Escala logarítmica

Una escala logarítmica (o escala logarítmica ) es una forma de mostrar datos numéricos sobre un rango muy amplio de valores de una manera compacta; por lo general, los números más grandes en los datos son cientos o incluso miles de veces más grandes que los números más pequeños. Tal escala no es lineal : los números 10 y 20, y 60 y 70, no están a la misma distancia en una escala logarítmica. Más bien, los números 10 y 100, y 60 y 600 están igualmente espaciados. Por lo tanto, mover una unidad de distancia a lo largo de la escala significa que el número se ha multiplicado por 10 (o algún otro factor fijo). A menudo, las curvas de crecimiento exponencial se muestran en una escala logarítmica; de lo contrario, aumentarían demasiado rápido para ajustarse a un gráfico pequeño.. Otra forma de pensarlo es que el número de dígitos de los datos crece a un ritmo constante. Por ejemplo, los números 10, 100, 1000 y 10000 están igualmente espaciados en una escala logarítmica, porque su número de dígitos aumenta en 1 cada vez: 2, 3, 4 y 5 dígitos. De esta manera, la suma de dos dígitos multiplica la cantidad medida en la escala logarítmica por un factor de 100.

Una escala logarítmica de 0,1 a 100

Gráfico del recuento de hosts de Internet a lo largo del tiempo mostrado en una escala logarítmica

Usos comunes [ editar ]

Las marcas en las reglas de cálculo se organizan en una escala logarítmica para multiplicar o dividir números sumando o restando longitudes en las escalas.

Las dos escalas logarítmicas de una regla de cálculo

Los siguientes son ejemplos de escalas logarítmicas de uso común, donde una cantidad mayor da como resultado un valor más alto:

Escala de magnitud de Richter y escala de magnitud de momento (MMS) para la fuerza de los terremotos y el movimiento en la Tierra

Una escala logarítmica facilita la comparación de valores que cubren un rango grande, como en este mapa.
Nivel de sonido , con unidades de decibelios
Neper para magnitudes de amplitud, campo y potencia
Nivel de frecuencia , con las unidades ciento , segunda menor , segunda mayor , y la octava para el oído relativo de las notas de la música
Logit para probabilidades en estadísticas
Escala de peligro de impacto técnico de Palermo
Línea de tiempo logarítmica
Contando f-stops para proporciones de exposición fotográfica
La regla de los 'nueves' utilizada para calificar probabilidades bajas
Entropía en termodinámica
Información en teoría de la información
Curvas de distribución del tamaño de partículas del suelo

Mapa del sistema solar y distancia a Alpha Centauri usando una escala logarítmica.

Los siguientes son ejemplos de escalas logarítmicas de uso común, donde una cantidad mayor da como resultado un valor más bajo (o negativo):

pH para acidez
Escala de magnitud estelar para el brillo de las estrellas
Escala de Krumbein para el tamaño de partículas en geología
Absorbancia de luz por muestras transparentes.

Algunos de nuestros sentidos operan de forma logarítmica ( ley de Weber-Fechner ), lo que hace que las escalas logarítmicas para estas cantidades de entrada sean especialmente apropiadas. En particular, nuestro sentido del oído percibe proporciones iguales de frecuencias como diferencias iguales en el tono. Además, los estudios de niños pequeños en una tribu aislada han demostrado que las escalas logarítmicas son la representación de números más natural en algunas culturas. ^[1]

Representación gráfica [ editar ]

Varias escalas: lin – lin, lin – log, log – lin y log – log . Las gráficas trazadas son: y = 10 ^x ( rojo ), y = x ( verde ), y = log _e ( x ) ( azul ).

El gráfico superior izquierdo es lineal en los ejes X e Y, y el eje Y varía de 0 a 10. Se utiliza una escala logarítmica de base 10 para el eje Y del gráfico inferior izquierdo, y el eje Y varía de 0,1 a 1.000.

El gráfico superior derecho usa una escala log-10 solo para el eje X, y el gráfico inferior derecho usa una escala log-10 tanto para el eje X como para el eje Y.

