Locus (matemáticas)

Set of points that satisfy some specified conditions

Para otros usos, consulte Locus (desambiguación) .

Cada curva en este ejemplo es un lugar geométrico definido como la concoide del punto P y la línea l . En este ejemplo, P está a 8 cm de l .

En geometría , un locus (plural: loci ) (palabra latina para "lugar", "ubicación") es un conjunto de todos los puntos (comúnmente, una línea , un segmento de línea , una curva o una superficie ), cuya ubicación satisface o es determinado por una o más condiciones especificadas. ^{[1] [2]}

En otras palabras, el conjunto de puntos que satisfacen alguna propiedad a menudo se denomina lugar geométrico de un punto que satisface esta propiedad. El uso del singular en esta formulación es un testimonio de que, hasta finales del siglo XIX, los matemáticos no consideraban conjuntos infinitos. En lugar de ver líneas y curvas como conjuntos de puntos, las vieron como lugares donde un punto puede ubicarse o moverse.

Historia y filosofía

Hasta principios del siglo XX, una forma geométrica (por ejemplo, una curva) no se consideraba un conjunto infinito de puntos; más bien, se consideró como una entidad sobre la que se puede ubicar un punto o sobre el que se mueve. Así, un círculo en el plano euclidiano se definió como el lugar geométrico de un punto que se encuentra a una distancia determinada de un punto fijo, el centro del círculo. En las matemáticas modernas, los conceptos similares se reformulan con más frecuencia describiendo formas como conjuntos; por ejemplo, se dice que el círculo es el conjunto de puntos que se encuentran a una distancia determinada del centro. ^[3]

En contraste con la visión de la teoría de conjuntos, la antigua formulación evita considerar colecciones infinitas, ya que evitar el infinito real era una posición filosófica importante de los matemáticos anteriores. ^{[4] [5]}

Una vez que la teoría de conjuntos se convirtió en la base universal sobre la que se construyen todas las matemáticas, ^[6] el término de locus se volvió bastante anticuado. ^[7] Sin embargo, la palabra todavía se usa ampliamente, principalmente para una formulación concisa, por ejemplo:

• Locus crítico , el conjunto de puntos críticos de una función diferenciable .
• Locus cero o locus de desaparición , el conjunto de puntos donde una función desaparece, en el sentido de que toma el valor cero.
• Locus singular , el conjunto de puntos singulares de una variedad algebraica .
• Locus de conectividad , el subconjunto del conjunto de parámetros de una familia de funciones racionales para las queestá conectadoel conjunto de Julia de la función.

Más recientemente, técnicas como la teoría de esquemas y el uso de la teoría de categorías en lugar de la teoría de conjuntos para dar una base a las matemáticas, han vuelto a nociones más parecidas a la definición original de un locus como un objeto en sí mismo que como un conjunto. de puntos. ^[5]

Ejemplos en geometría plana

Ejemplos de geometría plana incluyen:

• El conjunto de puntos equidistantes de dos puntos es una bisectriz perpendicular al segmento de línea que conecta los dos puntos. ^[8]
• El conjunto de puntos equidistantes de dos líneas que se cruzan es la bisectriz del ángulo .
• Todas las secciones cónicas son loci: ^[9]
  • Círculo : el conjunto de puntos para los que la distancia desde un solo punto es constante (el radio ).
  • Parábola : el conjunto de puntos equidistantes de un punto fijo (el foco ) y una línea (la directriz ).
  • Hipérbola : el conjunto de puntos para cada uno de los cuales el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos focos dados es una constante.
  • Elipse : el conjunto de puntos para cada uno de los cuales la suma de las distancias a dos focos dados es una constante.

Otros ejemplos de loci aparecen en diversas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, en dinámica compleja , el conjunto de Mandelbrot es un subconjunto del plano complejo que puede caracterizarse como el locus de conectividad de una familia de mapas polinomiales.

Prueba de un locus

Para probar que una forma geométrica es el lugar correcto para un conjunto dado de condiciones, generalmente se divide la prueba en dos etapas: ^[10]

• Prueba de que todos los puntos que satisfacen las condiciones están en la forma dada.
• Prueba de que todos los puntos de la forma dada cumplen las condiciones.

Ejemplos

(distancia PA ) = 3. (distancia PB )

Primer ejemplo

Encuentre el lugar geométrico de un punto P que tiene una razón dada de distancias k = d ₁ / d ₂ a dos puntos dados.

En este ejemplo, k = 3, A (−1, 0) y B (0, 2) se eligen como puntos fijos.

