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Ludwig Boltzmann
Boltzmann2.jpg
Ludwig Boltzmann
Nació
Ludwig Eduard Boltzmann

( 20/02/1844 )20 de febrero de 1844
Viena , Imperio austríaco
Fallecido5 de septiembre de 1906 (05/09/1906)(62 años)
Tybein , Triest , Austria-Hungría
Causa de la muerteSuicidio por ahorcamiento
Nacionalidadaustriaco
alma materUniversidad de Viena
Conocido por
PremiosForMemRS (1899) [1]
Carrera científica
CamposFísica
Instituciones
Asesor de doctoradoJosef Stefan
Otros asesores académicos
Estudiantes de doctorado
Otros estudiantes notables
  • Lise Meitner
  • Stefan Meyer
Firma

Ludwig Eduard Boltzmann ( pronunciación alemana: [ˈluːtvɪg ˈbɔlt͡sman] ; 20 de febrero de 1844 - 5 de septiembre de 1906) fue un físico y filósofo austriaco . Sus mayores logros fueron el desarrollo de la mecánica estadística y la explicación estadística de la segunda ley de la termodinámica . En 1877 se proporcionó la definición actual de la entropía , , interpretado como una medida del desorden de un sistema estadístico. [2] Max Planck nombró a la constante k B la constante de Boltzmann . [3]

La mecánica estadística es uno de los pilares de la física moderna . Describe cómo las observaciones macroscópicas (como la temperatura y la presión ) se relacionan con los parámetros microscópicos que fluctúan alrededor de un promedio. Conecta cantidades termodinámicas (como la capacidad calorífica ) con el comportamiento microscópico, mientras que, en la termodinámica clásica , la única opción disponible sería medir y tabular tales cantidades para varios materiales. [4]

Biografía [ editar ]

Infancia y educación [ editar ]

Boltzmann nació en Erdberg, un suburbio de Viena . Su padre, Ludwig Georg Boltzmann, era funcionario fiscal. Su abuelo, que se había trasladado a Viena desde Berlín, era fabricante de relojes, y la madre de Boltzmann, Katharina Pauernfeind, era originaria de Salzburgo . Recibió su educación primaria en casa de sus padres. [5] Boltzmann asistió a la escuela secundaria en Linz , Alta Austria . Cuando Boltzmann tenía 15 años, su padre murió. [6]

A partir de 1863, Boltzmann estudió matemáticas y física en la Universidad de Viena . Recibió su doctorado en 1866 y su venia legendi en 1869. Boltzmann trabajó en estrecha colaboración con Josef Stefan , director del instituto de física. Fue Stefan quien introdujo a Boltzmann en el trabajo de Maxwell . [6]

Carrera académica [ editar ]

En 1869, a los 25 años, gracias a una carta de recomendación escrita por Stefan, [7] Boltzmann fue nombrado profesor titular de Física Matemática en la Universidad de Graz en la provincia de Estiria . En 1869 pasó varios meses en Heidelberg trabajando con Robert Bunsen y Leo Königsberger y en 1871 con Gustav Kirchhoff y Hermann von Helmholtz en Berlín. En 1873 Boltzmann ingresó en la Universidad de Viena como profesor de Matemáticas y allí permaneció hasta 1876.

Ludwig Boltzmann y compañeros de trabajo en Graz, 1887: (de pie, desde la izquierda) Nernst , Streintz , Arrhenius , Hiecke, (sentado, desde la izquierda) Aulinger, Ettingshausen , Boltzmann, Klemenčič , Hausmanninger

En 1872, mucho antes de que las mujeres fueran admitidas en las universidades austriacas, conoció a Henriette von Aigentler, una aspirante a profesora de matemáticas y física en Graz. Se le negó el permiso para auditar conferencias extraoficialmente. Boltzmann apoyó su decisión de apelar, que tuvo éxito. El 17 de julio de 1876, Ludwig Boltzmann se casó con Henriette; tuvieron tres hijas: Henriette (1880), Ida (1884) y Else (1891); y un hijo, Arthur Ludwig (1881). [8] Boltzmann volvió a Graz para ocupar la cátedra de Física Experimental. Entre sus estudiantes en Graz estaban Svante Arrhenius y Walther Nernst . [9] [10] Pasó 14 años felices en Graz y fue allí donde desarrolló su concepto estadístico de la naturaleza.

