Lógica

El estudio de la inferencia y la verdad.

Este artículo trata sobre el estudio sistemático de la forma de los argumentos. Para otros usos, consulte Lógica (desambiguación) .

"Logician" vuelve a dirigir aquí. Para conocer la escuela de filosofía china, consulte Escuela de nombres . Para el pura sangre, consulte Lógico (caballo) .

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Lógica (del griego : λογική , logikḗ , 'poseído de razón , intelectual , dialéctica , argumentativa ') ^{[1] [2] [i]} es el estudio sistemático de reglas válidas de inferencia , es decir, las relaciones que conducen a la aceptación de una proposición (la conclusión ) sobre la base de un conjunto de otras proposiciones ( premisas ). De manera más amplia, la lógica es el análisis y la valoración de argumentos . ^[3]

No existe un acuerdo universal sobre la definición exacta o los límites de la lógica (ver § Concepciones rivales ). ^{[4] [5] [6]} Sin embargo, el alcance de la lógica (interpretado en sentido amplio) incluye:

• La clasificación de argumentos .
• El análisis sistemático de formas lógicas .
• El estudio sistemático de la validez de las inferencias deductivas .
• La fuerza de las inferencias inductivas .
• El estudio de argumentos defectuosos , como las falacias .
• El estudio de las paradojas lógicas .
• El estudio de la sintaxis y la semántica de los lenguajes formales .
• El estudio de los conceptos de significado , denotación y verdad .

Históricamente, la lógica se ha estudiado principalmente en filosofía (desde la antigüedad ), matemáticas (desde mediados del siglo XIX ) e informática (desde mediados del siglo XX ). Más recientemente, la lógica también se ha estudiado en lingüística y en ciencias cognitivas . En general, la lógica sigue siendo un área de estudio fuertemente interdisciplinaria .

Tipos de lógica

Sobre esta primera, y en cierto sentido única, regla de la razón, de que para aprender debes desear aprender, y al desear no estar satisfecho con lo que ya te inclinas a pensar hábilmente, se sigue un corolario que en sí mismo merece ser inscríbase en cada muro de la ciudad de la filosofía: no bloquee el camino de la investigación.

Charles Sanders Peirce , Primera regla de la lógica

Lógica filosófica

La lógica filosófica es un área de la filosofía. Es un conjunto de métodos utilizados para resolver problemas filosóficos y una herramienta fundamental para el avance de la metafilosofía .

Lógica informal

La lógica informal es el estudio de argumentos en lenguaje natural . El estudio de las falacias es una rama importante de la lógica informal. Dado que muchos argumentos informales no son estrictamente deductivos, en algunas concepciones de la lógica, la lógica informal no es lógica en absoluto. (Ver § Concepciones rivales ).

Lógica formal

La lógica formal es el estudio de la inferencia con contenido puramente formal. Una inferencia posee un contenido puramente formal y explícito (es decir, puede expresarse como una aplicación particular de una regla totalmente abstracta) como, por ejemplo, una regla que no se refiere a ninguna cosa o propiedad en particular. En muchas definiciones de lógica, la consecuencia lógica y la inferencia con contenido puramente formal son lo mismo.

Los ejemplos de lógica formal incluyen (1) lógica silogística tradicional (también conocida como lógica de término) y (2) lógica simbólica moderna :

• La lógica silogística se puede encontrar en las obras de Aristóteles , lo que lo convierte en el estudio formal más antiguo y los tipos de estudios de silogismo . La lógica formal moderna sigue y amplía a Aristóteles. ^{[7] [8]}
• La lógica simbólica es el estudio de abstracciones simbólicas que capturan las características formales de la inferencia lógica, ^{[9] [10] a} menudo dividida en dos ramas principales: lógica proposicional y lógica de predicados .

Lógica matemática

La lógica matemática es una extensión de la lógica simbólica a otras áreas, en particular al estudio de la teoría de modelos , la teoría de la prueba , la teoría de conjuntos y la teoría de la computabilidad . ^{[11] [12]}

Conceptos

Terminología de argumentos utilizada en lógica

Los conceptos de forma lógica y argumento son fundamentales para la lógica.

Un argumento se construye aplicando una de las formas de los diferentes tipos de razonamiento lógico : deductivo , inductivo y abductivo . En la deducción, la validez de un argumento está determinada únicamente por su forma lógica, no por su contenido, mientras que la solidez requiere tanto validez como que todas las premisas dadas sean realmente verdaderas. ^[13]

La integridad, la coherencia, la decidibilidad y la expresividad son otros conceptos fundamentales de la lógica. La categorización de los sistemas lógicos y de sus propiedades ha llevado al surgimiento de una metateoría de la lógica conocida como metalógica . ^[14] Sin embargo, el acuerdo sobre qué es la lógica en realidad ha sido difícil de alcanzar, aunque el campo de la lógica universal ha estudiado la estructura común de la lógica.

Forma lógica

Artículo principal: forma lógica

La lógica generalmente se considera formal cuando analiza y representa la forma de cualquier tipo de argumento válido . La forma de un argumento se muestra representando sus oraciones en la gramática formal y el simbolismo de un lenguaje lógico para que su contenido sea utilizable en inferencia formal. En pocas palabras, formalizar simplemente significa traducir oraciones en inglés al lenguaje de la lógica.

A esto se le llama mostrar la forma lógica del argumento. Es necesario porque las oraciones indicativas del lenguaje ordinario muestran una variedad considerable de forma y complejidad que hace que su uso en la inferencia no sea práctico. Requiere, primero, ignorar aquellas características gramaticales irrelevantes para la lógica (como género y declinación, si el argumento está en latín), reemplazar las conjunciones irrelevantes para la lógica (por ejemplo, "pero") con conjunciones lógicas como "y" y reemplazar ambiguas, o expresiones lógicas alternativas ("cualquiera", "cada", etc.) con expresiones de un tipo estándar (por ejemplo, "todos", o el cuantificador universal ∀).

En segundo lugar, ciertas partes de la oración deben reemplazarse con letras esquemáticas. Así, por ejemplo, la expresión "todos los P son Q" muestra la forma lógica común a las frases "todos los hombres son mortales", "todos los gatos son carnívoros", "todos los griegos son filósofos", etc. El esquema se puede condensar además en la fórmula A (P, Q) , donde la letra A indica el juicio "todos - son -".

