En matemáticas , el logaritmo es la función inversa a la exponenciación . Eso significa que el logaritmo de un número x dado es el exponente al que se debe elevar otro número fijo, la base b , para producir ese número x . En el caso más simple, el logaritmo cuenta el número de ocurrencias del mismo factor en multiplicaciones repetidas; por ejemplo, dado que 1000 = 10 × 10 × 10 = 10 3 , la "base logarítmica 10 " de 1000 es 3 , o log 10 (1000) = 3 . El logaritmo dex a la base b se denota como log b ( x ) , o sin paréntesis, log b x , o incluso sin la base explícita, log x , cuando no hay confusión es posible, o cuando la base no importa como en notación grande O .
De manera más general, la exponenciación permite que cualquier número real positivo como base se eleve a cualquier potencia real, produciendo siempre un resultado positivo, por lo que log b ( x ) para dos números reales positivos cualesquiera b y x , donde b no es igual a 1 , es siempre un número real único y . Más explícitamente, la relación definitoria entre exponenciación y logaritmo es:
- exactamente si y y y .
Por ejemplo, log 2 64 = 6 , como 2 6 = 64 .
El logaritmo en base 10 (que es b = 10 ) se llama logaritmo decimal o común y se usa comúnmente en ciencia e ingeniería. El logaritmo natural tiene el número e (es decir, b ≈ 2,718 ) como base; su uso está muy extendido en matemáticas y física , debido a su integral y derivada más simples . El logaritmo binario usa base 2 (que es b = 2 ) y se usa con frecuencia en ciencias de la computación . Los logaritmos son ejemplos de funciones cóncavas . [1]
Los logaritmos fueron introducidos por John Napier en 1614 como un medio para simplificar los cálculos. [2] Fueron rápidamente adoptados por navegantes, científicos, ingenieros, topógrafos y otros para realizar cálculos de alta precisión con mayor facilidad. Usando tablas de logaritmos , los tediosos pasos de multiplicación de varios dígitos se pueden reemplazar por búsquedas en tablas y sumas más simples. Esto es posible debido al hecho, importante en sí mismo, de que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:
a condición de que b , x y y son todos positivos y b ≠ 1 . La regla de cálculo , también basada en logaritmos, permite cálculos rápidos sin tablas, pero con menor precisión. La noción actual de logaritmos proviene de Leonhard Euler , quien los conectó con la función exponencial en el siglo XVIII y también introdujo la letra e como base de los logaritmos naturales. [3]
Las escalas logarítmicas reducen cantidades amplias a alcances diminutos. Por ejemplo, el decibelio (dB) es una unidad que se usa para expresar la relación como logaritmos , principalmente para la potencia y amplitud de la señal (de la cual la presión sonora es un ejemplo común). En química, el pH es una medida logarítmica de la acidez de una solución acuosa . Los logaritmos son un lugar común en las fórmulas científicas y en las mediciones de la complejidad de los algoritmos y de los objetos geométricos llamados fractales . Ayudan a describir las proporciones de frecuencia de los intervalos musicales , aparecen en fórmulas que cuentan números primos o aproximan factoriales , informan algunos modelos en psicofísica y pueden ayudar en la contabilidad forense .
De la misma manera que el logaritmo invierte la exponenciación , el logaritmo complejo es la función inversa de la función exponencial, ya sea que se aplique a números reales o complejos . El logaritmo discreto modular es otra variante; tiene usos en criptografía de clave pública .
Motivación y definición
La suma , la multiplicación y la potenciación son tres de las operaciones aritméticas más fundamentales. Además, el más simple de estos, se deshace por sustracción: cuando se agrega 5 a x para obtener x + 5 , para revertir esta operación que necesita para restar 5 de x + 5 . La multiplicación, la siguiente operación más simple, se deshace por división : si multiplica x por 5 para obtener 5 x , puede dividir 5 x por 5 para volver a la expresión original x . Los logaritmos también deshacen una operación aritmética fundamental, la exponenciación. La exponenciación es cuando se eleva un número a una determinada potencia. Por ejemplo, elevar 2 a la potencia 3 es igual a 8 :
El caso general es cuando eleva un número b a la potencia de y para obtener x :
El número b se conoce como la base de esta expresión. La base es el número que se eleva a una potencia particular; en el ejemplo anterior, la base de la expresiónes 2 . Es fácil hacer de la base el sujeto de la expresión: todo lo que tienes que hacer es sacar la raíz y - ésima de ambos lados. Esto da:
Es menos fácil convertir a y en el sujeto de la expresión. Los logaritmos nos permiten hacer esto:
Esta expresión significa que y es igual a la potencia a la que elevarías b para obtener x . Esta operación deshace la exponenciación porque el logaritmo de x indica el exponente al que se elevó la base.
Exponenciación
Esta subsección contiene una breve descripción general de la operación de exponenciación, que es fundamental para comprender los logaritmos. Elevar b a la n -ésima potencia, donde n es un número natural , se hace multiplicando n factores iguales ab . La n -ésima potencia de b se escribe b n , de modo que
Exponenciación puede extenderse a b y , donde b es un número positivo y el exponente y es cualquier número real . [4] Por ejemplo, b −1 es el recíproco de b , es decir, 1 / b . Elevar b a la potencia 1/2 es la raíz cuadrada de b .
Más en general, elevando b a una racional de potencia p / q , donde p y q son números enteros, se da por
la raíz q -ésima de.
Finalmente, cualquier número irracional (un número real que no es racional) y puede aproximarse con precisión arbitraria mediante números racionales. Esto se puede usar para calcular la y -ésima potencia de b : por ejemplo y se aproxima cada vez más a . Una explicación más detallada, así como la fórmula b m + n = b m · b n está contenida en el artículo sobre exponenciación .
Definición
El logaritmo de un número real positivo x con respecto a la base b [nb 1] es el exponente por el cual b debe elevarse para producir x . En otras palabras, el logaritmo de x en base b es la solución y de la ecuación [5]
El logaritmo se denota " log b x " (pronunciado como "el logaritmo de x en base b " o "el logaritmo en base b de x " o (más comúnmente) "el logaritmo, base b , de x ").
En la ecuación y = log b x , el valor y es la respuesta a la pregunta "¿A qué potencia debe elevarse b para obtener x ?".
Ejemplos de
- log 2 16 = 4 , ya que 2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 .
- Los logaritmos también pueden ser negativos: desde
- log 10 150 es de aproximadamente 2,176, que se encuentra entre 2 y 3, tal como 150 se encuentra entre 10 2 = 100 y 10 3 = 1.000.
- Para cualquier base b , log b b = 1 y log b 1 = 0 , ya que b 1 = b y b 0 = 1 , respectivamente.