Boltzmann fue nombrado catedrático de Física Teórica en la Universidad de Munich en Baviera , Alemania en 1890.

En 1894, Boltzmann sucedió a su maestro Joseph Stefan como profesor de física teórica en la Universidad de Viena.

Años finales y muerte [ editar ]

Boltzmann dedicó un gran esfuerzo en sus últimos años a defender sus teorías. [11] No se llevaba bien con algunos de sus colegas en Viena, en particular con Ernst Mach , quien se convirtió en profesor de filosofía e historia de las ciencias en 1895. Ese mismo año, Georg Helm y Wilhelm Ostwald presentaron su posición sobre la energía en una reunión en Lübeck . Vieron la energía, y no la materia, como el componente principal del universo. La posición de Boltzmann triunfó entre otros físicos que apoyaron sus teorías atómicas en el debate. [12] En 1900, Boltzmann fue a la Universidad de Leipzig , invitado por Wilhelm Ostwald.. Ostwald le ofreció a Boltzmann la cátedra de profesor de física, que quedó vacante cuando Gustav Heinrich Wiedemann murió. Después de que Mach se jubiló debido a problemas de salud, Boltzmann regresó a Viena en 1902. [11] En 1903, Boltzmann, junto con Gustav von Escherich y Emil Müller , fundaron la Sociedad Matemática Austriaca . Sus estudiantes incluyeron a Karl Přibram , Paul Ehrenfest y Lise Meitner . [11]

En Viena, Boltzmann enseñó física y también dio conferencias sobre filosofía. Las conferencias de Boltzmann sobre filosofía natural fueron muy populares y recibieron una atención considerable. Su primera conferencia fue un gran éxito. A pesar de que se había elegido la sala de conferencias más grande, la gente se quedó de pie hasta el final de la escalera. Debido al gran éxito de las conferencias filosóficas de Boltzmann, el Emperador lo invitó a una recepción en el Palacio. [13]

En 1906, el deterioro de la condición mental de Boltzmann lo obligó a renunciar a su cargo, y sus síntomas indican que experimentó lo que hoy sería diagnosticado como trastorno bipolar . [11] [14] Cuatro meses después murió por suicidio el 5 de septiembre de 1906, ahorcándose mientras estaba de vacaciones con su esposa e hija en Duino , cerca de Trieste (entonces Austria). [15] [16] [17] [14] Está enterrado en el Zentralfriedhof de Viena . Su lápida lleva la inscripción de la fórmula de la entropía de Boltzmann : . [11]

Filosofía [ editar ]

La teoría cinética de los gases de Boltzmann parecía presuponer la realidad de los átomos y las moléculas , pero casi todos los filósofos alemanes y muchos científicos como Ernst Mach y el químico físico Wilhelm Ostwald no creían en su existencia. [18] Durante la década de 1890, Boltzmann intentó formular una posición de compromiso que permitiría tanto a los atomistas como a los anti-atomistas hacer física sin discutir sobre los átomos. Su solución fue utilizar la teoría de Hertz de que los átomos eran Bilder., es decir, modelos o fotografías. Los atomistas podían pensar que las imágenes eran los átomos reales, mientras que los anti-atomistas podían pensar que las imágenes representaban un modelo útil pero irreal, pero esto no satisfizo completamente a ninguno de los grupos. Además, Ostwald y muchos defensores de la "termodinámica pura" estaban esforzándose por refutar la teoría cinética de los gases y la mecánica estadística debido a las suposiciones de Boltzmann sobre átomos y moléculas y especialmente a la interpretación estadística de la segunda ley de la termodinámica .

Hacia el cambio de siglo, la ciencia de Boltzmann se vio amenazada por otra objeción filosófica. Algunos físicos, incluido el estudiante de Mach, Gustav Jaumann , interpretaron que Hertz significa que todo el comportamiento electromagnético es continuo, como si no hubiera átomos ni moléculas, y de la misma manera como si todo el comportamiento físico fuera en última instancia electromagnético. Este movimiento alrededor de 1900 deprimió profundamente a Boltzmann ya que podría significar el fin de su teoría cinética y la interpretación estadística de la segunda ley de la termodinámica.

