Se pueden discutir varios tipos de estabilidad para las soluciones de ecuaciones diferenciales o ecuaciones en diferencias que describen sistemas dinámicos . El tipo más importante es el relativo a la estabilidad de las soluciones cercanas a un punto de equilibrio. Esto puede ser discutido por la teoría de Aleksandr Lyapunov . En términos simples, si las soluciones que comienzan cerca de un punto de equilibrio quedate cerca para siempre, entonces es estable Lyapunov . Más fuertemente, si ¿Es estable Lyapunov y todas las soluciones que comienzan cerca converger a , luego es asintóticamente estable . La noción de estabilidad exponencial garantiza una tasa mínima de desintegración, es decir, una estimación de la rapidez con la que convergen las soluciones. La idea de estabilidad de Lyapunov puede extenderse a variedades de dimensión infinita, donde se conoce como estabilidad estructural , que se refiere al comportamiento de soluciones diferentes pero "cercanas" a ecuaciones diferenciales. La estabilidad de entrada a estado (ISS) aplica las nociones de Lyapunov a los sistemas con entradas.
En el problema restringido de los tres cuerpos , las órbitas de Lyapunov son trayectorias curvas alrededor de un punto lagrangiano que se encuentran completamente en el plano de los dos cuerpos primarios, en contraste con las órbitas de halo y las órbitas de Lissajous , que también se mueven por encima y por debajo del plano.
Historia
La estabilidad de Lyapunov lleva el nombre de Aleksandr Mikhailovich Lyapunov , un matemático ruso que defendió la tesis El problema general de la estabilidad del movimiento en la Universidad de Kharkov en 1892. [1] AM Lyapunov fue un pionero en el intento exitoso de desarrollar el enfoque global para el análisis de la estabilidad de los sistemas dinámicos no lineales en comparación con el método local ampliamente difundido de linealizarlos sobre los puntos de equilibrio. Su trabajo, inicialmente publicado en ruso y luego traducido al francés, recibió poca atención durante muchos años. La teoría matemática de la estabilidad del movimiento, fundada por AM Lyapunov, anticipó considerablemente el momento de su implementación en ciencia y tecnología. Además, el propio Lyapunov no hizo una aplicación en este campo, ya que su propio interés estaba en la estabilidad de masas fluidas en rotación con aplicación astronómica. No tenía estudiantes de doctorado que siguieran la investigación en el campo de la estabilidad y su propio destino fue terriblemente trágico debido a la revolución rusa de 1917 [ cita requerida ] . Durante varias décadas, la teoría de la estabilidad se hundió en el olvido total. El matemático y mecánico ruso-soviético Nikolay Gur'yevich Chetaev, que trabajaba en el Instituto de Aviación de Kazán en la década de 1930, fue el primero en darse cuenta de la increíble magnitud del descubrimiento realizado por AM Lyapunov. En realidad, su figura como gran científico es comparable a la de AM Lyapunov. La contribución a la teoría hecha por NG Chetaev [2] fue tan significativa que muchos matemáticos, físicos e ingenieros lo consideran el sucesor directo de Lyapunov y el siguiente descendiente científico en la creación y desarrollo de la teoría matemática de la estabilidad.
El interés en él se disparó repentinamente durante el período de la Guerra Fría cuando se descubrió que el llamado "Segundo Método de Lyapunov" (ver más abajo) era aplicable a la estabilidad de los sistemas de guía aeroespacial que típicamente contienen fuertes no linealidades que no se pueden tratar con otros métodos. Un gran número de publicaciones aparecieron entonces y desde entonces en la literatura de sistemas y control. [3] [4] [5] [6] [7] Más recientemente, el concepto del exponente de Lyapunov (relacionado con el primer método de Lyapunov para discutir la estabilidad) ha recibido un gran interés en relación con la teoría del caos . Los métodos de estabilidad de Lyapunov también se han aplicado para encontrar soluciones de equilibrio en problemas de asignación de tráfico. [8]
Definición de sistemas de tiempo continuo
Considere un sistema dinámico no lineal autónomo
- ,
dónde denota el vector de estado del sistema , un conjunto abierto que contiene el origen, y continuo en . Suponer tiene un equilibrio en así que eso luego
- Se dice que este equilibrio es estable de Lyapunov , si, para cada, existe un tal que, si , luego para cada tenemos .
