran parte del trabajo de Jacobi se publicó póstumamente en la década de 1860, lo que generó un enorme interés en Francia y Alemania (Hawkins, p. 43). La idea fija de Lie fue desarrollar una teoría de simetrías de ecuaciones diferenciales que lograría para ellos lo que Évariste Galoishabía hecho con las ecuaciones algebraicas: es decir, clasificarlas en términos de teoría de grupos. Lie y otros matemáticos demostraron que las ecuaciones más importantes para funciones especiales y polinomios ortogonales tienden a surgir de simetrías teóricas de grupo. En los primeros trabajos de Lie, la idea era construir una teoría de grupos continuos , para complementar la teoría de grupos discretos que se había desarrollado en la teoría de formas modulares , de la mano de Felix Klein y Henri Poincaré . La aplicación inicial que tenía en mente Lie era la teoría de ecuaciones diferenciales . Sobre el modelo de la teoría de Galois yEn las ecuaciones polinomiales , el concepto impulsor fue el de una teoría capaz de unificar, mediante el estudio de la simetría , el área completa de las ecuaciones diferenciales ordinarias . Sin embargo, la esperanza de que la teoría de la mentira unificara todo el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias no se cumplió. Se continúan estudiando los métodos de simetría para las EDO, pero no dominan el tema. Existe una teoría diferencial de Galois , pero fue desarrollada por otros, como Picard y Vessiot, y proporciona una teoría de cuadraturas , las integrales indefinidas necesarias para expresar soluciones.

Un impulso adicional para considerar los grupos continuos provino de las ideas de Bernhard Riemann , sobre los fundamentos de la geometría, y su posterior desarrollo en manos de Klein. Así, Lie combinó tres temas principales de las matemáticas del siglo XIX al crear su nueva teoría: la idea de simetría, ejemplificada por Galois a través de la noción algebraica de grupo ; la teoría geométrica y las soluciones explícitas de las ecuaciones diferenciales de la mecánica, elaboradas por Poisson y Jacobi; y la nueva comprensión de la geometría que surgió en las obras de Plücker , Möbius , Grassmann y otros, y culminó en la visión revolucionaria del tema de Riemann.

Aunque hoy en día se reconoce legítimamente a Sophus Lie como el creador de la teoría de los grupos continuos, Wilhelm Killing , quien en 1888 iba a tener una profunda influencia en el desarrollo posterior de las matemáticas, dio un paso importante en el desarrollo de su teoría de la estructura. publicó el primer artículo de una serie titulada Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen ( La composición de los grupos de transformación finitos continuos ) (Hawkins, p. 100). El trabajo de Killing, luego refinado y generalizado por Élie Cartan , llevó a la clasificación de álgebras de Lie semisimple , la teoría de Cartan de espacios simétricos y Hermann Weyl.Descripción de las representaciones de grupos de Lie compactos y semisimples utilizando pesos más altos .

En 1900, David Hilbert desafió a los teóricos de la Mentira con su Quinto Problema presentado en el Congreso Internacional de Matemáticos en París.

Weyl llevó a buen término el período inicial del desarrollo de la teoría de los grupos de Lie, porque no solo clasificó las representaciones irreductibles de los grupos de Lie semisimple y conectó la teoría de grupos con la mecánica cuántica, sino que también puso la teoría de Lie en una base más firme al enunciando claramente la distinción entre los grupos infinitesimales de Lie (es decir, álgebras de Lie) y los grupos de Lie propiamente dichos, y comenzó las investigaciones de la topología de los grupos de Lie. ^[21] La teoría de los grupos de Lie fue reelaborada sistemáticamente en el lenguaje matemático moderno en una monografía de Claude Chevalley .

El concepto de grupo de mentiras y posibilidades de clasificación

Los grupos de mentiras pueden considerarse familias de simetrías que varían suavemente. Los ejemplos de simetrías incluyen la rotación alrededor de un eje. Lo que debe entenderse es la naturaleza de las transformaciones "pequeñas", por ejemplo, las rotaciones a través de ángulos diminutos, que vinculan transformaciones cercanas. El objeto matemático que captura esta estructura se llama álgebra de Lie (el propio Lie los llamó "grupos infinitesimales"). Se puede definir porque los grupos de Lie son variedades suaves, por lo que tienen espacios tangentes en cada punto.

El álgebra de Lie de cualquier grupo de Lie compacto (muy aproximadamente: uno para el que las simetrías forman un conjunto acotado) se puede descomponer como una suma directa de un álgebra de Lie abeliana y algunos simples . La estructura de un álgebra de Lie abeliana es matemáticamente poco interesante (ya que el corchete de Lie es idénticamente cero); el interés está en los simples sumandos. De ahí que surja la pregunta: ¿cuáles son las álgebras de Lie simples de grupos compactos? Resulta que en su mayoría caen en cuatro familias infinitas, las "álgebras de Lie clásicas" A _n , B _n , C _n y D _n, que tienen descripciones simples en términos de simetrías del espacio euclidiano. Pero también hay cinco "álgebras de Lie excepcionales" que no pertenecen a ninguna de estas familias. E ₈ es el más grande de ellos.