Después de la renuncia de Mach en Viena en 1901, Boltzmann regresó allí y decidió convertirse él mismo en filósofo para refutar las objeciones filosóficas a su física, pero pronto se desanimó nuevamente. En 1904, en una conferencia de física en St. Louis, la mayoría de los físicos parecían rechazar los átomos y ni siquiera fue invitado a la sección de física. Más bien, estaba atrapado en una sección llamada "matemáticas aplicadas", atacó violentamente la filosofía, especialmente sobre bases supuestamente darwinianas, pero en realidad en términos de la teoría de Lamarck de la herencia de las características adquiridas que las personas heredaron la mala filosofía del pasado y que Fue difícil para los científicos superar tal herencia.

En 1905, Boltzmann mantuvo una extensa correspondencia con el filósofo austro-alemán Franz Brentano con la esperanza de obtener un mejor dominio de la filosofía, aparentemente, para poder refutar mejor su relevancia en la ciencia, pero también se desanimó con este enfoque.

Física [ editar ]

Las contribuciones científicas más importantes de Boltzmann se realizaron en la teoría cinética , incluida la motivación de la distribución de Maxwell-Boltzmann como una descripción de las velocidades moleculares en un gas. Las estadísticas de Maxwell-Boltzmann y la distribución de Boltzmann siguen siendo centrales en los fundamentos de la mecánica estadística clásica . También son aplicables a otros fenómenos que no requieren estadísticas cuánticas y proporcionan información sobre el significado de temperatura .

Diagrama de moléculas I 2 de 1898 de Boltzmann que muestra la superposición de la "región sensible" atómica (α, β).

La mayoría de los químicos , desde los descubrimientos de John Dalton en 1808, y James Clerk Maxwell en Escocia y Josiah Willard Gibbs en los Estados Unidos, compartieron la creencia de Boltzmann en los átomos y las moléculas , pero gran parte del establecimiento de la física no compartió esta creencia hasta décadas más tarde. Boltzmann tuvo una larga disputa con el editor de la preeminente revista de física alemana de su época, quien se negó a permitir que Boltzmann se refiriera a átomos y moléculas como algo más que constructos teóricos convenientes . Solo un par de años después de la muerte de Boltzmann, los estudios de Perrin de coloidalsuspensiones (1908-1909), basadas en los estudios teóricos de Einstein de 1905, confirmaron los valores del número de Avogadro y la constante de Boltzmann , convenciendo al mundo de que las partículas diminutas realmente existen .

Para citar a Planck , "La conexión logarítmica entre entropía y probabilidad fue establecida por primera vez por L. Boltzmann en su teoría cinética de los gases ". [19] Esta famosa fórmula para la entropía S es [20] [21]

donde k B es la constante de Boltzmann y ln es el logaritmo natural . W es Wahrscheinlichkeit , una palabra alemana que significa la probabilidad de ocurrencia de un macroestado [22] o, más precisamente, el número de posibles microestados correspondientes al estado macroscópico de un sistema - el número de "vías" (no observables) en el (observable) ) estado termodinámico de un sistema que se puede realizar asignando diferentes posiciones y momentos a las diversas moléculas. El paradigma de Boltzmann fue ungas ideal de N partículas idénticas , de las cuales N i están en la i- ésima condición microscópica (rango) de posición y momento. W  se puede contar usando la fórmula para permutaciones

donde i abarca todas las condiciones moleculares posibles, y donde denota factorial . La "corrección" en el denominador representa partículas indistinguibles en la misma condición.

Boltzmann también podría considerarse uno de los precursores de la mecánica cuántica debido a su sugerencia en 1877 de que los niveles de energía de un sistema físico podrían ser discretos.

Ecuación de Boltzmann [ editar ]

Busto de Boltzmann en la arcada del patio del edificio principal, Universidad de Viena.
Artículo principal: ecuación de Boltzmann

La ecuación de Boltzmann se desarrolló para describir la dinámica de un gas ideal.

donde ƒ representa la función de distribución de la posición y el momento de una sola partícula en un momento dado (ver la distribución de Maxwell-Boltzmann ), F es una fuerza, m es la masa de una partícula, t es el tiempo y v es una velocidad promedio de partículas.

