El sesgo de Malmquist es un efecto en la astronomía observacional que conduce a la detección preferencial de objetos intrínsecamente brillantes. Fue descrito por primera vez en 1922 por el astrónomo sueco Gunnar Malmquist (1893-1982), quien luego desarrolló en gran medida este trabajo en 1925. [1] [2] En estadística, este sesgo se conoce como sesgo de selección o censura de datos . Afecta a los resultados en una encuesta con brillo limitado , donde no se pueden incluir estrellas por debajo de un cierto brillo aparente. Desde estrellas y galaxias observadasaparecen más tenues cuando están más lejos, el brillo que se mide disminuirá con la distancia hasta que su brillo caiga por debajo del umbral de observación. Los objetos que son más luminosos , o intrínsecamente más brillantes, se pueden observar a una mayor distancia, creando una falsa tendencia de aumento del brillo intrínseco y otras cantidades relacionadas con la distancia. Este efecto ha dado lugar a muchas afirmaciones falsas en el campo de la astronomía. Corregir adecuadamente estos efectos se ha convertido en un área de gran enfoque.
Entendiendo el sesgo
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Magnitudes y brillo
En la vida cotidiana, es fácil ver que la luz se atenúa a medida que se aleja. Esto se puede ver con los faros de los automóviles, velas, linternas y muchos otros objetos iluminados. Esta atenuación sigue la ley del cuadrado inverso , que establece que el brillo de un objeto disminuye a 1 ⁄ r 2 , donde r es la distancia entre el observador y el objeto.
Starlight también sigue la ley del cuadrado inverso. Los rayos de luz salen de la estrella en cantidades iguales en todas direcciones. Los rayos de luz crean una esfera de luz que rodea a la estrella. A medida que pasa el tiempo, la esfera crece a medida que los rayos de luz viajan a través del espacio alejándose de la estrella. Mientras la esfera de luz crece, el número de rayos de luz permanece igual. Entonces, la cantidad de luz por unidad de superficie de la esfera (llamado flujo en astronomía) disminuye con la distancia y, por lo tanto, con el tiempo. Al observar una estrella, solo se pueden detectar los rayos de luz que se encuentran en el área dada que se está viendo. Es por eso que una estrella parece más tenue cuanto más lejos está.
Si hay dos estrellas con el mismo brillo intrínseco (llamado luminosidad en astronomía), cada una a una distancia diferente, la estrella más cercana aparecerá más brillante mientras que la más lejana aparecerá más tenue. En astronomía, el brillo aparente de una estrella, o cualquier otro objeto luminoso, se llama magnitud aparente . La magnitud aparente depende del brillo intrínseco (también llamado magnitud absoluta ) del objeto y su distancia.
Si todas las estrellas tuvieran la misma luminosidad, la distancia de la Tierra a una estrella en particular podría determinarse fácilmente. Sin embargo, las estrellas tienen una amplia gama de luminosidades. Por tanto, puede resultar difícil distinguir una estrella muy luminosa que está muy lejos de una estrella menos luminosa que está más cerca. Por eso es tan difícil calcular la distancia a los objetos astronómicos.
Fuente del sesgo de Malmquist
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Por lo general, cuando se mira un área del cielo llena de estrellas, solo se pueden ver estrellas que son más brillantes que una magnitud aparente límite . Como se discutió anteriormente, se verán las estrellas muy luminosas que están más lejos, así como las estrellas luminosas y débiles que están más cerca. A cierta distancia de la Tierra, parecerá haber más objetos luminosos que objetos débiles. Sin embargo, hay muchas más estrellas tenues: [3] simplemente no se pueden ver porque son muy tenues. El sesgo hacia las estrellas luminosas al observar un parche de cielo afecta los cálculos de la magnitud absoluta promedio y la distancia promedio a un grupo de estrellas. Debido a las estrellas luminosas que están a una distancia mayor, parecerá que nuestra muestra de estrellas está más lejos de lo que realmente está, y que cada estrella es intrínsecamente más brillante de lo que realmente es. Este efecto se conoce como sesgo de Malmquist. [1]
Al estudiar una muestra de objetos luminosos, ya sean estrellas o galaxias , es importante corregir el sesgo hacia los objetos más luminosos. Hay muchos métodos diferentes que se pueden utilizar para corregir el sesgo de Malmquist, como se explica a continuación.