La presentación de datos en una escala logarítmica puede ser útil cuando los datos:

cubre una amplia gama de valores, ya que el uso de los logaritmos de los valores en lugar de los valores reales reduce una amplia gama a un tamaño más manejable;
puede contener leyes exponenciales o leyes de potencia , ya que se mostrarán como líneas rectas.

Una regla de cálculo tiene escalas logarítmicas y los nomogramas suelen emplear escalas logarítmicas. La media geométrica de dos números está a medio camino entre los números. Antes del advenimiento de los gráficos por computadora, el papel cuadriculado logarítmico era una herramienta científica de uso común.

Gráficos de registro-registro [ editar ]

Trazar en escala logarítmica-logarítmica de la ecuación de una línea

Si los ejes vertical y horizontal de una gráfica se escalan logarítmicamente, la gráfica se denomina gráfica logarítmica .

Gráficas semilogarítmicas [ editar ]

Si solo se escala logarítmicamente la ordenada o la abscisa , la gráfica se denomina gráfica semilogarítmica.

Unidades logarítmicas [ editar ]

Una unidad logarítmica es una unidad que se puede utilizar para expresar una cantidad ( física o matemática) en una escala logarítmica, es decir, como proporcional al valor de una función logarítmica aplicada a la relación de la cantidad y una cantidad de referencia de la el mismo tipo. La elección de la unidad generalmente indica el tipo de cantidad y la base del logaritmo.

Ejemplos [ editar ]

Ejemplos de unidades logarítmicas incluyen unidades de capacidad de almacenamiento de datos ( bit , byte ), de información y entropía de información ( nat , shannon , ban ) y de nivel de señal ( decibel , bel, neper ). Las cantidades de frecuencia logarítmica se utilizan en electrónica ( década , octava ) y para intervalos de tono musical ( octava , semitono , cent , etc.). Otras unidades de escala logarítmica incluyen la escala de magnitud de Richter punto.

Además, varias medidas industriales son logarítmicas, como los valores estándar para resistencias , el calibre de cable estadounidense , el calibre Birmingham utilizado para cables y agujas, etc.

Unidades de información [ editar ]

bit , byte
Hartley
nat
Shannon

Unidades de nivel o diferencia de nivel [ editar ]

bel , decibel
neper

Unidades de intervalo de frecuencia [ editar ]

década , decidecade , savart
octava , tono , semitono , centavo

Tabla de ejemplos [ editar ]

Unidad	Base de logaritmo	Cantidad subyacente	Interpretación
un poco	2	número de mensajes posibles	cantidad de información
byte	$28 = 256$	número de mensajes posibles	cantidad de información
decibel	$10 (1/10) \approx 1,259$	cualquier cantidad de potencia ( potencia de sonido , por ejemplo)	nivel de potencia acústica (por ejemplo)
decibel	$10 (1/20) \approx 1,122$	cualquier cantidad de poder de raíz ( presión sonora , por ejemplo)	nivel de presión sonora (por ejemplo)
semitono	$2 (1/12) \approx 1.059$	frecuencia de sonido	intervalo de tono

Las dos definiciones de un decibel son equivalentes, porque una razón de cantidades de potencia es igual al cuadrado de la razón correspondiente de cantidades raíz-potencia . ^{[ cita requerida ]}

Motivación [ editar ]

La motivación detrás del concepto de unidades logarítmicas es que definir una cantidad en una escala logarítmica en términos de un logaritmo a una base específica equivale a hacer una elección (totalmente arbitraria) de una unidad de medida para esa cantidad, una que corresponda al valor específico. (e igualmente arbitraria) base logarítmica que se seleccionó. Por la identidad

{\ Displaystyle \ log _ {b} a = {\ frac {\ log _ {c} a} {\ log _ {c} b}},}

los logaritmos de cualquier número dado una a dos bases diferentes (aquí b y c ) se diferencian sólo por el factor constante . Se puede considerar que este factor constante representa el factor de conversión para convertir una representación numérica de la cantidad logarítmica pura (indefinida) de una unidad de medida arbitraria (la unidad [log c ]) a otra (la unidad [log b ]), ya que $\log _{c}b$ $\operatorname {Log} (a)$

\operatorname {Log} (a)=(\log _{b}a)[\log b]=(\log _{c}a)[\log c].