Los grupos de mentiras se clasifican según sus propiedades algebraicas ( simple , semisimple , solucionable , nilpotente , abeliano ), su conectividad ( conectada o simplemente conectada ) y su compacidad .

Un primer resultado clave es la descomposición de Levi , que dice que cada grupo de Lie simplemente conectado es el producto semidirecto de un subgrupo normal resoluble y un subgrupo semisimple.

• Los grupos de Lie compactos conectados son todos conocidos: son cocientes centrales finitos de un producto de copias del grupo circular S ¹ y grupos de Lie compactos simples (que corresponden a diagramas de Dynkin conectados ).
• Cualquier grupo de Lie resoluble simplemente conectado es isomorfo a un subgrupo cerrado del grupo de matrices triangulares superiores invertibles de algún rango, y cualquier representación irreductible de dimensión finita de tal grupo es unidimensional. Los grupos que se pueden resolver son demasiado complicados para clasificarlos, excepto en unas pocas dimensiones pequeñas.
• Cualquier grupo de Lie nilpotente simplemente conectado es isomorfo a un subgrupo cerrado del grupo de matrices triangulares superiores invertibles con unos en la diagonal de algún rango, y cualquier representación irreductible de dimensión finita de tal grupo es unidimensional. Al igual que los grupos que se pueden resolver, los grupos nilpotentes son demasiado complicados para clasificar, excepto en unas pocas dimensiones pequeñas.
• Los grupos de Lie simples a veces se definen como aquellos que son simples como grupos abstractos y, a veces, se definen como grupos de Lie conectados con un álgebra de Lie simple. Por ejemplo, SL (2, R ) es simple según la segunda definición pero no según la primera. Todos han sido clasificados (para cualquiera de las dos definiciones).
• Los grupos de Lie semisimple son grupos de Lie cuya álgebra de Lie es un producto de álgebras de Lie simples. ^[22] Son extensiones centrales de productos de grupos de Lie simples.

El componente de identidad de cualquier grupo de Lie es un subgrupo normal abierto y el grupo del cociente es un grupo discreto . La cobertura universal de cualquier grupo de Lie conectado es un grupo de Lie simplemente conectado y, a la inversa, cualquier grupo de Lie conectado es un cociente de un grupo de Lie simplemente conectado por un subgrupo normal discreto del centro. Cualquier grupo de Lie G se puede descomponer en grupos discretos, simples y abelianos de una manera canónica de la siguiente manera. Escribir

G _con para el componente conectado de la identidad

_Sol G para el subgrupo solucionable normal conectado más grande

G _nil para el subgrupo nilpotente normal conectado más grande

para que tengamos una secuencia de subgrupos normales

1 ⊆ G _nil ⊆ G _sol ⊆ G _con ⊆ G .

Luego

G / G _con es discreto

G _con / G _sol es una extensión central de un producto de grupos de Lie conectados simples .

G _sol / G _nil es abeliano. Un grupo de Lie abeliano conectado es isomorfo a un producto de copias de R y el grupo circular S ¹ .

G _nil / 1 es nilpotente y, por tanto, su serie central ascendente tiene todos los cocientes abelianos.

Esto se puede utilizar para reducir algunos problemas sobre los grupos de Lie (como encontrar sus representaciones unitarias) a los mismos problemas para grupos simples conectados y subgrupos nilpotentes y solubles de dimensión más pequeña.

• El grupo de difeomorfismo de un grupo de Lie actúa transitivamente sobre el grupo de Lie
• Cada grupo de Lie es paralelizable y, por lo tanto, una variedad orientable (hay un isomorfismo de paquete entre su paquete tangente y el producto de sí mismo con el espacio tangente en la identidad)

Grupos de mentiras de dimensión infinita

Los grupos de Lie a menudo se definen como de dimensión finita, pero hay muchos grupos que se asemejan a los grupos de Lie, excepto por ser de dimensión infinita. La forma más sencilla de definir grupos de Lie de dimensión infinita es modelarlos localmente en espacios de Banach (a diferencia del espacio euclidiano en el caso de dimensión finita), y en este caso gran parte de la teoría básica es similar a la de Lie de dimensión finita. grupos. Sin embargo, esto es inadecuado para muchas aplicaciones, porque muchos ejemplos naturales de grupos de Lie de dimensión infinita no son variedades de Banach. En su lugar, es necesario definir grupos de Lie modelados en convexidad local más generalespacios vectoriales topológicos. En este caso, la relación entre el álgebra de Lie y el grupo de Lie se vuelve bastante sutil, y varios resultados sobre los grupos de Lie de dimensión finita ya no son válidos.