Identidades logarítmicas
Varias fórmulas importantes, a veces llamadas identidades logarítmicas o leyes logarítmicas , relacionan los logaritmos entre sí. [6]
Producto, cociente, potencia y raíz
El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los números que se multiplican; el logaritmo de la razón de dos números es la diferencia de los logaritmos. El logaritmo de la p -ésima potencia de un número es p multiplicado por el logaritmo del número mismo; el logaritmo de una raíz p -ésima es el logaritmo del número dividido por p . La siguiente tabla enumera estas identidades con ejemplos. Cada una de las identidades se puede derivar después de la sustitución de las definiciones de logaritmos. o en los lados izquierdos. [1]
Fórmula | Ejemplo | |
---|---|---|
Producto | ||
Cociente | ||
Energía | ||
Raíz |
Cambio de base
El logaritmo log b x se puede calcular a partir de los logaritmos de x y b con respecto a una base arbitraria k utilizando la siguiente fórmula:
Derivación del factor de conversión entre logaritmos de base arbitraria |
---|
Partiendo de la identidad definitoria podemos aplicar log k a ambos lados de esta ecuación, para obtener
Resolviendo para rinde:
mostrando el factor de conversión de dado -valores a sus correspondientes -valores a ser |
Las calculadoras científicas típicas calculan los logaritmos en bases 10 ye . [7] Los logaritmos con respecto a cualquier base b se pueden determinar usando cualquiera de estos dos logaritmos mediante la fórmula anterior:
Dado un número x y su logaritmo y = log b x en una base desconocida b , la base está dada por:
que se puede ver tomando la ecuación definitoria al poder de
Bases particulares
Entre todas las opciones para la base, tres son particularmente comunes. Estos son b = 10 , b = e (la constante matemática irracional ≈ 2.71828) y b = 2 (el logaritmo binario ). En el análisis matemático , el logaritmo base e está muy extendido debido a las propiedades analíticas que se explican a continuación. Por otro lado, los logaritmos en base 10 son fáciles de usar para cálculos manuales en el sistema numérico decimal : [8]
Por lo tanto, log 10 x está relacionado con el número de dígitos decimales de un entero positivo x : el número de dígitos es el número entero más pequeño estrictamente mayor que log 10 x . [9] Por ejemplo, log 10 1430 es aproximadamente 3,15. El siguiente entero es 4, que es el número de dígitos de 1430. Tanto el logaritmo natural como el logaritmo en base dos se utilizan en la teoría de la información , lo que corresponde al uso de nats o bits como unidades fundamentales de información, respectivamente. [10] Los logaritmos binarios también se utilizan en informática , donde el sistema binario es ubicuo; en teoría musical , donde una proporción de dos tonos (la octava ) es omnipresente y el centavo es el logaritmo binario (en una escala de 1200) de la proporción entre dos tonos adyacentes igualmente temperados en la música clásica europea ; y en fotografía para medir los valores de exposición . [11]
La siguiente tabla enumera notaciones comunes para los logaritmos de estas bases y los campos donde se utilizan. Muchas disciplinas escriben log x en lugar de log b x , cuando la base deseada se puede determinar a partir del contexto. También se produce la notación b log x . [12] La columna "Notación ISO" enumera las designaciones sugeridas por la Organización Internacional de Normalización ( ISO 80000-2 ). [13] Debido a que la notación log x se ha utilizado para las tres bases (o cuando la base es indeterminada o inmaterial), la base pretendida a menudo debe inferirse en función del contexto o la disciplina. En ciencias de la computación, el registro generalmente se refiere al registro 2 , y en las matemáticas, el registro generalmente se refiere al registro e . [14] [1] En otros contextos, log a menudo significa log 10 . [15]
Base b | Nombre para log b x | Notación ISO | Otras notaciones | Utilizado en |
---|---|---|---|---|
2 | logaritmo binario | lb x [16] | ld x , log x , lg x , [17] log 2 x | informática , teoría de la información , bioinformática , teoría musical , fotografía |
mi | logaritmo natural | en x [nb 2] | log x (en matemáticas [1] [21] y muchos lenguajes de programación [nb 3] ), log e x | matemáticas, física, química, estadística , economía , teoría de la información e ingeniería |
10 | logaritmo común | lg x | log x , log 10 x (en ingeniería, biología, astronomía) | varios campos de la ingeniería (ver decibelios y ver más abajo), tablas de logaritmos , calculadoras de mano , espectroscopía |
B | logaritmo en base b | log b x | matemáticas |
Historia
La historia de los logaritmos en la Europa del siglo XVII es el descubrimiento de una nueva función que amplió el ámbito del análisis más allá del alcance de los métodos algebraicos. El método de los logaritmos fue propuesto públicamente por John Napier en 1614, en un libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos ). [22] [23] Antes de la invención de Napier, habían existido otras técnicas de alcances similares, como la prostoféresis o el uso de tablas de progresiones, desarrolladas extensamente por Jost Bürgi alrededor de 1600. [24] [25] Napier acuñó el término para logaritmo en latín medio, "logaritmo", derivado del griego, que literalmente significa "razón-número", de logos "proporción, razón, palabra" + aritmos "número".
El logaritmo común de un número es el índice de esa potencia de diez que es igual al número. [26] Hablar de un número que requiere tantas cifras es una alusión aproximada al logaritmo común, y Arquímedes se refirió a él como el "orden de un número". [27] Los primeros logaritmos reales fueron métodos heurísticos para convertir la multiplicación en suma, facilitando así el cálculo rápido. Algunos de estos métodos utilizaron tablas derivadas de identidades trigonométricas. [28] Estos métodos se denominan prostoféresis .
La invención de la función ahora conocida como logaritmo natural comenzó como un intento de realizar una cuadratura de una hipérbola rectangular por Grégoire de Saint-Vincent , un jesuita belga residente en Praga. Arquímedes había escrito La cuadratura de la parábola en el siglo III a. C., pero una cuadratura para la hipérbola eludió todos los esfuerzos hasta que San Vicente publicó sus resultados en 1647. La relación que proporciona el logaritmo entre una progresión geométrica en su argumento y una progresión aritmética de valores, impulsó a AA de Sarasa a establecer la conexión entre la cuadratura de San Vicente y la tradición de los logaritmos en la prostoféresis , dando lugar al término “logaritmo hiperbólico”, sinónimo de logaritmo natural. Pronto la nueva función fue apreciada por Christiaan Huygens y James Gregory . La notación Log y fue adoptada por Leibniz en 1675, [29] y al año siguiente la conectó a la integral
Antes de que Euler desarrollara su concepción moderna de los logaritmos naturales complejos, Roger Cotes tuvo un resultado casi equivalente cuando mostró en 1714 que [30]
Tablas de logaritmos, reglas de cálculo y aplicaciones históricas
Al simplificar los cálculos difíciles antes de que las calculadoras y las computadoras estuvieran disponibles, los logaritmos contribuyeron al avance de la ciencia, especialmente la astronomía . Fueron fundamentales para los avances en topografía , navegación celeste y otros dominios. Pierre-Simon Laplace llamados logaritmos
- "... [un] artificio admirable que, al reducir a unos pocos días el trabajo de muchos meses, duplica la vida del astrónomo, y le ahorra los errores y el disgusto inseparables de los largos cálculos". [31]
Como la función f ( x ) = b x es la función inversa de log b x , se le ha llamado antilogaritmo . [32]
Tablas de registro
Una herramienta clave que permitió el uso práctico de logaritmos fue la tabla de logaritmos . [33] La primera tabla de este tipo fue compilada por Henry Briggs en 1617, inmediatamente después de la invención de Napier, pero con la innovación de utilizar 10 como base. La primera tabla de Briggs contenía los logaritmos comunes de todos los números enteros en el rango de 1 a 1000, con una precisión de 14 dígitos. Posteriormente, se redactaron tablas con un alcance creciente. Estas tablas enumeran los valores de log 10 x para cualquier número x en un cierto rango, con cierta precisión. Los logaritmos de base 10 se usaron universalmente para el cálculo, de ahí el nombre de logaritmo común, ya que los números que difieren en factores de 10 tienen logaritmos que difieren en números enteros. El logaritmo común de x se puede dividir en una parte entera y una parte fraccionaria , conocida como característica y mantisa . Las tablas de logaritmos solo necesitan incluir la mantisa, ya que la característica se puede determinar fácilmente contando los dígitos desde el punto decimal. [34] La característica de 10 · x es uno más la característica de x , y sus mantisas son las mismas. Por lo tanto, utilizando una tabla logarítmica de tres dígitos, el logaritmo de 3542 se aproxima por
Se puede obtener una mayor precisión por interpolación :
El valor de 10 x se puede determinar mediante la búsqueda inversa en la misma tabla, ya que el logaritmo es una función monótona .
Computaciones
El producto y el cociente de dos números positivos c y d se calcularon de forma rutinaria como la suma y la diferencia de sus logaritmos. El producto cd o cociente c / d provino de buscar el antilogaritmo de la suma o diferencia, a través de la misma tabla:
y
Para cálculos manuales que exigen una precisión apreciable, realizar las búsquedas de los dos logaritmos, calcular su suma o diferencia y buscar el antilogaritmo es mucho más rápido que realizar la multiplicación por métodos anteriores como la prostoféresis , que se basa en identidades trigonométricas .
Los cálculos de potencias y raíces se reducen a multiplicaciones o divisiones y búsquedas por
y
Los cálculos trigonométricos fueron facilitados por tablas que contenían los logaritmos comunes de funciones trigonométricas .
Las reglas de cálculo
Otra aplicación crítica fue la regla de cálculo , un par de escalas divididas logarítmicamente que se utilizan para el cálculo. La escala logarítmica no deslizante, la regla de Gunter , se inventó poco después de la invención de Napier. William Oughtred lo mejoró para crear la regla de cálculo: un par de escalas logarítmicas móviles entre sí. Los números se colocan en escalas móviles a distancias proporcionales a las diferencias entre sus logaritmos. Deslizar la escala superior equivale apropiadamente a sumar mecánicamente logaritmos, como se ilustra aquí:
Por ejemplo, al agregar la distancia de 1 a 2 en la escala inferior a la distancia de 1 a 3 en la escala superior se obtiene un producto de 6, que se lee en la parte inferior. La regla de cálculo fue una herramienta de cálculo esencial para ingenieros y científicos hasta la década de 1970, porque permite, a expensas de la precisión, cálculos mucho más rápidos que las técnicas basadas en tablas. [35]
Propiedades analíticas
Un estudio más profundo de los logaritmos requiere el concepto de función . Una función es una regla que, dado un número, produce otro número. [36] Un ejemplo es la función que produce la x -ésima potencia de b a partir de cualquier número real x , donde la base b es un número fijo. Esta función está escrita:
Función logarítmica
Para justificar la definición de logaritmos, es necesario demostrar que la ecuación
tiene una solución x y que esta solución es única, siempre que y sea positivo y que b sea positivo y no sea igual a 1. Una demostración de ese hecho requiere el teorema del valor intermedio del cálculo elemental . [37] estados este teorema que una función continua que produce dos valores m y n también produce cualquier valor que se encuentra entre m y n . Una función es continua si no "salta", es decir, si su gráfico se puede dibujar sin levantar el lápiz.
