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El conjunto de Mandelbrot (negro) dentro de un entorno de colores continuos
Iteraciones infinitas progresivas de la sección "Nautilus" del conjunto de Mandelbrot representadas con webGL
Animación de Mandelbrot basada en un número estático de iteraciones por píxel
Detalle del conjunto de Mandelbrot

El conjunto de Mandelbrot ( / m æ n d əl b r ɒ t / ) es el conjunto de números complejos para los que la función no divergen cuando iterada de , es decir, para los que la secuencia , , etc., sigue siendo limitada en valor absoluto . Su definición se le atribuye a Adrien Douady quien la nombró en homenaje al matemático Benoit Mandelbrot , pionero de la geometría fractal . [1]

Acercándonos al set de Mandelbrot

Las imágenes del conjunto de Mandelbrot exhiben un límite elaborado e infinitamente complicado que revela detalles recursivos cada vez más finos con aumentos crecientes, lo que hace que el límite del conjunto de Mandelbrot sea una curva fractal . El "estilo" de este detalle repetido depende de la región del conjunto que se examina. Las imágenes del conjunto de Mandelbrot se pueden crear muestreando los números complejos y probando, para cada punto de muestra , si la secuencia llega al infinito . Al tratar las partes reales e imaginarias de como coordenadas de la imagen en el plano complejo , los píxeles se pueden colorear de acuerdo con qué tan pronto la secuencia cruza un umbral elegido arbitrariamente. Si se mantiene constante y en su lugar se varía el valor inicial de , se obtiene el conjunto de Julia correspondiente para el punto .

El conjunto de Mandelbrot se ha vuelto popular fuera de las matemáticas tanto por su atractivo estético como por ser un ejemplo de una estructura compleja que surge de la aplicación de reglas simples. Es uno de los ejemplos más conocidos de visualización matemática , belleza matemática y motivo.

Historia [ editar ]

La primera imagen publicada del set de Mandelbrot, por Robert W. Brooks y Peter Matelski en 1978

El conjunto de Mandelbrot tiene su origen en la dinámica compleja , un campo investigado por primera vez por los matemáticos franceses Pierre Fatou y Gaston Julia a principios del siglo XX. Este fractal fue definido y dibujado por primera vez en 1978 por Robert W. Brooks y Peter Matelski como parte de un estudio de grupos kleinianos . [2] El 1 de marzo de 1980, en IBM 's Thomas J. Watson Research Center en Yorktown Heights , Nueva York , Benoit Mandelbrot por primera vez una visualización del conjunto. [3]

Mandelbrot estudió el espacio de parámetros de polinomios cuadráticos en un artículo que apareció en 1980. [4] El estudio matemático del conjunto de Mandelbrot realmente comenzó con el trabajo de los matemáticos Adrien Douady y John H. Hubbard (1985), [1] quienes establecieron muchos de sus propiedades fundamentales y nombró al conjunto en honor a Mandelbrot por su influyente trabajo en geometría fractal .

Los matemáticos Heinz-Otto Peitgen y Peter Richter se hicieron famosos por promocionar el set con fotografías, libros (1986), [5] y una exposición itinerante internacional del Goethe-Institut alemán (1985). [6] [7]

El artículo de portada de la revista Scientific American de agosto de 1985 presentó a una amplia audiencia el algoritmo para calcular el conjunto de Mandelbrot. La portada presentaba una imagen ubicada en −0,909 + −0,275 i y fue creada por Peitgen et al. [8] [9] El conjunto de Mandelbrot se hizo prominente a mediados de la década de 1980 como una demostración de gráficos por computadora , cuando las computadoras personales se volvieron lo suficientemente potentes para trazar y mostrar el conjunto en alta resolución. [10]

El trabajo de Douady y Hubbard coincidió con un enorme aumento en el interés por la dinámica compleja y las matemáticas abstractas , y el estudio del conjunto de Mandelbrot ha sido una pieza central de este campo desde entonces. Una lista exhaustiva de todos los que han contribuido a la comprensión de este conjunto desde entonces es larga, pero incluiría a Mikhail Lyubich , [11] [12] Curt McMullen , John Milnor , Mitsuhiro Shishikura y Jean-Christophe Yoccoz .