La literatura no es completamente uniforme en su terminología en cuanto a exactamente qué propiedades de los grupos de dimensión infinita califican al grupo para el prefijo de grupo Lie in Lie . En el lado del álgebra de Lie, las cosas son más simples ya que los criterios de calificación para el prefijo Lie in Lie álgebrason puramente algebraicos. Por ejemplo, un álgebra de Lie de dimensión infinita puede tener o no un grupo de Lie correspondiente. Es decir, puede haber un grupo correspondiente al álgebra de Lie, pero puede que no sea lo suficientemente bueno para ser llamado grupo de Lie, o la conexión entre el grupo y el álgebra de Lie puede no ser lo suficientemente buena (por ejemplo, falla del mapa exponencial para estar en un vecindario de la identidad). Es lo "suficientemente agradable" lo que no se define universalmente.

Algunos de los ejemplos que se han estudiado incluyen:

• El grupo de difeomorfismos de una variedad. Se sabe bastante sobre el grupo de difeomorfismos del círculo. Su álgebra de Lie es (más o menos) el álgebra de Witt , cuya extensión central el álgebra de Virasoro (ver álgebra de Virasoro del álgebra de Witt para una derivación de este hecho) es el álgebra de simetría de la teoría de campos conformales bidimensionales . Los grupos de difeomorfismo de variedades compactas de mayor dimensión son grupos regulares de Fréchet Lie ; se sabe muy poco sobre su estructura.
• El grupo de difeomorfismos del espacio-tiempo aparece a veces en los intentos de cuantificar la gravedad.
• El grupo de mapas suaves de una variedad a un grupo de Lie de dimensión finita es un ejemplo de un grupo de calibre (con operación de multiplicación puntual ) y se utiliza en la teoría cuántica de campos y la teoría de Donaldson . Si la variedad es un círculo, estos se denominan grupos de bucles y tienen extensiones centrales cuyas álgebras de Lie son (más o menos) álgebras de Kac-Moody .
• Hay análogos de dimensión infinita de grupos lineales generales, grupos ortogonales, etc. ^[23] Un aspecto importante es que estos pueden tener propiedades topológicas más simples : ver, por ejemplo, el teorema de Kuiper . En la teoría M , por ejemplo, una teoría del gauge SU (N) de 10 dimensiones se convierte en una teoría de 11 dimensiones cuando N se vuelve infinito.

Ver también

• Representación adjunta de un grupo de Lie
• Grupo compacto
• Medida de Haar
• Espacio homogéneo
• Álgebra de mentiras
• Lista de temas del grupo de mentiras
• Representaciones de grupos de Lie
• Simetría en mecánica cuántica

Notas

Notas explicativas

1. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 28 de septiembre de 2011 . Consultado el 11 de octubre de 2014 .

Citas

1. Rossmann 2001 , Capítulo 2.
2. Hall 2015 Corolario 3.45
3. Salón 2015
4. Rossmann 2001
5. T. Kobayashi – T. Oshima , definición 5.3. harvnb error: no target: CITEREFT._Kobayashi–T._Oshima (help)
6. Esta es la afirmación de que un grupo de Lie es un grupo de Lie formal . Para el último concepto, por ahora, ver F. Bruhat, Conferencias sobre grupos de mentira y representaciones de grupos localmente compactos .
7. Helgason 1978 , cap. II, § 2, Proposición 2.7.
8. Teorema 3.20 de Hall 2015
9. Pero vea Hall 2015 , Proposición 3.30 y Ejercicio 8 en el Capítulo 3
10. Hall 2015 Corolario 3.50. Hall solo reclama suavidad, pero el mismo argumento muestra analiticidad.
11. Teorema 5.20 de Hall 2015
12. Hall 2015 Ejemplo 3.27
13. Salón 2015 Sección 1.3.4
14. Hall 2015 Corolario 5.7
15. Teorema 5.6 de Hall 2015
16. Salón 2015 Sección 13.2
17. Teorema 3.42 de Hall 2015
18. Teorema 5.20 de Hall 2015
19. Salón 2015 Parte III
20. Arthur Tresse (1893). "Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformations" . Acta Mathematica . 18 : 1-88. doi : 10.1007 / bf02418270 .
21. Borel (2001) .
22. Helgason, Sigurdur (1978). Geometría diferencial, grupos de mentiras y espacios simétricos . Nueva York: Academic Press. pag. 131. ISBN 978-0-12-338460-7.
23. Bäuerle, de Kerf y ten Kroode 1997

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• Grupos de mentiras. Teoría de la representación y espacios simétricos Wolfgang Ziller, Vorlesung 2010