En matemáticas , un mapa lineal (también llamado mapeo lineal , transformación lineal , homomorfismo de espacio vectorial o, en algunos contextos, función lineal ) es un mapeo. entre dos espacios vectoriales que conserva las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar . Los mismos nombres y la misma definición también se utilizan para el caso más general de módulos sobre un anillo ; ver Módulo de homomorfismo .
Si un mapa lineal es una biyección , se denomina isomorfismo lineal . En el caso donde, un mapa lineal se llama endomorfismo (lineal) . A veces, el término operador lineal se refiere a este caso, [1] pero el término "operador lineal" puede tener diferentes significados para diferentes convenciones: por ejemplo, se puede utilizar para enfatizar que y son espacios vectoriales reales (no necesariamente con), [ cita requerida ] o puede usarse para enfatizar quees un espacio funcional , que es una convención común en el análisis funcional . [2] A veces, el término función lineal tiene el mismo significado que mapa lineal , mientras que en el análisis no lo tiene.
Un mapa lineal de V a W asignen siempre el origen de V con el origen de W . Además, mapea subespacios lineales en V sobre subespacios lineales en W (posiblemente de una dimensión más baja ); [3] Por ejemplo, se asigna un plano a través del origen en V ya sea a un plano que pasa por el origen en W , una línea a través del origen en W , o simplemente el origen en W . Los mapas lineales a menudo se pueden representar como matrices , y los ejemplos simples incluyen transformaciones lineales de rotación y reflexión .
En el lenguaje de la teoría de categorías , los mapas lineales son los morfismos de los espacios vectoriales.
Definición y primeras consecuencias
Dejar y ser espacios vectoriales sobre el mismo campo . Una funciónse dice que es un mapa lineal si para dos vectores cualesquiera y cualquier escalar se cumplen las dos condiciones siguientes:
aditividad / operación de adición | |
homogeneidad de grado 1 / operación de multiplicación escalar |
Por lo tanto, se dice que un mapa lineal preserva la operación . En otras palabras, no importa si el mapa lineal se aplica antes (el lado derecho de los ejemplos anteriores) o después (el lado izquierdo de los ejemplos) de las operaciones de suma y multiplicación escalar.
Por la asociatividad de la operación de suma denotada como +, para cualquier vector y escalares se cumple la siguiente igualdad: [4] [5]
Denotando los elementos cero de los espacios vectoriales y por y respectivamente, se sigue que Dejar y en la ecuación de homogeneidad de grado 1:
De vez en cuando, y pueden ser espacios vectoriales sobre diferentes campos. Entonces es necesario especificar cuál de estos campos de tierra se está utilizando en la definición de "lineal". Si y son espacios sobre el mismo campo como arriba, entonces hablamos de -mapas lineales. Por ejemplo, la conjugación de números complejos es una-mapa lineal , pero no lo es -lineal, donde y son símbolos que representan los conjuntos de números reales y números complejos, respectivamente.
Un mapa lineal con visto como un espacio vectorial unidimensional sobre sí mismo se denomina funcional lineal . [6]
Estas declaraciones se generalizan a cualquier módulo izquierdo. sobre un anillo sin modificación, ya cualquier módulo derecho al invertir la multiplicación escalar.
Ejemplos de
- Un ejemplo prototípico que da a los mapas lineales su nombre es una función. , cuyo gráfico es una línea que pasa por el origen. [7]
- De manera más general, cualquier homotecia dónde centrado en el origen de un espacio vectorial es un mapa lineal.
- El mapa cero entre dos espacios vectoriales (sobre el mismo campo ) es lineal.
- El mapa de identidad de cualquier módulo es un operador lineal.
- Para números reales, el mapa no es lineal.
- Para números reales, el mapa no es lineal (pero es una transformación afín ).
- Si es un matriz real , entonces define un mapa lineal de a enviando un vector de columna al vector de columna . A la inversa, cualquier mapa lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar de esta manera; consulte las § Matrices , a continuación.
- Si es una isometría entre espacios normativos reales tal que luego es un mapa lineal. Este resultado no es necesariamente cierto para el espacio normado complejo. [8]
- La diferenciación define un mapa lineal desde el espacio de todas las funciones diferenciables hasta el espacio de todas las funciones. También define un operador lineal en el espacio de todas las funciones suaves (un operador lineal es un endomorfismo lineal , es decir, un mapa lineal donde el dominio y codominio del mismo es el mismo). Un ejemplo es
- Una integral definida sobre algún intervalo I es un mapa lineal desde el espacio de todas las funciones integrables de valor real en I a. Por ejemplo,
- Una integral indefinida (o antiderivada ) con un punto de inicio de integración fijo define un mapa lineal del espacio de todas las funciones integrables de valor real en al espacio de todas las funciones diferenciables de valor real en . Sin un punto de partida fijo, la antiderivada se asigna al espacio del cociente de las funciones diferenciables por el espacio lineal de funciones constantes.
