En geometría, la noción de línea o línea recta fue introducida por los antiguos matemáticos para representar objetos rectos (es decir, sin curvatura ) con un ancho y profundidad insignificantes. Las líneas son una idealización de tales objetos, que a menudo se describen en términos de dos puntos (p. Ej.,) o referido al uso de una sola letra (p. ej., ). [1] [2]
Hasta el siglo XVII, las líneas se definían como la "[...] primera especie de cantidad, que tiene una sola dimensión, a saber, la longitud, sin ancho ni profundidad, y no es otra cosa que el fluir o correr del punto que [ ...] dejará de su movimiento imaginario algún vestigio de largo, exento de cualquier ancho. [...] La recta es la que se extiende igualmente entre sus puntas. " [3]
Euclides describió una línea como "longitud sin ancho" que "se encuentra igualmente con respecto a los puntos sobre sí misma"; introdujo varios postulados como propiedades básicas indemostrables a partir de las cuales construyó toda la geometría, que ahora se llama geometría euclidiana para evitar confusiones con otras geometrías que se han introducido desde finales del siglo XIX (como la geometría no euclidiana , proyectiva y afín ).
En las matemáticas modernas, dada la multitud de geometrías, el concepto de línea está estrechamente relacionado con la forma en que se describe la geometría. Por ejemplo, en geometría analítica , una línea en el plano a menudo se define como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal dada , pero en un escenario más abstracto, como la geometría de incidencia , una línea puede ser un objeto independiente, distinto de el conjunto de puntos que descansan sobre él.
Cuando una geometría se describe mediante un conjunto de axiomas , la noción de línea suele dejarse indefinida (lo que se denomina un objeto primitivo ). Las propiedades de las líneas están entonces determinadas por los axiomas que se refieren a ellas. Una ventaja de este enfoque es la flexibilidad que brinda a los usuarios de la geometría. Así, en geometría diferencial , una línea puede interpretarse como una geodésica (la ruta más corta entre puntos), mientras que en algunas geometrías proyectivas , una línea es un espacio vectorial bidimensional (todas las combinaciones lineales de dos vectores independientes). Esta flexibilidad también se extiende más allá de las matemáticas y, por ejemplo, permite a los físicos pensar en la trayectoria de un rayo de luz como una línea.
Definiciones versus descripciones
Todas las definiciones son, en última instancia , de naturaleza circular , ya que dependen de conceptos que deben tener ellos mismos definiciones, dependencia que no puede continuar indefinidamente sin volver al punto de partida. Para evitar este círculo vicioso, ciertos conceptos deben tomarse como conceptos primitivos ; términos que no se definen. [4] En geometría, es frecuente que el concepto de línea se tome como un primitivo. [5] En aquellas situaciones en las que una línea es un concepto definido, como en la geometría de coordenadas , algunas otras ideas fundamentales se toman como primitivas. Cuando el concepto de línea es primitivo, el comportamiento y las propiedades de las líneas vienen dictadas por los axiomas que deben satisfacer.
En un tratamiento no axiomático o axiomático simplificado de la geometría, el concepto de noción primitiva puede ser demasiado abstracto para ser tratado. En esta circunstancia, es posible proporcionar una descripción o imagen mental de una noción primitiva, para dar una base para construir la noción sobre la que se basaría formalmente en los axiomas (no declarados). Algunos autores pueden hacer referencia a descripciones de este tipo como definiciones en este estilo informal de presentación. Estas no son definiciones verdaderas y no podrían usarse en pruebas formales de declaraciones. La "definición" de línea en los Elementos de Euclides entra en esta categoría. [6] Incluso en el caso de que se esté considerando una geometría específica (por ejemplo, geometría euclidiana ), no existe un acuerdo generalmente aceptado entre los autores sobre lo que debería ser una descripción informal de una línea cuando el tema no está siendo tratado formalmente.