La importancia de la forma se reconoció desde la antigüedad. Aristóteles utiliza letras de variables para representar inferencias válidas en Prior Analytics , lo que llevó a Jan Łukasiewicz a decir que la introducción de variables fue "uno de los mayores inventos de Aristóteles". ^[15] Según los seguidores de Aristóteles (como Amonio ), sólo los principios lógicos enunciados en términos esquemáticos pertenecen a la lógica, no los dados en términos concretos. Los términos concretos 'hombre', 'mortal', etc., son análogos a los valores de sustitución de los marcadores de posición esquemáticos P , Q , R , que fueron llamados la 'materia' ( griego : ὕλη , hyle) de la inferencia.

Hay una gran diferencia entre los tipos de fórmulas que se ven en la lógica de términos tradicional y el cálculo de predicados que es el avance fundamental de la lógica moderna. La fórmula A (P, Q) (todas las P son Q) de la lógica tradicional corresponde a la fórmula más compleja en la lógica de predicados, que involucra los conectivos lógicos para la cuantificación e implicación universales en lugar de solo la letra de predicado A y utiliza argumentos variables donde la lógica tradicional utiliza sólo la letra término P . Con la complejidad viene el poder, y el advenimiento del cálculo de predicados inauguró el crecimiento revolucionario del sujeto. ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \forall x(P(x)\rightarrow Q(x))}$${\displaystyle P(x)}$^[dieciséis]

Semántica

Artículo principal: Semántica de la lógica

La validez de un argumento depende del significado, o semántica , de las oraciones que lo componen.

Los seis Organon de Aristóteles , especialmente De Interpretatione , dan un esbozo superficial de la semántica que los lógicos escolásticos , particularmente en los siglos XIII y XIV, desarrollaron en una teoría compleja y sofisticada, llamada teoría de la suposición . Esto mostró cómo la verdad de las oraciones simples, expresadas esquemáticamente, depende de cómo los términos "suponen", o representan, ciertos elementos extralingüísticos. Por ejemplo, en la parte II de su Summa Logicae , William of Ockham presenta una descripción completa de las condiciones necesarias y suficientes para la verdad.de oraciones simples, para mostrar qué argumentos son válidos y cuáles no. Así, "todo A es B 'es verdadero si y sólo si hay algo que representa' A ', y no hay nada que represente' A ', que no representa también' B '". ^[17]

La lógica moderna temprana definía la semántica simplemente como una relación entre ideas. Antoine Arnauld en Port Royal-Logic , ^{[18] [19]} dice que después de concebir las cosas por nuestras ideas, comparamos estas ideas y, al encontrar que algunas pertenecen juntas y otras no, las unimos o separamos. A esto se le llama afirmar o negar y, en general, juzgar . ^[20] Por tanto, verdad y falsedad no son más que acuerdo o desacuerdo de ideas. Esto sugiere dificultades obvias, lo que lleva a Lockepara distinguir entre la verdad "real", cuando nuestras ideas tienen "existencia real" y la verdad "imaginaria" o "verbal", donde las ideas como arpías o centauros existen sólo en la mente. ^[21] Este punto de vista, conocido como psicologismo , fue llevado al extremo en el siglo XIX y, en general, los lógicos modernos lo sostienen como un punto bajo en el declive de la lógica antes del siglo XX.

La semántica moderna está en cierto modo más cerca de la visión medieval, al rechazar tales condiciones psicológicas de verdad. Sin embargo, la introducción de la cuantificación , necesaria para resolver el problema de la generalidad múltiple , hizo imposible el tipo de análisis sujeto-predicado que subyace a la semántica medieval. El principal enfoque moderno es la semántica de teoría de modelos , basado en Alfred Tarski 's teoría semántica de la verdad . El enfoque asume que el significado de las diversas partes de las proposiciones viene dado por las posibles formas en que podemos dar un grupo recursivamente especificado de funciones de interpretación a partir de ellas a algún dominio predefinido del discurso.: una interpretación de la lógica de predicados de primer orden viene dada por un mapeo de términos a un universo de individuos , y un mapeo de proposiciones a los valores de verdad "verdadero" y "falso". La semántica de la teoría de modelos es uno de los conceptos fundamentales de la teoría de modelos . La semántica moderna también admite enfoques rivales, como la semántica de la teoría de la prueba que asocia el significado de las proposiciones con los roles que pueden desempeñar en las inferencias, un enfoque que en última instancia se deriva del trabajo de Gerhard Gentzen sobre la teoría de la prueba estructural y está fuertemente influenciado por La filosofía posterior de Ludwig Wittgenstein , especialmente su aforismo "el significado es uso ".

Inferencia

La inferencia no debe confundirse con la implicación . Una implicación es una oración de la forma 'Si p entonces q', y puede ser verdadera o falsa. El lógico estoico Filón de Megara fue el primero en definir las condiciones de verdad de tal implicación : falso sólo cuando el antecedente p es verdadero y el consecuente q es falso, en todos los demás casos verdadero. Una inferencia , por otro lado, consta de dos proposiciones afirmadas por separado de la forma 'p por lo tanto q'. Una inferencia no es verdadera o falsa, sino válida o inválida. Sin embargo, existe una conexión entre la implicación y la inferencia, como sigue: si la implicación 'si p entonces q' es verdadera , la inferencia 'p entonces q' esvalido . Filón le dio a esto una formulación aparentemente paradójica, quien dijo que la implicación 'si es de día, es de noche' es verdadera solo de noche, por lo que la inferencia 'es de día, por lo tanto es de noche' es válida en la noche, pero no de día.

La teoría de la inferencia (o " consecuencias ") fue desarrollada sistemáticamente en la época medieval por lógicos como William of Ockham y Walter Burley . Es singularmente medieval, a pesar de que tiene su origen en Aristóteles Topica y Boecio ' De Syllogismis hypotheticis. Muchos términos en lógica, por esta razón, están en latín. Por ejemplo, la regla que autoriza el paso de la implicación 'si p entonces q' más la afirmación de su antecedente p, a la afirmación del consecuente q, se conoce como modus ponens ('modo de postulación') - del latín : posito antecedente ponitur consens. Las formulaciones latinas de muchas otras reglas, como ex falso quodlibet ('de la falsedad, cualquier cosa [sigue]') y reductio ad absurdum ('reducción al absurdo'; es decir, refutar mostrando la consecuencia como absurda), también datan de este período.