Esta ecuación describe la variación temporal y espacial de la distribución de probabilidad para la posición y el momento de una distribución de densidad de una nube de puntos en el espacio de fase de una sola partícula . (Véase Mecánica hamiltoniana .) El primer término del lado izquierdo representa la variación temporal explícita de la función de distribución, mientras que el segundo término da la variación espacial y el tercer término describe el efecto de cualquier fuerza que actúe sobre las partículas. El lado derecho de la ecuación representa el efecto de las colisiones.

En principio, la ecuación anterior describe completamente la dinámica de un conjunto de partículas de gas, dadas las condiciones de contorno adecuadas . Esta ecuación diferencial de primer orden tiene una apariencia engañosamente simple, ya que f puede representar una función de distribución arbitraria de una sola partícula. Además, la fuerza que actúa sobre las partículas depende directamente de la función de distribución de velocidad  f . La ecuación de Boltzmann es notoriamente difícil de integrar . David Hilbert pasó años tratando de resolverlo sin ningún éxito real.

La forma del término de colisión asumido por Boltzmann fue aproximada. Sin embargo, para un gas ideal, la solución estándar de Chapman-Enskog de la ecuación de Boltzmann es muy precisa. Se espera que dé lugar a resultados incorrectos para un gas ideal solo en condiciones de onda de choque .

Boltzmann trató durante muchos años a "probar" la segunda ley de la termodinámica utilizando su ecuación de gas dinámico - su famoso H-teorema . Sin embargo, la suposición clave que hizo al formular el término de colisión fue " caos molecular ", una suposición que rompe la simetría de inversión del tiempo como es necesario para cualquier cosa que pueda implicar la segunda ley. Fue solo de la suposición probabilística que el aparente éxito de Boltzmann emanó, por lo que su larga disputa con Loschmidt y otros sobre la paradoja de Loschmidt finalmente terminó en su fracaso.

Finalmente, en la década de 1970 EGD Cohen y JR Dorfman demostraron que una extensión sistemática (serie de potencias) de la ecuación de Boltzmann a altas densidades es matemáticamente imposible. En consecuencia, la mecánica estadística de desequilibrio para gases y líquidos densos se centra en las relaciones de Green-Kubo , el teorema de fluctuación y otros enfoques.

Segunda ley de la termodinámica como ley del desorden [ editar ]

La tumba de Boltzmann en el Zentralfriedhof , Viena, con fórmula busto y entropía.

La idea de que la segunda ley de la termodinámica o "ley de la entropía" es una ley del desorden (o que los estados ordenados dinámicamente son "infinitamente improbables") se debe a la visión de Boltzmann de la segunda ley de la termodinámica.

En particular, fue el intento de Boltzmann de reducirlo a una función de colisión estocástica , o ley de probabilidad derivada de las colisiones aleatorias de partículas mecánicas. Siguiendo a Maxwell, [23] Boltzmann modeló las moléculas de gas como bolas de billar que colisionan en una caja, y señaló que con cada colisión las distribuciones de velocidad en no equilibrio (grupos de moléculas que se mueven a la misma velocidad y en la misma dirección) se volverían cada vez más desordenadas y conducirían a un estado final. de uniformidad macroscópica y máximo desorden microscópico o el estado de máxima entropía (donde la uniformidad macroscópica corresponde a la obliteración de todos los potenciales o gradientes de campo). [24]La segunda ley, argumentó, era así simplemente el resultado del hecho de que en un mundo de partículas que chocan mecánicamente, los estados desordenados son los más probables. Debido a que hay muchos más estados desordenados posibles que ordenados, un sistema casi siempre se encontrará en el estado de desorden máximo, el macroestado con el mayor número de microestados accesibles, como un gas en una caja en equilibrio, o avanzando hacia eso. Un estado ordenado dinámicamente, uno con moléculas moviéndose "a la misma velocidad y en la misma dirección", concluyó Boltzmann, es entonces "el caso más improbable concebible ... una configuración de energía infinitamente improbable". [25]