Definición formal [ editar ]

El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de valores de c en el plano complejo para el cual la órbita del punto crítico z = 0 bajo iteración del mapa cuadrático

permanece acotado . [13] Por lo tanto, un número complejo c es miembro del conjunto de Mandelbrot si, al comenzar con z 0 = 0 y aplicar la iteración repetidamente, el valor absoluto de z n permanece acotado para todo n > 0.

Por ejemplo, para c = 1, la secuencia es 0, 1, 2, 5, 26, ..., que tiende a infinito , por lo que 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot. Por otro lado, para c = −1, la secuencia es 0, −1, 0, −1, 0, ..., que está acotada, por lo que −1 pertenece al conjunto.

El conjunto de Mandelbrot también se puede definir como el locus de conectividad de una familia de polinomios .

Propiedades básicas [ editar ]

El conjunto de Mandelbrot es un conjunto compacto , ya que está cerrado y contenido en el disco cerrado de radio 2 alrededor del origen . Más específicamente, un punto pertenece al conjunto de Mandelbrot si y solo si para todos . En otras palabras, el valor absoluto de debe permanecer en o por debajo de 2 para estar en el conjunto de Mandelbrot , ya que si ese valor absoluto excede de 2, la secuencia escapará al infinito.

Correspondencia entre el conjunto de Mandelbrot y el diagrama de bifurcación del mapa logístico
Con iteraciones trazadas en el eje vertical, se puede ver que el conjunto de Mandelbrot se bifurca donde el conjunto es finito

La intersección de con el eje real es precisamente el intervalo [−2, 1/4]. Los parámetros a lo largo de este intervalo se pueden poner en correspondencia uno a uno con los de la familia logística real ,

La correspondencia está dada por

De hecho, esto da una correspondencia entre todo el espacio de parámetros de la familia logística y el del conjunto de Mandelbrot [ cita requerida ] .

Douady y Hubbard han demostrado que el conjunto de Mandelbrot está conectado . De hecho, construyeron un isomorfismo conforme explícito entre el complemento del conjunto de Mandelbrot y el complemento del disco unitario cerrado . Mandelbrot había conjeturado originalmente que el conjunto de Mandelbrot está desconectado . Esta conjetura se basó en imágenes de computadora generadas por programas que son incapaces de detectar los finos filamentos que conectan diferentes partes de . Tras más experimentos, revisó su conjetura y decidió que debería estar conectado. También existe una prueba topológica de la conexión que fue descubierta en 2001 por Jeremy Kahn . [14]

Rayos externos de estelas cerca del continente del período 1 en el conjunto de Mandelbrot

La fórmula dinámica para la uniformización del complemento del conjunto de Mandelbrot, que surge de la prueba de Douady y Hubbard de la conexión de , da lugar a rayos externos del conjunto de Mandelbrot. Estos rayos se pueden utilizar para estudiar el conjunto de Mandelbrot en términos combinatorios y forman la columna vertebral del parapuzzle de Yoccoz . [15]

El límite del conjunto de Mandelbrot es exactamente el lugar de bifurcación de la familia cuadrática; es decir, el conjunto de parámetros para los cuales la dinámica cambia abruptamente bajo pequeños cambios de Se puede construir como el conjunto límite de una secuencia de curvas planas algebraicas , las curvas de Mandelbrot , del tipo general conocido como polinomios lemniscates . Las curvas de Mandelbrot se definen estableciendo p 0 = z , p n +1 = p n 2 + z , y luego interpretando el conjunto de puntos | p n( z ) | = 2 en el plano complejo como una curva en el verdadero plano cartesiano de grado 2 n 1 en x y y . Estas curvas algebraicas aparecen en imágenes del conjunto de Mandelbrot calculadas utilizando el "algoritmo de tiempo de escape" mencionado a continuación.

Otras propiedades [ editar ]

Principales bulbos cardioides y menstruales [ editar ]

Períodos de componentes hiperbólicos

Al mirar una imagen del conjunto de Mandelbrot, uno nota inmediatamente la gran región en forma de cardioide en el centro. Este cardioide principal es la región de parámetros para los que el mapa

tiene un punto fijo de atracción . Consta de todos los parámetros del formulario

para algunos en el disco de la unidad abierta .