Sin embargo, la teoría de las consecuencias , o la denominada hipotética silogismo , no se integró plenamente en la teoría de la categórica silogismo. Esto se debió en parte a la resistencia a reducir el juicio categórico "cada s es p" al llamado juicio hipotético "si algo es s, es p". Se pensaba que el primero implicaba 'algunos s es p', el segundo no lo era, y hasta 1911 en el artículo de la Encyclopædia Britannica sobre "Lógica", encontramos al lógico de Oxford TH Case argumentando contra el análisis moderno de Sigwart y Brentano de lo universal. proposición.

Sistemas lógicos

Artículo principal: Sistema formal

Un sistema formal es una organización de términos utilizados para el análisis de la deducción. Consiste en un alfabeto, un lenguaje sobre el alfabeto para construir oraciones y una regla para derivar oraciones. Entre las propiedades importantes que pueden tener los sistemas lógicos se encuentran:

• Coherencia : ningún teorema del sistema contradice a otro. ^[22]
• Validez : las reglas de prueba del sistema nunca permiten una inferencia falsa a partir de premisas verdaderas.
• Completitud : si una fórmula es verdadera, se puede probar, es decir, es un teorema del sistema.
• Solidez : si alguna fórmula es un teorema del sistema, es cierto. Este es el inverso de la completitud. (Tenga en cuenta que en un uso filosófico distinto del término, un argumento es sólido cuando es válido y sus premisas son verdaderas). ^[13]
• Expresividad : qué conceptos se pueden expresar en el sistema.

Algunos sistemas lógicos no tienen todas estas propiedades. Como ejemplo, los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel muestran que los sistemas formales de aritmética suficientemente complejos no pueden ser consistentes y completos; ^[10] sin embargo, las lógicas de predicados de primer orden no extendidas por axiomas específicos para ser sistemas aritméticos formales con igualdad pueden ser completas y consistentes. ^[23]

Lógica y racionalidad

Artículo principal: Lógica y racionalidad

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Como el estudio de la argumentación es de clara importancia para las razones por las que sostenemos que las cosas son ciertas, la lógica es de importancia esencial para la racionalidad . Aquí hemos definido la lógica como "el estudio sistemático de la forma de los argumentos"; el razonamiento detrás del argumento es de varios tipos, pero solo algunos de estos argumentos caen bajo la égida de la lógica propiamente dicha.

El razonamiento deductivo se refiere a la consecuencia lógica de premisas dadas y es la forma de razonamiento más estrechamente relacionada con la lógica. En una concepción estrecha de la lógica (ver más abajo) la lógica se refiere solo al razonamiento deductivo, aunque una concepción tan estrecha excluye de manera controvertida la mayor parte de lo que se llama lógica informal de la disciplina.

Hay otras formas de razonamiento que son racionales pero que generalmente no se toman como parte de la lógica. Estos incluyen el razonamiento inductivo , que cubre formas de inferencia que pasan de colecciones de juicios particulares a juicios universales, y el razonamiento abductivo , ^[ii] que es una forma de inferencia que va de la observación a una hipótesis que da cuenta de los datos confiables ( observación ). y busca explicar la evidencia relevante. El filósofo estadounidense Charles Sanders Peirce (1839-1914) introdujo por primera vez el término como conjetura . ^[24] Peirce dijo que para abducir una explicación hipotética${\displaystyle a}$de una circunstancia sorprendente observada es conjeturar que puede ser cierto porque entonces sería una cuestión de rutina. ^[25] Por lo tanto, a abduce desde implica determinar que es suficiente (o casi suficiente), pero no necesario , para . ^{[26] [27] [28]}${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Si bien la inferencia inductiva y abductiva no son parte de la lógica propiamente dicha, la metodología de la lógica se les ha aplicado con cierto grado de éxito. Por ejemplo, la noción de validez deductiva (donde una inferencia es deductivamente válida si y solo si no hay una situación posible en la que todas las premisas sean verdaderas pero la conclusión falsa) existe en una analogía con la noción de validez inductiva, o "fuerza ", donde una inferencia es inductivamente fuerte si y sólo si sus premisas dan cierto grado de probabilidad a su conclusión. Considerando que la noción de validez deductiva puede enunciarse rigurosamente para los sistemas de lógica formal en términos de las nociones bien entendidas de semántica, la validez inductiva requiere que definamos una generalización confiable de algún conjunto de observaciones. La tarea de proporcionar esta definición puede abordarse de diversas formas, algunas menos formales que otras; algunas de estas definiciones pueden usar la inducción de reglas de asociación lógica , mientras que otras pueden usar modelos matemáticos de probabilidad, como árboles de decisión .

Concepciones rivales

Artículo principal: Concepciones de lógica

La lógica surgió (ver más abajo) de una preocupación por la corrección de la argumentación . Los lógicos modernos generalmente desean asegurarse de que la lógica estudie solo aquellos argumentos que surgen de formas de inferencia apropiadamente generales. Por ejemplo, Thomas Hofweber escribe en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford que la lógica ", sin embargo, no cubre el buen razonamiento como un todo. Ese es el trabajo de la teoría de la racionalidad . Más bien se trata de inferencias cuya validez se remonta a la características formales de las representaciones que están involucradas en esa inferencia, ya sean representaciones lingüísticas, mentales u otras ". ^[29]

La idea de que la lógica trata formas especiales de argumento, el argumento deductivo, más que el argumento en general, tiene una historia en lógica que se remonta al menos al logicismo en las matemáticas (siglos XIX y XX) y al advenimiento de la influencia de la lógica matemática en la filosofía. . Una consecuencia de tomar la lógica para tratar tipos especiales de argumentos es que conduce a la identificación de tipos especiales de verdad, las verdades lógicas (siendo la lógica, de manera equivalente, el estudio de la verdad lógica), y excluye muchos de los objetos originales de estudio de la lógica que se tratan como lógica informal. Robert Brandom ha argumentado en contra de la idea de que la lógica es el estudio de un tipo especial de verdad lógica, argumentando que, en cambio, se puede hablar de la lógica de la inferencia material.(en la terminología de Wilfred Sellars ), con la lógica haciendo explícitos los compromisos que originalmente estaban implícitos en la inferencia informal. ^{[30] [ página necesaria ]}

Historia

Artículo principal: Historia de la lógica

Aristóteles , 384–322 a. C.