Boltzmann logró la proeza de demostrar que la segunda ley de la termodinámica es solo un hecho estadístico. El desorden gradual de la energía es análogo al desorden de un mazo de cartas inicialmente ordenado bajo repetidos barajamientos, y así como las cartas finalmente volverán a su orden original si se barajan un número gigantesco de veces, el universo entero debe recuperar algún día. , por pura casualidad, el estado del que partió por primera vez. (Esta coda optimista de la idea del universo moribundo se vuelve algo silenciada cuando se intenta estimar la línea de tiempo que probablemente transcurrirá antes de que ocurra espontáneamente). [26]La tendencia al aumento de la entropía parece causar dificultades a los principiantes en termodinámica, pero es fácil de entender desde el punto de vista de la teoría de la probabilidad. Considere dos dados ordinarios , con ambos seis boca arriba. Después de agitar los dados, la posibilidad de encontrar estos dos seis boca arriba es pequeña (1 en 36); por tanto, se puede decir que el movimiento aleatorio (la agitación) de los dados, como las colisiones caóticas de moléculas debido a la energía térmica, hace que el estado menos probable cambie a uno más probable. Con millones de dados, como los millones de átomos involucrados en los cálculos termodinámicos, la probabilidad de que todos sean seis se vuelve tan infinitamente pequeña que el sistema debe pasar a uno de los estados más probables. [27]Sin embargo, matemáticamente las probabilidades de que todos los resultados de los dados no sean un par de seis es también tan difícil como que todos sean seis [ cita requerida ] , y dado que estadísticamente los datos tienden a equilibrarse, uno de cada 36 pares de dados será Suelen ser un par de seis, y las cartas -cuando se barajan- a veces presentarán un cierto orden de secuencia temporal incluso si en su totalidad el mazo estaba desordenado.

Obras [ editar ]

Theorie der Gase mit einatomigen Molekülen, deren Dimensionen gegen die mittlere weglänge Verschwinden , 1896
  • Verhältniss zur Fernwirkungstheorie, Specielle Fälle der Elektrostatik, stationären Strömung und Induction (en alemán). 2 . Leipzig: Johann Ambrosius Barth. 1893.
  • Theorie van der Waals, Gase mit Zusammengesetzten Molekülen, Gasdissociation, Schlussbemerkungen (en alemán). 2 . Leipzig: Johann Ambrosius Barth. 1896.
  • Theorie der Gase mit einatomigen Molekülen, deren Dimensionen gegen die mittlere weglänge Verschwinden (en alemán). 1 . Leipzig: Johann Ambrosius Barth. 1896.
  • Abteilung der Grundgleichungen für ruhende, homogene, isotrope Körper (en alemán). 1 . Leipzig: Johann Ambrosius Barth. 1908.
  • Vorlesungen über Gastheorie (en francés). París: Gauthier-Villars. 1922.

Premios y honores [ editar ]

En 1885 se convirtió en miembro de la Academia Imperial de Ciencias de Austria y en 1887 se convirtió en el presidente de la Universidad de Graz . Fue elegido miembro de la Real Academia Sueca de Ciencias en 1888 y miembro extranjero de la Royal Society (ForMemRS) en 1899 . [1] Numerosas cosas se nombran en su honor.

Ver también [ editar ]

  • Termodinámica
  • Cerebro de Boltzmann

Referencias [ editar ]