En geometría euclidiana
Cuando la geometría fue formalizada por primera vez por Euclides en los Elementos , definió una línea general (recta o curva) como "longitud sin ancho", siendo una línea recta una línea "que se encuentra uniformemente con los puntos sobre sí misma". [7] Estas definiciones tienen poco propósito, ya que utilizan términos que no están definidos por sí mismos. De hecho, el propio Euclides no usó estas definiciones en este trabajo, y probablemente las incluyó solo para dejar claro al lector lo que se estaba discutiendo. En la geometría moderna, una línea simplemente se toma como un objeto indefinido con propiedades dadas por axiomas , [8] pero a veces se define como un conjunto de puntos que obedecen a una relación lineal cuando algún otro concepto fundamental queda sin definir.
En una formulación axiomática de la geometría euclidiana, como la de Hilbert (los axiomas originales de Euclides contenían varios defectos que han sido corregidos por los matemáticos modernos), [9] se afirma que una línea tiene ciertas propiedades que la relacionan con otras líneas y puntos . Por ejemplo, para dos puntos distintos, hay una línea única que los contiene, y dos líneas distintas se cruzan como máximo en un punto. [10] En dos dimensiones (es decir, el plano euclidiano ), dos líneas que no se cruzan se llaman paralelas . En dimensiones superiores, dos líneas que no se intersecan son paralelas si están contenidas en un plano , o se inclinan si no lo están.
Cualquier colección de un número finito de líneas divide el plano en polígonos convexos (posiblemente ilimitados); esta partición se conoce como disposición de líneas .
En coordenadas cartesianas
Las líneas en un plano cartesiano o, más generalmente, en coordenadas afines , se caracterizan por ecuaciones lineales . Más precisamente, cada línea(incluidas las líneas verticales) es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas ( x , y ) satisfacen una ecuación lineal ; es decir,
donde una , b y c se fijan los números reales (llamados coeficientes ) de manera que una y b no son ambos cero. Usando esta forma, las líneas verticales corresponden a ecuaciones con b = 0.
Además, se puede suponer c = 1 o c = 0 , dividiendo todo por c si no es cero.
Hay muchas formas variantes de escribir la ecuación de una línea que se pueden convertir de una a otra mediante manipulación algebraica. El formulario anterior a veces se denomina formulario estándar . Si el término constante se coloca a la izquierda, la ecuación se convierte en
y esto a veces se llama la forma general de la ecuación. Sin embargo, esta terminología no es universalmente aceptada y muchos autores no distinguen estas dos formas.
Estos formularios (ver Ecuación lineal para otros formularios) generalmente se nombran por el tipo de información (datos) sobre la línea que se necesita para escribir el formulario. Algunos de los datos importantes de una línea son su pendiente, intersección con el eje x , puntos conocidos en la línea y la intersección con el eje y.
La ecuación de la línea que pasa por dos puntos diferentes. y puede escribirse como
- .
Si x 0 ≠ x 1 , esta ecuación puede reescribirse como
o
Ecuaciones paramétricas
Las ecuaciones paramétricas también se utilizan para especificar líneas, particularmente en aquellas en tres dimensiones o más porque en más de dos dimensiones las líneas no se pueden describir mediante una sola ecuación lineal.
En tres dimensiones, las líneas se describen con frecuencia mediante ecuaciones paramétricas:
dónde:
- x , y , yz son todas funciones de la variable independiente t que varía sobre los números reales.
- ( x 0 , y 0 , z 0 ) es cualquier punto de la recta.
- un , b , y c están relacionadas con la pendiente de la línea, de manera que la dirección del vector ( un , b , c ) es paralela a la línea.
Las ecuaciones paramétricas para líneas en dimensiones superiores son similares en el sentido de que se basan en la especificación de un punto en la línea y un vector de dirección.
Como nota, las líneas en tres dimensiones también se pueden describir como las soluciones simultáneas de dos ecuaciones lineales.
tal que y no son proporcionales (las relaciones implicar ). Esto se deduce de que en tres dimensiones una sola ecuación lineal describe típicamente un plano y una línea es lo que es común a dos planos de intersección distintos.