Se puede demostrar que esta propiedad es válida para la función f ( x ) = b x . Debido f toma valores positivos arbitrariamente grandes y arbitrariamente pequeñas, cualquier número y > 0 se encuentra entre f ( x 0 ) y f ( x 1 ) para adecuado x 0 y x 1 . Por tanto, el teorema del valor intermedio asegura que la ecuación f ( x ) = y tiene una solución. Además, solo hay una solución para esta ecuación, porque la función f es estrictamente creciente (para b > 1 ), o estrictamente decreciente (para 0 < b <1 ). [38]
La única solución x es el logaritmo de y en base b , log b y . La función que asigna ay su logaritmo se llama función logarítmica o función logarítmica (o simplemente logaritmo ).
La función log b x se caracteriza esencialmente por la fórmula del producto
Más precisamente, el logaritmo en cualquier base b > 1 es la única función creciente f de los reales positivos a los reales que satisfacen f ( b ) = 1 y [39]
Función inversa
La fórmula para el logaritmo de una potencia dice en particular que para cualquier número x ,
En prosa, tomando la x -ésima potencia de by luego el logaritmo en base- b devuelve x . Por el contrario, dado un número positivo y , la fórmula
dice que primero tomando el logaritmo y luego exponenciando devuelve y . Así, las dos formas posibles de combinar (o componer ) logaritmos y exponenciación devuelven el número original. Por lo tanto, el logaritmo en base b es la función inversa de f ( x ) = b x . [40]
Las funciones inversas están estrechamente relacionadas con las funciones originales. Sus gráficos se corresponden entre sí al intercambiar las coordenadas x e y (o al reflexionar en la línea diagonal x = y ), como se muestra a la derecha: un punto ( t , u = b t ) en el gráfico de f da un punto ( u , t = log b u ) en la gráfica del logaritmo y viceversa. Como consecuencia, log b ( x ) diverge hasta el infinito (se vuelve más grande que cualquier número dado) si x crece hasta el infinito, siempre que b sea mayor que uno. En ese caso, log b ( x ) es una función creciente . Para b <1 , log b ( x ) tiende a menos infinito. Cuando x se acerca a cero, log b x se reduce a menos infinito para b > 1 (más infinito para b <1 , respectivamente).
Derivada y antiderivada
Las propiedades analíticas de las funciones pasan a sus inversas. [37] Por lo tanto, como f ( x ) = b x es una función continua y diferenciable , también lo es log b y . Aproximadamente, una función continua es diferenciable si su gráfico no tiene "esquinas" definidas. Además, como la derivada de f ( x ) se evalúa en ln ( b ) b x por las propiedades de la función exponencial , la regla de la cadena implica que la derivada de log b x viene dada por [38] [41]
Es decir, la pendiente de la tangente que toca la gráfica del logaritmo en base b en el punto ( x , log b ( x )) es igual a 1 / ( x ln ( b )) .
La derivada de ln x es 1 / x ; esto implica que ln x es la única antiderivada de 1 / x que tiene el valor 0 para x = 1 . Es esta fórmula muy simple la que motivó a calificar como "natural" el logaritmo natural; esta es también una de las principales razones de la importancia de la constante e .
La derivada con un argumento funcional generalizado f ( x ) es
El cociente del lado derecho se llama derivada logarítmica de f . Calcular f ' ( x ) mediante la derivada de ln ( f ( x )) se conoce como diferenciación logarítmica . [42] La antiderivada del logaritmo natural ln ( x ) es: [43]
Las fórmulas relacionadas , como las antiderivadas de logaritmos a otras bases, pueden derivarse de esta ecuación usando el cambio de bases. [44]
Representación integral del logaritmo natural
El logaritmo natural de t se puede definir como la integral definida :
Esta definición tiene la ventaja de que no se basa en la función exponencial ni en ninguna función trigonométrica; la definición es en términos de una integral de un recíproco simple. Como integral, ln ( t ) es igual al área entre el eje x y la gráfica de la función 1 / x , que van desde x = 1 hasta x = t . Esto es consecuencia del teorema fundamental del cálculo y del hecho de que la derivada de ln ( x ) es 1 / x . Las fórmulas de producto y logaritmo de potencia se pueden derivar de esta definición. [45] Por ejemplo, la fórmula del producto ln ( tu ) = ln ( t ) + ln ( u ) se deduce como:
La igualdad (1) divide la integral en dos partes, mientras que la igualdad (2) es un cambio de variable ( w = x / t ). En la siguiente ilustración, la división corresponde a dividir el área en las partes amarilla y azul. Cambiar la escala del área azul de la izquierda verticalmente por el factor t y reducirla por el mismo factor horizontalmente no cambia su tamaño. Moviéndolo apropiadamente, el área se ajusta a la gráfica de la función f ( x ) = 1 / x nuevamente. Por lo tanto, el área azul de la izquierda, que es la integral de f ( x ) de t a tu, es la misma que la integral de 1 a u . Esto justifica la igualdad (2) con una demostración más geométrica.
La fórmula de potencia ln ( t r ) = r ln ( t ) se puede derivar de manera similar:
La segunda igualdad usa un cambio de variables ( integración por sustitución ), w = x 1 / r .
La suma sobre los recíprocos de los números naturales,
se llama serie armónica . Está estrechamente relacionado con el logaritmo natural : como n tiende a infinito , la diferencia,
converge (es decir, se pone arbitrariamente cerca) a un número conocido como la constante de Euler-Mascheroni γ = 0,5772 ... . Esta relación ayuda a analizar el rendimiento de algoritmos como quicksort . [46]
Trascendencia del logaritmo
Los números reales que no son algebraicos se llaman trascendentales ; [47] por ejemplo, π y e son tales números, perono es. Casi todos los números reales son trascendentales. El logaritmo es un ejemplo de función trascendental . El teorema de Gelfond-Schneider afirma que los logaritmos suelen tomar valores trascendentales, es decir, "difíciles". [48]
Cálculo
Los logaritmos son fáciles de calcular en algunos casos, como log 10 (1000) = 3 . En general, los logaritmos se pueden calcular utilizando series de potencias o la media aritmética-geométrica , o se pueden recuperar de una tabla de logaritmos precalculada que proporciona una precisión fija. [49] [50] El método de Newton , un método iterativo para resolver ecuaciones aproximadamente, también se puede usar para calcular el logaritmo, porque su función inversa, la función exponencial, se puede calcular de manera eficiente. [51] Usando tablas de búsqueda, se pueden usar métodos similares a CORDIC para calcular logaritmos usando solo las operaciones de suma y desplazamiento de bits . [52] [53] Además, el algoritmo de logaritmo binario calcula lb ( x ) de forma recursiva , basándose en cuadraturas repetidas de x , aprovechando la relación
Serie de potencia
- Serie de taylor
Para cualquier número real z que satisfaga 0 < z <2 , se cumple la siguiente fórmula: [nb 4] [54]
Esta es una forma abreviada de decir que ln ( z ) se puede aproximar a un valor cada vez más preciso mediante las siguientes expresiones:
Por ejemplo, con z = 1,5, la tercera aproximación produce 0,4167, que es aproximadamente 0,011 mayor que ln (1,5) = 0,405465 . Esta serie se aproxima a ln ( z ) con precisión arbitraria, siempre que el número de sumandos sea lo suficientemente grande. En cálculo elemental, ln ( z ) es, por tanto, el límite de esta serie. Es la serie de Taylor del logaritmo natural en z = 1 . La serie de Taylor de ln ( z ) proporciona una aproximación particularmente útil a ln (1+ z ) cuando z es pequeño, | z | <1 , desde entonces
Por ejemplo, con z = 0.1, la aproximación de primer orden da ln (1.1) ≈ 0.1 , que es menos del 5% del valor correcto 0.0953.
- Serie más eficiente
Otra serie se basa en la función tangente hiperbólica del área :
para cualquier número real z > 0 . [nb 5] [54] Usando la notación sigma , esto también se escribe como
Esta serie se puede derivar de la serie de Taylor anterior. Converge más rápidamente que la serie de Taylor, especialmente si z está cerca de 1. Por ejemplo, para z = 1.5 , los primeros tres términos de la segunda serie se aproximan a ln (1.5) con un error de aproximadamente3 × 10 −6 . La convergencia rápida para z cercana a 1 se puede aprovechar de la siguiente manera: dada una aproximación de baja precisión y ≈ ln ( z ) y poniendo
el logaritmo de z es:
Cuanto mejor sea la aproximación inicial y , más cerca estará A de 1, por lo que su logaritmo se puede calcular de manera eficiente. A se puede calcular utilizando la serie exponencial , que converge rápidamente siempre que y no sea demasiado grande. El cálculo del logaritmo de z más grande se puede reducir a valores más pequeños de z escribiendo z = a · 10 b , de modo que ln ( z ) = ln ( a ) + b · ln (10) .