El sesgo de Malmquist no se limita a las luminosidades. Afecta a cualquier cantidad de observación cuya detectabilidad disminuya con la distancia. [4]
Métodos de corrección
La situación ideal es evitar este sesgo al ingresar a una encuesta de datos . Sin embargo, los levantamientos de magnitud limitada son los más simples de realizar, y otros métodos son difíciles de armar, con sus propias incertidumbres involucradas, y pueden ser imposibles para las primeras observaciones de objetos. Como tal, existen muchos métodos diferentes para intentar corregir los datos, eliminando el sesgo y permitiendo que la encuesta sea utilizable. Los métodos se presentan en orden de dificultad creciente, pero también aumentan la precisión y la eficacia.
Limitando la muestra
El método de corrección más simple es usar solo las partes no sesgadas del conjunto de datos, si las hay, y desechar el resto de los datos. [5] Dependiendo de la magnitud límite seleccionada, puede haber un rango de distancias en el conjunto de datos sobre el cual se podrían ver todos los objetos de cualquier magnitud absoluta posible . Como tal, este pequeño subconjunto de datos debería estar libre del sesgo de Malmquist. Esto se logra fácilmente cortando los datos en el borde de donde los objetos de menor magnitud absoluta alcanzarían la magnitud límite . Desafortunadamente, este método desperdiciaría una gran cantidad de buenos datos y limitaría el análisis solo a los objetos cercanos, lo que lo haría menos deseable. (Mirando la figura de la derecha, solo la primera quinta parte de los datos en la distancia podría mantenerse antes de que un punto de datos se pierda debido al sesgo). Por supuesto, este método asume que las distancias se conocen con una precisión relativamente buena, lo que, como se mencionó, antes, es un proceso difícil en astronomía.
Corrección tradicional
La primera solución, propuesta por Malmquist en su obra de 1922, fue corregir la magnitud absoluta media calculada () de la muestra de regreso a la verdadera magnitud absoluta promedio ( M 0 ). [1] La corrección sería
Para calcular la corrección de sesgo , Malmquist y otros que siguen este método siguen seis supuestos principales: [6]
- No existe absorción interestelar , o que la materia en el espacio entre las estrellas (como el gas y el polvo) no está afectando la luz y absorbiendo partes de ella. Esto supone que el brillo simplemente sigue la ley del cuadrado inverso , mencionada anteriormente.
- La función de luminosidad (Φ) es independiente de la distancia ( r ). Básicamente, esto solo significa que el universo es el mismo en todas partes, y que las estrellas estarán distribuidas de manera similar en otro lugar como lo están aquí.
- Para un área determinada del cielo, o más específicamente la esfera celeste , la densidad espacial de las estrellas ( ρ ) depende solo de la distancia. Esto supone que hay el mismo número de estrellas en cada dirección, en promedio.
- Hay completitud, lo que significa que la muestra está completa y no se pierde nada, hasta un límite de magnitud aparente ( m lim ).
- La función de luminosidad se puede aproximar como una función gaussiana , centrada en una magnitud absoluta media intrínseca M 0 .
- Las estrellas son del mismo tipo espectral , con magnitud absoluta media intrínseca M 0 y dispersión σ .