- Se dice que el equilibrio del sistema anterior es asintóticamente estable si es Lyapunov estable y existe tal que si , luego .
- Se dice que el equilibrio del sistema anterior es exponencialmente estable si es asintóticamente estable y existen tal que si , luego , para todos .
Conceptualmente, los significados de los términos anteriores son los siguientes:
- La estabilidad de Lyapunov de un equilibrio significa que las soluciones que comienzan "lo suficientemente cerca" del equilibrio (dentro de una distancia de él) permanecer "lo suficientemente cerca" para siempre (a una distancia de eso). Tenga en cuenta que esto debe ser cierto para cualquier que uno puede querer elegir.
- La estabilidad asintótica significa que las soluciones que comienzan lo suficientemente cerca no solo permanecen lo suficientemente cerca sino que finalmente convergen hacia el equilibrio.
- La estabilidad exponencial significa que las soluciones no solo convergen, sino que, de hecho, convergen más rápido o al menos tan rápido como una tasa conocida en particular. .
La trayectoria x es (localmente) atractiva si
(dónde denota la salida del sistema ) parapara todas las trayectorias que comienzan lo suficientemente cerca y globalmente atractivas si esta propiedad se mantiene para todas las trayectorias.
Es decir, si x pertenece al interior de su variedad estable , es asintóticamente estable si es atractivo y estable. (Hay ejemplos que muestran que la atractividad no implica estabilidad asintótica. Tales ejemplos son fáciles de crear usando conexiones homoclínicas ).
Si el jacobiano del sistema dinámico en equilibrio resulta ser una matriz de estabilidad (es decir, si la parte real de cada valor propio es estrictamente negativa), entonces el equilibrio es asintóticamente estable.
Sistema en desviaciones
En lugar de considerar una solución arbitraria se puede reducir el problema al estudio de la solución cero. Para hacer esto, es necesario el siguiente cambio de variables.
- .
Este sistema tiene solución cero garantizada y se denomina "sistema en desviaciones". La mayoría de los resultados se formulan para tales sistemas.
El segundo método de Lyapunov para la estabilidad
Lyapunov, en su trabajo original de 1892, propuso dos métodos para demostrar la estabilidad. [1] El primer método desarrolló la solución en una serie que luego se demostró convergente dentro de los límites. El segundo método, que ahora se conoce como el criterio de estabilidad de Lyapunov o el método directo, hace uso de una función de Lyapunov V (x) que tiene una analogía con la función potencial de la dinámica clásica. Se introduce de la siguiente manera para un sistema tener un punto de equilibrio en . Considere una función tal que
- si y solo si
- si y solo si
- para todos los valores de . Nota: para estabilidad asintótica, por se requiere.
Entonces V (x) se llama función de Lyapunov y el sistema es estable en el sentido de Lyapunov (tenga en cuenta quese requiere; de lo contrario, por ejemplo "probaría" que es localmente estable). Se requiere una condición adicional llamada "idoneidad" o "ilimitación radial" para concluir la estabilidad global. La estabilidad asintótica global (GAS) sigue de manera similar.
Es más fácil visualizar este método de análisis pensando en un sistema físico (por ejemplo, resorte y masa vibrantes) y considerando la energía de dicho sistema. Si el sistema pierde energía con el tiempo y la energía nunca se restablece, finalmente el sistema debe detenerse y alcanzar un estado de reposo final. Este estado final se llama atractor . Sin embargo, puede resultar difícil encontrar una función que proporcione la energía precisa de un sistema físico, y para los sistemas matemáticos abstractos, los sistemas económicos o los sistemas biológicos, el concepto de energía puede no ser aplicable.
La comprensión de Lyapunov fue que la estabilidad se puede probar sin requerir el conocimiento de la energía física verdadera, siempre que se pueda encontrar una función de Lyapunov que satisfaga las restricciones anteriores.
Definición de sistemas de tiempo discreto
La definición de sistemas de tiempo discreto es casi idéntica a la de los sistemas de tiempo continuo. La siguiente definición proporciona esto, utilizando un lenguaje alternativo comúnmente utilizado en textos más matemáticos.
