El potencial del vector magnético , A , es la cantidad vectorial en el electromagnetismo clásico definida de modo que su rizo sea igual al campo magnético:. Junto con el potencial eléctrico φ , el potencial vector magnético se puede utilizar para especificar el campo eléctrico E también. Por lo tanto, muchas ecuaciones del electromagnetismo se puede escribir ya sea en términos de los campos E y B , o lo que es equivalente, en términos de los potenciales phi y A . En teorías más avanzadas, como la mecánica cuántica , la mayoría de las ecuaciones utilizan potenciales en lugar de campos.
Históricamente, Lord Kelvin introdujo por primera vez el potencial vectorial en 1851, junto con la fórmula que lo relacionaba con el campo magnético. [1]
Potencial de vector magnético
El potencial vectorial magnético A es un campo vectorial , definido junto con el potencial eléctrico ϕ (un campo escalar ) por las ecuaciones: [2]
donde B es el campo magnético y E es el campo eléctrico . En magnetostática donde no hay distribución de carga variable en el tiempo , solo se necesita la primera ecuación. (En el contexto de la electrodinámica , los términos potencial vectorial y potencial escalar se utilizan para el potencial vectorial magnético y el potencial eléctrico , respectivamente. En matemáticas, el potencial vectorial y el potencial escalar se pueden generalizar a dimensiones superiores).
Si los campos eléctricos y magnéticos se definen como antes a partir de potenciales, automáticamente satisfacen dos de las ecuaciones de Maxwell : la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Faraday . Por ejemplo, si A es continuo y está bien definido en todas partes, entonces se garantiza que no producirá monopolos magnéticos . (En la teoría matemática de los monopolos magnéticos, A puede ser indefinido o de valor múltiple en algunos lugares; ver monopolo magnético para más detalles).
Comenzando con las definiciones anteriores y recordando que la curvatura del gradiente es cero:
Alternativamente, la existencia de A y ϕ está garantizada por estas dos leyes usando el teorema de Helmholtz . Por ejemplo, ya que el campo magnético es divergencia exento (ley de Gauss para el magnetismo, es decir, ∇ ⋅ B = 0 ), A siempre existe que satisface la definición anterior.
El potencial vectorial A se utiliza al estudiar el Lagrangiano en mecánica clásica y en mecánica cuántica (ver ecuación de Schrödinger para partículas cargadas , ecuación de Dirac , efecto Aharonov-Bohm ).
En el sistema SI , las unidades de A son V · s · m −1 y son las mismas que las del momento por unidad de carga , o fuerza por unidad de corriente . En el acoplamiento mínimo , q A se denomina impulso potencial y es parte del impulso canónico .
La integral de línea de A sobre un lazo cerrado, Γ, es igual al flujo magnético , Φ B , a través de una superficie, S , que encierra:
Por tanto, las unidades de A también equivalen a Weber por metro . La ecuación anterior es útil en la cuantificación de flujo de bucles superconductores .
Aunque el campo magnético B es un pseudovector (también llamado vector axial ), el potencial vectorial A es un vector polar . [3] Esto significa que si la regla de la derecha para productos cruzados fuera reemplazada por una regla de la izquierda, pero sin cambiar ninguna otra ecuación o definición, entonces B cambiaría de signo, pero A no cambiaría. Este es un ejemplo de un teorema general: el rizo de un vector polar es un pseudovector y viceversa. [3]
Opciones de calibre
La definición anterior no define el potencial del vector magnético de manera única porque, por definición, podemos agregar arbitrariamente componentes sin rizos al potencial magnético sin cambiar el campo magnético observado. Por lo tanto, hay un grado de libertad disponibles al momento de elegir una . Esta condición se conoce como invariancia de calibre .
Ecuaciones de Maxwell en términos de potencial vectorial
Usando la definición anterior de los potenciales y su aplicación a las otras dos ecuaciones de Maxwell (los que no están satisfechos automáticamente) da como resultado una ecuación diferencial complicado que puede ser simplificado mediante el medidor de Lorenz donde A se elige para satisfacer:
- [2]
Con el medidor de Lorenz, las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir de forma compacta en términos del potencial del vector magnético A y del potencial escalar eléctrico ϕ : [2]
En otros calibres , las ecuaciones son diferentes. A continuación se muestra una notación diferente para escribir estas mismas ecuaciones (usando cuatro vectores ).
Cálculo de potenciales a partir de distribuciones de fuentes.
Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en el medidor de Lorenz (ver Feynman [2] y Jackson [4] ) con la condición de límite de que ambos potenciales van a cero lo suficientemente rápido cuando se acercan al infinito se denominan potenciales retardados , que son el potencial vectorial magnético A ( r , t ) y el potencial escalar eléctrico ϕ ( r , t ) debido a una distribución de corriente de densidad de corriente J ( r ′, t ′) , densidad de carga ρ ( r ′, t ′) y volumen Ω, dentro de los cuales ρ y J son distintos de cero al menos a veces y en algunos lugares):
donde los campos en el vector de posición r y el tiempo t se calculan a partir de fuentes en la posición distante r ′ en un tiempo t ′ anterior. La ubicación r ′ es un punto de origen en la distribución de carga o corriente (también la variable de integración, dentro del volumen Ω ). El tiempo anterior t ′ se denomina tiempo retardado y se calcula como
- .