La lógica proviene de la palabra griega logos , que originalmente significa "la palabra" o "lo que se habla", pero que viene a significar "pensamiento" o "razón". En el mundo occidental, la lógica fue desarrollada por primera vez por Aristóteles , quien llamó al tema "analítica". ^[31] La lógica aristotélica se hizo ampliamente aceptada en ciencias y matemáticas y se mantuvo en uso en Occidente hasta principios del siglo XIX. ^[32] El sistema de lógica de Aristóteles fue responsable de la introducción del silogismo hipotético , ^[33] lógica modal temporal , ^{[34] [35]} y lógica inductiva , ^[36]así como vocabulario influyente como términos , predicables , silogismos y proposiciones . También estaba la lógica estoica rival .

En Europa, durante el último período medieval, se hicieron grandes esfuerzos para demostrar que las ideas de Aristóteles eran compatibles con la fe cristiana . Durante la Alta Edad Media , la lógica se convirtió en un foco principal de los filósofos, quienes se involucraron en análisis lógicos críticos de argumentos filosóficos, a menudo usando variaciones de la metodología de la escolástica . En 1323, se lanzó la influyente Summa Logicae de William of Ockham . En el siglo XVIII, el enfoque estructurado de los argumentos se había degenerado y caído en desgracia, como se describe en la obra satírica Erasmus Montanus de Holberg . El filósofo lógico chinoGongsun Long ( c. 325-250 a. C. ) propuso la paradoja "Uno y uno no pueden convertirse en dos, ya que ninguno se convierte en dos". ^{[12] [iii]} En China, la tradición de la investigación académica de la lógica, sin embargo, fue reprimida por la dinastía Qin siguiendo la filosofía legalista de Han Feizi .

En la India, la escuela de lógica Anviksiki fue fundada por Medhātithi (c. Siglo VI a. C.). ^{[37] Las} innovaciones en la escuela escolástica, llamada Nyaya , continuaron desde la antigüedad hasta principios del siglo XVIII con la escuela Navya-Nyāya . En el siglo XVI, desarrolló teorías que se asemejan a la lógica moderna, como la "distinción entre sentido y referencia de los nombres propios" de Gottlob Frege y su "definición de número", así como la teoría de las "condiciones restrictivas para los universales" que anticipan algunos de los desarrollos en la teoría de conjuntos moderna . ^[iv]Desde 1824, la lógica india atrajo la atención de muchos eruditos occidentales y ha influido en importantes lógicos del siglo XIX como Charles Babbage , Augustus De Morgan y George Boole . ^[38] En el siglo XX, filósofos occidentales como Stanislaw Schayer y Klaus Glashoff han explorado la lógica india más extensamente.

La lógica silogística desarrollada por Aristóteles predominó en Occidente hasta mediados del siglo XIX, cuando el interés por los fundamentos de las matemáticas estimuló el desarrollo de la lógica simbólica (ahora llamada lógica matemática ). En 1854, George Boole publicó las leyes del pensamiento , ^[39] la introducción de la lógica simbólica y los principios de lo que ahora se conoce como lógica booleana . En 1879, Gottlob Frege publicó Begriffsschrift , que inauguró la lógica moderna con la invención de la notación cuantificadora , reconciliando las lógicas aristotélica y estoica en un sistema más amplio y resolviendo problemas para los que la lógica aristotélica era impotente, como la lógica aristotélica.problema de generalidad múltiple . De 1910 a 1913, Alfred North Whitehead y Bertrand Russell publicaron Principia Mathematica ^[9] sobre los fundamentos de las matemáticas, intentando derivar verdades matemáticas de axiomas y reglas de inferencia en lógica simbólica. En 1931, Gödel planteó serios problemas con el programa fundacionalista y la lógica dejó de centrarse en tales cuestiones.

El desarrollo de la lógica desde Frege, Russell y Wittgenstein tuvo una profunda influencia en la práctica de la filosofía y la naturaleza percibida de los problemas filosóficos (ver filosofía analítica ) y la filosofía de las matemáticas . La lógica, especialmente la lógica oracional, se implementa en los circuitos lógicos de la computadora y es fundamental para la informática . Los departamentos universitarios de filosofía, sociología, publicidad y literatura suelen enseñar lógica, a menudo como una disciplina obligatoria.

Tipos

Lógica silogística

Artículo principal: lógica aristotélica

Una representación del siglo XV de la plaza de la oposición , que expresa las dualidades fundamentales de la silogística.

El Organon fue el cuerpo de trabajo de Aristóteles sobre la lógica, con Prior Analytics constituyendo el primer trabajo explícito en lógica formal, introduciendo la silogística. ^[15] Las partes de la lógica silogística, también conocida con el nombre de lógica , son el análisis de los juicios en proposiciones que consisten en dos términos que están relacionados por uno de un número fijo de relaciones, y la expresión de inferencias por medio de silogismos. que consisten en dos proposiciones que comparten un término común como premisa, y una conclusión que es una proposición que involucra los dos términos no relacionados de las premisas.

La obra de Aristóteles se consideró en la época clásica y desde la época medieval en Europa y Oriente Medio como la imagen misma de un sistema completamente elaborado. Sin embargo, no estaba solo: los estoicos propusieron un sistema de lógica proposicional que fue estudiado por los lógicos medievales. Además, el problema de la generalidad múltiple se reconoció en la época medieval. No obstante, no se consideró que los problemas con la lógica silogística necesitaran soluciones revolucionarias.

Hoy en día, algunos académicos afirman que el sistema de Aristóteles generalmente se considera que tiene poco más que un valor histórico (aunque hay cierto interés actual en extender la lógica de los términos), considerado obsoleto por el advenimiento de la lógica proposicional y el cálculo de predicados . Otros utilizan a Aristóteles en la teoría de la argumentación para ayudar a desarrollar y cuestionar críticamente los esquemas de argumentación que se utilizan en la inteligencia artificial y los argumentos legales .