Se puede utilizar un método estrechamente relacionado para calcular el logaritmo de números enteros. Poniendo en la serie anterior, se deduce que:
Si se conoce el logaritmo de un entero grande n , entonces esta serie produce una serie convergente rápida para log ( n +1) , con una tasa de convergencia de.
Aproximación de media aritmética-geométrica
La media aritmética-geométrica produce aproximaciones de alta precisión del logaritmo natural . Sasaki y Kanada demostraron en 1982 que era particularmente rápido para precisiones entre 400 y 1000 lugares decimales, mientras que los métodos de la serie de Taylor eran típicamente más rápidos cuando se necesitaba menos precisión. En su trabajo, ln ( x ) se aproxima a una precisión de 2 - p (o p bits precisos) mediante la siguiente fórmula (debida a Carl Friedrich Gauss ): [55] [56]
Aquí M ( x , y ) denota la media aritmética-geométrica de x e y . Se obtiene calculando repetidamente el promedio( media aritmética ) y( Media geométrica ) de x y y luego dejar que esos dos números se convierten en la siguiente x y y . Los dos números convergen rápidamente a un límite común que es el valor de M ( x , y ) . m se elige de modo que
para asegurar la precisión requerida. Una m más grande hace que el cálculo de M ( x , y ) tome más pasos (las x e y iniciales están más separadas, por lo que se necesitan más pasos para converger) pero brinda más precisión. Las constantes pi e ln (2) se pueden calcular con series que convergen rápidamente.
El algoritmo de Feynman
Mientras trabajaba en el Laboratorio Nacional de Los Alamos en el Proyecto Manhattan , Richard Feynman desarrolló un algoritmo de procesamiento de bits que es similar a la división larga y que luego se usó en Connection Machine . El algoritmo utiliza el hecho de que cada número real es representable como un producto de distintos factores de la forma . El algoritmo construye secuencialmente ese producto: Si , luego cambia a . Luego aumentapor uno independientemente. El algoritmo se detiene cuandoes lo suficientemente grande para dar la precisión deseada. Porque es la suma de los términos de la forma correspondiente a los por lo cual el factor fue incluido en el producto , puede calcularse mediante una simple suma, utilizando una tabla de para todos . Se puede usar cualquier base para la tabla de logaritmos. [57]
Aplicaciones
Los logaritmos tienen muchas aplicaciones dentro y fuera de las matemáticas. Algunas de estas ocurrencias están relacionadas con la noción de invariancia de escala . Por ejemplo, cada cámara del caparazón de un nautilus es una copia aproximada de la siguiente, escalada por un factor constante. Esto da lugar a una espiral logarítmica . [58] La ley de Benford sobre la distribución de los dígitos iniciales también se puede explicar por la invariancia de escala. [59] Los logaritmos también están relacionados con la auto-semejanza . Por ejemplo, los logaritmos aparecen en el análisis de algoritmos que resuelven un problema dividiéndolo en dos problemas más pequeños similares y parcheando sus soluciones. [60] Las dimensiones de formas geométricas auto-similares, es decir, formas cuyas partes se asemejan a la imagen general también se basan en logaritmos. Las escalas logarítmicas son útiles para cuantificar el cambio relativo de un valor en oposición a su diferencia absoluta. Además, debido a que la función logarítmica log ( x ) crece muy lentamente para x grandes , se utilizan escalas logarítmicas para comprimir datos científicos a gran escala. Los logaritmos también ocurren en numerosas fórmulas científicas, como la ecuación del cohete Tsiolkovsky , la ecuación de Fenske o la ecuación de Nernst .
Escala logarítmica
Las cantidades científicas a menudo se expresan como logaritmos de otras cantidades, utilizando una escala logarítmica . Por ejemplo, el decibel es una unidad de medida asociada con cantidades en escala logarítmica . Se basa en el logaritmo común de relaciones: 10 veces el logaritmo común de una relación de potencia o 20 veces el logaritmo común de una relación de voltaje . Se utiliza para cuantificar la pérdida de niveles de voltaje en la transmisión de señales eléctricas, [61] para describir los niveles de potencia de los sonidos en acústica , [62] y la absorbancia de la luz en los campos de la espectrometría y la óptica . La relación señal / ruido que describe la cantidad de ruido no deseado en relación con una señal (significativa) también se mide en decibelios. [63] En una línea similar, la relación pico de señal a ruido se usa comúnmente para evaluar la calidad de los métodos de compresión de sonido e imagen usando el logaritmo. [64]
La fuerza de un terremoto se mide tomando el logaritmo común de la energía emitida en el terremoto. Esto se utiliza en la escala de magnitud de momento o la escala de magnitud de Richter . Por ejemplo, un terremoto de 5.0 libera 32 veces (10 1.5 ) y un 6.0 libera 1000 veces (10 3 ) la energía de un 4.0. [65] Otra escala logarítmica es la magnitud aparente . Mide el brillo de las estrellas de forma logarítmica. [66] Otro ejemplo más es el pH en química ; El pH es el negativo del logaritmo común de la actividad de los iones de hidronio (la forma de los iones de hidrógeno H+
tomar agua). [67] La actividad de los iones hidronio en agua neutra es 10 -7 mol·L -1 , por lo tanto, un pH de 7. El vinagre tiene típicamente un pH de aproximadamente 3. La diferencia de 4 corresponde a una relación de 10 4 de la actividad , es decir, la actividad del ion hidronio de vinagre es de aproximadamente 10 -3 mol·L -1 .
Los gráficos semilogarítmicos (log-lineales) utilizan el concepto de escala logarítmica para la visualización: un eje, normalmente el vertical, se escala logarítmicamente. Por ejemplo, el gráfico de la derecha comprime el fuerte aumento de 1 millón a 1 billón en el mismo espacio (en el eje vertical) que el aumento de 1 a 1 millón. En tales gráficos, las funciones exponenciales de la forma f ( x ) = a · b x aparecen como líneas rectas con pendiente igual al logaritmo de b . Las gráficas log-log escalan ambos ejes logarítmicamente, lo que hace que las funciones de la forma f ( x ) = a · x k se representen como líneas rectas con pendiente igual al exponente k . Esto se aplica para visualizar y analizar las leyes de potencia . [68]
Psicología
Los logaritmos ocurren en varias leyes que describen la percepción humana : [69] [70] La ley de Hick propone una relación logarítmica entre el tiempo que los individuos toman para elegir una alternativa y el número de opciones que tienen. [71] La ley de Fitts predice que el tiempo necesario para moverse rápidamente a un área objetivo es una función logarítmica de la distancia y el tamaño del objetivo. [72] En psicofísica , la ley de Weber-Fechner propone una relación logarítmica entre el estímulo y la sensación , como el peso real frente al percibido de un artículo que lleva una persona. [73] (Esta "ley", sin embargo, es menos realista que los modelos más recientes, como la ley de potencia de Stevens . [74] )
Los estudios psicológicos encontraron que los individuos con poca educación matemática tienden a estimar cantidades logarítmicamente, es decir, colocan un número en una línea no marcada de acuerdo con su logaritmo, de modo que 10 se coloca tan cerca de 100 como 100 es 1000. Aumentar la educación cambia este valor. a una estimación lineal (posicionando 1000 10 veces más lejos) en algunas circunstancias, mientras que los logaritmos se utilizan cuando los números a trazar son difíciles de trazar linealmente. [75] [76]
Teoría de la probabilidad y estadística
Los logaritmos surgen en la teoría de la probabilidad : la ley de los grandes números dicta que, para una moneda justa , a medida que el número de lanzamientos de moneda aumenta hasta el infinito, la proporción observada de caras se acerca a la mitad . Las fluctuaciones de esta proporción alrededor de la mitad están descritas por la ley del logaritmo iterado . [77]
Los logaritmos también ocurren en distribuciones log-normales . Cuando el logaritmo de una variable aleatoria tiene una distribución normal , se dice que la variable tiene una distribución logarítmica normal. [78] Las distribuciones log-normales se encuentran en muchos campos, dondequiera que se forme una variable como el producto de muchas variables aleatorias positivas independientes, por ejemplo, en el estudio de la turbulencia. [79]
Los logaritmos se utilizan para la estimación de máxima verosimilitud de modelos estadísticos paramétricos . Para tal modelo, la función de verosimilitud depende de al menos un parámetro que debe estimarse. Un máximo de la función de verosimilitud ocurre en el mismo valor de parámetro que el máximo del logaritmo de la verosimilitud (el " logaritmo de verosimilitud "), porque el logaritmo es una función creciente. La probabilidad logarítmica es más fácil de maximizar, especialmente para las probabilidades multiplicadas de variables aleatorias independientes . [80]
La ley de Benford describe la aparición de dígitos en muchos conjuntos de datos , como las alturas de los edificios. Según la ley de Benford, la probabilidad de que el primer dígito decimal de un elemento en la muestra de datos sea d (de 1 a 9) sea igual a log 10 ( d + 1) - log 10 ( d ) , independientemente de la unidad de medida. [81] Por lo tanto, se puede esperar que alrededor del 30% de los datos tengan 1 como primer dígito, 18% comience con 2, etc. Los auditores examinan las desviaciones de la ley de Benford para detectar contabilidad fraudulenta. [82]
Complejidad computacional
El análisis de algoritmos es una rama de la informática que estudia el rendimiento de los algoritmos (programas informáticos que resuelven un determinado problema). [83] Los logaritmos son valiosos para describir algoritmos que dividen un problema en otros más pequeños y unen las soluciones de los subproblemas. [84]
Por ejemplo, para encontrar un número en una lista ordenada, el algoritmo de búsqueda binaria verifica la entrada del medio y procede con la mitad antes o después de la entrada del medio si el número aún no se encuentra. Este algoritmo requiere, en promedio, comparaciones log 2 ( N ) , donde N es la longitud de la lista. [85] De manera similar, el algoritmo de clasificación por combinación clasifica una lista sin clasificar dividiendo la lista en mitades y clasificándolas primero antes de fusionar los resultados. Los algoritmos de clasificación por fusión suelen requerir un tiempo aproximadamente proporcional a N · log ( N ) . [86] La base del logaritmo no se especifica aquí, porque el resultado solo cambia en un factor constante cuando se usa otra base. Un factor constante generalmente se ignora en el análisis de algoritmos bajo el modelo estándar de costo uniforme . [87]
Se dice que una función f ( x ) crece logarítmicamente si f ( x ) es (exacta o aproximadamente) proporcional al logaritmo de x . (Las descripciones biológicas del crecimiento de organismos, sin embargo, usan este término para una función exponencial. [88] ) Por ejemplo, cualquier número natural N se puede representar en forma binaria en no más de log 2 ( N ) + 1 bits . En otras palabras, la cantidad de memoria necesaria para almacenar N crece logarítmicamente con N .
