En matemáticas , el límite de una secuencia es el valor al que "tienden" los términos de una secuencia , y a menudo se denota mediante la símbolo (p. ej., ). [1] [2] Si existe tal límite, la secuencia se llama convergente . [3] Se dice que una secuencia que no converge es divergente . [4] Se dice que el límite de una secuencia es la noción fundamental sobre la que descansa en última instancia todo el análisis matemático . [2]
norte | n pecado (1 / n ) |
---|---|
1 | 0.841471 |
2 | 0,958851 |
... | |
10 | 0.998334 |
... | |
100 | 0,999983 |
Los límites se pueden definir en cualquier espacio métrico o topológico , pero generalmente se encuentran primero en los números reales .
Historia
El filósofo griego Zenón de Elea es famoso por formular paradojas que involucran procesos limitantes .
Leucipo , Demócrito , Antífona , Eudoxo y Arquímedes desarrollaron el método del agotamiento , que utiliza una secuencia infinita de aproximaciones para determinar un área o un volumen. Arquímedes logró sumar lo que ahora se llama una serie geométrica .
Newton se ocupó de las series en sus trabajos sobre Análisis con series infinitas (escrito en 1669, circulado en manuscrito, publicado en 1711), Método de fluxiones y series infinitas (escrito en 1671, publicado en traducción al inglés en 1736, original en latín publicado mucho más tarde) y Tractatus de Quadratura Curvarum (escrito en 1693, publicado en 1704 como Apéndice de sus Optiks ). En el último trabajo, Newton considera la expansión binomial de ( x + o ) n , que luego linealiza tomando el límite como o tiende a 0.
En el siglo XVIII, matemáticos como Euler lograron sumar algunas series divergentes deteniéndose en el momento adecuado; no les importaba mucho si existía un límite, siempre que pudiera calcularse. A finales de siglo, Lagrange en su Théorie des fonctions analytiques (1797) opinó que la falta de rigor impedía un mayor desarrollo del cálculo. Gauss en su estudio de series hipergeométricas (1813) investigó por primera vez rigurosamente bajo qué condiciones una serie convergía hasta un límite.
La definición moderna de límite (para cualquier ε existe un índice N de modo que ...) fue dada por Bernhard Bolzano ( Der binomische Lehrsatz , Praga 1816, poco notado en ese momento), y por Karl Weierstrass en la década de 1870.
Numeros reales
En los números reales , un númeroes el límite de la secuencia , si los números de la secuencia se acercan cada vez más a —Y no a ningún otro número.
Ejemplos de
- Si para constante c , entonces. [prueba 1] [5]
- Si , luego . [prueba 2] [5]
- Si Cuándo es par, y Cuándo es extraño, entonces . (El hecho de que cuando sea es extraño es irrelevante.)
- Dado cualquier número real, se puede construir fácilmente una secuencia que converja a ese número tomando aproximaciones decimales. Por ejemplo, la secuencia converge a . Tenga en cuenta que la representación decimal es el límite de la secuencia anterior, definido por
- .
- Encontrar el límite de una secuencia no siempre es obvio. Dos ejemplos son(cuyo límite es el número e ) y la media aritmética-geométrica . El teorema de la compresión suele ser útil para establecer tales límites.
Definicion formal
Nosotros llamamos el límite de la secuencia si se cumple la siguiente condición:
- Por cada número real , existe un número natural tal que, por cada número natural , tenemos . [6]
En otras palabras, para cada medida de cercanía , los términos de la secuencia están finalmente tan cerca del límite. La secuenciase dice que converge o tiende al límite, escrito o .
Simbólicamente, esto es:
Si una secuencia converge a algún límite, entonces es convergente ; de lo contrario, es divergente . Una secuencia que tiene cero como límite a veces se denomina secuencia nula .
Ilustración
Ejemplo de secuencia que converge al límite .
Independientemente de cual tenemos, hay un índice , de modo que la secuencia quede luego completamente en el tubo épsilon .
También hay para un menor un índice , de modo que la secuencia esté luego dentro del tubo épsilon .
Para cada sólo hay un número finito de miembros de secuencia fuera del tubo épsilon.
Propiedades
Los límites de sucesiones se comportan bien con respecto a las operaciones aritméticas habituales . Si y , luego , y, si ni b ni ninguno es cero, . [5]
Para cualquier función continua f , si luego . De hecho, cualquier función f de valor real es continua si y solo si conserva los límites de las secuencias (aunque esto no es necesariamente cierto cuando se utilizan nociones más generales de continuidad).
Algunas otras propiedades importantes de los límites de las secuencias reales incluyen las siguientes (siempre que, en cada ecuación a continuación, existan los límites a la derecha).
- El límite de una secuencia es único. [5]
- [5]
- [5]
- [5]
- previsto [5]
- Si para todos mayor que algunos , luego .
- ( Teorema de apretar ) Si para todos , y , luego .
- Si una secuencia es acotada y monótona , entonces es convergente.
- Una secuencia es convergente si y solo si cada subsecuencia es convergente.