- Si y son espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo F , de dimensiones respectivas m y n , entonces la función que mapea mapas linealesa n × m matrices en la forma descrita en § Matrices (abajo) es un mapa lineal, e incluso un isomorfismo lineal .
- El valor esperado de una variable aleatoria (que de hecho es una función y, como tal, un elemento de un espacio vectorial) es lineal, como para las variables aleatorias y tenemos y , pero la varianza de una variable aleatoria no es lineal.
La función con es un mapa lineal. Esta función escala el componente de un vector por el factor .
La función es aditivo: no importa si los vectores se agregan primero y luego se mapean o si se mapean y finalmente se agregan:
La función es homogéneo: no importa si un vector se escala primero y luego se asigna o primero se asigna y luego se escala:
Matrices
Si y son espacios vectoriales de dimensión finita y se define una base para cada espacio vectorial, luego cada mapa lineal de a se puede representar mediante una matriz . [9] Esto es útil porque permite cálculos concretos. Las matrices dan ejemplos de mapas lineales: si es un real matriz, entonces describe un mapa lineal (ver espacio euclidiano ).
Dejar ser una base para . Entonces cada vector está determinado únicamente por los coeficientes en el campo :
Si es un mapa lineal,
lo que implica que la función f está totalmente determinada por los vectores. Ahora deja ser una base para . Entonces podemos representar cada vector como
Por lo tanto, la función está enteramente determinada por los valores de . Si ponemos estos valores en un matriz , entonces podemos usarlo convenientemente para calcular la salida vectorial de para cualquier vector en . Llegar, cada columna de es un vector
correspondiente a como se define arriba. Para definirlo más claramente, para alguna columna que corresponde al mapeo ,
dónde es la matriz de . En otras palabras, cada columna tiene un vector correspondiente cuyas coordenadas son los elementos de la columna . Un solo mapa lineal puede estar representado por muchas matrices. Esto se debe a que los valores de los elementos de una matriz dependen de las bases elegidas.
Las matrices de una transformación lineal se pueden representar visualmente:
- Matriz para relativo a :
- Matriz para relativo a :
- Matriz de transición de a :
- Matriz de transición de a :
Tal que comenzando en la esquina inferior izquierda y buscando la esquina inferior derecha , uno se multiplicaría por la izquierda, es decir, . El método equivalente sería el método "más largo" en sentido horario desde el mismo punto de manera que se multiplica por la izquierda con , o .
Ejemplos en dimensión dos
En el espacio bidimensional, los mapas lineales R 2 se describen mediante matrices 2 × 2 . Estos son algunos ejemplos:
- rotación
- por 90 grados en sentido antihorario:
- en un ángulo θ en sentido antihorario:
- por 90 grados en sentido antihorario:
- reflexión
- a través del eje x :
- a través del eje y :
- a través de una línea que forma un ángulo θ con el origen:
- a través del eje x :
- escala en 2 en todas las direcciones:
- mapeo de corte horizontal :
- mapeo de compresión :
- proyección sobre el eje y :
Espacio vectorial de mapas lineales
La composición de los mapas lineales es lineal: si y son lineales, entonces también lo es su composición . De esto se deduce que la clase de todos los espacios vectoriales sobre un campo dado K , junto con K -mapas lineales como morfismos , forma una categoría .
La inversa de un mapa lineal, cuando se define, es nuevamente un mapa lineal.
Si y son lineales, entonces también lo es su suma puntual, que se define por .
Si es lineal y es un elemento del campo terrestre , luego el mapa , definido por , también es lineal.
Por lo tanto, el conjunto de mapas lineales de a en sí mismo forma un espacio vectorial sobre , [10] a veces denotado. [11] Además, en el caso de que, este espacio vectorial, denotado , es un álgebra asociativa bajo composición de mapas , ya que la composición de dos mapas lineales es nuevamente un mapa lineal, y la composición de mapas es siempre asociativa. Este caso se analiza con más detalle a continuación.
Dado nuevamente el caso de dimensión finita, si se han elegido bases, entonces la composición de mapas lineales corresponde a la multiplicación de matrices , la suma de mapas lineales corresponde a la suma de matrices , y la multiplicación de mapas lineales con escalares corresponde a la multiplicación de matrices con escalares.