Entropía y caos
La entropía es, en términos generales, una medida del desorden de algún sistema. En termodinámica estadística , la entropía S de algún sistema físico se define como
La suma es sobre todos los estados posibles i del sistema en cuestión, como las posiciones de las partículas de gas en un recipiente. Además, p i es la probabilidad de que se alcance el estado i y k es la constante de Boltzmann . De manera similar, la entropía en la teoría de la información mide la cantidad de información. Si el destinatario de un mensaje puede esperar cualquiera de los N mensajes posibles con la misma probabilidad, entonces la cantidad de información transmitida por dicho mensaje se cuantifica como log 2 ( N ) bits. [89]
Los exponentes de Lyapunov usan logaritmos para medir el grado de caotismo de un sistema dinámico . Por ejemplo, para una partícula que se mueve en una mesa de billar ovalada, incluso pequeños cambios de las condiciones iniciales dan como resultado trayectorias muy diferentes de la partícula. Tales sistemas son caóticos de una manera determinista , porque pequeños errores de medición del estado inicial conducen predeciblemente a estados finales muy diferentes. [90] Al menos un exponente de Lyapunov de un sistema determinísticamente caótico es positivo.
Fractales
Los logaritmos ocurren en las definiciones de la dimensión de los fractales . [91] Los fractales son objetos geométricos que son auto-similares : las partes pequeñas reproducen, al menos aproximadamente, la estructura global completa. El triángulo de Sierpinski (en la imagen) se puede cubrir con tres copias de sí mismo, cada una con lados de la mitad de la longitud original. Esto hace que la dimensión de Hausdorff de esta estructura sea ln (3) / ln (2) ≈ 1,58 . Otra noción de dimensión basada en logaritmos se obtiene contando el número de casillas necesarias para cubrir el fractal en cuestión.
Música
Los logaritmos están relacionados con tonos e intervalos musicales . En temperamento igual , la relación de frecuencia depende solo del intervalo entre dos tonos, no de la frecuencia o tono específico de los tonos individuales. Por ejemplo, la nota A tiene una frecuencia de 440 Hz y B-flat tiene una frecuencia de 466 Hz. El intervalo entre A y B bemol es un semitono , al igual que el intervalo entre B bemol y B (frecuencia 493 Hz). En consecuencia, las relaciones de frecuencia concuerdan:
Por lo tanto, los logaritmos se pueden usar para describir los intervalos: un intervalo se mide en semitonos tomando el logaritmo de base 2 1/12 de la relación de frecuencia , mientras que el logaritmo de base 2 1/1200 de la relación de frecuencia expresa el intervalo en centavos. , centésimas de semitono. Este último se utiliza para una codificación más fina, ya que es necesario para temperamentos no iguales. [92]
Intervalo (los dos tonos se reproducen al mismo tiempo) | 1/12 tono jugar ( ayuda · info ) | Semitono tocar | Solo un tercio mayor tocar | Tercio mayor tocar | Tritono tocar | Octava tocar |
Relación de frecuencia r | ||||||
Número correspondiente de semitonos | ||||||
Número de centavos correspondiente |
Teoría de los números
Los logaritmos naturales están estrechamente relacionados con el conteo de números primos (2, 3, 5, 7, 11, ...), un tema importante en la teoría de números . Para cualquier entero x , la cantidad de números primos menores o iguales ax se denota π ( x ) . El teorema de los números primos afirma que π ( x ) está aproximadamente dado por
en el sentido de que la razón de π ( x ) y esa fracción se acerca a 1 cuando x tiende a infinito. [93] Como consecuencia, la probabilidad de que un número elegido al azar entre 1 y x sea primo es inversamente proporcional al número de dígitos decimales de x . Una estimación mucho mejor de π ( x ) viene dada por la función integral logarítmica desplazada Li ( x ) , definida por
La hipótesis de Riemann , una de las conjeturas matemáticas abiertas más antiguas , se puede formular en términos de comparar π ( x ) y Li ( x ) . [94] El teorema de Erdős-Kac que describe el número de factores primos distintos también implica el logaritmo natural .
El logaritmo de n factorial , n ! = 1 · 2 · ... · n , está dado por
Esto se puede utilizar para obtener la fórmula de Stirling , una aproximación de n ! para grandes n . [95]
Generalizaciones
Logaritmo complejo
Todos los números complejos a que resuelven la ecuación
se denominan logaritmos complejos de z , cuando z es (considerado) un número complejo. Un número complejo es comúnmente representado como z = x + iy , donde x y y son números reales y i es una unidad imaginaria , el cuadrado de los cuales es -1. Tal número puede visualizarse mediante un punto en el plano complejo , como se muestra a la derecha. La forma polar codifica un número complejo z distinto de cero por su valor absoluto , es decir, la distancia (positiva, real) r al origen , y un ángulo entre el eje real ( x ) Re y la línea que pasa por el origen. y z . Este ángulo se llama argumento de z .
El valor absoluto r de z viene dado por
Usando la interpretación geométrica de y y su periodicidad en cualquier número complejo z puede denotarse como
para cualquier número entero k . Evidentemente, el argumento de z no se especifica unívocamente: tanto φ como φ '= φ + 2 k π son argumentos válidos de z para todos los enteros k , porque sumar 2 k π radianes o k ⋅360 ° [nb 6] a φ corresponde a "enrollando" alrededor del origen en sentido contrario a las agujas del reloj k vueltas . El número complejo resultante es siempre z , como se ilustra a la derecha para k = 1 . Uno puede seleccionar exactamente uno de los posibles argumentos de z como el llamado argumento principal , denotado Arg ( z ) , con una A mayúscula , requiriendo que φ pertenezca a un turno convenientemente seleccionado, por ejemplo,[96] o[97] Estas regiones, donde el argumento de z está determinado de forma única, se denominan ramas de la función argumento.
La fórmula de Euler conecta las funciones trigonométricas seno y coseno al exponencial complejo :
Usando esta fórmula, y nuevamente la periodicidad, se mantienen las siguientes identidades: [98]
donde ln ( r ) es el logaritmo natural real único, a k denota los logaritmos complejos de z , y k es un número entero arbitrario. Por lo tanto, los logaritmos complejos de z , que son todos aquellos valores complejos a k para los cuales la a k -ésima potencia de e es igual a z , son los infinitos valores
- para enteros arbitrarios k .
