En álgebra conmutativa y geometría algebraica , la localización es una forma formal de introducir los "denominadores" en un anillo o módulo dado . Es decir, introduce un nuevo anillo / módulo a partir de uno existente, de modo que consta de fracciones de tal manera que el denominador s pertenece a un subconjunto dado S de R . Si S es el conjunto de los elementos distintos de cero de un dominio integral , entonces la localización es el campo de fracciones : este caso generaliza la construcción del anillode números racionales del anillode enteros .
La técnica se ha vuelto fundamental, particularmente en geometría algebraica , ya que proporciona un vínculo natural con la teoría de gavillas . De hecho, el término localización se originó en la geometría algebraica : si R es un anillo de funciones definidas en algún objeto geométrico ( variedad algebraica ) V , y se quiere estudiar esta variedad "localmente" cerca de un punto p , entonces se considera el conjunto S de todas las funciones que no cero están en p y localiza R con respecto a S . El anillo resultantecontiene información sobre el comportamiento de V cerca de p , y excluye información que no es "local", como los ceros de funciones que están fuera de V (véase el ejemplo dado en el anillo local ).
Localización de un anillo
La localización de un anillo conmutativo R por un conjunto cerrado multiplicativamente S es un nuevo anillocuyos elementos son fracciones con numeradores en R y los denominadores en S .
Si el anillo es un dominio integral, la construcción generaliza y sigue de cerca la del campo de las fracciones y, en particular, la de los números racionales como el campo de las fracciones de los enteros. Para los anillos que tienen cero divisores , la construcción es similar pero requiere más cuidado.
Conjunto multiplicativo
La localización se hace comúnmente con respecto a un conjunto multiplicativo S (también llamado conjunto multiplicativo o sistema multiplicativo ) de elementos de un anillo R , que es un subconjunto de R que está cerrado bajo multiplicación y contiene 1 .
El requisito de que S debe ser un conjunto multiplicativo es natural, ya que implica que todos los denominadores introducidos por la localización pertenecen a S . La localización por un conjunto U que no está cerrada multiplicativa también se puede definir, tomando como posibles denominadores todos los productos de elementos de U . Sin embargo, la misma localización se obtiene utilizando el conjunto multiplicativa cerrado S de todos los productos de elementos de U . Como esto a menudo simplifica el razonamiento y la notación, es una práctica estándar considerar solo localizaciones por conjuntos multiplicativos.
Por ejemplo, la localización por un solo elemento s introduce fracciones de la forma sino también productos de tales fracciones, como Entonces, los denominadores pertenecerán al conjunto multiplicativo de los poderes del s . Por lo tanto, generalmente se habla de "la localización por el poder de un elemento" más que de "la localización por un elemento".
La localización de un anillo R por un conjunto multiplicativo S generalmente se denota pero otras notaciones se usan comúnmente en algunos casos especiales: si consta de los poderes de un solo elemento, a menudo se denota Si es el complemento de un ideal primo , luego se denota
En el resto de este artículo, solo se consideran las localizaciones por un conjunto multiplicativo.
Dominios integrales
Cuando el anillo R es un dominio integral y S no contiene 0 , el anilloes un subanillo del campo de las fracciones de R .
Más precisamente, es el subanillo del campo de fracciones de R , que consta de las fracciones tal que Este es un subring ya que la suma y el producto de dos elementos de estan en Esto resulta de la propiedad definitoria de un conjunto multiplicativo, que implica también que En este caso, R es un subanillo deA continuación se muestra que esto ya no es cierto en general, normalmente cuando S contiene cero divisores .
Por ejemplo, las fracciones decimales son la localización del anillo de números enteros por el conjunto multiplicativo de las potencias de diez. En este caso, consta de los números racionales que se pueden escribir como donde n es un número entero y k es un número entero no negativo.
Construcción general
En el caso general, surge un problema con los divisores cero . Deje que S sea un conjunto multiplicativo en un anillo conmutativo R . Si es la imagen en de y si as = 0 con entonces uno debe tener y así algunos elementos distintos de cero de R deben ser cero en La construcción que sigue está diseñada para tener esto en cuenta.
