La integración es la operación básica en el cálculo integral . Si bien la diferenciación tiene reglas sencillas mediante las cuales se puede encontrar la derivada de una función complicada diferenciando sus funciones componentes más simples, la integración no, por lo que las tablas de integrales conocidas suelen ser útiles. Esta página enumera algunas de las antiderivadas más comunes .
Desarrollo histórico de integrales
Una compilación de una lista de integrales (Integraltafeln) y técnicas de cálculo integral fue publicada por el matemático alemán Meier Hirsch [ de ] (también conocido como Meyer Hirsch [ de ] ) en 1810. Estas tablas se volvieron a publicar en el Reino Unido en 1823. Más extensa Las tablas fueron compiladas en 1858 por el matemático holandés David Bierens de Haan para sus Tables d'intégrales définies , complementadas por el Supplément aux tables d'intégrales définies en ca. 1864. En 1867 se publicó una nueva edición con el título Nouvelles tables d'intégrales définies . Estas tablas, que contienen principalmente integrales de funciones elementales, se mantuvieron en uso hasta mediados del siglo XX. Luego fueron reemplazados por las tablas mucho más extensas de Gradshteyn y Ryzhik . En Gradshteyn y Ryzhik, las integrales que se originan en el libro de Bierens de Haan se indican con BI.
No todas las expresiones de forma cerrada tienen antiderivadas de forma cerrada; este estudio forma el tema de la teoría diferencial de Galois , que inicialmente fue desarrollada por Joseph Liouville en las décadas de 1830 y 1840, lo que lleva al teorema de Liouville que clasifica qué expresiones tienen antiderivadas de forma cerrada. Un ejemplo simple de una función sin una antiderivada de forma cerrada es e - x 2 , cuya antiderivada es (hasta constantes) la función de error .
Otros recursos útiles incluyen Abramowitz y Stegun y el Proyecto Manuscrito de Bateman . Ambos trabajos contienen muchas identidades relativas a integrales específicas, que se organizan con el tema más relevante en lugar de recopilarse en una tabla separada. Dos volúmenes del Manuscrito Bateman son específicos de transformaciones integrales.
Hay varios sitios web que tienen tablas de integrales e integrales bajo demanda. Wolfram Alpha puede mostrar resultados y, para algunas expresiones más simples, también los pasos intermedios de la integración. Wolfram Research también opera otro servicio en línea, Wolfram Mathematica Online Integrator .
Integrales de funciones simples
C se usa para una constante arbitraria de integración que solo se puede determinar si se conoce algo sobre el valor de la integral en algún punto. Por tanto, cada función tiene un número infinito de antiderivadas .
Estas fórmulas solo expresan de otra forma las afirmaciones en la tabla de derivadas .
Integrales con singularidad
Cuando hay una singularidad en la función que se está integrando de manera que la antiderivada se vuelve indefinida o en algún punto (la singularidad), entonces C no necesita ser el mismo en ambos lados de la singularidad. Las formas siguientes normalmente asumen el valor principal de Cauchy alrededor de una singularidad en el valor de C, pero esto no es necesario en general. Por ejemplo en
hay una singularidad en 0 y la antiderivada se vuelve infinita allí. Si la integral anterior se usara para calcular una integral definida entre -1 y 1, se obtendría la respuesta incorrecta 0. Sin embargo, este es el valor principal de Cauchy de la integral alrededor de la singularidad. Si la integración se realiza en el plano complejo, el resultado depende de la ruta alrededor del origen, en este caso la singularidad contribuye - i π cuando se usa una ruta por encima del origen e i π para una ruta por debajo del origen. Una función en la línea real podría usar un valor de C completamente diferente en cualquier lado del origen como en: [1]
Funciones racionales
Más integrales: Lista de integrales de funciones racionales
La siguiente función tiene una singularidad no integrable en 0 para un ≤ −1 :
( Fórmula de cuadratura de Cavalieri )
De manera más general, [2]
Funciones exponenciales
Más integrales: Lista de integrales de funciones exponenciales
Logaritmos
Más integrales: Lista de integrales de funciones logarítmicas
Funciones trigonométricas
Más integrales: Lista de integrales de funciones trigonométricas
(Ver Integral de la función secante . Este resultado fue una conjetura muy conocida en el siglo XVII).
(Ver integral de secante al cubo ).
Funciones trigonométricas inversas
Más integrales: Lista de integrales de funciones trigonométricas inversas
Funciones hiperbólicas
Más integrales: Lista de integrales de funciones hiperbólicas
Funciones hiperbólicas inversas
Más integrales: Lista de integrales de funciones hiperbólicas inversas
Productos de funciones proporcionales a sus segundas derivadas
Funciones de valor absoluto
Sea f una función que tiene como máximo una raíz en cada intervalo en el que se define, y g una antiderivada de f que es cero en cada raíz de f (tal antiderivada existe si y solo si se satisface la condición de f ) , luego
donde sgn ( x ) es la función de signo , que toma los valores -1, 0, 1 cuando x es respectivamente negativo, cero o positivo. Esto da las siguientes fórmulas (donde a ≠ 0 ):
Cuándo para algún número entero n .
Cuándo para algún número entero n .
Cuándo para algún número entero n .
Cuándo para algún número entero n .