Tomando k tal queestá dentro del intervalo definido para los argumentos principales, entonces a k se le llama el valor principal del logaritmo, denotado Log ( z ) , nuevamente con una L mayúscula . El argumento principal de cualquier número real positivo x es 0; por tanto, Log ( x ) es un número real y es igual al logaritmo real (natural). Sin embargo, las fórmulas anteriores para logaritmos de productos y potencias no se generalizan al valor principal del logaritmo complejo. [99]
La ilustración de la derecha muestra Log ( z ) , limitando los argumentos de z al intervalo (- π , π ] . De esta manera, la rama correspondiente del logaritmo complejo tiene discontinuidades a lo largo del eje x real negativo , que se puede ver en el salto en el tono allí. Esta discontinuidad surge de saltar al otro límite en la misma rama, al cruzar un límite, es decir, no cambiar al valor k correspondiente de la rama contigua contigua. Tal locus se llama un corte de rama Al eliminar las restricciones de rango en el argumento, las relaciones son "argumento de z " y, en consecuencia, el "logaritmo de z ", funciones de valores múltiples .
Inversiones de otras funciones exponenciales
La exponenciación ocurre en muchas áreas de las matemáticas y su función inversa a menudo se denomina logaritmo. Por ejemplo, el logaritmo de una matriz es la función inversa (de varios valores) de la matriz exponencial . [100] Otro ejemplo es el logaritmo p -ádico , la función inversa del exponencial p -ádico . Ambos se definen mediante series de Taylor análogas al caso real. [101] En el contexto de la geometría diferencial , el mapa exponencial mapea el espacio tangente en un punto de una variedad a una vecindad de ese punto. Su inverso también se llama mapa logarítmico (o logarítmico). [102]
En el contexto de grupos finitos, la exponenciación se obtiene multiplicando repetidamente un elemento de grupo b por sí mismo. El logaritmo discreto es el número entero n que resuelve la ecuación
donde x es un elemento del grupo. La exponenciación se puede realizar de manera eficiente, pero se cree que el logaritmo discreto es muy difícil de calcular en algunos grupos. Esta asimetría tiene aplicaciones importantes en la criptografía de clave pública , como por ejemplo en el intercambio de claves Diffie-Hellman , una rutina que permite intercambios seguros de claves criptográficas a través de canales de información no seguros . [103] El logaritmo de Zech está relacionado con el logaritmo discreto en el grupo multiplicativo de elementos distintos de cero de un campo finito . [104]
Otras funciones inversas similares a logaritmos incluyen el doble logaritmo ln (ln ( x )), el super o hiper-4-logaritmo (una ligera variación del cual se denomina logaritmo iterado en informática), la función de Lambert W y el logit . Son las funciones inversas de la función exponencial doble , tetración , de f ( w ) = we w , [105] y de la función logística , respectivamente. [106]
Conceptos relacionados
Desde la perspectiva de la teoría de grupos , el registro de identidad ( cd ) = log ( c ) + log ( d ) expresa un isomorfismo de grupo entre reales positivos bajo multiplicación y reales bajo suma. Las funciones logarítmicas son los únicos isomorfismos continuos entre estos grupos. [107] Mediante ese isomorfismo, la medida de Haar ( medida de Lebesgue ) dx en los reales corresponde a la medida de Haar dx / x en los reales positivos. [108] Los reales no negativos no solo tienen una multiplicación, sino que también tienen una suma, y forman un semiring , llamado semiring de probabilidad ; esto es de hecho un semicampo . Luego, el logaritmo lleva la multiplicación a la suma (multiplicación logarítmica) y lleva la suma a la suma logarítmica ( LogSumExp ), lo que da un isomorfismo de semirrings entre el semiring de probabilidad y el semiring de log .
Las formas uni logarítmicas df / f aparecen en el análisis complejo y la geometría algebraica como formas diferenciales con polos logarítmicos . [109]
El polilogaritmo es la función definida por
Está relacionado con el logaritmo natural por Li 1 ( z ) = −ln (1 - z ) . Además, Li s (1) es igual a la función zeta de Riemann ζ ( s ) . [110]
Ver también
- Cologaritmo
- Exponente decimal (dex)
- Funcion exponencial
- Índice de artículos sobre logaritmos
- Notación logarítmica
Notas
- ^ Las restricciones de x y b se explican en la sección de "propiedades analíticas" .
- ↑ Algunos matemáticos desaprueban esta notación. En su autobiografía de 1985, Paul Halmos criticó lo que él consideraba la "notación infantil deIn", que, según dijo, ningún matemático había usado nunca. [18] La notación fue inventada por Irving Stringham , un matemático. [19] [20]
- ^ Por ejemplo, C , Java , Haskell y BASIC .
- ^ La misma serie es válida para el valor principal del logaritmo complejo para números complejos z que satisfacen | z - 1 | <1 .
- ^ La misma serie es válida para el valor principal del logaritmo complejo para números complejos z con parte real positiva.
- ^ Ver radianes para la conversión entre 2 π y 360 grados .
Referencias
- ^ a b c d "The Ultimate Guide to Logarithm - Theory & Applications" , Math Vault , 8 de mayo de 2016 , consultado el 24 de julio de 2019
- ^ Hobson, Ernest William (1914), John Napier y la invención de los logaritmos, 1614; una conferencia , Bibliotecas de la Universidad de California, Cambridge: University Press
- ^ Remmert, Reinhold. (1991), Teoría de funciones complejas , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0387971955, OCLC 21118309
- ^ Shirali, Shailesh (2002), A Primer on Logarithms , Hyderabad: Universities Press, ISBN 978-81-7371-414-6, esp. sección 2
- ^ Kate, SK; Bhapkar, HR (2009), Fundamentos de las matemáticas , Pune: Publicaciones técnicas, ISBN 978-81-8431-755-8, Capítulo 1
- ^ Todas las declaraciones de esta sección se pueden encontrar en Shailesh Shirali 2002 , sección 4, (Douglas Downing 2003 , p. 275), o Kate & Bhapkar 2009 , p. 1-1, por ejemplo.
- ^ Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), esbozo de teoría y problemas de elementos de estadística de Schaum. I, Estadística descriptiva y probabilidad , serie de esquemas de Schaum, Nueva York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-005023-5, pag. 21
- ^ Downing, Douglas (2003), Algebra the Easy Way , Barron's Educational Series, Hauppauge, NY: Barron's, ISBN 978-0-7641-1972-9, capítulo 17, pág. 275
- ^ Wegener, Ingo (2005), teoría de la complejidad: exploración de los límites de los algoritmos eficientes , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-21045-0, pag. 20
- ^ Van der Lubbe, Jan CA (1997), Teoría de la información , Cambridge University Press, p. 3, ISBN 978-0-521-46760-5
- ^ Allen, Elizabeth; Triantaphillidou, Sophie (2011), El manual de fotografía , Taylor & Francis, p. 228, ISBN 978-0-240-52037-7
- ^ Franz Embacher; Petra Oberhuemer, Mathematisches Lexikon (en alemán), mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium , consultado el 22 de marzo de 2011
- ^ Cantidades y unidades - Parte 2: Matemáticas (ISO 80000-2: 2019); EN ISO 80000-2
- ^ Goodrich, Michael T .; Tamassia, Roberto (2002), Diseño de algoritmos: fundamentos, análisis y ejemplos de Internet , John Wiley & Sons, p. 23,
Uno de los aspectos interesantes y a veces incluso sorprendentes del análisis de estructuras de datos y algoritmos es la presencia ubicua de logaritmos ... Como es costumbre en la literatura informática, omitimos escribir la base b del logaritmo cuando b = 2 .
- ^ Parkhurst, David F. (2007), Introducción a las matemáticas aplicadas para las ciencias ambientales (edición ilustrada), Springer Science & Business Media, p. 288, ISBN 978-0-387-34228-3
- ^ Gullberg, Jan (1997), Matemáticas: desde el nacimiento de los números. , Nueva York: WW Norton & Co, ISBN 978-0-393-04002-9
- ^ Ver nota al pie 1 en Perl, Yehoshua; Reingold, Edward M. (diciembre de 1977), "Comprensión de la complejidad de la búsqueda por interpolación", Information Processing Letters , 6 (6): 219-22, doi : 10.1016 / 0020-0190 (77) 90072-2
- ^ Paul Halmos (1985), Quiero ser matemático: una automatización , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96078-4
- ^ Irving Stringham (1893), Álgebra uniplanar: ser parte I de una propédica para el análisis matemático superior , The Berkeley Press, p. xiii
- ^ Roy S. Freedman (2006), Introducción a la tecnología financiera , Amsterdam: Academic Press, p. 59, ISBN 978-0-12-370478-8
- ^ Ver teorema 3.29 en Rudin, Walter (1984), Principios del análisis matemático (3.a ed., Ed. Para estudiantes internacionales), Auckland: McGraw-Hill International, ISBN 978-0-07-085613-4
- ^ Napier, John (1614), Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio [ La descripción de la maravillosa regla de los logaritmos ] (en latín), Edimburgo, Escocia: Andrew Hart
- ^ Hobson, Ernest William (1914), John Napier y la invención de los logaritmos, 1614 , Cambridge: The University Press
- ^ Folkerts, Menso; Launert, Dieter; Thom, Andreas (2016), "El método de Jost Bürgi para calcular los senos", Historia Mathematica , 43 (2): 133–147, arXiv : 1510.03180 , doi : 10.1016 / j.hm.2016.03.001 , MR 3489006
- ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Jost Bürgi (1552 - 1632)" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
- ^ William Gardner (1742) Tablas de logaritmos
- ^ Pierce, RC Jr. (enero de 1977), "Una breve historia de los logaritmos", The Two-Year College Mathematics Journal , 8 (1): 22-26, doi : 10.2307 / 3026878 , JSTOR 3026878
- ^ Enrique Gonzales-Velasco (2011) Viaje a través de las matemáticas - Episodios creativos en su historia , §2.4 Logaritmos hiperbólicos, p. 117, Springer ISBN 978-0-387-92153-2
- ^ Florian Cajori (1913) "Historia de los conceptos exponenciales y logarítmicos", American Mathematical Monthly 20: 5, 35, 75, 107, 148, 173, 205.