Dados R y S como antes, se considera la relación de equivalencia en que está definido por si existe un tal que
La localización se define como el conjunto de clases de equivalencia para esta relación. La clase de ( r , s ) se denota como o Entonces, uno tiene si y solo si hay un tal que
La localización es un anillo conmutativo con suma
multiplicación
identidad aditiva e identidad multiplicativa
La función
define un homomorfismo de anillo de dentro que es inyectiva si y solo si S no contiene ningún divisor cero.
Si luego es el anillo cero que tiene 0 como elemento único.
Si S es el conjunto de todos los elementos regulares de R (es decir, los elementos que no son divisores cero),se llama el anillo total de fracciones de R .
Propiedad universal
El homomorfismo de anillo (definido anteriormente) satisface una propiedad universal que se describe a continuación. Esto caracterizahasta un isomorfismo. Por tanto, todas las propiedades de las localizaciones pueden deducirse de la propiedad universal, independientemente de la forma en que se hayan construido. Además, muchas propiedades importantes de la localización se deducen fácilmente de las propiedades generales de las propiedades universales, mientras que su prueba directa puede ser técnica, sencilla y aburrida.
La propiedad universal satisfecha por es el siguiente: si es un homomorfismo de anillo que asigna cada elemento de S a una unidad (elemento invertible) en T , existe un homomorfismo de anillo único tal que
Usando la teoría de categorías , esto se puede expresar diciendo que la localización es un funtor que se deja adjunto a un funtor olvidadizo . Más precisamente, dejemos y ser las categorías cuyos objetos son pares de un anillo conmutativo y un submonoide de, respectivamente, el semigrupo multiplicativo o el grupo de las unidades del anillo. Los morfismos de estas categorías son los homomorfismos de anillo que mapean el submonoide del primer objeto en el submonoide del segundo. Finalmente, deja sea el functor olvidadizo que perdona que los elementos del segundo elemento del par sean invertibles.
Entonces la factorización de la propiedad universal define una biyección
Esta puede parecer una forma bastante complicada de expresar la propiedad universal, pero es útil para mostrar fácilmente muchas propiedades, utilizando el hecho de que la composición de dos functores adjuntos izquierdos es un functor adjunto izquierdo.
Ejemplos de
- Si es el anillo de números enteros , y luego es el campo de los números racionales .
- Si R es un dominio integral y luego es el campo de las fracciones de R . El ejemplo anterior es un caso especial de este.
- Si R es un anillo conmutativo , y si S es el subconjunto de sus elementos que no son divisores cero , entonceses el anillo total de fracciones de R . En este caso, S es el mayor conjunto multiplicativo tal que el homomorfismoes inyectable. El ejemplo anterior es un caso especial de este.
- Si x es un elemento de un anillo conmutativo R y luego se puede identificar (es canónicamente isomorfo a)(La prueba consiste en demostrar que este anillo satisface la propiedad universal anterior). Este tipo de localización juega un papel fundamental en la definición de un esquema afín .
- Si es un ideal primo de un anillo conmutativo R , el complemento del conjunto de en R es un conjunto multiplicativo (por la definición de un ideal primo). El anilloes un anillo local que generalmente se denotay llamó al anillo local de R en Este tipo de localización es fundamental en el álgebra conmutativa , porque muchas propiedades de un anillo conmutativo se pueden leer en sus anillos locales. Una propiedad de este tipo a menudo se denomina propiedad local . Por ejemplo, un anillo es regular si y solo si todos sus anillos locales son regulares.
Propiedades del anillo
La localización es una construcción rica que tiene muchas propiedades útiles. En esta sección, solo se consideran las propiedades relativas a los anillos y a una única localización. Las propiedades relativas a ideales , módulos o varios conjuntos multiplicativos se consideran en otras secciones.
- si y solo si S contiene 0 .
- El homomorfismo del anillo es inyectivo si y solo si S no contiene ningún divisor cero .