Sea ( X , d ) un espacio métrico y f : X → X una función continua . Se dice que un punto x en X es estable de Lyapunov , si,
Decimos que x es asintóticamente estable si pertenece al interior de su conjunto estable , es decir , si,
Estabilidad para modelos de espacio de estado lineal
Un modelo de espacio de estado lineal
- ,
dónde es una matriz finita, es asintóticamente estable (de hecho, exponencialmente estable ) si todas las partes reales de los valores propios deson negativos. Esta condición es equivalente a la siguiente: [9]
es definida negativa para alguna matriz definida positiva. (La función de Lyapunov relevante es.)
En consecuencia, un modelo de espacio de estado lineal discreto en el tiempo
es asintóticamente estable (de hecho, exponencialmente estable) si todos los valores propios de tienen un módulo menor que uno.
Esta última condición se ha generalizado a los sistemas conmutados: un sistema de tiempo discreto conmutado lineal (gobernado por un conjunto de matrices )
es asintóticamente estable (de hecho, exponencialmente estable) si el radio espectral conjunto del conjunto es más pequeño que uno.
Estabilidad para sistemas con insumos
Un sistema con entradas (o controles) tiene la forma
donde la entrada (generalmente dependiente del tiempo) u (t) puede verse como una función de control , entrada externa , estímulo , perturbación o fuerza . Se ha demostrado [10] que cerca de un punto de equilibrio estable en Lyapunov, el sistema permanece estable bajo pequeñas perturbaciones. Para perturbaciones de entrada mayores, el estudio de tales sistemas es objeto de la teoría de control y se aplica en la ingeniería de control . Para los sistemas con entradas, se debe cuantificar el efecto de las entradas sobre la estabilidad del sistema. Los dos enfoques principales de este análisis son la estabilidad BIBO (para sistemas lineales ) y la estabilidad de entrada a estado (ISS) (para sistemas no lineales )
Ejemplo
Considere una ecuación, en la que, en comparación con la ecuación del oscilador de Van der Pol , el término de fricción cambia:
Aquí hay un buen ejemplo de un intento fallido de encontrar una función de Lyapunov que demuestre estabilidad.
Dejar
para que el sistema correspondiente sea
- El equilibrio es
Elijamos como función de Lyapunov
lo cual es claramente positivo definido . Su derivada es
Parece que si el parámetro es positivo, la estabilidad es asintótica para Pero esto está mal, ya que no depende de , y será 0 en todas partes del eje. El equilibrio es estable de Lyapunov.
Lema de Barbalat y estabilidad de sistemas variables en el tiempo
Suponga que f es función del tiempo únicamente.
- Teniendo no implica que tiene un límite en . Por ejemplo,.
- Teniendo acercándose a un límite como no implica que . Por ejemplo,.
- Teniendo delimitado inferior y decreciente () implica que converge hasta un límite. Pero no dice si o no como .
El lema de Barbalat dice:
- Si tiene un límite finito como y si es uniformemente continuo (o está acotado), entonces como . [11]
Una versión alternativa es la siguiente:
- Dejar y . Si y , luego como [12]
En la siguiente forma, el Lema es verdadero también en el caso de valor vectorial:
- Dejar ser una función uniformemente continua con valores en un espacio de Banach y asumir que tiene un límite finito como . Luego como . [13]
El siguiente ejemplo está tomado de la página 125 del libro Applied Nonlinear Control de Slotine y Li .
Considere un sistema no autónomo
Esto no es autónomo porque la entrada es una función del tiempo. Suponga que la entrada está ligado.
Tomando da
Esto dice que por las dos primeras condiciones y por lo tanto y están delimitados. Pero no dice nada sobre la convergencia dea cero. Además, el teorema del conjunto invariante no se puede aplicar porque la dinámica no es autónoma.
Usando el lema de Barbalat:
- .
Esto está limitado porque , y están delimitados. Esto implica como y por lo tanto . Esto prueba que el error converge.
Ver también
- Función de Lyapunov
- Teoría de la perturbación
- Principio de invariancia de LaSalle
- Conjetura de Markus-Yamabe
Referencias
- ^ a b Lyapunov, AM El problema general de la estabilidad del movimiento (en ruso), Tesis doctoral, Univ. Kharkov 1892 Traducciones al inglés: (1) Stability of Motion , Academic Press, Nueva York y Londres, 1966 (2) The General Problem of the Stability of Motion , ( traducción de AT Fuller) Taylor & Francis, Londres 1992. Se incluye una biografía de Smirnov y una extensa bibliografía del trabajo de Lyapunov.