- ^ Stillwell, J. (2010), Matemáticas y su historia (3a ed.), Springer
- ^ Bryant, Walter W. (1907), Historia de la astronomía , Londres: Methuen & Co, pag. 44
- ^ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , eds. (1972), Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas (décima ed.), Nueva York: Publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-61272-0, sección 4.7., pág. 89
- ^ Campbell-Kelly, Martin (2003), La historia de las tablas matemáticas: de Sumer a las hojas de cálculo , beca de Oxford en línea, Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850841-0, sección 2
- ^ Spiegel, Murray R .; Moyer, RE (2006), esquema de álgebra universitaria de Schaum, serie de esquemas de Schaum, Nueva York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-145227-4, pag. 264
- ^ Maor, Eli (2009), E: La historia de un número , Princeton University Press , secciones 1, 13, ISBN 978-0-691-14134-3
- ^ Devlin, Keith (2004), Conjuntos, funciones y lógica: una introducción a las matemáticas abstractas , Chapman & Hall / Matemáticas CRC (3a ed.), Boca Raton, Fla: Chapman & Hall / CRC, ISBN 978-1-58488-449-1, o ver las referencias en función
- ^ a b Lang, Serge (1997), Análisis de pregrado , Textos de pregrado en matemáticas (2a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4757-2698-5 , ISBN 978-0-387-94841-6, MR 1476913, sección III.3
- ^ a b Lang 1997 , sección IV.2
- ^ Dieudonné, Jean (1969), Fundamentos del análisis moderno , 1 , Academic Press, p. 84 artículo (4.3.1)
- ^ Stewart, James (2007), Cálculo de variable única: principios trascendentales , Belmont: Thomson Brooks / Cole, ISBN 978-0-495-01169-9, sección 1.6
- ^ "Calculation of d / dx (Log (b, x)) " , Wolfram Alpha , Wolfram Research , consultado el 15 de marzo de 2011
- ^ Kline, Morris (1998), Cálculo: un enfoque intuitivo y físico , libros de matemáticas de Dover, Nueva York: Publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-40453-0, pag. 386
- ^ "Calculation of Integrate (ln (x)) " , Wolfram Alpha , Wolfram Research , consultado el 15 de marzo de 2011
- ^ Abramowitz y Stegun, eds. 1972 , pág. 69
- ^ Courant, Richard (1988), Cálculo diferencial e integral. Vol. Yo , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-60842-4, MR 1009558, sección III.6
- ^ Havil, Julian (2003), Gamma: Exploring Euler's Constant , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-09983-5, secciones 11.5 y 13.8
- ^ Nomizu, Katsumi (1996), artículos seleccionados sobre teoría de números y geometría algebraica , 172 , Providence, RI: AMS Bookstore, p. 21, ISBN 978-0-8218-0445-2
- ^ Baker, Alan (1975), Teoría de números trascendental , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-20461-3, pag. 10
- ^ Muller, Jean-Michel (2006), Funciones elementales (2a ed.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4372-0, secciones 4.2.2 (p. 72) y 5.5.2 (p. 95)
- ^ Ciervo; Cheney; Lawson; et al. (1968), Aproximaciones por computadora , Serie SIAM en Matemáticas Aplicadas, Nueva York: John Wiley, sección 6.3, págs. 105-11
- ^ Zhang, M .; Delgado-Frias, JG; Vassiliadis, S. (1994), "Esquema de Newton basado en tablas para la generación de logaritmos de alta precisión", IEE Proceedings - Computers and Digital Techniques , 141 (5): 281–92, doi : 10.1049 / ip-cdt: 19941268 , ISSN 1350- 2387, sección 1 para una descripción general
- ^ Meggitt, JE (abril de 1962), "Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes" , IBM Journal of Research and Development , 6 (2): 210-26, doi : 10.1147 / rd.62.0210 , S2CID 19387286
- ^ Kahan, W. (20 de mayo de 2001), Algoritmos de pseudodivisión para logaritmos de coma flotante y exponenciales
- ^ a b Abramowitz y Stegun, eds. 1972 , pág. 68
- ^ Sasaki, T .; Kanada, Y. (1982), "Practically fast multiple-precision Evaluation of log (x)" , Journal of Information Processing , 5 (4): 247–50 , consultado el 30 de marzo de 2011
- ^ Ahrendt, Timm (1999), " Cálculos rápidos de la función exponencial", Stacs 99 , Lecture notes in computer science, 1564 , Berlín, Nueva York: Springer, pp. 302-12, doi : 10.1007 / 3-540-49116- 3_28 , ISBN 978-3-540-65691-3
- ^ Hillis, Danny (15 de enero de 1989), "Richard Feynman and The Connection Machine", Physics Today , 42 (2): 78, Bibcode : 1989PhT .... 42b..78H , doi : 10.1063 / 1.881196
- ^ Maor 2009 , p. 135
- ^ Frey, Bruce (2006), Hacks de estadísticas , Hacks Series, Sebastopol, CA: O'Reilly , ISBN 978-0-596-10164-0, capítulo 6, sección 64
- ^ Ricciardi, Luigi M. (1990), Conferencias en matemáticas aplicadas e informática , Manchester: Manchester University Press, ISBN 978-0-7190-2671-3, pag. 21, sección 1.3.2
- ^ Bakshi, UA (2009), Ingeniería de telecomunicaciones , Pune: Publicaciones técnicas, ISBN 978-81-8431-725-1, sección 5.2
- ^ Maling, George C. (2007), "Noise", en Rossing, Thomas D. (ed.), Manual de acústica de Springer , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-30446-5, sección 23.0.2
- ^ Tashev, Ivan Jelev (2009), Captura y procesamiento de sonido: enfoques prácticos , Nueva York: John Wiley & Sons , p. 98, ISBN 978-0-470-31983-3
- ^ Chui, CK (1997), Wavelets: una herramienta matemática para el procesamiento de señales , monografías SIAM sobre modelado matemático y computación, Filadelfia: Society for Industrial and Applied Mathematics , ISBN 978-0-89871-384-8
- ^ Crauder, Bruce; Evans, Benny; Noell, Alan (2008), Funciones y cambio: un enfoque de modelado del álgebra universitaria (4a ed.), Boston: Cengage Learning, ISBN 978-0-547-15669-9, sección 4.4.