- El homomorfismo del anillo es un epimorfismo en la categoría de anillos , que no es sobreyectivo en general.
- El anillo es un módulo R plano (ver § Localización de un módulo para más detalles).
- Si es el complemento de un ideal primo, luego denotado es un anillo local ; es decir, tiene un solo ideal máximo .
Propiedades para mover en otra sección
- La localización conmuta con formaciones de sumas, productos, intersecciones y radicales finitos; [1] p . Ej., Sidenotar el radical de un ideal I en R , entonces
- En particular, R se reduce si y solo si se reduce su anillo total de fracciones. [2]
- Deje que R sea un dominio de integridad con el campo de las fracciones K . Entonces su localización en un ideal primordial puede ser visto como un subanillo de K . Es más,
- donde la primera intersección es sobre todos los ideales primarios y la segunda sobre los ideales máximos. [3]
- Hay una biyección entre el conjunto de ideales primos de S -1 R y el conjunto de ideales primos de R que no intersectan S . Este biyección es inducida por el homomorfismo dado R → S -1 R .
Saturación de un conjunto multiplicativo
Dejar ser un conjunto multiplicativo. La saturación de es el set
El conjunto multiplicativo S está saturado si es igual a su saturación, es decir, si, o de manera equivalente, si implica que r y s son en S .
Si S no está saturado, y luego es un inverso multiplicativo de la imagen de r en Entonces, las imágenes de los elementos de son todos invertibles en y la propiedad universal implica que y son canónicamente isomorfo , es decir, hay un isomorfismo único entre ellos que fija las imágenes de los elementos de R .
Si S y T son dos conjuntos multiplicativos, entonces y son isomorfos si y solo si tienen la misma saturación, o, de manera equivalente, si s pertenece a uno del conjunto multiplicativo, entonces existetal que st pertenece al otro.
Los conjuntos multiplicativos saturados no se utilizan mucho de forma explícita, ya que, para verificar que un conjunto está saturado, se deben conocer todas las unidades del anillo.
Terminología explicada por el contexto
El término localización se origina en la tendencia general de las matemáticas modernas de estudiar localmente los objetos geométricos y topológicos , es decir, en términos de su comportamiento cerca de cada punto. Ejemplos de esta tendencia son los conceptos fundamentales de variedades , gérmenes y gavillas . En geometría algebraica , un conjunto algebraico afín se puede identificar con un anillo cociente de un anillo polinomial de tal manera que los puntos del conjunto algebraico correspondan a los ideales máximos del anillo (este es el Nullstellensatz de Hilbert ). Esta correspondencia se ha generalizado para hacer del conjunto de los ideales principales de un anillo conmutativo un espacio topológico equipado con la topología de Zariski ; este espacio topológico se llama espectro del anillo .
En este contexto, una localización por un conjunto multiplicativo puede verse como la restricción del espectro de un anillo al subespacio de los ideales primos (vistos como puntos ) que no se cruzan con el conjunto multiplicativo.
Se consideran más comúnmente dos clases de localizaciones:
- El conjunto multiplicativo es el complemento de un ideal primo de un anillo R . En este caso, se habla de la "localización en", o" localización en un punto ". El anillo resultante, denotado es un anillo local y es el análogo algebraico de un anillo de gérmenes .
- El conjunto multiplicativo conjunto se compone de todas las potencias de un elemento t de un anillo R . El anillo resultante se denota comúnmentey su espectro es el conjunto abierto de Zariski de los ideales primarios que no contienen t . Por tanto, la localización es el análogo de la restricción de un espacio topológico a una vecindad de un punto (todo ideal primo tiene una base de vecindad que consta de conjuntos abiertos de Zariski de esta forma).
En teoría de números y topología algebraica , cuando se trabaja sobre el anillode los enteros , uno se refiere a una propiedad relativa a un entero n como una propiedad verdadera en n o alejada de n , dependiendo de la localización que se considere. " Lejos de n " significa que la propiedad se considera después de la localización por las potencias de n , y, si p es un número primo , "en n " significa que la propiedad se considera después de la localización en el ideal primo. Esta terminología puede explicarse por el hecho de que, si p es primo, los ideales primos distintos de cero de la localización deson el conjunto singleton {p} o su complemento en el conjunto de números primos.
