En matemáticas , un mapa se usa a menudo como sinónimo de una función , [1] pero también puede referirse a algunas generalizaciones. Originalmente, esta era una abreviatura de mapeo , que a menudo se refiere a la acción de aplicar una función a los elementos de su dominio . Esta terminología no es completamente fija, ya que estos términos generalmente no están definidos formalmente y pueden considerarse jerga . [2] [3] Estos términos pueden haberse originado como una generalización del proceso de elaboración de un mapa geográfico , que consiste en mapear la superficie de la Tierra en una hoja de papel. [4]
Los mapas pueden ser funciones o morfismos , aunque los términos comparten cierta superposición. [4] El término mapa se puede utilizar para distinguir algunos tipos especiales de funciones, como los homomorfismos . Por ejemplo, un mapa lineal es un homomorfismo de espacios vectoriales , mientras que el término función lineal puede tener tanto este significado como otro. [5] [6] En la teoría de categorías , un mapa puede referirse a un morfismo, que es una generalización de la idea de una función. En algunas ocasiones, el término transformación también se puede usar indistintamente. [4] También hay algunos usos menos comunes en lógica y teoría de grafos .
Mapas como funciones
En muchas ramas de las matemáticas, el término mapa se utiliza para referirse a una función , [7] [3] [8] a veces con una propiedad específica de particular importancia para esa rama. Por ejemplo, un "mapa" es una " función continua " en topología , una " transformación lineal " en álgebra lineal , etc.
Algunos autores, como Serge Lang , [9] usan "función" solo para referirse a mapas en los que el codominio es un conjunto de números (es decir, un subconjunto de R o C ), y reservan el término mapeo para funciones más generales.
Los mapas de cierto tipo son objeto de muchas teorías importantes. Estos incluyen homomorfismos en álgebra abstracta , isometrías en geometría , operadores en análisis y representaciones en teoría de grupos . [4]
En la teoría de sistemas dinámicos , un mapa denota una función de evolución utilizada para crear sistemas dinámicos discretos .
Un mapa parcial es una función parcial . Términos relacionados como dominio , codominio , inyectivo y continuo se pueden aplicar igualmente a mapas y funciones, con el mismo significado. Todos estos usos se pueden aplicar a "mapas" como funciones generales o como funciones con propiedades especiales.
Como morfismos
En la teoría de categorías, "mapa" se usa a menudo como sinónimo de " morfismo " o "flecha" y, por lo tanto, es más general que "función". [10] Por ejemplo, un morfismoen una categoría concreta (es decir, un morfismo que puede verse como funciones) lleva consigo la información de su dominio (la fuente del morfismo) y su codominio (el objetivo ). En la definición ampliamente utilizada de una función, es un subconjunto de que consta de todos los pares por . En este sentido, la función no captura la información de qué conjuntose utiliza como codominio; solo el rango está determinada por la función.
Otros usos
En lógica
En lógica formal , el término mapa se usa a veces para un predicado funcional , mientras que una función es un modelo de dicho predicado en la teoría de conjuntos .
En teoría de grafos
En teoría de grafos , un mapa es un dibujo de un gráfico en una superficie sin bordes superpuestos (una incrustación ). Si la superficie es un plano, entonces un mapa es un gráfico plano , similar a un mapa político . [11]
En ciencias de la computación
En las comunidades que rodean a los lenguajes de programación que tratan a las funciones como ciudadanos de primera clase , un mapa a menudo se denomina función binaria de orden superior que toma una función f y una lista [ v 0 , v 1 , ..., v n ] como argumentos y devuelve [ f ( v 0 ), f ( v 1 ), ..., f ( v n )] (donde n ≥ 0 ).
Ver también
- Biyección, inyección y sobreyección - Propiedades de las funciones matemáticas
- Homeomorfismo - Isomorfismo de espacios topológicos en matemáticas
- Grupo de permutación - Grupo cuya operación es composición de permutaciones.
- Mapa regular (geometría algebraica) - Morfismo de variedades algebraicas
- Grupo de clases de mapeo : grupo de clases de isotopía de un grupo de automorfismo topológico
- Lista de mapas caóticos
- Aplicar función : la función que asigna una función y sus argumentos al valor de la función
Referencias
- ^ Las palabras mapa , mapeo , transformación , correspondencia y operador se utilizan a menudo como sinónimos. Halmos 1970 , pág. 30 . Algunos autores usan el término mapa con un significado más general que función , que puede estar restringido para aplicarse solo a números.
- ^ "El glosario definitivo de jerga matemática superior - mapeo" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 6 de diciembre de 2019 .
- ^ a b Weisstein, Eric W. "Mapa" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 6 de diciembre de 2019 .
- ^ a b c d "Mapeo | matemáticas" . Enciclopedia Británica . Consultado el 6 de diciembre de 2019 .
- ^ Apostol, TM (1981). Análisis matemático . Addison-Wesley. pag. 35. ISBN 0-201-00288-4.
- ^ Stacho, Juraj (31 de octubre de 2007). "Función, uno a uno, en" (PDF) . cs.toronto.edu . Consultado el 6 de diciembre de 2019 .
- ^ "Funciones o mapeo | Mapeo de aprendizaje | Función como un tipo especial de relación" . Matemáticas solo matemáticas . Consultado el 6 de diciembre de 2019 .
- ^ "Mapeo, Matemático | Encyclopedia.com" . www.encyclopedia.com . Consultado el 6 de diciembre de 2019 .
- ^ Lang, Serge (1971). Álgebra lineal (2ª ed.). Addison-Wesley. pag. 83. ISBN 0-201-04211-8.
- ^ Simmons, H. (2011). Introducción a la teoría de categorías . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 2. ISBN 978-1-139-50332-7.
- ^ Gross, Jonathan; Yellen, Jay (1998). Teoría de grafos y sus aplicaciones . Prensa CRC. pag. 294. ISBN 0-8493-3982-0.