Si la función f no tiene ninguna antiderivada continua que tome el valor cero en los ceros de f (este es el caso de las funciones seno y coseno), entonces sgn ( f ( x )) ∫ f ( x ) dx es un antiderivada de f en cada intervalo en el que f no es cero, pero puede ser discontinua en los puntos donde f ( x ) = 0 . Para tener una antiderivada continua, uno tiene que agregar una función escalonada bien elegida . Si también usamos el hecho de que los valores absolutos de seno y coseno son periódicos con período π , obtenemos:
[ cita requerida ]
[ cita requerida ]
Funciones especiales
Ci, Si: integrales trigonométricas , Ei: integral exponencial , li: función integral logarítmica , erf: función de error
Integrales definidas que carecen de antiderivadas de forma cerrada
Hay algunas funciones cuyas antiderivadas no se pueden expresar en forma cerrada . Sin embargo, se pueden calcular los valores de las integrales definidas de algunas de estas funciones en algunos intervalos comunes. A continuación se dan algunas integrales útiles.
(ver también función Gamma )
para a > 0 (la integral gaussiana )
para un > 0
para a > 0 , n es un número entero positivo y !! es el factorial doble .
cuando a > 0
para a > 0 , n = 0, 1, 2, ....
(ver también el número de Bernoulli )
(ver función sinc y la integral de Dirichlet )
(si n es un entero positivo y !! es el factorial doble ).
(por α , β , m , n números enteros con β ≠ 0 y m , n ≥ 0 , consulta coeficiente binomial )
(para α , β real, n un entero no negativo ym un entero positivo impar; ya que el integrando es impar )
(por α , β , m , n números enteros con β ≠ 0 y m , n ≥ 0 , consulta coeficiente binomial )
(por α , β , m , n números enteros con β ≠ 0 y m , n ≥ 0 , consulta coeficiente binomial )
(donde exp [ u ] es la función exponencial e u , y a > 0 )
(dónde es la función Gamma )
(para Re ( α )> 0 y Re ( β )> 0 , consulte la función Beta )
(donde I 0 ( x ) es la función de Bessel modificada del primer tipo)
(para ν > 0 , esto está relacionado con la función de densidad de probabilidad de la distribución t de Student )
Si la función f tiene variación limitada en el intervalo [ a , b ] , entonces el método de agotamiento proporciona una fórmula para la integral:
El " sueño del segundo año ":
atribuido a Johann Bernoulli .
Ver también
Función gamma incompleta
Suma indefinida
Lista de límites
Lista de series matemáticas
Integración simbólica
Referencias
^ Serge Lang . Un primer curso de cálculo , 5ª edición, pág. 290
^ " Encuesta a los lectores: log | x | + C ", Tom Leinster, The n -category Café , 19 de marzo de 2012
Otras lecturas
Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Señor 0167642 . LCCN 65-12253 .
Bronstein, Ilja Nikolaevič; Semendjajew, Konstantin Adolfovič (1987) [1945]. Grosche, Günter; Ziegler, Viktor; Ziegler, Dorothea (eds.). Taschenbuch der Mathematik (en alemán). 1 . Traducido por Ziegler, Viktor. Weiß, Jürgen (23 ed.). Thun y Frankfurt am Main: Verlag Harri Deutsch (y BG Teubner Verlagsgesellschaft , Leipzig). ISBN 3-87144-492-8.
Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [Octubre de 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276 . (También varias ediciones anteriores).
Prudnikov, Anatolii Platonovich (Прудников, Анатолий Платонович) ; Brychkov, Yuri A. (Брычков, Ю. А.); Marichev, Oleg Igorevich (Маричев, Олег Игоревич) (1988-1992) [1981-1986 (ruso)]. Integrales y Series . 1-5 . Traducido por Queen, NM (1 ed.). ( Nauka ) Gordon & Breach Science Publishers / CRC Press . ISBN 2-88124-097-6.. Segunda edición revisada (ruso), volúmenes 1-3, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003.
Yuri A. Brychkov (Ю. А. Брычков), Manual de funciones especiales: derivadas, integrales, series y otras fórmulas . Edición rusa, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. Edición en inglés, Chapman & Hall / CRC Press, 2008, ISBN 1-58488-956-X / 9781584889564.
Daniel Zwillinger. Tablas y fórmulas matemáticas estándar de CRC , 31ª edición. Chapman y Hall / CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-291-3 . (También muchas ediciones anteriores).
Meyer Hirsch [ de ] , Integraltafeln oder Sammlung von Integralformeln (Duncker und Humblot, Berlín, 1810)
Meyer Hirsch [ de ] , Tablas integrales o una colección de fórmulas integrales (Baynes e hijo, Londres, 1823) [traducción al inglés de Integraltafeln ]
David Bierens de Haan , Nouvelles Tables d'Intégrales définies (Engels, Leiden, 1862)
Benjamin O. Pierce Una breve tabla de integrales - edición revisada (Ginn & co., Boston, 1899)
enlaces externos
Tablas de integrales
Notas de matemáticas en línea de Paul
A. Dieckmann, Tabla de integrales (funciones elípticas, raíces cuadradas, tangentes inversas y funciones más exóticas): integrales indefinidas Integrales definidas
Matemáticas principales: una tabla de integrales
O'Brien, Francis J. Jr. "500 integrales" . Integrales derivadas de funciones exponenciales, logarítmicas y funciones especiales.
Integración basada en reglas Reglas de integración indefinidas definidas con precisión que cubren una amplia clase de integrandos
Mathar, Richard J. (2012). "Otra tabla más de integrales". arXiv : 1207.5845 .
Derivaciones
Victor Hugo Moll, Los integrales en Gradshteyn y Ryzhik
Servicio en línea
Ejemplos de integración para Wolfram Alpha
Programas de código abierto
wxmaxima gui para resolución simbólica y numérica de muchos problemas matemáticos
Videos
La técnica de integración más dominada que existe . Video de YouTube de Flammable Maths sobre simetrías
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