Endomorfismos y automorfismos
Una transformación lineal es un endomorfismo de; el conjunto de todos esos endomorfismosjunto con la suma, la composición y la multiplicación escalar como se define arriba forma un álgebra asociativa con elemento de identidad sobre el campo(y en particular un anillo ). El elemento de identidad multiplicativo de este álgebra es el mapa de identidad .
Un endomorfismo de que también es un isomorfismo se llama automorfismo de. La composición de dos automorfismos es nuevamente un automorfismo, y el conjunto de todos los automorfismos deforma un grupo , el grupo de automorfismo de que se denota por o . Dado que los automorfismos son precisamente aquellos endomorfismos que poseen inversos en la composición,es el grupo de unidades en el anillo.
Si tiene dimensión finita , luego es isomorfo al álgebra asociativa de todos matrices con entradas en . El grupo de automorfismo dees isomorfo al grupo lineal general de todo matrices invertibles con entradas en .
Núcleo, imagen y teorema de rango-nulidad
Si es lineal, definimos el kernel y la imagen o rango de por
es un subespacio de y es un subespacio de . La siguiente fórmula de dimensión se conoce como teorema de rango-nulidad :
- [12]
El número también se llama el rango de y escrito como , o algunas veces, ; [13] [14] el númerose llama la nulidad de y escrito como o . [13] [14] Si y son de dimensión finita, se han elegido bases y está representado por la matriz , entonces el rango y la nulidad de son iguales al rango y nulidad de la matriz , respectivamente.
Cokernel
Un invariante más sutil de una transformación lineal es el núcleo co , que se define como
Esta es la noción dual del kernel: así como el kernel es un subespacio del dominio, el co-kernel es un espacio cociente del objetivo. Formalmente, uno tiene la secuencia exacta
Estos se pueden interpretar así: dada una ecuación lineal f ( v ) = w para resolver,
- el núcleo es el espacio de soluciones de la ecuación homogénea f ( v ) = 0, y su dimensión es el número de grados de libertad en el espacio de soluciones, si no está vacío;
- el co-kernel es el espacio de restricciones que deben satisfacer las soluciones, y su dimensión es el número máximo de restricciones independientes.
La dimensión del co-kernel y la dimensión de la imagen (el rango) se suman a la dimensión del espacio objetivo. Para dimensiones finitas, esto significa que la dimensión del espacio cociente W / f ( V ) es la dimensión del espacio objetivo menos la dimensión de la imagen.
Como ejemplo simple, considere el mapa f : R 2 → R 2 , dado por f ( x , y ) = (0, y ). Entonces, para que una ecuación f ( x , y ) = ( a , b ) tenga una solución, debemos tener a = 0 (una restricción), y en ese caso el espacio de la solución es ( x , b ) o en forma equivalente, ( 0, b ) + ( x , 0), (un grado de libertad). El núcleo se puede expresar como el subespacio ( x , 0) < V : el valor de x es la libertad en una solución, mientras que el cokernel se puede expresar mediante el mapa W → R ,dado un vector ( a , b ), el valor de a es la obstrucción para que exista una solución.
El mapa f ofrece un ejemplo que ilustra el caso de dimensión infinita : R ∞ → R ∞ ,con b 1 = 0 y b n + 1 = a n para n > 0. Su imagen consta de todas las secuencias con el primer elemento 0 y, por tanto, su cokernel consta de las clases de secuencias con el primer elemento idéntico. Por lo tanto, mientras que su kernel tiene dimensión 0 (asigna solo la secuencia cero a la secuencia cero), su co-kernel tiene dimensión 1. Dado que el dominio y el espacio de destino son el mismo, el rango y la dimensión del kernel se suman a la misma suma que el rango y la dimensión del co-kernel (), pero en el caso de dimensión infinita no se puede inferir que el kernel y el co-kernel de un endomorfismo tengan la misma dimensión (0 ≠ 1). La situación inversa se obtiene para el mapa h : R ∞ → R ∞ ,con c n = a n + 1 . Su imagen es el espacio de destino completo y, por lo tanto, su co-kernel tiene dimensión 0, pero como mapea todas las secuencias en las que solo el primer elemento es distinto de cero a la secuencia cero, su kernel tiene dimensión 1.
Índice
Para un operador lineal con kernel y co-kernel de dimensión finita, se puede definir el índice como:
es decir, los grados de libertad menos el número de restricciones.