Forma pendiente-intersección
En dos dimensiones , la ecuación para líneas no verticales a menudo se da en la forma pendiente-intersección :
dónde:
- m es la pendiente o pendiente de la línea.
- b es la intersección con el eje y de la línea.
- x es la variable independiente de la función y = f ( x ).
La pendiente de la recta que pasa por puntos. y , Cuándo , es dado por y la ecuación de esta línea se puede escribir .
Forma normal
La forma normal (también llamada forma normal de Hesse , [11] en honor al matemático alemán Ludwig Otto Hesse ), se basa en el segmento normal para una línea dada, que se define como el segmento de línea trazada desde el origen perpendicular a la línea. . Este segmento une el origen con el punto más cercano en la línea al origen. La forma normal de la ecuación de una línea recta en el plano viene dada por:
dónde es el ángulo de inclinación del segmento normal (el ángulo orientado desde el vector unitario del eje x a este segmento), yp es la longitud (positiva) del segmento normal. La forma normal se puede derivar de la forma estándar dividiendo todos los coeficientes por
A diferencia de las formas pendiente-intersección e intersección, esta forma puede representar cualquier línea pero también requiere solo dos parámetros finitos, y p , por especificar. Si p > 0 , entoncesse define de forma única módulo 2 π . Por otro lado, si la línea pasa por el origen ( c = p = 0 ), se descarta c / | c | término para calcular y , y se sigue que sólo se define módulo π .
En coordenadas polares
En un plano cartesiano , las coordenadas polares ( r , θ ) están relacionadas con las coordenadas cartesianas mediante las ecuaciones
En coordenadas polares, la ecuación de una línea que no pasa por el origen , el punto con coordenadas (0, 0), se puede escribir
con r > 0 yAquí, p es la longitud (positiva) del segmento de línea perpendicular a la línea y delimitado por el origen y la línea, yes el ángulo (orientado) desde el eje x hasta este segmento.
Puede ser útil expresar la ecuación en términos del ángulo entre el eje x y la línea. En este caso, la ecuación se convierte en
con r > 0 y
Estas ecuaciones se pueden derivar de la forma normal de la ecuación lineal estableciendo y y luego aplicando la identidad de diferencia de ángulo para seno o coseno.
Estas ecuaciones también se pueden probar geométricamente aplicando definiciones de triángulo rectángulo de seno y coseno al triángulo rectángulo que tiene un punto de la línea y el origen como vértices, y la línea y su perpendicular a través del origen como lados.
Las formas anteriores no aplican para una línea que pasa por el origen, pero se puede escribir una fórmula más simple: las coordenadas polares. de los puntos de una recta que pasa por el origen y forma un ángulo de con el eje x , son los pares tal que
Como una ecuación vectorial
La ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A y B está dada por (donde λ es un escalar ).
Si a es el vector OA y b es el vector OB , entonces la ecuación de la línea se puede escribir:.
Un rayo que comienza en el punto A se describe limitando λ. Se obtiene un rayo si λ ≥ 0, y el rayo opuesto proviene de λ ≤ 0.
En dimensiones superiores
En el espacio tridimensional , una ecuación de primer grado en las variables x , y y z define un plano, por lo que dos de tales ecuaciones, siempre que los planos que dan lugar no sean paralelos, definen una línea que es la intersección de los planos. Más en general, en n espacio dimensional n -1 ecuaciones de primer grado en las n coordenadas variables definen una línea en condiciones adecuadas.
En más general euclidiana espacio , R n (y análogamente en todos los demás espacio afín ), la línea L que pasa por dos puntos diferentes a y b (considerado como vectores) es el subconjunto
La dirección de la línea es de a ( t = 0) ab ( t = 1), o en otras palabras, en la dirección del vector b - a . Diferentes opciones de una y b pueden producir la misma línea.
Puntos colineales
Se dice que tres puntos son colineales si se encuentran en la misma línea. Normalmente, tres puntos determinan un plano , pero en el caso de tres puntos colineales esto no sucede.