Obviamente, esta es una situación muy ideal, siendo el supuesto final particularmente preocupante, pero permite una corrección aproximada de forma simple. Al integrar la función de luminosidad en todas las distancias y todas las magnitudes más brillantes que m lim ,
- [1] [6]
donde A (m lim ) es el número total de estrellas más brillantes que m lim . Si se puede suponer que la distribución espacial de las estrellas es homogénea, esta relación se simplifica aún más, a la forma generalmente aceptada de
- [1] [6]
Correcciones de observación de múltiples bandas
El método tradicional asume que las mediciones de magnitud aparente y las mediciones a partir de las cuales se determina la distancia son de la misma banda, o rango predefinido, de longitudes de onda (por ejemplo, la banda H , un rango de longitudes de onda infrarrojas de aproximadamente 1300-2000 nanómetros ), y esto conduce a la forma de corrección de cσ 2 , donde c es una constante. Desafortunadamente, este rara vez es el caso, ya que se seleccionan muchas muestras de objetos de una banda de longitud de onda, pero la distancia se calcula a partir de otra. Por ejemplo, los astrónomos frecuentemente seleccionan galaxias de catálogos de banda B, que son los más completos, y usan estas magnitudes de banda B, pero las distancias para las galaxias se calculan usando la relación Tully-Fisher y la banda H. Cuando esto sucede, el cuadrado de la varianza se reemplaza por la covarianza entre la dispersión en las mediciones de distancia y en la propiedad de selección de galaxias (por ejemplo, magnitud). [7]
Ponderación de volumen
Otro método de corrección bastante sencillo es utilizar una media ponderada para contabilizar adecuadamente las contribuciones relativas en cada magnitud. Dado que los objetos en diferentes magnitudes absolutas se pueden ver a diferentes distancias, la contribución de cada punto a la magnitud absoluta promedio oa la función de luminosidad se puede ponderar por 1 / V máx , donde V máx es el volumen máximo sobre el cual los objetos podrían tener fue visto. Los objetos más brillantes (es decir, los objetos con magnitudes absolutas más pequeñas ) tendrán un volumen mayor sobre el que podrían haber sido detectados, antes de caer por debajo del umbral y, por lo tanto, recibirán menos peso a través de este método, ya que estos objetos brillantes se muestrearán más completamente. . [8] El volumen máximo se puede aproximar como una esfera con radio calculado a partir del módulo de distancia , utilizando la magnitud absoluta del objeto y la magnitud aparente límite .
Sin embargo, existen dos complicaciones importantes para calcular la V máx . Primero está la integridad del área cubierta en el cielo, que es el porcentaje del cielo del que se tomaron los objetos. [8] Un estudio de cielo completo recolectaría objetos de toda la esfera, 4π estereorradianes , del cielo, pero esto generalmente no es práctico, tanto por las limitaciones de tiempo como por las limitaciones geográficas (los telescopios terrestres solo pueden ver una cantidad limitada de cielo debido a que la Tierra estar en el camino). En cambio, los astrónomos generalmente mirarán un pequeño parche o área del cielo y luego inferirán distribuciones universales asumiendo que el espacio es isotrópico , que generalmente es el mismo en todas las direcciones, o sigue una distribución conocida, como la que se verá. más estrellas mirando hacia el centro de una galaxia que mirando directamente hacia otro lado. Generalmente, el volumen se puede reducir simplemente por el porcentaje realmente visto, dando el número correcto de objetos a la relación de volumen. Este efecto podría potencialmente ignorarse en una sola muestra, todas de la misma encuesta , ya que los objetos básicamente serán todos alterados por el mismo factor numérico, pero es increíblemente importante tenerlo en cuenta para poder comparar entre diferentes encuestas con diferente cobertura del cielo.