Para una transformación entre espacios vectoriales de dimensión finita, esta es solo la diferencia dim ( V ) - dim ( W ), por rango-nulidad. Esto da una indicación de cuántas soluciones o cuántas restricciones tiene uno: si se mapea de un espacio más grande a uno más pequeño, el mapa puede estar en y, por lo tanto, tendrá grados de libertad incluso sin restricciones. Por el contrario, si se realiza un mapeo de un espacio más pequeño a uno más grande, el mapa no puede estar en y, por lo tanto, uno tendrá restricciones incluso sin grados de libertad.
El índice de un operador es precisamente la característica de Euler del complejo de 2 términos 0 → V → W → 0. En la teoría de operadores , el índice de los operadores de Fredholm es un objeto de estudio, siendo un resultado importante el teorema del índice de Atiyah-Singer . [15]
Clasificaciones algebraicas de transformaciones lineales
Ninguna clasificación de mapas lineales podría ser exhaustiva. La siguiente lista incompleta enumera algunas clasificaciones importantes que no requieren ninguna estructura adicional en el espacio vectorial.
Sea V y W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T : V → W un mapa lineal.
Definición : Se dice que T es inyectivo o un monomorfismo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- T es uno a uno como mapa de conjuntos .
- ker T = {0 V }
- dim (ker T ) = 0
- T es mónico o izquierda cancelable, es decir, para cualquier espacio vector T y cualquier par de lineal mapea R : T → V y S : U → V , la ecuación TR = TS implica R = S .
- T se dejó-invertible , es decir, existe un mapa lineal S : W → V tal que ST es el mapa de identidad en V .
Definición : Se dice que T es sobreyectiva o un epimorfismo si alguna de las siguientes condiciones equivalentes es verdadera:
- T está sobre como un mapa de conjuntos.
- coquizador T = {0 W }
- T es epic o derecha cancelable, es decir, para cualquier espacio vector T y cualquier par de lineal mapea R : W → U y S : W → U , la ecuación RT = ST implica R = S .
- T es el botón derecho del invertible , es decir, existe una aplicación lineal S : W → V tal que TS es la aplicación identidad de W .
Definición : Se dice que T es un isomorfismo si es invertible tanto a la izquierda como a la derecha. Esto es equivalente a que T sea tanto uno a uno como sobre (una biyección de conjuntos) o también que T sea tanto épico como mónico, y por lo tanto un bimorfismo .
Si T : V → V es un endomorfismo, entonces:
- Si, para algún entero positivo n , la n -ésima iteración de T , T n , es idénticamente cero, entonces se dice que T es nilpotente .
- Si T 2 = T , entonces se dice que T es idempotente
- Si T = kI , donde k es un escalar, entonces se dice que T es una transformación de escala o un mapa de multiplicación escalar; ver matriz escalar .
Cambio de base
Dado un mapa lineal que es un endomorfismo cuya matriz es A , en la base B del espacio transforma las coordenadas vectoriales [u] en [v] = A [u]. Como los vectores cambian con la inversa de B (los vectores son contravariantes ), su transformación inversa es [v] = B [v '].
Sustituyendo esto en la primera expresión
por eso
Por lo tanto, la matriz en la nueva base es A ′ = B −1 AB , siendo B la matriz de la base dada.
Por lo tanto, se dice que los mapas lineales son objetos 1-co-1-contra- variantes , o tensores de tipo (1, 1) .
Continuidad
Una transformación lineal entre espacios vectoriales topológicos , por ejemplo , espacios normativos , puede ser continua . Si su dominio y codominio son iguales, entonces será un operador lineal continuo . Un operador lineal en un espacio lineal normado es continuo si y solo si está acotado , por ejemplo, cuando el dominio es de dimensión finita. [16] Un dominio de dimensión infinita puede tener operadores lineales discontinuos .
Un ejemplo de una transformación lineal ilimitada, por lo tanto discontinua, es la diferenciación en el espacio de funciones suaves equipadas con la norma superior (una función con valores pequeños puede tener una derivada con valores grandes, mientras que la derivada de 0 es 0). Para un ejemplo específico, sin ( nx ) / n converge a 0, pero su derivada cos ( nx ) no, por lo que la diferenciación no es continua en 0 (y por una variación de este argumento, no es continua en ninguna parte).
Aplicaciones
Una aplicación específica de los mapas lineales es para transformaciones geométricas, como las realizadas en gráficos por computadora , donde la traslación, rotación y escalado de objetos 2D o 3D se realiza mediante el uso de una matriz de transformación . Los mapeos lineales también se utilizan como mecanismo para describir el cambio: por ejemplo, en cálculo corresponden a derivadas; o en relatividad, utilizado como un dispositivo para realizar un seguimiento de las transformaciones locales de los marcos de referencia.