Localización y saturación de ideales
Sea S un conjunto multiplicativo en un anillo conmutativo R , ysea el homomorfismo de anillo canónico. Dado un ideal I en R , sea el conjunto de las fracciones en cuyo numerador es en I . Este es un ideal deque se genera por j ( I ) , y llamada la localización de I por S .
La saturación de I por S eses un ideal de R , que también se puede definir como el conjunto de los elementos tal que existe con
Muchas propiedades de los ideales se conservan por saturación y localización, o pueden caracterizarse por propiedades más simples de localización y saturación. En lo que sigue, S es un conjunto multiplicativo en un anillo I , y I y J son ideales de R ; la saturación de un ideal I por un conjunto multiplicativo S se denotao, cuando el conjunto multiplicativo S se desprende del contexto,
(esto no siempre es cierto para las inclusiones estrictas )- Si es un ideal primordial tal que luego es un ideal primordial y ; si la intersección no está vacía, entonces y
Localización de un módulo
Sea R un anillo conmutativo , S un conjunto multiplicativo en R y M un módulo R - . La localización del módulo M por S , denotado S -1 M , es un S -1 R -módulo que está construido exactamente como la localización de R , excepto que los numeradores de las fracciones pertenecen a M . Es decir, como conjunto, consta de clases de equivalencia , denotadas , de pares ( m , s ) , donde y y dos pares ( m , s ) y ( n , t ) son equivalentes si hay un elemento u en S tal que
La suma y la multiplicación escalar se definen como para las fracciones habituales (en la siguiente fórmula, y ):
Además, S −1 M también es un módulo R con multiplicación escalar
Es sencillo comprobar que estas operaciones están bien definidas, es decir, dan el mismo resultado para diferentes elecciones de representantes de fracciones.
La localización de un módulo se puede definir de manera equivalente mediante el uso de productos tensoriales :
La prueba de equivalencia (hasta un isomorfismo canónico ) se puede hacer mostrando que las dos definiciones satisfacen la misma propiedad universal.
Propiedades del módulo
Si M es un submódulo de un R -módulo N , y S es un conjunto multiplicativo en R , uno tiene Esto implica que, si es un homomorfismo de módulo inyectivo , entonces
es también un homomorfismo inyectivo.
Dado que el producto tensorial es un functor exacto correcto , esto implica que la localización por S mapea secuencias exactas de módulos R a secuencias exactas de-módulos. En otras palabras, la localización es un funtor exacto yes un módulo R plano .
Esta planitud y el hecho de que la localización resuelva una propiedad universal hacen que la localización conserve muchas propiedades de los módulos y anillos, y sea compatible con soluciones de otras propiedades universales. Por ejemplo, el mapa natural
es un isomorfismo. Sies un módulo finamente presentado , el mapa natural
también es un isomorfismo. [ cita requerida ]
Si un módulo M es una generación finita sobre R , uno tiene
dónde denota aniquilador , que es el ideal de los elementos del anillo que mapean a cero todos los elementos del módulo. [4] En particular,
eso es, si para algunos [5]
Localización en números primos
La definición de un ideal primo implica inmediatamente que el complemento de un ideal primordial en un anillo conmutativo R es un conjunto multiplicativo. En este caso, la localización se denota comúnmente El anillo es un anillo local , que se llama anillo local de R en Esto significa que es el ideal máximo único del anillo
Tales localizaciones son fundamentales para el álgebra conmutativa y la geometría algebraica por varias razones. Una es que los anillos locales son a menudo más fáciles de estudiar que los anillos conmutativos generales, en particular debido al lema de Nakayama . Sin embargo, la razón principal es que muchas propiedades son verdaderas para un anillo si y solo si lo son para todos sus anillos locales. Por ejemplo, un timbre es regular si y solo si todos sus timbres locales son timbres locales regulares .