En coordenadas afines , en el espacio n- dimensional, los puntos X = ( x 1 , x 2 , ..., x n ), Y = ( y 1 , y 2 , ..., y n ) y Z = ( z 1 , z 2 , ..., z n ) son colineales si la matriz
tiene un rango menor que 3. En particular, para tres puntos en el plano ( n = 2), la matriz anterior es cuadrada y los puntos son colineales si y solo si su determinante es cero.
De manera equivalente para tres puntos en un plano, los puntos son colineales si y solo si la pendiente entre un par de puntos es igual a la pendiente entre cualquier otro par de puntos (en cuyo caso la pendiente entre el par de puntos restantes será igual a las otras pendientes) . Por extensión, k puntos en un plano son colineales si y solo si alguno ( k –1) pares de puntos tienen las mismas pendientes por pares.
En la geometría euclidiana , la distancia euclidiana d ( un , b ) entre dos puntos de una y b pueden ser utilizados para expresar la colinealidad entre tres puntos por: [12] [13]
- Los puntos de un , b y c son colineales si y sólo si d ( x , un ) = d ( c , un ) y d ( x , b ) = d ( c , b ) implica x = c .
Sin embargo, existen otras nociones de distancia (como la distancia de Manhattan ) para las que esta propiedad no es cierta.
En las geometrías donde el concepto de línea es una noción primitiva , como puede ser el caso en algunas geometrías sintéticas , se necesitan otros métodos para determinar la colinealidad.
Tipos de lineas
En cierto sentido, [14] todas las líneas en la geometría euclidiana son iguales, en el sentido de que, sin coordenadas, no se pueden distinguir unas de otras. Sin embargo, las líneas pueden jugar papeles especiales con respecto a otros objetos en la geometría y dividirse en tipos de acuerdo con esa relación. Por ejemplo, con respecto a una cónica (un círculo , elipse , parábola o hipérbola ), las líneas pueden ser:
- líneas tangentes , que tocan la cónica en un solo punto;
- líneas secantes , que cortan la cónica en dos puntos y pasan por su interior;
- líneas exteriores, que no se encuentran con la cónica en ningún punto del plano euclidiano; o
- una directriz , cuya distancia desde un punto ayuda a establecer si el punto está en la cónica.
En el contexto de la determinación del paralelismo en la geometría euclidiana, una transversal es una línea que cruza otras dos líneas que pueden o no ser paralelas entre sí.
Para curvas algebraicas más generales , las líneas también podrían ser:
- i-secant lines, meeting the curve in i points counted without multiplicity, or
- asymptotes, which a curve approaches arbitrarily closely without touching it.
With respect to triangles we have:
- the Euler line,
- the Simson lines, and
- central lines.
For a convex quadrilateral with at most two parallel sides, the Newton line is the line that connects the midpoints of the two diagonals.
For a hexagon with vertices lying on a conic we have the Pascal line and, in the special case where the conic is a pair of lines, we have the Pappus line.
Parallel lines are lines in the same plane that never cross. Intersecting lines share a single point in common. Coincidental lines coincide with each other—every point that is on either one of them is also on the other.
Perpendicular lines are lines that intersect at right angles.
In three-dimensional space, skew lines are lines that are not in the same plane and thus do not intersect each other.
En geometría proyectiva
In many models of projective geometry, the representation of a line rarely conforms to the notion of the "straight curve" as it is visualised in Euclidean geometry. In elliptic geometry we see a typical example of this.[15] In the spherical representation of elliptic geometry, lines are represented by great circles of a sphere with diametrically opposite points identified. In a different model of elliptic geometry, lines are represented by Euclidean planes passing through the origin. Even though these representations are visually distinct, they satisfy all the properties (such as, two points determining a unique line) that make them suitable representations for lines in this geometry.