A la izquierda del cardioide principal, unido a él en el punto , se ve un bulbo de forma circular . Esta bombilla consta de aquellos parámetros para los que tiene un ciclo de atracción de período 2 . Este conjunto de parámetros es un círculo real, es decir, el de radio 1/4 alrededor de -1.

Hay infinitamente muchos otros bulbos tangente a la cardioide principal: para cada número racional , con p y q primos entre sí , hay una bombilla de tal manera que es tangente en el parámetro

Ciclo de atracción en 2/5 bulbos trazados sobre el conjunto de Julia (animación)

Esta bombilla se llama la bombilla del conjunto Mandelbrot. Consiste en parámetros que tienen un ciclo de atracción de período y número de rotación combinatoria . Más precisamente, los componentes periódicos de Fatou que contienen el ciclo de atracción se tocan en un punto común (comúnmente llamado punto fijo ). Si etiquetamos estos componentes en sentido antihorario, entonces mapea el componente al componente .

Atraer ciclos y conjuntos de Julia para parámetros en las bombillas 1/2, 3/7, 2/5, 1/3, 1/4 y 1/5

El cambio de comportamiento que se produce en se conoce como bifurcación : el punto fijo de atracción "choca" con un período de repulsión q -ciclo. A medida que pasamos por el parámetro de bifurcación hacia la bombilla, el punto fijo atrayente se convierte en un punto fijo repelente (el punto fijo ) y el período q -ciclo se vuelve atrayente.

Componentes hiperbólicos [ editar ]

Todas las bombillas que encontramos en la sección anterior eran componentes interiores del conjunto de Mandelbrot en el que los mapas tienen un atractivo ciclo periódico. Estos componentes se denominan componentes hiperbólicos .

Se conjetura que estas son las únicas regiones interiores de . Este problema, conocido como densidad de hiperbolicidad , puede ser el problema abierto más importante en el campo de la dinámica compleja . Los componentes hipotéticos no hiperbólicos del conjunto de Mandelbrot a menudo se denominan componentes "queer" o fantasma. [16] [17] Para polinomios cuadráticos reales , esta pregunta fue respondida positivamente en la década de 1990 de forma independiente por Lyubich y por Graczyk y Świątek. (Tenga en cuenta que los componentes hiperbólicos que cruzan el eje real corresponden exactamente a ventanas periódicas en el diagrama de Feigenbaum . Por lo tanto, este resultado indica que tales ventanas existen cerca de todos los parámetros del diagrama).

No todos los componentes hiperbólicos pueden alcanzarse mediante una secuencia de bifurcaciones directas desde el cardioide principal del conjunto de Mandelbrot. Sin embargo, tal componente puede alcanzarse mediante una secuencia de bifurcaciones directas desde el cardioide principal de una pequeña copia de Mandelbrot (ver más abajo).

Cada uno de los componentes hiperbólicos tiene un centro , que es un punto c tal que el dominio interno de Fatou tiene un ciclo de súper atracción, es decir, que la atracción es infinita (vea la imagen aquí ). Esto significa que el ciclo contiene el punto crítico 0, por lo que 0 se repite a sí mismo después de algunas iteraciones. Por lo tanto, tenemos eso para algunos n . Si llamamos a este polinomio (dejando que dependa de c en lugar de z ), tenemos eso y que el grado de es . Por tanto, podemos construir los centros de los componentes hiperbólicos resolviendo sucesivamente las ecuaciones. El número de nuevos centros producidos en cada paso viene dado por el OEIS de Sloane A000740 .

Conectividad local [ editar ]

Se conjetura que el conjunto de Mandelbrot está conectado localmente . Esta famosa conjetura se conoce como MLC (por Mandelbrot conectado localmente ). Según el trabajo de Adrien Douady y John H. Hubbard , esta conjetura daría como resultado un modelo abstracto simple de "disco pellizcado" del conjunto de Mandelbrot. En particular, implicaría la importante conjetura de hiperbolicidad mencionada anteriormente.

El trabajo de Jean-Christophe Yoccoz estableció la conectividad local del conjunto de Mandelbrot en todos los parámetros finitamente renormalizables ; es decir, en términos generales, los contenidos sólo en un número finito de copias pequeñas de Mandelbrot. [18] Desde entonces, la conectividad local se ha probado en muchos otros puntos de , pero la conjetura completa aún está abierta.