Lógica proposicional

Artículo principal: cálculo proposicional

Un cálculo proposicional o lógica (también un cálculo proposicional) es un sistema formal en el que se pueden formar fórmulas que representan proposiciones combinando proposiciones atómicas (generalmente representadas con p, q, etc.) usando conectivos lógicos ( etc.); estas proposiciones y conectivos son los únicos elementos de un cálculo proposicional estándar. ^[40] A diferencia de la lógica de predicados o la lógica silogística donde los sujetos y predicados individuales (que no tienen valores de verdad) son la unidad más pequeña, la lógica proposicional toma proposiciones completas con valores de verdad como su componente más básico. ^[40] Cuantificadores (p. Ej. O${\displaystyle \And ,\rightarrow ,\lor ,\equiv ,\sim ,}$${\displaystyle \forall }$${\displaystyle \exists }$) se incluyen en el cálculo proposicional extendido, pero solo cuantifican sobre proposiciones completas, no sujetos o predicados individuales. ^[40] Una lógica proposicional dada es un sistema de prueba formal con reglas que establecen qué fórmulas bien formadas de un lenguaje dado son "teoremas" probándolas a partir de axiomas que se asumen sin prueba. ^[41]

Lógica de predicado

La Begriffschrift de Gottlob Frege introdujo la noción de cuantificador en una notación gráfica, que aquí representa el juicio que es verdadero.${\displaystyle \forall x.F(x)}$

Artículo principal: Lógica de predicados

La lógica de predicados es el término genérico para los sistemas formales simbólicos como la lógica de primer orden , la lógica de segundo orden , la lógica de muchos ordenamientos y la lógica infinitaria . Proporciona una descripción de los cuantificadores lo suficientemente generales como para expresar un amplio conjunto de argumentos que ocurren en el lenguaje natural. Por ejemplo, la famosa paradoja del barbero de Bertrand Russell , "hay un hombre que se afeita todo y solo los hombres que no se afeitan a sí mismos" puede formalizarse mediante la oración , utilizando el predicado no lógico para indicar que x es un hombre, y la relación no lógica para indicar que x afeita y${\displaystyle (\exists x)({\text{man}}(x)\wedge (\forall y)({\text{man}}(y)\rightarrow ({\text{shaves}}(x,y)\leftrightarrow \neg {\text{shaves}}(y,y))))}$${\displaystyle {\text{man}}(x)}$${\displaystyle {\text{shaves}}(x,y)}$; todos los demás símbolos de las fórmulas son lógicos, expresando los cuantificadores universales y existenciales , conjunción , implicación , negación y bicondicional .

Mientras que la lógica silogística aristotélica especifica un pequeño número de formas que puede adoptar la parte relevante de los juicios involucrados, la lógica de predicados permite que las oraciones sean analizadas en sujeto y argumento de varias formas adicionales, permitiendo que la lógica de predicados resuelva el problema de la generalidad múltiple que había dejado perplejos lógicos medievales.

El desarrollo de la lógica de predicados generalmente se atribuye a Gottlob Frege , a quien también se le atribuye como uno de los fundadores de la filosofía analítica , pero la formulación de la lógica de predicados más utilizada hoy en día es la lógica de primer orden presentada en Principles of Mathematical Logic por David Hilbert. y Wilhelm Ackermann en 1928. La generalidad analítica de la lógica de predicados permitió la formalización de las matemáticas, impulsó la investigación de la teoría de conjuntos y permitió el desarrollo del enfoque de Alfred Tarski a la teoría de modelos . Proporciona la base de la lógica matemática moderna .

El sistema original de lógica de predicados de Frege era de segundo orden, más que de primer orden. La lógica de segundo orden es defendida de manera más prominente (contra las críticas de Willard Van Orman Quine y otros) por George Boolos y Stewart Shapiro .

Lógica modal

Artículo principal: lógica modal

En los idiomas, la modalidad se ocupa del fenómeno de que las subpartes de una oración pueden tener su semántica modificada por verbos especiales o partículas modales. Por ejemplo, " Vamos a los juegos " se puede modificar para dar " Deberíamos ir a los juegos ", y " Podemos ir a los juegos " y quizás " Vamos a ir a los juegos ". De manera más abstracta, podríamos decir que la modalidad afecta las circunstancias en las que damos por satisfecha una afirmación. La modalidad confusa se conoce como falacia modal .

La lógica de Aristóteles está relacionada en gran parte con la teoría de la lógica no modalizada. Aunque hay pasajes en su trabajo, como el famoso argumento de batalla naval en De Interpretatione § 9, que ahora se ven como anticipaciones de la lógica modal y su conexión con la potencialidad y el tiempo, el primer sistema formal de lógica modal fue desarrollado por Avicena , quien finalmente desarrolló una teoría de la silogística " temporalmente modalizada ". ^[42]

Si bien el estudio de la necesidad y la posibilidad siguió siendo importante para los filósofos, hubo poca innovación lógica hasta las investigaciones históricas de CI Lewis en 1918, quien formuló una familia de axiomatizaciones rivales de las modalidades aléticas . Su trabajo desató un torrente de nuevos trabajos sobre el tema, ampliando los tipos de modalidad tratados para incluir la lógica deóntica y la lógica epistémica . La obra fundamental de Arthur Prior aplicó el mismo lenguaje formal para tratar la lógica temporal y allanó el camino para el matrimonio de los dos sujetos. Saul Kripke descubrió (al mismo tiempo que sus rivales) su teoría de la semántica de marcos, que revolucionó la tecnología formal disponible para los lógicos modales y dio una nueva forma teórica de grafos de ver la modalidad que ha impulsado muchas aplicaciones en lingüística computacional e informática , como la lógica dinámica .

Razonamiento informal y dialéctica

Artículos principales: Lógica informal , Lógica dialógica y Lógica y dialéctica

La motivación para el estudio de la lógica en la antigüedad era clara: es para que uno pueda aprender a distinguir los buenos argumentos de los malos, y así ser más eficaz en la argumentación y la oratoria, y quizás también para convertirse en una mejor persona. La mitad de las obras de Organon de Aristóteles tratan la inferencia como ocurre en un entorno informal, al lado del desarrollo de la silogística, y en la escuela aristotélica, estos trabajos informales sobre lógica se consideraban complementarios al tratamiento de la retórica de Aristóteles .

Esta antigua motivación sigue viva, aunque ya no ocupa un lugar central en la imagen de la lógica; La lógica típicamente dialéctica forma el corazón de un curso de pensamiento crítico , un curso obligatorio en muchas universidades. La dialéctica ha estado vinculada a la lógica desde la antigüedad, pero no ha sido hasta las últimas décadas que los lógicos europeos y estadounidenses han intentado proporcionar bases matemáticas para la lógica y la dialéctica formalizando la lógica dialéctica. Lógica dialéctica es también el nombre que se le da al tratamiento especial de la dialéctica en el pensamiento hegeliano y marxista . Ha habido tratados pre-formales sobre argumentación y dialéctica, de autores como Stephen Toulmin (Los usos del argumento ), Nicholas Rescher ( Dialéctica ), ^{[43] [44] [45]} y van Eemeren y Grootendorst ( Pragma-dialéctica ). Las teorías del razonamiento derrotable pueden proporcionar una base para la formalización de la lógica dialéctica y la dialéctica misma puede formalizarse como movimientos en un juego, donde un defensor de la verdad de una proposición y un oponente discuten. Estos juegos pueden proporcionar una semántica de juego formal para muchas lógicas.