P ( x ,  y ) es un punto del lugar geométrico

${\displaystyle \Leftrightarrow |PA|=3|PB|}$

${\displaystyle \Leftrightarrow |PA|^{2}=9|PB|^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (x+1)^{2}+(y-0)^{2}=9(x-0)^{2}+9(y-2)^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 8(x^{2}+y^{2})-2x-36y+35=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \left(x-{\frac {1}{8}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {9}{4}}\right)^{2}={\frac {45}{64}}.}$

Esta ecuación representa un círculo con centro (1/8, 9/4) y radio . Es el círculo de Apolonio definido por estos valores de k , A , y B .${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}{\sqrt {5}}}$

Segundo ejemplo

Locus del punto C

Un triángulo ABC tiene un lado fijo [ AB ] de longitud c . Determine el lugar geométrico del tercer vértice C de modo que las medianas de A y C sean ortogonales .

Elija un sistema de coordenadas ortonormal tal que A (- c / 2, 0), B ( c / 2, 0). C ( x ,  y ) es el tercer vértice variable. El centro de [ BC ] es M ((2 x  +  c ) / 4,  y / 2). La mediana de C tiene una pendiente y / x . La AM mediana tiene pendiente 2 y / (2 x  + 3 c ).

El lugar es un círculo

C ( x ,  y ) es un punto del lugar geométrico

${\displaystyle \Leftrightarrow }$las medianas de A y C son ortogonales

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {y}{x}}\cdot {\frac {2y}{2x+3c}}=-1}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 2y^{2}+2x^{2}+3cx=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+(3c/2)x=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (x+3c/4)^{2}+y^{2}=9c^{2}/16.}$

El lugar geométrico del vértice C es un círculo con centro (−3 c / 4, 0) y radio 3 c / 4.

Tercer ejemplo

El punto de intersección de las líneas asociadas k y l describe el círculo

Un locus también se puede definir mediante dos curvas asociadas que dependen de un parámetro común . Si el parámetro varía, los puntos de intersección de las curvas asociadas describen el lugar geométrico.

En la figura, los puntos K y L son puntos fijos en una línea m dada . La línea k es una línea variable a través de K . La línea l que pasa por L es perpendicular a k . El ángulo entre k y m es el parámetro. k y l son líneas dependiendo del parámetro común asociado. El punto de intersección variable S de k y l describe un círculo. Este círculo es el lugar geométrico del punto de intersección de las dos líneas asociadas.${\displaystyle \alpha }$

Cuarto ejemplo

No es necesario que un lugar geométrico de puntos sea unidimensional (como un círculo, una línea, etc.). Por ejemplo, ^[1] el lugar geométrico de la desigualdad 2 x + 3 y - 6 <0 es la porción del plano que está debajo de la línea de la ecuación 2 x + 3 y - 6 = 0 .

Ver también

• Variedad algebraica
• Curva
• Línea (geometría)
• Región (geometría)
• Forma (geometría)

Referencias

1. James, Robert Clarke; James, Glenn (1992), Diccionario de matemáticas , Springer, pág. 255, ISBN 978-0-412-99041-0.
2. Whitehead, Alfred North (1911), Introducción a las matemáticas , H. Holt, p. 121, ISBN 978-1-103-19784-2.
3. Cooke, Roger L. (2012), "Topología 38,3", La historia de las matemáticas: un curso breve (3ª ed.), John Wiley & Sons, ISBN 9781118460290, La palabra locus es una que todavía usamos hoy para denotar el camino seguido por un punto que se mueve sujeto a restricciones establecidas, aunque, desde la introducción de la teoría de conjuntos, un locus se piensa más a menudo estáticamente como el conjunto de puntos que satisfacen un determinado colección.
4. Bourbaki, N. (2013), Elementos de la historia de las matemáticas , traducido por J. Meldrum, Springer, p. 26, ISBN 9783642616938, los matemáticos clásicos evitaron cuidadosamente introducir en su razonamiento el 'infinito real'.
5. Borovik, Alexandre (2010), "6.2.4 ¿Se puede vivir sin el infinito real?", Matemáticas bajo el microscopio: notas sobre aspectos cognitivos de la práctica matemática , American Mathematical Society, p. 124, ISBN 9780821847619.
6. Mayberry, John P. (2000), Los fundamentos de las matemáticas en la teoría de conjuntos , Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones, 82 , Cambridge University Press, p. 7, ISBN 9780521770347, la teoría de conjuntos proporciona las bases para todas las matemáticas.
7. Ledermann, Walter; Vajda, S. (1985), Combinatoria y geometría, Parte 1 , Manual de matemáticas aplicables, 5 , Wiley, p. 32, ISBN 9780471900238, Comenzamos explicando un término un poco anticuado.
8. George E. Martin, Los fundamentos de la geometría y el plano no euclidiano , Springer-Verlag, 1975.
9. Hamilton, Henry Parr (1834), Un sistema analítico de secciones cónicas: diseñado para el uso de estudiantes , Springer.
10. GP West, La nueva geometría: formulario 1 .