La segunda complicación son las preocupaciones cosmológicas del desplazamiento al rojo y el universo en expansión , que deben tenerse en cuenta al mirar objetos distantes. En estos casos, la cantidad de interés es la distancia comoviente , que es una distancia constante entre dos objetos asumiendo que se están alejando entre sí únicamente con la expansión del universo, conocida como el flujo de Hubble . En efecto, esta distancia comoviva es la separación del objeto si se descuidara la expansión del universo, y puede relacionarse fácilmente con la distancia real teniendo en cuenta cómo se habría expandido. La distancia de comovío se puede utilizar para calcular el volumen de comovío respectivo como de costumbre, o también se puede establecer fácilmente una relación entre los volúmenes real y comovío. Si z es el desplazamiento al rojo del objeto , en relación con qué tan lejos se desplaza la luz emitida hacia longitudes de onda más largas como resultado de que el objeto se aleja de nosotros con la expansión universal, D A y V A son la distancia y el volumen reales (o lo que se mediría hoy) y D C y V C son la distancia comanditaria y los volúmenes de interés, entonces
- [9]
Una gran desventaja del método de ponderación de volumen es su sensibilidad a estructuras a gran escala , o partes del universo con más o menos objetos que el promedio, como un cúmulo de estrellas o un vacío . [10] Tener regiones de objetos muy sobredensas o subdensas provocará un cambio inferido en nuestra función de luminosidad y magnitud absoluta promedio , de acuerdo con la estructura. Este es un problema particular con los objetos débiles al calcular una función de luminosidad, ya que su volumen máximo más pequeño significa que una estructura a gran escala tendrá un gran impacto. Los objetos más brillantes con grandes volúmenes máximos tenderán a promediar y acercarse al valor correcto a pesar de algunas estructuras a gran escala.
Métodos avanzados
Existen muchos más métodos que se vuelven cada vez más complicados y poderosos en su aplicación. Aquí se resumen algunos de los más comunes, con información más específica en las referencias.
Método de máxima verosimilitud escalonada
Este método se basa en las funciones de distribución de los objetos (como estrellas o galaxias), que es una relación de cuántos objetos se esperan con ciertos brillos intrínsecos , distancias u otros valores fundamentales. Cada uno de estos valores tiene su propia función de distribución que se puede combinar con un generador de números aleatorios para crear una muestra teórica de estrellas. Este método toma la función de distribución de distancias como una cantidad definida conocida, y luego permite que cambie la función de distribución de magnitudes absolutas . De esta manera, puede comparar diferentes funciones de distribución de las magnitudes absolutas con la distribución real de los objetos detectados y encontrar la relación que proporciona la máxima probabilidad de recrear el mismo conjunto de objetos. Al comenzar con la distribución sesgada y detectada de objetos y los límites apropiados de detección, este método recrea la función de distribución real . Sin embargo, este método requiere cálculos pesados y generalmente se basa en programas de computadora. [10] [11]
Estimadores de Schechter
Paul Schechter encontró una relación muy interesante entre el logaritmo del ancho de línea de una línea espectral y su magnitud aparente , cuando se trabaja con galaxias . [12] En un caso estacionario perfecto, las líneas espectrales deberían ser protuberancias increíblemente estrechas, parecidas a líneas, pero los movimientos del objeto como la rotación o el movimiento en nuestra línea de visión causarán cambios y ensanchamiento de estas líneas. La relación se encuentra comenzando con la relación de Tully-Fisher , en la que la distancia a una galaxia está relacionada con su magnitud aparente y su ancho de velocidad, o la velocidad "máxima" de su curva de rotación . A partir del ensanchamiento Doppler macroscópico , el logaritmo del ancho de línea de una línea espectral observada puede relacionarse con el ancho de la distribución de velocidad. Si se supone que las distancias se conocen muy bien, entonces la magnitud absoluta y el ancho de la línea están estrechamente relacionados. [12] Por ejemplo, trabajando con la línea de 21 cm de uso común , una línea importante relacionada con el hidrógeno neutro, la relación generalmente se calibra con una regresión lineal y se le da la forma
donde P es log (ancho de línea) y α y β son constantes.