Auto-semejanza [ editar ]

La autosimilitud en el conjunto de Mandelbrot se muestra al hacer zoom en una característica redonda mientras se desplaza en la dirección x negativa . El centro de la pantalla se desplaza desde (-1, 0) a (-1.31, 0) mientras que la vista se amplía desde 0.5 × 0.5 a 0.12 × 0.12 para aproximarse a la relación de Feigenbaum .

El conjunto de Mandelbrot es auto-similar bajo aumento en las cercanías de las puntas Misiurewicz . También se conjetura que es auto-similar alrededor de puntos de Feigenbaum generalizados (por ejemplo, −1,401155 o −0,1528 + 1,0397 i ), en el sentido de converger a un conjunto límite. [19] [20] El conjunto de Mandelbrot en general no es estrictamente auto-similar pero es cuasi-auto-similar, ya que se pueden encontrar pequeñas versiones ligeramente diferentes de sí mismo a escalas arbitrariamente pequeñas. Estas pequeñas copias del conjunto de Mandelbrot son todas ligeramente diferentes, principalmente debido a los delgados hilos que las conectan al cuerpo principal del conjunto.

Más resultados [ editar ]

La dimensión de Hausdorff del límite del conjunto de Mandelbrot es igual a 2 según lo determinado por un resultado de Mitsuhiro Shishikura . [21] No se sabe si el límite del conjunto de Mandelbrot tiene una medida de Lebesgue plana positiva .

En el modelo de cómputo real de Blum-Shub-Smale , el conjunto de Mandelbrot no es computable, pero su complemento es computablemente enumerable . Sin embargo, muchos objetos simples ( por ejemplo , el gráfico de potenciación) tampoco son computables en el modelo BSS. En la actualidad, se desconoce si el conjunto de Mandelbrot es computable en modelos de computación real basados ​​en análisis computable , que corresponden más estrechamente a la noción intuitiva de "graficar el conjunto por computadora". Hertling ha demostrado que el conjunto de Mandelbrot es computable en este modelo si la conjetura de hiperbolicidad es cierta.

Relación con Julia establece [ editar ]

Como consecuencia de la definición del conjunto de Mandelbrot, existe una estrecha correspondencia entre la geometría del conjunto de Mandelbrot en un punto dado y la estructura del conjunto de Julia correspondiente . Por ejemplo, un punto está en el conjunto de Mandelbrot exactamente cuando el conjunto de Julia correspondiente está conectado.

Este principio se explota en prácticamente todos los resultados profundos del conjunto de Mandelbrot. Por ejemplo, Shishikura demostró que, para un conjunto denso de parámetros en el límite del conjunto de Mandelbrot, el conjunto de Julia tiene dimensión dos de Hausdorff y luego transfiere esta información al plano de parámetros. [21] De manera similar, Yoccoz primero demostró la conectividad local de los conjuntos de Julia, antes de establecerla para el conjunto de Mandelbrot en los parámetros correspondientes. [18] Adrien Douady expresa este principio como:

Arar en el plano dinámico y cosechar en el espacio de parámetros.

Geometría [ editar ]

Por cada número racional , donde p y q son primos entre sí , un componente hiperbólico del periodo q se bifurca desde el cardioide principal. La parte del conjunto de Mandelbrot conectada al cardioide principal en este punto de bifurcación se llama extremidad p / q . Los experimentos informáticos sugieren que el diámetro de la extremidad tiende a cero . La mejor estimación actual conocida es la desigualdad de Yoccoz , que establece que el tamaño tiende a cero como .