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  8. ^ https://www.boltzmann.com/ludwig-boltzmann/biography/
  9. ^ Jäger, Gustav; Nabl, Josef; Meyer, Stephan (abril de 1999). "Tres asistentes en Boltzmann". Síntesis . 119 (1–2): 69–84. doi : 10.1023 / A: 1005239104047 . S2CID 30499879 . Paul Ehrenfest (1880-1933) junto con Nernst, Arrhenius y Meitner deben ser considerados entre los estudiantes más destacados de Boltzmann. 
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  14. ↑ a b Nina Bausek y Stefan Washietl (13 de febrero de 2018). "Muertes trágicas en la ciencia: Ludwig Boltzmann - una mente en desorden" . Pila de papel . Consultado el 26 de abril de 2020 .
  15. ^ "¡Eureka! Los más grandes pensadores de la ciencia y sus avances clave", Hazel Muir, p.152, ISBN 1-78087-325-5 
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  17. ↑ Tras la muerte de Boltzmann, Friedrich ("Fritz") Hasenöhrl se convirtió en su sucesor en la cátedra de profesor de física en Viena.
  18. ^ Bronowski, Jacob (1974). "Mundo dentro del mundo" . El ascenso del hombre . Little Brown & Co. pág. 265. ISBN 978-0-316-10930-7.
  19. ^ Max Planck, p. 119.
  20. ↑ El concepto de entropía fue introducido por Rudolf Clausius en 1865. Fue el primero en enunciar la segunda ley de la termodinámica al decir que "la entropía siempre aumenta".
  21. ↑ Una alternativa es ladefinición de entropía de información introducida en 1948 por Claude Shannon . [1] Fue diseñado para su uso en la teoría de la comunicación, pero es aplicable en todas las áreas. Se reduce a la expresión de Boltzmann cuando todas las probabilidades son iguales, pero, por supuesto, puede usarse cuando no lo son. Su virtud es que rinde resultados inmediatos sin recurrir a factoriales ni a la aproximación de Stirling . Sin embargo, se encuentran fórmulas similares desde el trabajo de Boltzmann, y explícitamente en Gibbs (ver referencia).
  22. ^ Pauli, Wolfgang (1973). Mecánica estadística . Cambridge: MIT Press. ISBN 978-0-262-66035-8., pag. 21
  23. ^ Maxwell, J. (1871). Teoría del calor. Londres: Longmans, Green & Co.
  24. ^ Boltzmann, L. (1974). La segunda ley de la termodinámica. Populare Schriften, Ensayo 3, discurso en una reunión formal de la Academia Imperial de Ciencias, 29 de mayo de 1886, reimpreso en Ludwig Boltzmann, Física teórica y problema filosófico, SG Brush (Trad.). Boston: Reidel. (Trabajo original publicado en 1886)
  25. ^ Boltzmann, L. (1974). La segunda ley de la termodinámica. pag. 20
  26. ^ " Enciclopedia de Collier ", Volumen 19 Phyfe a Reni, "Física", por David Park, p. 15
  27. ^ "Enciclopedia de Collier", Volumen 22 Sylt a Uruguay, Termodinámica, por Leo Peters, p. 275

Lectura adicional [ editar ]

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  • John Blackmore (ed.), "Ludwig Boltzmann - His Later Life and Philosophy, 1900-1906, Book One: A Documentary History", Kluwer, 1995. ISBN 978-0-7923-3231-2 
  • John Blackmore, "Ludwig Boltzmann - His Later Life and Philosophy, 1900-1906, Libro dos: El filósofo", Kluwer, Dordrecht, Países Bajos, 1995. ISBN 978-0-7923-3464-4 
  • John Blackmore (ed.), "Ludwig Boltzmann - Troubled Genius as Philosopher", en Synthese, Volumen 119, Nos. 1 y 2, 1999, págs. 1-232.
  • Blundell, Stephen; Blundell, Katherine M. (2006). Conceptos de Física Térmica . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 29. ISBN 978-0-19-856769-1.
  • Boltzmann, Ludwig Boltzmann - Leben und Briefe , ed., Walter Hoeflechner, Akademische Druck- u. Verlagsanstalt. Graz, Oesterreich, 1994
  • Brush, Stephen G. (ed. Y tr.), Boltzmann, Conferencias sobre teoría de los gases , Berkeley, California: U. of California Press, 1964
  • Brush, Stephen G. (ed.), Kinetic Theory , Nueva York: Pergamon Press, 1965
  • Pincel, Stephen G. (1970). "Boltzmann" . En Charles Coulston Gillispie (ed.). Diccionario de biografía científica . Nueva York: Scribner. ISBN 978-0-684-16962-0.
  • Brush, Stephen G. (1986). El tipo de movimiento que llamamos calor: una historia de la teoría cinética de los gases . Amsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 978-0-7204-0370-1.
  • Cercignani, Carlo (1998). Ludwig Boltzmann: el hombre que confiaba en los átomos . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-850154-1.
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  • Planck, Max (1914). La teoría de la radiación de calor . P. Blakiston Son & Co.Traducción al inglés de Morton Masius de la 2ª ed. de Waermestrahlung . Reimpreso por Dover (1959) y (1991). ISBN 0-486-66811-8 
  • Sharp, Kim (2019). La entropía y el Tao de contar: una breve introducción a la mecánica estadística y la segunda ley de la termodinámica (SpringerBriefs in Physics). Springer Nature. ISBN 978-3030354596 
  • Tolman, Richard C. (1938). Los principios de la mecánica estadística . Prensa de la Universidad de Oxford.Reimpreso: Dover (1979). ISBN 0-486-63896-0 

Enlaces externos [ editar ]

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  • Ludwig Boltzmann en el Proyecto de genealogía matemática
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  • Ludwig Boltzmann en Find a Grave