La razón por la que este estimador es útil es que la línea de regresión inversa en realidad no se ve afectada por el sesgo de Malmquist, siempre que los efectos de selección se basen únicamente en la magnitud. Como tal, el valor esperado de P dado M será insesgado y dará un estimador de distancia logarítmica insesgado. Este estimador tiene muchas propiedades y ramificaciones que pueden convertirlo en una herramienta muy útil. [13]
Relaciones matemáticas complejas
Las versiones avanzadas de la corrección tradicional mencionada anteriormente se pueden encontrar en la literatura, limitando o cambiando las suposiciones iniciales para adaptarse a las necesidades del autor apropiado. A menudo, estos otros métodos proporcionarán expresiones matemáticas muy complicadas con aplicaciones muy poderosas pero específicas. Por ejemplo, el trabajo de Luri et al. encontró una relación para el sesgo de las estrellas en una galaxia que relaciona la corrección con la varianza de la muestra y la magnitud aparente , la magnitud absoluta y la altura sobre el disco galáctico . Esto dio un resultado mucho más exacto y exacto, pero también requirió una suposición sobre la distribución espacial de las estrellas en la galaxia deseada . [14] Si bien son útiles individualmente, y hay muchos ejemplos publicados, estos tienen un alcance muy limitado y no son generalmente tan aplicables como los otros métodos mencionados anteriormente.
Aplicaciones
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Siempre que se utilice una muestra de magnitud limitada, se debe utilizar uno de los métodos descritos anteriormente para corregir el sesgo de Malmquist. Por ejemplo, al intentar obtener una función de luminosidad , calibrar la relación de Tully-Fisher u obtener el valor de la constante de Hubble , el sesgo de Malmquist puede cambiar considerablemente los resultados.
La función de luminosidad da el número de estrellas o galaxias por luminosidad o magnitud absoluta bin. Cuando se usa una muestra de magnitud limitada, la cantidad de objetos débiles está subrepresentada como se discutió anteriormente. Esto cambia el pico de la función de luminosidad del extremo débil a una luminosidad más brillante y cambia la forma de la función de luminosidad. Por lo general, el método de ponderación de volumen se utiliza para corregir el sesgo de Malmquist, de modo que la encuesta sea equivalente a una encuesta de distancia limitada en lugar de una encuesta de magnitud limitada. [15] La figura de la derecha muestra dos funciones de luminosidad para una población de estrellas de ejemplo que tiene una magnitud limitada. La función de luminosidad discontinua muestra el efecto del sesgo de Malmquist, mientras que la línea continua muestra la función de luminosidad corregida. El sesgo de Malmquist cambia drásticamente la forma de la función de luminosidad.
Otra aplicación que se ve afectada por el sesgo de Malmquist es la relación Tully-Fisher , que relaciona la luminosidad de las galaxias espirales con su respectivo ancho de velocidad. Si se utiliza un cúmulo de galaxias cercano para calibrar la relación Tully-Fisher, y luego esa relación se aplica a un cúmulo distante, la distancia al cúmulo más lejano se subestima sistemáticamente. [13] Al subestimar la distancia a los conglomerados, todo lo que se encuentre utilizando esos conglomerados será incorrecto; por ejemplo, al encontrar el valor de la constante de Hubble.
Estos son solo algunos ejemplos en los que el sesgo de Malmquist puede afectar fuertemente los resultados. Como se mencionó anteriormente, cada vez que se usa una muestra de magnitud limitada, es necesario corregir el sesgo de Malmquist. Una corrección no se limita solo a los ejemplos anteriores.
Alternativas
Existen algunas alternativas para intentar evitar el sesgo de Malmquist, o para abordarlo de una manera diferente, con algunas de las más comunes que se resumen a continuación.
Muestreo de distancia limitada
Un método ideal para evitar el sesgo de Malmquist es seleccionar solo objetos dentro de una distancia establecida y no tener una magnitud límite, sino observar todos los objetos dentro de este volumen. [5] Claramente, en este caso, el sesgo de Malmquist no es un problema ya que el volumen estará completamente poblado y cualquier función de distribución o luminosidad será muestreada apropiadamente. Desafortunadamente, este método no siempre es práctico. Encontrar distancias a objetos astronómicos es muy difícil, e incluso con la ayuda de objetos con distancias fácilmente determinadas, llamadas velas estándar , y cosas similares, existen grandes incertidumbres. Además, las distancias no se conocen generalmente para los objetos hasta después de que ya se han observado y analizado, por lo que una encuesta de distancia limitada suele ser solo una opción para una segunda ronda de observaciones y no está disponible inicialmente. [ cita requerida ] Finalmente, los levantamientos de distancia limitada generalmente solo son posibles en volúmenes pequeños donde las distancias se conocen de manera confiable, y por lo tanto no es práctico para levantamientos grandes .