La teoría de la argumentación es el estudio e investigación de la lógica informal, las falacias y las preguntas críticas que se relacionan con situaciones cotidianas y prácticas. Se pueden analizar y cuestionar tipos específicos de diálogo para revelar premisas, conclusiones y falacias. La teoría de la argumentación ahora se aplica a la inteligencia artificial y al derecho .

Lógica matemática

Artículo principal: lógica matemática

La lógica matemática comprende dos áreas de investigación distintas: la primera es la aplicación de las técnicas de lógica formal a las matemáticas y el razonamiento matemático, y la segunda, en la otra dirección, la aplicación de técnicas matemáticas a la representación y análisis de la lógica formal. ^[46]

El primer uso de las matemáticas y la geometría en relación con la lógica y la filosofía se remonta a los antiguos griegos como Euclides , Platón y Aristóteles . ^[47] Muchos otros filósofos antiguos y medievales aplicaron ideas y métodos matemáticos a sus afirmaciones filosóficas. ^[48]

Uno de los intentos más audaces de aplicar la lógica a las matemáticas fue el logicismo iniciado por filósofos-lógicos como Gottlob Frege y Bertrand Russell . Se suponía que las teorías matemáticas eran tautologías lógicas , y el programa debía demostrarlo mediante una reducción de las matemáticas a la lógica. ^[9] Los diversos intentos de llevar a cabo esto fracasaron, desde la paralización del proyecto de Frege en su Grundgesetze por la paradoja de Russell , hasta la derrota del programa de Hilbert por los teoremas de incompletitud de Gödel .

Tanto la afirmación del programa de Hilbert como su refutación por Gödel dependían de que su trabajo estableciera la segunda área de la lógica matemática, la aplicación de las matemáticas a la lógica en forma de teoría de la prueba . ^[49] A pesar de la naturaleza negativa de los teoremas de incompletitud, el teorema de completitud de Gödel , un resultado en la teoría de modelos y otra aplicación de las matemáticas a la lógica, puede entenderse como una muestra de cuán cerca del logicismo llegó a ser cierto: toda teoría matemática rigurosamente definida puede capturado por una teoría lógica de primer orden; El cálculo de prueba de Frege es suficiente para describir la totalidad de las matemáticas, aunque no es equivalente a ella.

Si la teoría de la prueba y la teoría del modelo han sido la base de la lógica matemática, no han sido más que dos de los cuatro pilares de la asignatura. ^[50] La teoría de conjuntos se originó en el estudio del infinito por Georg Cantor , y ha sido la fuente de muchos de los problemas más desafiantes e importantes de la lógica matemática, desde el teorema de Cantor , pasando por el estado del axioma de elección y la pregunta de la hipótesis de la independencia del continuo , al debate moderno sobre los grandes axiomas cardinales .

La teoría de la recursividad captura la idea de computación en términos lógicos y aritméticos ; sus logros más clásicos son la indecidibilidad del Entscheidungsproblem de Alan Turing y su presentación de la tesis Church-Turing . ^[51] teoría de la repetición Hoy en día se refiere sobre todo con el problema más refinada de clases de complejidad -cuando es un problema solucionable eficiente? -Y la clasificación de los grados de insolubilidad . ^[52]

Lógica filosófica

Artículo principal: Lógica filosófica

La lógica filosófica se ocupa de las descripciones formales del lenguaje ordinario, no especializado ("natural") , que es estrictamente solo sobre los argumentos dentro de las otras ramas de la filosofía. La mayoría de los filósofos asumen que la mayor parte del razonamiento cotidiano se puede capturar en la lógica si se puede encontrar un método o métodos para traducir el lenguaje ordinario a esa lógica. La lógica filosófica es esencialmente una continuación de la disciplina tradicional llamada "lógica" antes de la invención de la lógica matemática. La lógica filosófica se preocupa mucho más por la conexión entre el lenguaje natural y la lógica. Como resultado, los lógicos filosóficos han contribuido mucho al desarrollo de lógicas no estándar (p. Ej. , Lógicas libres , lógicas tensas), Así como varias extensiones de la lógica clásica (por ejemplo modal lógicas ) y la semántica no estándar para tales lógicas (por ejemplo Kripke 's supervaluationism en la semántica de la lógica).

La lógica y la filosofía del lenguaje están estrechamente relacionadas. La filosofía del lenguaje tiene que ver con el estudio de cómo nuestro lenguaje se relaciona e interactúa con nuestro pensamiento. La lógica tiene un impacto inmediato en otras áreas de estudio. Estudiar la lógica y la relación entre la lógica y el habla ordinaria puede ayudar a una persona a estructurar mejor sus propios argumentos y criticar los argumentos de los demás. Muchos argumentos populares están llenos de errores porque muchas personas no están capacitadas en lógica y no saben cómo formular un argumento correctamente. ^{[53] [54]}

Lógica computacional

Artículos principales: Lógica computacional y Lógica en informática.

Un circuito de alternancia simple se expresa mediante una puerta lógica y un registro síncrono.

La lógica llegó al corazón de la informática cuando surgió como disciplina: el trabajo de Alan Turing sobre el problema de Entscheidungs siguió al trabajo de Kurt Gödel sobre los teoremas de la incompletitud . La noción de computadora de propósito general que surgió de este trabajo fue de fundamental importancia para los diseñadores de maquinaria informática en la década de 1940.

En las décadas de 1950 y 1960, los investigadores predijeron que cuando el conocimiento humano pudiera expresarse utilizando la lógica con notación matemática , sería posible crear una máquina que imitara las habilidades de resolución de problemas de un ser humano. Esto fue más difícil de lo esperado debido a la complejidad del razonamiento humano. En el verano de 1956, John McCarthy , Marvin Minsky , Claude Shannon y Nathan Rochester organizaron una conferencia sobre el tema de lo que llamaron " inteligencia artificial " (término acuñado por McCarthy para la ocasión). Newell y Simon presentaron con orgullo al grupo con el teórico de la lógica y quedaron algo sorprendidos cuando el programa recibió una tibia acogida.