Hay algunas cosas notables sobre A y ϕ calculadas de esta manera:
- La condición del medidor de Lorenz : Está satisfecho.
- La posición de r , el punto en el que se encuentran los valores de ϕ y A , solo entra en la ecuación como parte de la distancia escalar de r ′ a r . La dirección de r ′ a r no entra en la ecuación. Lo único que importa acerca de un punto de origen es qué tan lejos está.
- El integrando usa tiempo retardado , t ′. Esto simplemente refleja el hecho de que los cambios en las fuentes se propagan a la velocidad de la luz. Por lo tanto la carga y densidades de corriente que afectan el potencial eléctrico y magnético en r y t , de la posición remota r 'también deben ser en algún momento anterior t '.
- La ecuación de A es una ecuación vectorial. En coordenadas cartesianas, la ecuación se divide en tres ecuaciones escalares: [5]
- De esta forma, es fácil ver que la componente de A en una dirección dada depende solo de las componentes de J que están en la misma dirección. Si la corriente se transporta por un cable recto largo, A apunta en la misma dirección que el cable.
En otros calibres, la fórmula para A y ϕ es diferente; por ejemplo, consulte el medidor de Coulomb para ver otra posibilidad.
Representación del campo A
Consulte Feynman [6] para ver la descripción del campo A alrededor de un solenoide largo y delgado .
Desde
asumiendo condiciones cuasi-estáticas, es decir
las líneas y contornos de A se relacionan con B como las líneas y contornos de B se relacionan con j . Por lo tanto, una representación del campo A alrededor de un bucle de flujo B (como se produciría en un inductor toroidal ) es cualitativamente igual que el campo B alrededor de un bucle de corriente.
La figura de la derecha es la representación de un artista del campo A. Las líneas más gruesas indican trayectorias de mayor intensidad media (las trayectorias más cortas tienen mayor intensidad, de modo que la integral de trayectoria es la misma). Las líneas se dibujan a (estéticamente) impartir el aspecto general de la A -field.
El dibujo asume tácitamente ∇ ⋅ A = 0 , cierto bajo uno de los siguientes supuestos:
- el calibre de Coulomb se asume
- el medidor de Lorenz se asume y no hay una distribución de la carga, ρ = 0
- el medidor de Lorenz se supone y se supone frecuencia cero
- el medidor de Lorenz se asume y un no-cero, pero suficientemente baja frecuencia a la negligencia se supone
Electromagnético de cuatro potenciales
En el contexto de la relatividad especial , es natural unir el potencial del vector magnético junto con el potencial eléctrico (escalar) en el potencial electromagnético , también llamado cuatro potenciales .
Una motivación para hacerlo es que el cuatro potencial es un cuatro vector matemático . Por lo tanto, utilizando reglas estándar de transformación de cuatro vectores, si los potenciales eléctricos y magnéticos se conocen en un marco de referencia inercial, pueden calcularse simplemente en cualquier otro marco de referencia inercial.
Otra motivación relacionada es que el contenido del electromagnetismo clásico se puede escribir de una forma concisa y conveniente utilizando los cuatro potenciales electromagnéticos, especialmente cuando se utiliza el medidor de Lorenz . En particular, en notación de índice abstracto , el conjunto de ecuaciones de Maxwell (en el calibre de Lorenz) se puede escribir (en unidades gaussianas ) de la siguiente manera:
donde □ es el d'Alembertian y J es la corriente de cuatro . La primera ecuación es la condición de calibre de Lorenz, mientras que la segunda contiene las ecuaciones de Maxwell. El cuatro potencial también juega un papel muy importante en la electrodinámica cuántica .
Ver también
- Potencial escalar magnético
- Efecto Aharonov-Bohm
- Campo de gluones
Notas
- ^ Yang, ChenNing (2014). "Los orígenes conceptuales de las ecuaciones de Maxwell y la teoría de gauge". Física hoy . 67 (11): 45–51. Código bibliográfico : 2014PhT .... 67k..45Y . doi : 10.1063 / PT.3.2585 .
- ↑ a b c d Feynman (1964 , págs. 15-15)
- ↑ a b Tensores y pseudotensores, notas de la conferencia de Richard Fitzpatrick
- ↑ Jackson (1999 , p. 246)
- ↑ Kraus (1984 , p. 189)
- ↑ Feynman (1964 , p. 11, cpt 15 )
Referencias
- Duffin, WJ (1990). Electricidad y magnetismo, cuarta edición . McGraw-Hill.
- Feynman, Richard P; Leighton, Robert B; Sands, Matthew (1964). Las Conferencias Feynman sobre Física Volumen 2 . Addison-Wesley. ISBN 0-201-02117-X.
- Jackson, John David (1999), Electrodinámica clásica (3.a ed.), John Wiley & Sons , ISBN 0-471-30932-X
- Kraus, John D. (1984), Electromagnetics (3.a ed.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-035423-5
enlaces externos
- Medios relacionados con el potencial del vector magnético en Wikimedia Commons