Extensiones
Ray
Given a line and any point A on it, we may consider A as decomposing this line into two parts. Each such part is called a ray and the point A is called its initial point. It is also known as half-line, a one-dimensional half-space. The point A is considered to be a member of the ray.[16] Intuitively, a ray consists of those points on a line passing through A and proceeding indefinitely, starting at A, in one direction only along the line. However, in order to use this concept of a ray in proofs a more precise definition is required.
Given distinct points A and B, they determine a unique ray with initial point A. As two points define a unique line, this ray consists of all the points between A and B (including A and B) and all the points C on the line through A and B such that B is between A and C.[17] This is, at times, also expressed as the set of all points C such that A is not between B and C.[18] A point D, on the line determined by A and B but not in the ray with initial point A determined by B, will determine another ray with initial point A. With respect to the AB ray, the AD ray is called the opposite ray.
Thus, we would say that two different points, A and B, define a line and a decomposition of this line into the disjoint union of an open segment (A, B) and two rays, BC and AD (the point D is not drawn in the diagram, but is to the left of A on the line AB). These are not opposite rays since they have different initial points.
In Euclidean geometry two rays with a common endpoint form an angle.
The definition of a ray depends upon the notion of betweenness for points on a line. It follows that rays exist only for geometries for which this notion exists, typically Euclidean geometry or affine geometry over an ordered field. On the other hand, rays do not exist in projective geometry nor in a geometry over a non-ordered field, like the complex numbers or any finite field.
Line segment
A line segment is a part of a line that is bounded by two distinct end points and contains every point on the line between its end points. Depending on how the line segment is defined, either of the two end points may or may not be part of the line segment. Two or more line segments may have some of the same relationships as lines, such as being parallel, intersecting, or skew, but unlike lines they may be none of these, if they are coplanar and either do not intersect or are collinear.
Geodesics
The "shortness" and "straightness" of a line, interpreted as the property that the distance along the line between any two of its points is minimized (see triangle inequality), can be generalized and leads to the concept of geodesics in metric spaces.
Ver también
- Affine function
- Curve
- Distance between two lines
- Distance from a point to a line
- Imaginary line (mathematics)
- Incidence (geometry)
- Line coordinates
- Line (graphics)
- Line segment
- Locus
- Plane (geometry)
- Polyline
- Rectilinear (disambiguation)
Notas
- ^ "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault. 2020-03-01. Retrieved 2020-08-16.
- ^ Weisstein, Eric W. "Line". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-16.
- ^ In (rather old) French: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel [...] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude. [...] La ligne droicte est celle qui est également estenduë entre ses poincts." Pages 7 and 8 of Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions, by Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).
- ^ Coxeter 1969, p. 4
- ^ Faber 1983, p. 95
- ^ Faber 1983, p. 95
- ^ Faber, Appendix A, p. 291.
- ^ Faber, Part III, p. 95.
- ^ Faber, Part III, p. 108.
- ^ Faber, Appendix B, p. 300.
- ^ Bôcher, Maxime (1915), Plane Analytic Geometry: With Introductory Chapters on the Differential Calculus, H. Holt, p. 44, archived from the original on 2016-05-13.
- ^ Alessandro Padoa, Un nouveau système de définitions pour la géométrie euclidienne, International Congress of Mathematicians, 1900
- ^ Bertrand Russell, The Principles of Mathematics, p. 410
- ^ Technically, the collineation group acts transitively on the set of lines.
- ^ Faber, Part III, p. 108.
- ^ On occasion we may consider a ray without its initial point. Such rays are called open rays, in contrast to the typical ray which would be said to be closed.
- ^ Wylie Jr. 1964, p. 59, Definition 3
- ^ Pedoe 1988, p. 2
Referencias
- Coxeter, H.S.M (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4
- Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
- Pedoe, Dan (1988), Geometry: A Comprehensive Course, Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-65812-0
- Wylie Jr., C.R. (1964), Foundations of Geometry, New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-072191-2
enlaces externos
- "Line (curve)", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Equations of the Straight Line at Cut-the-Knot