En la programación lógica , un programa consta de un conjunto de axiomas y reglas. Los sistemas de programación lógica como Prolog calculan las consecuencias de los axiomas y las reglas para responder a una consulta.

Hoy en día, la lógica se aplica ampliamente en el campo de la inteligencia artificial, y este campo proporciona una rica fuente de problemas en lógica formal e informal. La teoría de la argumentación es un buen ejemplo de cómo se aplica la lógica a la inteligencia artificial. El Sistema de Clasificación de Computación ACM en particular se refiere a:

• Sección F.3 sobre "Lógicas y significados de programas" y F.4 sobre "Lógica matemática y lenguajes formales" como parte de la teoría de la informática: este trabajo cubre la semántica formal de los lenguajes de programación , así como el trabajo de métodos formales como como lógica Hoare ;
• La lógica booleana como fundamental para el hardware informático: en particular, el apartado B.2 del sistema sobre " Estructuras aritméticas y lógicas ", relativo a los operativos AND , NOT y OR ;
• Muchos formalismos lógicos fundamentales son esenciales para la sección I.2 sobre inteligencia artificial, por ejemplo, la lógica modal y la lógica predeterminada en los formalismos y métodos de representación del conocimiento , las cláusulas Horn en la programación lógica y la lógica descriptiva .

Además, las computadoras se pueden utilizar como herramientas para los lógicos. Por ejemplo, en lógica simbólica y lógica matemática, las pruebas de los humanos pueden ser asistidas por computadora. Usando la demostración automatizada de teoremas , las máquinas pueden encontrar y verificar pruebas, así como trabajar con pruebas demasiado largas para escribirlas a mano.

Lógica no clásica

Artículo principal: lógica no clásica

Las lógicas discutidas anteriormente son todas " bivalentes " o "de dos valores"; es decir, se entiende más naturalmente como una división de proposiciones en proposiciones verdaderas y falsas. Las lógicas no clásicas son aquellos sistemas que rechazan varias reglas de la lógica clásica .

Hegel desarrolló su propia lógica dialéctica que amplió la lógica trascendental de Kant , pero también la devolvió al suelo asegurándonos que "ni en el cielo ni en la tierra, ni en el mundo de la mente ni de la naturaleza, hay en ningún lugar tal abstracto". –O 'como sostiene el entendimiento. Todo lo que existe es concreto, con diferencia y oposición en sí mismo ”. ^[55]

En 1910, Nicolai A. Vasiliev amplió la ley del medio excluido y la ley de la contradicción y propuso la ley del cuarto excluido y la lógica tolerante a la contradicción. ^[56] A principios del siglo XX, Jan Łukasiewicz investigó la extensión de los valores tradicionales verdaderos / falsos para incluir un tercer valor, "posible" (o un indeterminado, una hipótesis), por lo que inventó la lógica ternaria , la primera lógica multivalor en el Tradición occidental. ^{[57] Más} tarde se introdujo una pequeña modificación de la lógica ternaria en un modelo de lógica ternaria entre hermanos propuesto por Stephen Cole Kleene.. El sistema de Kleene difiere de la lógica de Łukasiewicz con respecto al resultado de la implicación. El primero supone que el operador de implicación entre dos hipótesis produce una hipótesis.

Desde entonces , lógicas como la lógica difusa se han diseñado con un número infinito de "grados de verdad", representados por un número real entre 0 y 1. ^[58]

La lógica intuicionista fue propuesta por LEJ Brouwer como la lógica correcta para razonar sobre las matemáticas, basada en su rechazo de la ley del medio excluido como parte de su intuicionismo . Brouwer rechazó la formalización en matemáticas, pero su alumno Arend Heyting estudió lógica intuicionista formalmente, al igual que Gerhard Gentzen . La lógica intuicionista es de gran interés para los informáticos, ya que es una lógica constructiva y ve muchas aplicaciones, como extraer programas verificados de pruebas e influir en el diseño de lenguajes de programación a través de la correspondencia de fórmulas como tipos .

La lógica modal no es condicional a la verdad, por lo que a menudo se ha propuesto como una lógica no clásica. Sin embargo, la lógica modal normalmente se formaliza con el principio del medio excluido, y su semántica relacional es bivalente, por lo que esta inclusión es discutible.

Controversias

"¿Es la lógica empírica?"

Más información: ¿Es la lógica empírica?

¿Cuál es el estatus epistemológico de las leyes de la lógica ? ¿Qué tipo de argumento es apropiado para criticar supuestos principios de lógica? En un influyente artículo titulado " ¿Es la lógica empírica? " ^[59], Hilary Putnam , basándose en una sugerencia de WV Quine , argumentó que en general los hechos de la lógica proposicional tienen un estatus epistemológico similar a los hechos sobre el universo físico, por ejemplo como el leyes de la mecánica o de la relatividad general , y en particular que lo que los físicos han aprendido sobre la mecánica cuántica proporciona un caso convincente para abandonar ciertos principios familiares de la lógica clásica: si queremos serrealistas sobre los fenómenos físicos descritos por la teoría cuántica, entonces deberíamos abandonar el principio de distributividad , sustituyendo la lógica clásica por la lógica cuántica propuesta por Garrett Birkhoff y John von Neumann . ^[60]

Otro artículo del mismo nombre de Michael Dummett sostiene que el deseo de Putnam por el realismo exige la ley de la distributividad. ^{[61] La} distributividad de la lógica es esencial para la comprensión del realista de cómo las proposiciones son verdaderas del mundo de la misma manera que él ha argumentado que es el principio de bivalencia. De esta forma, la pregunta "¿Es la lógica empírica?" puede verse que conduce naturalmente a la controversia fundamental de la metafísica sobre el realismo frente al antirrealismo .

Implicación: estricta o material

Artículo principal: paradojas de la implicación material

La noción de implicación formalizada en la lógica clásica no se traduce cómodamente al lenguaje natural por medio de "si ... entonces ...", debido a una serie de problemas denominados paradojas de la implicación material .

La primera clase de paradojas involucra contrafactuales, como Si la luna está hecha de queso verde, entonces 2 + 2 = 5 , que son desconcertantes porque el lenguaje natural no apoya el principio de explosión . La eliminación de esta clase de paradojas fue la razón de la formulación de implicación estricta de CI Lewis , que finalmente condujo a lógicas revisionistas más radicales, como la lógica de relevancia .