- ^ Chetaev, NG Sobre trayectorias estables de dinámica, Kazan Univ Sci Notes, vol.4 no.1 1936; La estabilidad del movimiento, publicado originalmente en ruso en 1946 por ОГИЗ. Гос. изд-во технико-теорет. лит., Москва-Ленинград. Traducido por Morton Nadler, Oxford, 1961, 200 páginas.
- ↑ Letov, AM (1955). Устойчивость нелинейных регулируемых систем [ Estabilidad de los sistemas de control no lineales ] (en ruso). Moscú: Gostekhizdat.Inglés tr. Princeton 1961
- ^ Kalman, RE ; Bertram, J. F (1960). "Análisis y diseño de sistemas de control a través del" segundo método "de Lyapunov: I — Sistemas de tiempo continuo". Revista de Ingeniería Básica . 82 (2): 371–393. doi : 10.1115 / 1.3662604 .
- ^ LaSalle, JP ; Lefschetz, S. (1961). Estabilidad por el segundo método de Lyapunov con aplicaciones . Nueva York: Academic Press.
- ^ Parks, PC (1962). "El método de Liapunov en la teoría del control automático". Control . I de noviembre de 1962 II de diciembre de 1962.
- ^ Kalman, RE (1963). "Lyapunov funciona para el problema de Lur'e en control automático" . Proc Natl Acad Sci USA . 49 (2): 201–205. Código Bibliográfico : 1963PNAS ... 49..201K . doi : 10.1073 / pnas.49.2.201 . PMC 299777 . PMID 16591048 .
- ^ Smith, MJ; Wisten, MB (1995). "Un modelo de asignación de tráfico continuo del día a día y la existencia de un equilibrio dinámico continuo de usuarios". Anales de investigación operativa . 60 (1): 59–79. doi : 10.1007 / BF02031940 . S2CID 14034490 .
- ^ Goh, BS (1977). "Estabilidad global en sistemas de muchas especies". El naturalista estadounidense . 111 (977): 135-143. doi : 10.1086 / 283144 . S2CID 84826590 .
- ^ Teoría de la estabilidad del movimiento de Malkin IG, Moscú 1952 (Gostekhizdat), capítulo II, párrafo 4 (ruso) Engl. transl, Oficina de Servicios de Idiomas, Washington AEC -tr-3352; originalmente Sobre la estabilidad bajo perturbaciones que actúan constantemente Prikl Mat 1944, vol. 8 no 3 241-245 (ruso); Amer. Matemáticas. Soc. transl. No. 8
- ^ I. Barbălat, Systèmes d'équations différentielles d'oscillations non Linéaires, Rev. Math. Puras Appl. 4 (1959) 267–270, pág. 269.
- ^ B. Farkas et al., Variaciones sobre el lema de Barbălat, Amer. Matemáticas. Mensual (2016) 128, no. 8, 825-830, DOI: 10.4169 / amer.math.monthly.123.8.825, pág. 827.
- ^ B. Farkas et al., Variaciones sobre el lema de Barbălat, Amer. Matemáticas. Mensual (2016) 128, no. 8, 825-830, DOI: 10.4169 / amer.math.monthly.123.8.825, pág. 826.
Otras lecturas
- Bhatia, Nam Parshad; Szegő, Giorgio P. (2002). Teoría de la estabilidad de los sistemas dinámicos . Saltador. ISBN 978-3-540-42748-3.
- Chervin, Robert (1971). Estabilidad de Lyapunov y control de retroalimentación de sistemas de plasma de dos corrientes (PhD). Universidad de Colombia.
- Gandolfo, Giancarlo (1996). Dinámica económica (Tercera ed.). Berlín: Springer. págs. 407–428. ISBN 978-3-540-60988-9.
- Parks, PC (1992). "Teoría de la estabilidad de AM Lyapunov: 100 años después". Revista IMA de Información y Control Matemático . 9 (4): 275-303. doi : 10.1093 / imamci / 9.4.275 .
- Slotine, Jean-Jacques E .; Weiping Li (1991). Control no lineal aplicado . Nueva Jersey: Prentice Hall.
- Teschl, G. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8328-0.
- Wiggins, S. (2003). Introducción a los sistemas dinámicos no lineales aplicados y al caos (2ª ed.). Nueva York: Springer Verlag . ISBN 978-0-387-00177-7.
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