Una extremidad de período- q tendrá q  - 1 "antenas" en la parte superior de su extremidad. Por lo tanto, podemos determinar el período de una bombilla dada contando estas antenas. También podemos encontrar el numerador del número de rotación, p , numerando cada antena en sentido antihorario desde la extremidad de 1 a q  - 1 y encontrando qué antena es la más corta. [22]

Pi en el set de Mandelbrot [ editar ]

En un intento de demostrar que el grosor de la extremidad p / q es cero, David Boll llevó a cabo un experimento informático en 1991, donde calculó el número de iteraciones necesarias para que la serie divergiera para z = -3/4+ es (-3/4siendo la ubicación del mismo). Como la serie no diverge para el valor exacto de z = -3/4, el número de iteraciones necesarias aumenta con un pequeño ε . Resulta que multiplicar el valor de ε por el número de iteraciones requeridas produce una aproximación de π que se vuelve mejor para ε más pequeños . Por ejemplo, para ε = 0,0000001, el número de iteraciones es 31415928 y el producto es 3,1415928. [23] En 2001, Aaron Klebanoff demostró el descubrimiento de Boll. [24]

Secuencia de Fibonacci en el conjunto de Mandelbrot [ editar ]

Se puede demostrar que la secuencia de Fibonacci se ubica dentro del Conjunto de Mandelbrot y que existe una relación entre el cardioide principal y el Diagrama de Farey . Al mapear el cardioide principal a un disco, uno puede notar que la cantidad de antenas que se extiende desde el siguiente componente hiperbólico más grande, y que se encuentra entre los dos componentes previamente seleccionados, sigue el ejemplo de la secuencia de Fibonacci. La cantidad de antenas también se correlaciona con el diagrama de Farey y las cantidades del denominador dentro de los valores fraccionarios correspondientes, de los cuales se relacionan con la distancia alrededor del disco. Ambas porciones de estos valores fraccionarios se pueden sumar juntos después depara producir la ubicación del siguiente componente hiperbólico dentro de la secuencia. Por lo tanto, la secuencia de Fibonacci de 1, 2, 3, 5, 8, 13 y 21 se puede encontrar dentro del conjunto de Mandelbrot.

Galería de imágenes de una secuencia de zoom [ editar ]

El conjunto de Mandelbrot muestra detalles más intrincados cuanto más de cerca se mira o aumenta la imagen, generalmente llamado "acercamiento". El siguiente ejemplo de una secuencia de imágenes con zoom a un valor c seleccionado da una impresión de la riqueza infinita de diferentes estructuras geométricas y explica algunas de sus reglas típicas.

El aumento de la última imagen en relación con la primera es de aproximadamente 10 10 a 1. En relación con un monitor ordinario, representa una sección de un conjunto de Mandelbrot con un diámetro de 4 millones de kilómetros. Su borde mostraría un número astronómico de diferentes estructuras fractales.

  • Comienzo. Conjunto de Mandelbrot con ambiente de colores continuos.

  • Espacio entre la "cabeza" y el "cuerpo", también llamado "valle de los caballitos de mar"

  • Espirales dobles a la izquierda, "caballitos de mar" a la derecha

  • "Caballito de mar" al revés

El "cuerpo" del caballito de mar está compuesto por 25 "radios" que constan de dos grupos de 12 "radios" cada uno y un "radio" que se conecta al cardioide principal. Estos dos grupos pueden atribuirse por algún tipo de metamorfosis a los dos "dedos" de la "mano superior" del conjunto de Mandelbrot; por lo tanto, el número de "rayos" aumenta de un "caballito de mar" al siguiente en 2; el "centro" es un llamado punto Misiurewicz . Entre la "parte superior del cuerpo" y la "cola" se puede reconocer una pequeña copia distorsionada del conjunto de Mandelbrot llamada satélite.

  • El punto final central de la "cola de caballito de mar" es también un punto Misiurewicz .

  • Parte de la "cola": solo hay un camino que consta de estructuras delgadas que atraviesan toda la "cola". Esta trayectoria en zigzag pasa por los "ejes" de los objetos grandes con 25 "rayos" en el borde interior y exterior de la "cola"; por lo tanto, el conjunto de Mandelbrot es un conjunto simplemente conectado , lo que significa que no hay islas ni caminos circulares alrededor de un agujero.

  • Satélite. Las dos "colas de caballito de mar" son el comienzo de una serie de coronas concéntricas con el satélite en el centro. Abra esta ubicación en un visor interactivo.

  • Cada una de estas coronas consta de "colas de caballito de mar" similares; su número aumenta con potencias de 2, un fenómeno típico en el entorno de los satélites. El camino único hacia el centro de la espiral pasa por el satélite desde el surco del cardioide hasta la parte superior de la "antena" en la "cabeza".