Corrección de Malmquist homogénea y no homogénea
Este método intenta corregir el sesgo nuevamente, pero por medios muy diferentes. En lugar de intentar fijar las magnitudes absolutas , este método toma las distancias a los objetos como variables aleatorias e intenta reescalarlas. [13] En efecto, en lugar de dar a las estrellas de la muestra la distribución correcta de magnitudes absolutas (y magnitud absoluta media ), intenta "mover" las estrellas de modo que tengan una distribución correcta de distancias. Idealmente, esto debería tener el mismo resultado final que los métodos de corrección de magnitud y debería dar como resultado una muestra correctamente representada. En el caso homogéneo o no homogéneo, el sesgo se define en términos de una distribución previa de distancias, el estimador de distancia y la función de probabilidad de que estos dos sean la misma distribución. El caso homogéneo es mucho más simple y cambia la escala de las estimaciones de distancia sin procesar por un factor constante. Desafortunadamente, esto será muy insensible a las estructuras a gran escala , como la agrupación, así como a los efectos de selección observacional, y no dará un resultado muy preciso. El caso no homogéneo intenta corregir esto creando una distribución previa de objetos más complicada teniendo en cuenta las estructuras que se ven en la distribución observada. Sin embargo, en ambos casos, se asume que la función de densidad de probabilidad es gaussiana con varianza constante y una media de la distancia logarítmica promedio real, que está lejos de ser precisa. Sin embargo, este método es objeto de debate y puede que no sea preciso en ninguna implementación debido a las incertidumbres en el cálculo de las estimaciones de distancia observadas sin procesar, lo que hace que las suposiciones para utilizar este método no sean válidas. [13]
Alternativas históricas
El término 'sesgo de Malmquist' no siempre se ha utilizado definitivamente para referirse al sesgo descrito anteriormente. Tan recientemente como en el año 2000, el sesgo de Malmquist ha aparecido en la literatura claramente refiriéndose a diferentes tipos de sesgo y efecto estadístico. [16] El más común de estos otros usos es referirse a un efecto que tiene lugar con una muestra de magnitud limitada , pero en este caso los objetos de magnitud absoluta baja están sobrerrepresentados. En una muestra con un límite de magnitud , habrá un margen de error cerca de ese límite donde los objetos que deberían ser lo suficientemente brillantes para hacer el corte se excluyen y los objetos que están ligeramente por debajo del límite se incluyen en su lugar. Dado que los objetos de magnitud absoluta baja son más comunes que los más brillantes, y dado que estas galaxias más tenues tienen más probabilidades de estar por debajo de la línea de corte y dispersas hacia arriba, mientras que las más brillantes tienen más probabilidades de estar por encima de la línea y dispersas hacia abajo, una sobrerrepresentación de los objetos de menor luminosidad resultan. Sin embargo, en la literatura y el consenso de hoy en día, el sesgo de Malmquist se refiere al efecto descrito anteriormente.
Referencias
- ↑ a b c d e Malmquist, Gunnar (1922). "Sobre algunas relaciones en estadísticas estelares". Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik . 16 (23): 1–52. Código Bibliográfico : 1922MeLuF.100 .... 1M .
- ^ Malmquist, Gunnar (1925). "Una contribución al problema de determinar la distribución espacial de las estrellas". Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik . 19A (6): 1–12. Código Bibliográfico : 1925MeLuF.106 .... 1M .
- ^ Salpeter, Edwin (1955). "La función de luminosidad y evolución estelar". El diario astrofísico . 121 : 161. Código Bibliográfico : 1955ApJ ... 121..161S . doi : 10.1086 / 145971 .
- ^ Wall, JV; Jenkins, CR (2012). Estadísticas prácticas para astrónomos . Manuales de observación de Cambridge para astrónomos investigadores (2ª ed.). Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press . pag. 189. ISBN 978-0-521-73249-9.