La segunda clase de paradojas involucra premisas redundantes, sugiriendo falsamente que conocemos al sucesor por el antecedente: así, "si ese hombre es elegido, la abuela morirá" es materialmente cierto ya que la abuela es mortal, independientemente de las perspectivas de elección del hombre. Tales oraciones violan la máxima griega de relevancia y pueden ser modeladas por lógicas que rechazan el principio de monotonicidad de la implicación , como la lógica de relevancia.

Tolerando lo imposible

Artículo principal: Lógica paraconsistente

Georg Wilhelm Friedrich Hegel fue profundamente crítico con cualquier noción simplificada de la ley de la no contradicción . Se basó en la idea de Gottfried Wilhelm Leibniz de que esta ley de la lógica también requiere un fundamento suficiente para especificar desde qué punto de vista (o tiempo) se dice que algo no puede contradecirse a sí mismo. Un edificio, por ejemplo, se mueve y no se mueve; el suelo para el primero es nuestro sistema solar y para el segundo la tierra. En la dialéctica hegeliana, la ley de la no contradicción, de la identidad, se basa en sí misma en la diferencia y, por lo tanto, no se puede afirmar de forma independiente.

Estrechamente relacionada con las cuestiones que surgen de las paradojas de la implicación, surge la sugerencia de que la lógica debería tolerar la inconsistencia . La lógica de relevancia y la lógica paraconsistente son los enfoques más importantes aquí, aunque las preocupaciones son diferentes: una consecuencia clave de la lógica clásica y algunos de sus rivales, como la lógica intuicionista , es que respetan el principio de explosión , lo que significa que la lógica colapsa. si es capaz de derivar una contradicción. Graham Priest , el principal defensor del dialeísmo , ha defendido la paraconsistencia basándose en que, de hecho, existen verdaderas contradicciones. ^{[62][ aclaración necesaria ]}

Rechazo de la verdad lógica

La vena filosófica de varios tipos de escepticismo contiene muchos tipos de duda y rechazo de las diversas bases sobre las que descansa la lógica, como la idea de forma lógica, la inferencia correcta o el significado, que a veces lleva a la conclusión de que no hay verdades lógicas . Esto contrasta con las opiniones habituales en el escepticismo filosófico , donde la lógica dirige la investigación escéptica a dudar de las sabidurías recibidas, como en la obra de Sextus Empiricus .

Friedrich Nietzsche proporciona un claro ejemplo del rechazo de la base habitual de la lógica: su rechazo radical de la idealización lo llevó a rechazar la verdad como un "... ejército móvil de metáforas, metonimias y antropomorfismos, en resumen ... metáforas que son gastadas y sin fuerza sensual, monedas que han perdido su imagen y ahora sólo importan como metal, ya no como monedas ". ^[63] Su rechazo de la verdad no lo llevó a rechazar por completo la idea de inferencia o lógica, sino que sugirió que "la lógica [vino] a existir en la cabeza del hombre [de] lo ilógico, cuyo reino originalmente debe haber sido inmenso. Innumerables seres que hacían inferencias de una manera diferente a la nuestra perecieron ". ^[64]Así, existe la idea de que la inferencia lógica tiene un uso como herramienta para la supervivencia humana, pero que su existencia no sustenta la existencia de la verdad, ni tiene una realidad más allá de lo instrumental: "La lógica, también, también se basa en supuestos que no corresponden a nada en el mundo real ". ^{[sesenta y cinco]}

Sin embargo, esta posición ocupada por Nietzsche ha sido objeto de un escrutinio extremo por varias razones. Algunos filósofos, como Jürgen Habermas , afirman que su posición se refuta a sí misma y acusan a Nietzsche de ni siquiera tener una perspectiva coherente, y mucho menos una teoría del conocimiento. ^[66] Georg Lukács , en su libro La destrucción de la razón , afirma que, "Si estudiáramos las afirmaciones de Nietzsche en esta área desde un ángulo lógico-filosófico, nos enfrentaríamos a un caos vertiginoso de las afirmaciones más espeluznantes, arbitrarias y violentamente incompatible ". ^[67] Bertrand Russell describió las afirmaciones irracionales de Nietzsche con "Le gusta expresarse paradójicamente y con miras a escandalizar a los lectores convencionales".en su libroUna historia de la filosofía occidental . ^[68]

Ver también

• Argumento  : intento de persuadir o determinar la verdad de una conclusión.
• Teoría de la argumentación  : estudio de cómo se llegan a las conclusiones mediante el razonamiento lógico; uno de los cuatro modos retóricos
• Pensamiento crítico  : el análisis de hechos para formar un juicio.
• Electrónica digital  : circuitos electrónicos que utilizan señales digitales (también conocidas como lógica digital o puertas lógicas ).
• Falacias
• Lista de falacias  : tipos de razonamiento que son lógicamente incorrectos
• Lista de lógicos  - artículo de la lista de Wikipedia
• Lista de revistas de lógica  - artículo de la lista de Wikipedia
• Lista de símbolos lógicos  - artículo de la lista de Wikipedia
• Rompecabezas de lógica
• Matemáticas  - Campo de estudio
  • Lista de artículos de matemáticas
  • Esquema de las matemáticas  : descripción general y guía temática de las matemáticas
• Metalogic  - Estudio de las propiedades de los sistemas lógicos.
• Esquema de la lógica  : descripción general y guía temática de la lógica
• Filosofía  : estudio de las verdades y principios del ser, el conocimiento o la conducta.
  • Lista de temas de filosofía
  • Esquema de la filosofía  : descripción general y guía temática de la filosofía
• Logos  : término en filosofía, psicología, retórica y religión occidentales
• Razonamiento logico
• Razón  : capacidad para dar sentido a las cosas de forma consciente.
• Verdad  : propiedad de estar de acuerdo con el hecho o la realidad.
• Lógica vectorial

Referencias

Notas

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Citas

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  • "Una introducción a la lógica filosófica, por Paul Newall" . Archivado desde el original el 3 de abril de 2008. dirigido a principiantes.
  • forall x: una introducción a la lógica formal , por PD Magnus , cubre la lógica oracional y cuantificada.
  • Lógica autodidacta: un libro de trabajo (preparado originalmente para la instrucción lógica en línea).
    • Nicholas Rescher . (1964). Introducción a la lógica , St. Martin's Press.
• Ensayos
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  • Math & Logic: La historia de las ideas formales matemáticas, lógicas, lingüísticas y metodológicas. En El Diccionario de Historia de las Ideas.
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