  • "Antena" del satélite. Se pueden reconocer varios satélites de segundo orden.

  • El "valle de los caballitos de mar" del satélite. Reaparecen todas las estructuras desde el inicio del zoom.

  • Espirales dobles y "caballitos de mar": a diferencia de la segunda imagen del principio, tienen apéndices que consisten en estructuras como "colas de caballito de mar"; esto demuestra la vinculación típica de n + 1 estructuras diferentes en el entorno de satélites del orden n , aquí para el caso más simple n = 1.

  • Espirales dobles con satélites de segundo orden: de manera análoga a los "caballitos de mar", las espirales dobles pueden interpretarse como una metamorfosis de la "antena".

  • En la parte exterior de los apéndices, se pueden reconocer islas de estructuras; tienen una forma como la de Julia establece J c ; el más grande de ellos se puede encontrar en el centro del "gancho doble" en el lado derecho

  • Parte del "doble gancho"

  • Islas

  • Detalle de una isla

  • Detalle de la espiral. Abra esta ubicación en un visor interactivo.

Las islas en el penúltimo paso parecen constar de un número infinito de partes como conjuntos de Cantor , como es [ aclaración necesaria ] en realidad el caso del conjunto de Julia correspondiente J c . Sin embargo, están conectados por estructuras diminutas, por lo que el conjunto representa un conjunto simplemente conectado. Las diminutas estructuras se encuentran en un satélite en el centro que es demasiado pequeño para ser reconocido con este aumento. El valor de c para el correspondiente J c no es el del centro de la imagen pero, en relación con el cuerpo principal del conjunto de Mandelbrot, tiene la misma posición que el centro de esta imagen en relación con el satélite que se muestra en el sexto paso de zoom.

Generalizaciones [ editar ]

Reproducir medios
Animaciones del Multibrot establecido para d de 0 a 5 (izquierda) y de 0,05 a 2 (derecha).
Un conjunto 4D de Julia puede proyectarse o seccionarse en 3D, y debido a esto también es posible un 4D Mandelbrot.

Conjuntos multibrot [ editar ]

Los conjuntos multibrot son conjuntos acotados que se encuentran en el plano complejo para los miembros de la familia de recursiones polinomiales univariadas monic general

Para un entero d, estos conjuntos son loci de conectividad para los conjuntos de Julia construidos a partir de la misma fórmula. También se ha estudiado el locus de conectividad cúbica completa; aquí se considera la recursividad de dos parámetros , cuyos dos puntos críticos son las raíces cuadradas complejas del parámetro k . Un parámetro está en el locus de conectividad cúbica si ambos puntos críticos son estables. [25] Para familias generales de funciones holomórficas , el límite del conjunto de Mandelbrot se generaliza al locus de bifurcación , que es un objeto natural para estudiar incluso cuando el locus de conexión no es útil.

El conjunto Multibrot se obtiene variando el valor del exponente d . El artículo tiene un video que muestra el desarrollo de d = 0 a 7, momento en el que hay 6, es decir, ( d - 1) lóbulos alrededor del perímetro . Un desarrollo similar con exponentes negativos da como resultado (1 - d ) fisuras en el interior de un anillo.

Dimensiones superiores [ editar ]

No existe una extensión perfecta del conjunto de Mandelbrot en 3D. Esto se debe a que no existe un análogo 3D de los números complejos para que pueda iterar. Sin embargo, hay una extensión de los números complejos en 4 dimensiones, llamadas cuaterniones , que crea una extensión perfecta del conjunto de Mandelbrot y el conjunto de Julia en 4 dimensiones. [26] Estos pueden luego ser seccionados o proyectados en una estructura 3D.

Otras asignaciones no analíticas [ editar ]

Imagen del fractal Tricornio / Mandelbar

De particular interés es el fractal tricornio , el locus de conexión de la familia anti-holomórfica.

El tricornio (también llamado a veces Mandelbar ) fue encontrado por Milnor en su estudio de porciones de parámetros de polinomios cúbicos reales . Se no conectado localmente. Esta propiedad es heredada por el locus de conectividad de los polinomios cúbicos reales.