Otra aplicación de estas transformaciones es en las optimizaciones del compilador de código de ciclo anidado y en la paralelización de las técnicas del compilador .
Ver también
- Mapa antilineal
- Función doblada
- Operador acotado
- Operador lineal continuo
- Funcional lineal
- Isometria lineal
Notas
- ^ "Las transformaciones lineales de V en V a menudo se denominan operadores lineales en V ". Rudin 1976 , pág. 207
- ^ Sean V y W dos espacios vectoriales reales. Un mapeo a de V a W se denomina 'mapeo lineal' o 'transformación lineal' u 'operador lineal' [...] de V a W , si
para todos ,
para todos y todo λ real . Bronshtein y Semendyayev 2004 , pág. 316 - ^ Rudin 1991 , p. 14
Aquí hay algunas propiedades de las asignaciones lineales.cuyas pruebas son tan fáciles que las omitimos; se asume que y :- Si A es un subespacio (o un conjunto convexo , o un conjunto equilibrado ), lo mismo ocurre con
- Si B es un subespacio (o un conjunto convexo o un conjunto equilibrado), lo mismo ocurre con
- En particular, el conjunto:
- ^ Rudin 1991 , p. 14. Suponga ahora que X e Y son espacios vectoriales sobre el mismo campo escalar . Un mapeose dice que es lineal si para todos y todos los escalares y . Tenga en cuenta que a menudo se escribe, en vez de , Cuándo es lineal.
- ^ Rudin 1976 , p. 206. Sedice que unmapeo A de un espacio vectorial X en un espacio vectorial Y es una transformación lineal si: para todos y todos los escalares c . Tenga en cuenta que a menudo se escribe en vez de si A es lineal.
- ^ Rudin 1991 , p. 14. Las asignaciones lineales de X en su campo escalar se denominan funcionales lineales .
- ^ "terminología - ¿Qué significa 'lineal' en álgebra lineal?" . Intercambio de pila de matemáticas . Consultado el 17 de febrero de 2021 .
- ^ Wilansky 2013 , págs. 21-26.
- ^ Rudin 1976 , p. 210 Suponga y son bases de los espacios vectoriales X e Y , respectivamente. Entonces cada determina un conjunto de números tal que
- ^ Axler (2015) p. 52, párrafo 3.3
- ↑ Tu (2011) , p. 19, párrafo 3.1
- ^ Horn & Johnson 2013 , 0.2.3 Espacios vectoriales asociados con una matriz o transformación lineal, p. 6
- ↑ a b Katznelson y Katznelson (2008) p. 52, párrafo 2.5.1
- ↑ a b Halmos (1974) p. 90, párrafo 50
- ^ Nistor, Victor (2001) [1994], "Teoría del índice" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press: "La cuestión principal en la teoría de índices es proporcionar fórmulas de índice para las clases de operadores de Fredholm ... La teoría de índices se ha convertido en un tema por sí solo después de que MF Atiyah y I. Singer publicaron sus teoremas de índices"
- ^ Rudin 1991 , p. 15 1.18 Teorema Seaser un funcional lineal en un espacio vectorial topológico X . Asumir para algunos . Entonces, cada una de las siguientes cuatro propiedades implica las otras tres:
- es continuo
- El espacio nulo está cerrado.
- No es denso en X .
- está acotado en alguna vecindad V de 0.
Bibliografía
- Axler, Sheldon Jay (2015). Álgebra lineal bien hecha (3ª ed.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
- Bronshtein, IN; Semendyayev, KA (2004). Manual de Matemáticas (4ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-43491-7.
- Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Espacios vectoriales de dimensión finita (2ª ed.). Springer . ISBN 0-387-90093-4.
- Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (2013). Análisis matricial (Segunda ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-83940-2.
- Katznelson, Yitzhak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). Una (concisa) introducción al álgebra lineal . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4419-9.
- Lang, Serge (1987), Linear Algebra (Third ed.), Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 0-387-96412-6
- Rudin, Walter (1973). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 25 (Primera ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 9780070542259.
- Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3ª ed.). Nueva York: McGraw – Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
- Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Swartz, Charles (1992). Introducción al análisis funcional . Nueva York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
- Tu, Loring W. (2011). Introducción a los colectores (2ª ed.). Springer . ISBN 978-0-8218-4419-9.
- Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .