En cálculo , la diferenciación logarítmica o la diferenciación mediante logaritmos es un método utilizado para diferenciar funciones mediante el empleo de la derivada logarítmica de una función f , [1]
La técnica se realiza a menudo en los casos en que es más fácil diferenciar el logaritmo de una función que la función en sí. Esto suele ocurrir en los casos en que la función de interés está compuesta por un producto de varias partes, por lo que una transformación logarítmica la convertirá en una suma de partes separadas (que es mucho más fácil de diferenciar). También puede ser útil cuando se aplica a funciones elevadas a la potencia de variables o funciones. La diferenciación logarítmica se basa en la regla de la cadena , así como en las propiedades de los logaritmos (en particular, el logaritmo natural o el logaritmo en base e ) para transformar los productos en sumas y las divisiones en sustracciones. [2] [3] El principio se puede implementar, al menos en parte, en la diferenciación de casi todas las funciones diferenciables , siempre que estas funciones sean distintas de cero.
Para una función
La diferenciación logarítmica normalmente comienza tomando el logaritmo natural, o el logaritmo a la base e , en ambos lados, recordando tomar valores absolutos: [4]
Después de la diferenciación implícita : [5]
Luego se realiza la multiplicación por y para eliminar 1 / y y dejar solo dy / dx en el lado izquierdo :
El método se utiliza porque las propiedades de los logaritmos proporcionan vías para simplificar rápidamente funciones complicadas para diferenciarlas. [6] Estas propiedades pueden manipularse después de tomar los logaritmos naturales en ambos lados y antes de la diferenciación preliminar. Las leyes de logaritmos más comúnmente utilizadas son [3]
Caso general
Usando notación pi mayúscula ,
La aplicación de logaritmos naturales da como resultado (con notación sigma mayúscula )
y después de la diferenciación,
Reorganizar para obtener la derivada de la función original,
Derivadas de orden superior
Usando la fórmula de Faà di Bruno , la derivada logarítmica de n-ésimo orden es,
Usando esto, las primeras cuatro derivadas son,
Productos
Se aplica un logaritmo natural a un producto de dos funciones
transformar el producto en una suma
Diferenciar aplicando la cadena y las reglas de suma da como resultado
y, después de reorganizar, rinde [7]
Cocientes
Se aplica un logaritmo natural a un cociente de dos funciones
transformar la división en una resta
Diferenciar aplicando la cadena y las reglas de suma da como resultado
y, después de reorganizar, rinde
Después de multiplicar y usar la fórmula del denominador común , el resultado es el mismo que después de aplicar la regla del cociente directamente a.
Exponente compuesto
Para una función de la forma
El logaritmo natural transforma la exponenciación en un producto
Diferenciar aplicando la cadena y las reglas de producto rinde
y, después de reorganizar, rinde
Se puede obtener el mismo resultado reescribiendo f en términos de exp y aplicando la regla de la cadena.