Otra generalización no analítica es el fractal Burning Ship , que se obtiene iterando lo siguiente:

Dibujos de computadora [ editar ]

Existe una multitud de varios algoritmos para trazar el conjunto de Mandelbrot a través de un dispositivo informático. Aquí, se demostrará el algoritmo más utilizado y más simple, a saber, el ingenuo "algoritmo de tiempo de escape". En el algoritmo de tiempo de escape, se realiza un cálculo repetido para cada punto x , y en el área de la gráfica y, según el comportamiento de ese cálculo, se elige un color para ese píxel.

Las x y Y ubicaciones de cada punto se utilizan como valores iniciales en un cálculo de repetición, o iterar (descrito en detalle a continuación). El resultado de cada iteración se utiliza como valores iniciales para la siguiente. Los valores se comprueban durante cada iteración para ver si han alcanzado una condición crítica de "escape" o "rescate". Si se alcanza esa condición, se detiene el cálculo, se dibuja el píxel y se examina el siguiente punto x , y .

El color de cada punto representa la rapidez con la que los valores alcanzaron el punto de escape. A menudo, el negro se usa para mostrar valores que no logran escapar antes del límite de iteración, y los colores gradualmente más brillantes se usan para los puntos que escapan. Esto da una representación visual de cuántos ciclos se requirieron antes de alcanzar la condición de escape.

Para renderizar tal imagen, la región del plano complejo que estamos considerando se subdivide en un cierto número de píxeles . Para colorear cualquiera de esos píxeles, sea ​​el punto medio de ese píxel. Ahora iteramos el punto crítico 0 debajo , comprobando en cada paso si el punto de la órbita tiene un módulo mayor que 2. Cuando este es el caso, sabemos que no pertenece al conjunto de Mandelbrot, y coloreamos nuestro píxel de acuerdo con el número de iteraciones utilizadas para averiguarlo. De lo contrario, seguimos iterando hasta un número fijo de pasos, después de lo cual decidimos que nuestro parámetro está "probablemente" en el conjunto de Mandelbrot, o al menos muy cerca de él, y coloreamos el píxel de negro.

En pseudocódigo , este algoritmo se vería de la siguiente manera. El algoritmo no usa números complejos y simula manualmente operaciones con números complejos usando dos números reales, para aquellos que no tienen un tipo de datos complejo . El programa puede simplificarse si el lenguaje de programación incluye operaciones de tipo de datos complejos .

para cada píxel (Px, Py) en la pantalla hacer x0: = coordenada x escalada del píxel (escalada para que se encuentre en la escala X de Mandelbrot (-2,5, 1)) y0: = coordenada y escalada del píxel (escalada para que se encuentre en la escala Y de Mandelbrot (-1, 1)) x: = 0,0 y: = 0.0 iteración: = 0 max_iteration: = 1000 mientras que (x * x + y * y ≤ 2 * 2 AND iteración <max_iteration) hacen xtemp: = x * x - y * y + x0 y: = 2 * x * y + y0 x: = xtemp iteración: = iteración + 1  color: = paleta [iteración] trama (Px, Py, color)

Aquí, en relación a la pseudocódigo , y :

y así, como puede verse en el pseudocódigo en el cómputo de x y y :

  • y

Para obtener imágenes coloridas del conjunto, la asignación de un color a cada valor del número de iteraciones ejecutadas se puede hacer usando una de una variedad de funciones (lineal, exponencial, etc.).

Referencias en cultura popular [ editar ]

El conjunto de Mandelbrot es considerado por muchos como el fractal más popular , [27] [28] y ha sido mencionado varias veces en la cultura popular .

  • La canción de Jonathan Coulton "Mandelbrot Set" es un tributo tanto al fractal en sí como a su descubridor Benoit Mandelbrot. [29]
  • El segundo libro de la serie Mode de Piers Anthony , Fractal Mode , describe un mundo que es un modelo 3D perfecto del set. [30]
  • La novela de Arthur C. Clarke El fantasma de los grandes bancos presenta un lago artificial hecho para replicar la forma del set de Mandelbrot. [31]
  • Benoit Mandelbrot y el conjunto homónimo fueron los temas del Doodle de Google el 20 de noviembre de 2020 (el 96 cumpleaños del difunto Benoit Mandelbrot). [32]
  • La banda de rock estadounidense Heart tiene una imagen de un Mandelbrot en la portada de su álbum de 2004, Jupiters Darling .
  • La serie de televisión Dirk Gently's Holistic Detective Agency (2016) presenta de manera destacada el set de Mandelbrot en relación con las visiones del personaje Amanda. En la segunda temporada, su chaqueta tiene una imagen grande del fractal en la espalda. [33]