Las propiedades de un anillo que se pueden caracterizar en sus anillos locales se denominan propiedades locales y, a menudo, son la contraparte algebraica de las propiedades geométricas locales de las variedades algebraicas , que son propiedades que pueden estudiarse mediante la restricción a una pequeña vecindad de cada punto de la variedad . (Existe otro concepto de propiedad local que se refiere a la localización en conjuntos abiertos de Zariski; ver § Localización en conjuntos abiertos de Zariski , más abajo).
Muchas propiedades locales son consecuencia del hecho de que el anillo
es un módulo fielmente plano cuando el producto se hace cargo de todos los ideales primarios (o de todos los ideales máximos de R ). Véase también Descenso fielmente plano .
Ejemplos de propiedades locales
Una propiedad P de un módulo R M es una propiedad local si las siguientes condiciones son equivalentes:
- P se mantiene para M .
- P vale para todos dónde es un ideal primo de R .
- P vale para todos dónde es un ideal maximal de R .
Las siguientes son propiedades locales:
- M es cero.
- M está libre de torsión (en el caso de que R sea un dominio conmutativo ).
- M es un módulo plano .
- M es un módulo invertible (en el caso donde R es un dominio conmutativo y M es un submódulo del campo de fracciones de R ).
- es inyectivo (resp. sobreyectivo), donde N es otro R -módulo.
Por otro lado, algunas propiedades no son propiedades locales. Por ejemplo, un producto directo infinito de campos no es un dominio integral ni un anillo noetheriano , mientras que todos sus anillos locales son campos y, por lo tanto, dominios integrales noetherianos.
Localización en sets abiertos de Zariski
Caso no conmutativo
La localización de anillos no conmutativos es más difícil. Si bien la localización existe para cada conjunto S de posibles unidades, puede adoptar una forma diferente a la descrita anteriormente. Una condición que asegura que la localización se comporte bien es la condición Mineral .
Un caso de anillos no conmutativos donde la localización tiene un interés claro es el de anillos de operadores diferenciales. Cuenta con la interpretación, por ejemplo, junto a una de las formales inversa D -1 para un operador de diferenciación D . Esto se hace en muchos contextos en métodos para ecuaciones diferenciales . Ahora existe una gran teoría matemática al respecto, llamada microlocalización , que se conecta con muchas otras ramas. La microetiqueta tiene que ver con conexiones con la teoría de Fourier , en particular.
Ver también
- Análisis local
- Localización de una categoría
- Localización de un espacio topológico
Referencias
- ^ Atiyah y MacDonald 1969 , Proposición 3.11. (v).
- ^ Borel, AG. 3.3
- ↑ Matsumura, Teorema 4.7
- ^ Atiyah y MacDonald , Proposición 3.14.
- ^ Borel, AG. 3.1
- Atiyah y MacDonald. Introducción al álgebra conmutativa. Addison-Wesley.
- Borel, Armand . Grupos algebraicos lineales (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97370-2 .
- Cohn, PM (1989). "§ 9.3". Álgebra . Vol. 2 (2ª ed.). Chichester: John Wiley & Sons Ltd. págs. Xvi + 428. ISBN 0-471-92234-X. Señor 1006872 .
|volume=
tiene texto extra ( ayuda ) - Cohn, PM (1991). "§ 9.1". Álgebra . Vol. 3 (2ª ed.). Chichester: John Wiley & Sons Ltd. págs. Xii + 474. ISBN 0-471-92840-2. Señor 1098018 .
|volume=
tiene texto extra ( ayuda ) - Eisenbud, David (1995), álgebra conmutativa , Textos de posgrado en matemáticas, 150 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
- Matsumura. Álgebra conmutativa. Benjamin-Cummings
- Stenström, Bo (1971). Anillos y módulos de cocientes . Lecture Notes in Mathematics, vol. 237. Berlín: Springer-Verlag. págs. vii + 136. ISBN 978-3-540-05690-4. Señor 0325663 .
- Serge Lang , "Teoría algebraica de números", Springer, 2000. páginas 3–4.
enlaces externos
- Localización de MathWorld .