- ^ a b Sandage, Allan (noviembre de 2000). "Límites de completitud y sesgo de Malmquist". En Murdin, P. (ed.). La enciclopedia de astronomía y astrofísica . Bristol: Instituto de Publicaciones de Física . Artículo 1940. Código Bibliográfico : 2000eaa..bookE1940S . doi : 10.1888 / 0333750888/1940 . ISBN 0-333-75088-8.
- ^ a b c Butkevich, AG; Berdyugin, AV; Terrikorpi, P. (septiembre de 2005). "Sesgos estadísticos en la astronomía estelar: el sesgo de Malmquist revisitado" . MNRAS . 362 (1): 321–330. Código bibliográfico : 2005MNRAS.362..321B . doi : 10.1111 / j.1365-2966.2005.09306.x .
- ^ Gould, Andrew (agosto de 1993). "Selección, covarianza y sesgo de Malmquist". El diario astrofísico . 412 : 55–58. Código Bibliográfico : 1993ApJ ... 412L..55G . doi : 10.1086 / 186939 .
- ^ a b Blanton, Michael; Schlegel, DJ; Strauss, MA; Brinkmann, J .; Finkbeiner, D .; Fukugita, M .; Gunn, JE; Hogg, DW; et al. (Junio de 2005). "Catálogo de galaxias de valor agregado de la Universidad de Nueva York: un catálogo de galaxias basado en nuevas encuestas públicas". El diario astronómico . 129 (6): 2562-2578. arXiv : astro-ph / 0410166 . Código bibliográfico : 2005AJ .... 129.2562B . doi : 10.1086 / 429803 .
- ^ Hogg, David W. (diciembre de 2000). "Medidas de distancia en cosmología". arXiv : astro-ph / 9905116 .
- ^ a b Blanton, Michael R .; Lupton, RH; Schlegel, DJ; Strauss, MA; Brinkmann, J .; Fukugita, M .; Loveday, J. (septiembre de 2005). "Las propiedades y función de luminosidad de galaxias de luminosidad extremadamente baja". El diario astrofísico . 631 (1): 208–230. arXiv : astro-ph / 0410164 . Código Bibliográfico : 2005ApJ ... 631..208B . doi : 10.1086 / 431416 .
- ^ Efstathiou, George; Frenk, CS; Blanco, SDM; Davis, M. (diciembre de 1988). "Agrupación gravitacional de condiciones iniciales libres de escala". MNRAS . 235 (3): 715–748. Código bibliográfico : 1988MNRAS.235..715E . doi : 10.1093 / mnras / 235.3.715 .
- ^ a b Schechter, PL (julio de 1980). "Relaciones masa-luz para galaxias elípticas". Revista astronómica . 85 : 801–811. Código Bibliográfico : 1980AJ ..... 85..801S . doi : 10.1086 / 112742 .
- ^ a b c d Hendry, MA; Simmons, JFL; Newsam, AM (octubre de 1993). "¿Qué queremos decir con 'Malmquist Bias'?". Campos de velocidad cósmica . 9 : 23. arXiv : astro-ph / 9310028 . Código Bibliográfico : 1993cvf..conf ... 23H .
- ^ Luri, X .; Mennessier, MO; Torra, J .; Figueras, F. (enero de 1993). "Un nuevo enfoque al sesgo de Malmquist". Astronomía y Astrofísica . 267 (1): 305–307. Bibcode : 1993A y A ... 267..305L .
- ^ Binney, James; Merrifield, Michael (1998). Astronomía galáctica . Prensa de la Universidad de Princeton . págs. 111-115.
- ^ Murdin, Paul (2000). "Malmquist, Gunnar (1893-1982)". Enciclopedia de Astronomía y Astrofísica . Código Bibliográfico : 2000eaa..bookE3837. . doi : 10.1888 / 0333750888/3837 . ISBN 0-333-75088-8.
Otras lecturas
- James Binney y Michael Merrifield (1998). Astronomía galáctica . págs. 111-115. ISBN 0691025657.