Por ejemplo, la definición estándar de Boltzmann de entropía S = k ln W (donde W es el número de formas de organizar un sistema y k es la constante de Boltzmann ) también se puede escribir de manera más simple como justa . donde "Log" denota el logaritmo indefinido y k = [log e]; es decir, la unidad de entropía física k se puede identificar con la unidad matemática [log e]. Esta identidad funciona porque $S=Log(W)$

\ln W=\log _{e}W={\frac {\operatorname {Log} (W)}{\log e}}.

Por lo tanto, la constante de Boltzmann se puede interpretar como simplemente la expresión (en términos de unidades físicas más estándar) de la unidad logarítmica abstracta [log e] que se necesita para convertir la cantidad adimensional de números puros ln W (que usa una elección arbitraria de base, es decir e) a la cantidad logarítmica pura más fundamental , que no implica una elección particular de base y, por lo tanto, ninguna elección particular de unidad física para medir la entropía. $Log(W)$

Ver también [ editar ]

Alexander Graham Bell
Diagrama de Bode
John Napier
Nivel (cantidad logarítmica)
Logaritmo
Media logarítmica
Registro de semiring
Número preferido

Escala [ editar ]

Orden de magnitud

Aplicaciones [ editar ]

Entropía
Entropía (teoría de la información)
pH
Escala de magnitud de Richter

Referencias [ editar ]

^ "Sentido de la regla de cálculo: la cultura indígena amazónica demuestra el mapeo universal del número en el espacio" . ScienceDaily . 2008-05-30 . Consultado el 31 de mayo de 2008 .

Lectura adicional [ editar ]

Dehaene, Stanislas; Izard, Véronique; Spelke, Elizabeth ; Pica, Pierre (2008). "¿Logarítmico o lineal? Distintas intuiciones de la escala numérica en las culturas indígenas occidentales y amazónicas" . Ciencia . 320 (5880): 1217-20. Código Bibliográfico : 2008Sci ... 320.1217D . doi : 10.1126 / science.1156540 . PMC 2610411 . PMID 18511690 .
Tuffentsammer, Karl; Schumacher, P. (1953). "Normzahlen - die einstellige Logarithmentafel des Ingenieurs" [Números preferidos - la tabla de logaritmos de un solo dígito del ingeniero]. Werkstattechnik und Maschinenbau (en alemán). 43 (4): 156.
Tuffentsammer, Karl (1956). "Das Dezilog, eine Brücke zwischen Logarithmen, Dezibel, Neper und Normzahlen" [El decilog, un puente entre logaritmos, decibelios, neper y números preferidos]. VDI-Zeitschrift (en alemán). 98 : 267-274.
Ries, Clemens (1962). Normung nach Normzahlen [ Estandarización por números preferidos ] (en alemán) (1 ed.). Berlín, Alemania: Duncker & Humblot Verlag [ de ] . ISBN 978-3-42801242-8. (135 páginas)
Paulin, Eugen (1 de septiembre de 2007). Logaritmos, Normzahlen, Dezibel, Neper, Phon - natürlich verwandt! [ Logaritmos, números preferidos, decibelios, neper, phon - ¡naturalmente relacionados! ] (PDF) (en alemán). Archivado (PDF) desde el original el 18 de diciembre de 2016 . Consultado el 18 de diciembre de 2016 .

Enlaces externos [ editar ]

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la escala logarítmica .

"GNU Emacs Calc Manual: Unidades logarítmicas" . Gnu.org . Consultado el 23 de noviembre de 2016 .
Sitio web de cálculo no newtoniano

[1] "Sentido de la regla de cálculo: la cultura indígena amazónica demuestra el mapeo universal del número en el espacio" . ScienceDaily . 2008-05-30 . Consultado el 31 de mayo de 2008 .