- Si cada subsecuencia de una secuencia tiene su propia subsecuencia que converge al mismo punto, entonces la secuencia original converge a ese punto.
Estas propiedades se utilizan ampliamente para probar límites, sin la necesidad de utilizar directamente la engorrosa definición formal. Por ejemplo. una vez que se comprueba que, resulta fácil mostrar, utilizando las propiedades anteriores, que (asumiendo que ).
Límites infinitos
Una secuencia se dice que tiende al infinito , escrito o , si para cada K , hay una N tal que para cada, ; es decir, los términos de la secuencia son eventualmente más grandes que cualquier K fijo .
Similar, si para cada K , hay una N tal que para cada, . Si una secuencia tiende a infinito o menos infinito, entonces es divergente. Sin embargo, una secuencia divergente no tiene por qué tender a más o menos infinito, y la secuencia proporciona uno de esos ejemplos.
Espacios métricos
Definición
Un punto del espacio métrico es el límite de la secuencia si por todos , hay un tal que, por cada , . Esto coincide con la definición dada para números reales cuando y .
Propiedades
Para cualquier función continua f , si luego . De hecho, una función f es continua si y solo si conserva los límites de las secuencias.
Los límites de las secuencias son únicos cuando existen, ya que los puntos distintos están separados por una distancia positiva, por lo que para menos de la mitad de esta distancia, los términos de secuencia no pueden estar dentro de una distancia de ambos puntos.
Espacios topológicos
Definición
Un punto x del espacio topológico ( X , τ) es un límite de la secuencia ( x n ) si para cada vecindario U de x , hay un N tal que para cada, . [7] Esto coincide con la definición dada para espacios métricos, si ( X , d ) es un espacio métrico yes la topología generada por d .
Un límite de una secuencia de puntos en un espacio topológico T es un caso especial de un límite de una función : el dominio es en el espacio , con la topología inducida del sistema de números reales afines extendido , el rango es T , y el argumento de la función n tiende a + ∞, que en este espacio es un punto límite de.
Propiedades
Si X es un espacio de Hausdorff , entonces los límites de las secuencias son únicos donde existen. Tenga en cuenta que este no tiene por qué ser el caso en general; en particular, si dos puntos x y y son topológicamente indistinguible , a continuación, cualquier secuencia que converge a x deben converger a Y , y viceversa.
Secuencias de Cauchy
Una secuencia de Cauchy es una secuencia cuyos términos finalmente se acercan arbitrariamente, después de que se han descartado suficientes términos iniciales. La noción de secuencia de Cauchy es importante en el estudio de secuencias en espacios métricos y, en particular, en el análisis real . Un resultado particularmente importante en el análisis real es el criterio de Cauchy para la convergencia de secuencias : una secuencia de números reales es convergente si y solo si es una secuencia de Cauchy. Esto sigue siendo cierto en otros espacios métricos completos .
Definición en números hiperrealistas
La definición del límite utilizando los números hiperreales formaliza la intuición de que para un valor "muy grande" del índice, el término correspondiente es "muy cercano" al límite. Más precisamente, una secuencia realtiende a L si para cada H hipernatural infinito , el término x H es infinitamente cercano a L (es decir, la diferencia x H - L es infinitesimal ). De manera equivalente, L es la parte estándar de x H
Por tanto, el límite se puede definir mediante la fórmula
donde el límite existe si y solo si el lado derecho es independiente de la elección de un H infinito .
Ver también
- Límite de una función : punto al que convergen las funciones en la topología
- Punto límite : un punto x en un espacio topológico, cuyos vecindarios contienen algún punto en un subconjunto dado que es diferente de x .
- Límite superior y límite inferior
- Modos de convergencia
- Límite de una red : una red es una generalización topológica de una secuencia.
- Límite teórico de conjuntos
- Regla de cambio
- Límite posterior
Notas
- ^ "Compendio de símbolos matemáticos" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-01 . Consultado el 18 de agosto de 2020 .
- ↑ a b Courant (1961), pág. 29.
- ^ Weisstein, Eric W. "Secuencia convergente" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 18 de agosto de 2020 .
- ^ Courant (1961), pág. 39.
- ^ a b c d e f g h "Límites de secuencias | Wiki brillante de matemáticas y ciencias" . shiny.org . Consultado el 18 de agosto de 2020 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Límite" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 18 de agosto de 2020 .
- ^ Zeidler, Eberhard (1995). Análisis funcional aplicado: principios fundamentales y sus aplicaciones (1 ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 29. ISBN 978-0-387-94422-7.
Pruebas
- ^ Prueba : elija. Para cada,
- ^ Prueba : elija+ 1 (la función de piso ). Para cada, .
Referencias
- Courant, Richard (1961). "Volumen I de cálculo diferencial e integral", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.
- Frank Morley y James Harkness Un tratado sobre la teoría de funciones (Nueva York: Macmillan, 1893)
enlaces externos
- "Límite" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Una historia del cálculo , incluidos los límites.