Ver también [ editar ]

  • Buddhabrot
  • Fractal Collatz
  • Fractint
  • Permutación Gilbreath
  • Mandelbox
  • Mandelbulb
  • Esponja Menger
  • Fractal de Newton
  • Retrato de la órbita
  • Trampa de órbita
  • Tallo de pickover

Referencias [ editar ]

  1. ↑ a b Adrien Douady y John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes , Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984/1985)
  2. ^ Robert Brooks y Peter Matelski, La dinámica de los subgrupos de 2 generadores de PSL (2, C) , en Irwin Kra (1 de mayo de 1981). Irwin Kra (ed.). Superficies de Riemann y temas relacionados: Actas de la Conferencia de Stony Brook de 1978 (PDF) . Bernard Maskit . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-08267-7. Archivado desde el original (PDF) el 28 de julio de 2019 . Consultado el 1 de julio de 2019 .
  3. ^ RP Taylor y JC Sprott (2008). "Fractales biofílicos y el viaje visual de los protectores de pantalla orgánicos" (PDF) . Dinámica no lineal, psicología y ciencias de la vida, vol. 12, N ° 1 . Sociedad para la Teoría del Caos en Psicología y Ciencias de la Vida. PMID 18157930 . Consultado el 1 de enero de 2009 .  
  4. ^ Benoit Mandelbrot, Aspectos fractales de la iteración de complejo , Anales de la Academia de Ciencias de Nueva York 357 , 249/259
  5. ^ Peitgen, Heinz-Otto; Richter Peter (1986). La belleza de los fractales . Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 0-387-15851-0.
  6. ^ Fronteras del caos , exposición del Goethe-Institut por HO Peitgen, P. Richter, H. Jürgens, M. Prüfer, D.Saupe. Desde 1985 se muestra en más de 40 países.
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  8. ^ Dewdney, AK (1985). "Computer Recreations, agosto de 1985; un microscopio de computadora se acerca para ver el objeto más complejo de las matemáticas" (PDF) . Scientific American .
  9. ^ John Briggs (1992). Fractales: los patrones del caos . pag. 80.
  10. ^ Pountain, Dick (septiembre de 1986). "Turboalimentación de Mandelbrot" . Byte . Consultado el 11 de noviembre de 2015 .
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  13. ^ "Explorador de conjuntos de Mandelbrot: glosario matemático" . Consultado el 7 de octubre de 2007 .
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Lectura adicional [ editar ]

  • John W. Milnor , Dynamics in One Complex Variable (tercera edición), Annals of Mathematics Studies 160, (Princeton University Press, 2006), ISBN 0-691-12488-4 (Apareció por primera vez en 1990 como Stony Brook IMS Preprint , disponible como arXiV: math.DS / 9201272 ) 
  • Nigel Lesmoir-Gordon, The Colors of Infinity: The Beauty, The Power and the Sense of Fractals , ISBN 1-904555-05-5 (incluye un DVD con Arthur C. Clarke y David Gilmour ) 
  • Heinz-Otto Peitgen , Hartmut Jürgens , Dietmar Saupe , Chaos and Fractals: New Frontiers of Science (Springer, Nueva York, 1992, 2004), ISBN 0-387-20229-3 

Enlaces externos [ editar ]

  • Caos y fractales en Curlie
  • El conjunto de Mandelbrot y los conjuntos de Julia de Michael Frame, Benoit Mandelbrot y Nial Neger
  • Vídeo: zoom fractal de Mandelbrot a 6.066 e228
  • Explicación relativamente simple del proceso matemático , por la Dra. Holly Krieger , MIT
  • Mandelbrot set renderizado en línea de imágenes
  • Varios algoritmos para calcular el conjunto de Mandelbrot (en código Rosetta )
  • Calculadora fractal escrita en Lua por Deyan Dobromiroiv, Sofia, Bulgaria