- ^ Bradt, Hale (2004), Métodos astronómicos: un enfoque físico de las observaciones astronómicas , Cambridge Planetary Science, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-53551-9, sección 8.3, pág. 231
- ^ IUPAC (1997), AD McNaught, A. Wilkinson (ed.), Compendio de terminología química ("Libro de oro") (2a ed.), Oxford: Blackwell Scientific Publications, doi : 10.1351 / goldbook , ISBN 978-0-9678550-9-7
- ^ Bird, JO (2001), libro de bolsillo de matemáticas de ingeniería de Newnes (3a ed.), Oxford: Newnes, ISBN 978-0-7506-4992-6, sección 34
- ^ Goldstein, E. Bruce (2009), Enciclopedia de la percepción , Enciclopedia de la percepción, Thousand Oaks, CA: Sage, ISBN 978-1-4129-4081-8, págs. 355–56
- ^ Matthews, Gerald (2000), Rendimiento humano: cognición, estrés y diferencias individuales , Rendimiento humano: cognición, estrés y diferencias individuales, Hove: Psychology Press, ISBN 978-0-415-04406-6, pag. 48
- ^ Welford, AT (1968), Fundamentos de la habilidad , Londres: Methuen, ISBN 978-0-416-03000-6, OCLC 219156, pag. 61
- ^ Paul M. Fitts (junio de 1954), "La capacidad de información del sistema motor humano para controlar la amplitud del movimiento" , Journal of Experimental Psychology , 47 (6): 381–91, doi : 10.1037 / h0055392 , PMID 13174710 , S2CID 501599, reimpreso en Paul M. Fitts (1992), "La capacidad de información del sistema motor humano para controlar la amplitud del movimiento" (PDF) , Journal of Experimental Psychology: General , 121 (3): 262–69, doi : 10.1037 / 0096- 3445.121.3.262 , PMID 1402698 , consultado el 30 de marzo de 2011
- ^ Banerjee, JC (1994), Diccionario enciclopédico de términos psicológicos , Nueva Delhi: MD Publications, p. 304, ISBN 978-81-85880-28-0, OCLC 33860167
- ^ Nadel, Lynn (2005), Enciclopedia de ciencia cognitiva , Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-470-01619-0, lemas Psicofísica y percepción: descripción general
- ^ Siegler, Robert S .; Opfer, John E. (2003), "El desarrollo de la estimación numérica. Evidencia de múltiples representaciones de la cantidad numérica" (PDF) , Ciencia psicológica , 14 (3): 237–43, CiteSeerX 10.1.1.727.3696 , doi : 10.1111 /1467-9280.02438 , PMID 12741747 , S2CID 9583202 , archivado desde el original (PDF) el 17 de mayo de 2011 , consultado el 7 de enero de 2011
- ^ Dehaene, Stanislas; Izard, Véronique; Spelke, Elizabeth; Pica, Pierre (2008), "Log or Linear? Distinct Intuitions of the Number Scale in Western and Amazonian Indigene Cultures", Science , 320 (5880): 1217-20, Bibcode : 2008Sci ... 320.1217D , CiteSeerX 10.1.1.362 .2390 , doi : 10.1126 / science.1156540 , PMC 2610411 , PMID 18511690
- ^ Breiman, Leo (1992), Probabilidad , Clásicos en matemáticas aplicadas, Filadelfia: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas , ISBN 978-0-89871-296-4, sección 12.9
- ^ Aitchison, J .; Brown, JAC (1969), La distribución logarítmica normal , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-04011-2, OCLC 301100935
- ^ Jean Mathieu y Julian Scott (2000), Introducción al flujo turbulento , Cambridge University Press, p. 50, ISBN 978-0-521-77538-0
- ^ Rose, Colin; Smith, Murray D. (2002), Estadística matemática con Mathematica , Textos de Springer en estadística, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95234-5, sección 11.3
- ^ Tabachnikov, Serge (2005), Geometry and Billiards , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 36–40, ISBN 978-0-8218-3919-5, sección 2.1
- ^ Durtschi, Cindy; Hillison, William; Pacini, Carl (2004), "The Effective Use of Benford's Law in Detecting Fraud in Accounting Data" (PDF) , Journal of Forensic Accounting , V : 17–34, archivado desde el original (PDF) el 29 de agosto de 2017 , consultado 28 Mayo de 2018
- ^ Wegener, Ingo (2005), teoría de la complejidad: exploración de los límites de los algoritmos eficientes , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-21045-0, págs. 1-2
- ^ Harel, David; Feldman, Yishai A. (2004), Algoritmos: el espíritu de la informática , Nueva York: Addison-Wesley , ISBN 978-0-321-11784-7, pag. 143
- ^ Knuth, Donald (1998), El arte de la programación informática , Lectura, MA: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-89685-5, sección 6.2.1, págs. 409–26
- ^ Donald Knuth 1998 , sección 5.2.4, págs. 158–68
- ^ Wegener, Ingo (2005), Teoría de la complejidad: exploración de los límites de los algoritmos eficientes , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , p. 20, ISBN 978-3-540-21045-0
- ^ Mohr, Hans; Schopfer, Peter (1995), Fisiología vegetal , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58016-4, capítulo 19, pág. 298
- ^ Eco, Umberto (1989), El trabajo abierto , Harvard University Press , ISBN 978-0-674-63976-8, sección III.I
- ^ Sprott, Julien Clinton (2010), "Caos elegante: flujos caóticos algebraicamente simples" , Caos elegante: flujos caóticos algebraicamente simples. Editado por Sprott Julien Clinton. Publicado por World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd , Nueva Jersey: World Scientific , Bibcode : 2010ecas.book ..... S , doi : 10.1142 / 7183 , ISBN 978-981-283-881-0, sección 1.9
- ^ Helmberg, Gilbert (2007), Familiarizándose con los fractales , De Gruyter Textbook, Berlín, Nueva York: Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-019092-2
- ^ Wright, David (2009), Matemáticas y música , Providence, RI: AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-4873-9, Capítulo 5
- ^ Bateman, PT; Diamond, Harold G. (2004), Teoría analítica de números: un curso introductorio , Nueva Jersey: World Scientific , ISBN 978-981-256-080-3, OCLC 492669517, teorema 4.1
- ^ PT Bateman y Diamond 2004 , Teorema 8.15
- ^ Slomson, Alan B. (1991), Introducción a la combinatoria , Londres: CRC Press , ISBN 978-0-412-35370-3, Capítulo 4
- ^ Ganguly, S. (2005), Elementos de análisis complejo , Kolkata: Academic Publishers, ISBN 978-81-87504-86-3, Definición 1.6.3
- ^ Nevanlinna, Rolf Herman ; Paatero, Veikko (2007), "Introducción al análisis complejo", Londres: Hilger , Providence, RI: AMS Bookstore, Bibcode : 1974aitc.book ..... W , ISBN 978-0-8218-4399-4, sección 5.9
- ^ Moore, Theral Orvis; Hadlock, Edwin H. (1991), Análisis complejo , Singapur: World Scientific , ISBN 978-981-02-0246-0, sección 1.2
- ^ Wilde, Ivan Francis (2006), Lecture notes on complex analysis , Londres: Imperial College Press, ISBN 978-1-86094-642-4, teorema 6.1.
- ^ Higham, Nicholas (2008), Funciones de matrices. Teoría y Computación , Filadelfia, PA: SIAM , ISBN 978-0-89871-646-7, Capítulo 11.
- ^ Neukirch, Jürgen (1999), Teoría algebraica de números , Grundlehren der mathischen Wissenschaften , 322 , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859 , Zbl 0.956,11021, sección II.5.
- ^ Hancock, Edwin R .; Martin, Ralph R .; Sabin, Malcolm A. (2009), Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, Reino Unido, 7 al 9 de septiembre de 2009 Actas , Springer, p. 379, ISBN 978-3-642-03595-1
- ^ Stinson, Douglas Robert (2006), Criptografía: teoría y práctica (3.a ed.), Londres: CRC Press , ISBN 978-1-58488-508-5
- ^ Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997), Campos finitos , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-39231-0
- ^ Corless, R .; Gonnet, G .; Liebre, D .; Jeffrey, D .; Knuth, Donald (1996), "On the Lambert W function" (PDF) , Advances in Computational Mathematics , 5 : 329–59, doi : 10.1007 / BF02124750 , ISSN 1019-7168 , S2CID 29028411 , archivado desde el original (PDF) el 14 de diciembre de 2010 , consultado el 13 de febrero de 2011
- ^ Cherkassky, Vladimir; Cherkassky, Vladimir S .; Mulier, Filip (2007), Aprendiendo de los datos: conceptos, teoría y métodos , serie de Wiley sobre sistemas adaptativos y de aprendizaje para el procesamiento de señales, las comunicaciones y el control, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-68182-3, pag. 357
- ^ Bourbaki, Nicolas (1998), Topología general. Capítulos 5 a 10 , Elements of Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-64563-4, Señor 1726872, sección V.4.1
- ^ Ambartzumian, RV (1990), Cálculo de factorización y probabilidad geométrica , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-34535-4, sección 1.4
- ^ Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1992), Conferencias sobre teoremas que desaparecen , Seminario del DMV, 20 , Basilea, Boston: Birkhäuser Verlag, CiteSeerX 10.1.1.178.3227 , doi : 10.1007 / 978-3-0348-8600-0 , ISBN 978-3-7643-2822-1, MR 1193913, sección 2
- ^ Apostol, TM (2010), "Logarithm" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
enlaces externos
- Medios relacionados con el logaritmo en Wikimedia Commons
- La definición del diccionario de logaritmo en Wikcionario
- Logaritmo (matemáticas) en la Encyclopædia Britannica
- Weisstein, Eric W. , "Logaritmo" , MathWorld
- Khan Academy: Logaritmos, microconferencias gratuitas en línea
- "Función logarítmica" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Colin Byfleet, video educativo sobre logaritmos , consultado el 12 de octubre de 2010
- Edward Wright, Translation of Napier's work on logarithms , archivado del original el 3 de diciembre de 2002 , consultado el 12 de octubre de 2010CS1 maint: URL no apta ( enlace )
- ‹Ver Tfd›Glaisher, James Whitbread Lee (1911), , en Chisholm, Hugh (ed.), Encyclopædia Britannica , 16 (11ª ed.), Cambridge University Press, págs. 868–77