Análisis matemático

Rama de las matemáticas

Un atractor extraño que surge de una ecuación diferencial . Las ecuaciones diferenciales son un área importante de análisis matemático con muchas aplicaciones a la ciencia y la ingeniería .

El análisis es la rama de las matemáticas que se ocupa de límites y teorías relacionadas, como diferenciación , integración , medida , series infinitas y funciones analíticas . ^{[1] [2]}

Estas teorías generalmente se estudian en el contexto de números y funciones reales y complejos . El análisis evolucionó del cálculo , que involucra los conceptos y técnicas elementales de análisis. El análisis se puede distinguir de la geometría ; sin embargo, se puede aplicar a cualquier espacio de objetos matemáticos que tenga una definición de proximidad (un espacio topológico ) o distancias específicas entre objetos (un espacio métrico ).

Historia

Arquímedes usó el método de agotamiento para calcular el área dentro de un círculo al encontrar el área de polígonos regulares con más y más lados. Este fue un ejemplo temprano pero informal de un límite , uno de los conceptos más básicos en el análisis matemático.

Antiguo

El análisis matemático se desarrolló formalmente en el siglo XVII durante la Revolución Científica , ^[3] pero muchas de sus ideas se remontan a matemáticos anteriores. Los primeros resultados del análisis estaban implícitamente presentes en los primeros días de la matemática griega antigua. Por ejemplo, una suma geométrica infinita está implícita en la paradoja de la dicotomía de Zenón . ^[4] Más tarde, matemáticos griegos como Eudoxo y Arquímedes hicieron un uso más explícito, pero informal, de los conceptos de límites y convergencia cuando utilizaron el método de agotamiento para calcular el área y el volumen de regiones y sólidos. ^[5]El uso explícito de infinitesimales aparece en El método de los teoremas mecánicos de Arquímedes , una obra redescubierta en el siglo XX. ^[6] En Asia, el matemático chino Liu Hui utilizó el método de agotamiento en el siglo III d. C. para encontrar el área de un círculo. ^[7] En las matemáticas indias , casos particulares de la aritmética y se ha encontrado que ocurren implícitamente en la literatura védica desde el año 2000 a. a principios del siglo IV a. C. ^[8] Ācārya Bhadrabāhuusa la suma de una suma de una serie geométrica en su Kalpasūtra en 433 AC ^[9]

Medieval

Zu Chongzhi estableció un método que luego se llamaría principio de Cavalieri para encontrar el volumen de una esfera en el siglo quinto. ^[10] El matemático indio Bhāskara II dio ejemplos de la derivada y usó lo que ahora se conoce como el teorema de Rolle en el siglo XII. ^[11]

En el siglo XIV, Madhava de Sangamagrama desarrolló expansiones de series infinitas , como la serie de potencias y la serie de Taylor , de funciones como seno , coseno , tangente y arctangente . ^[12] Junto con su desarrollo de la serie de Taylor de las funciones trigonométricas , también estimó la magnitud de los términos de error creados al truncar estas series y dio una aproximación racional de una serie infinita. Sus seguidores en la Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala expandieron aún más sus obras hasta el siglo XVI.

Moderno

Fundaciones

Los fundamentos modernos del análisis matemático se establecieron en la Europa del siglo XVII. ^[3] Esto comenzó cuando Descartes y Fermat desarrollaron independientemente la geometría analítica , que es la precursora del cálculo moderno. El método de adecuación de Fermat le permitió determinar los máximos y mínimos de funciones y las tangentes de curvas. ^[13] La publicación de Descartes de La Géométrie en 1637, que introdujo el sistema de coordenadas cartesianas , se considera el establecimiento del análisis matemático. Unas décadas más tarde, Newton y Leibniz desarrollaron independientementeel cálculo infinitesimal , que creció, con el estímulo del trabajo aplicado que continuó durante el siglo XVIII, hacia temas de análisis como el cálculo de variaciones , ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales , análisis de Fourier y funciones generadoras . Durante este período, se aplicaron técnicas de cálculo para aproximar problemas discretos por problemas continuos.

Modernización

En el siglo XVIII, Euler introdujo la noción de función matemática . ^[14] El análisis real comenzó a emerger como un tema independiente cuando Bernard Bolzano introdujo la definición moderna de continuidad en 1816, ^[15] pero el trabajo de Bolzano no se hizo ampliamente conocido hasta la década de 1870. En 1821, Cauchy comenzó a colocar el cálculo sobre una base lógica firme al rechazar el principio de la generalidad del álgebra ampliamente utilizado en trabajos anteriores, particularmente por Euler. En cambio, Cauchy formuló el cálculo en términos de ideas geométricas e infinitesimales . Por lo tanto, su definición de continuidad requería un cambio infinitesimal en xpara corresponder a un cambio infinitesimal en y . También introdujo el concepto de secuencia de Cauchy e inició la teoría formal del análisis complejo . Poisson , Liouville , Fourier y otros estudiaron ecuaciones diferenciales parciales y análisis armónico . Las contribuciones de estos matemáticos y otros, como Weierstrass , desarrollaron la definición (ε, δ) del enfoque límite , fundando así el campo moderno del análisis matemático.

A mediados del siglo XIX, Riemann presentó su teoría de la integración . El último tercio del siglo vio la aritmetización del análisis por Weierstrass , quien pensó que el razonamiento geométrico era intrínsecamente engañoso, e introdujo la definición de límite "épsilon-delta" . Entonces, los matemáticos comenzaron a preocuparse de que estaban asumiendo la existencia de un continuo de números reales sin pruebas. Dedekind luego construyó los números reales por cortes de Dedekind, en el que se definen formalmente los números irracionales, que sirven para llenar los "huecos" entre los números racionales, creando así un conjunto completo : el continuo de números reales, que ya había sido desarrollado por Simon Stevin en términos de expansiones decimales . Alrededor de esa época, los intentos de refinar los teoremas de la integración de Riemann llevaron al estudio del "tamaño" del conjunto de discontinuidades de funciones reales.

Además, comenzaron a investigarse los " monstruos " ( funciones continuas en ninguna parte , funciones continuas pero en ninguna parte diferenciables , curvas que llenan el espacio ). En este contexto, Jordan desarrolló su teoría de la medida , Cantor desarrolló lo que ahora se llama teoría de conjuntos ingenua y Baire demostró el teorema de la categoría de Baire . A principios del siglo XX, el cálculo se formalizó utilizando una teoría de conjuntos axiomática . Lebesgue resolvió el problema de medida e Hilbert introdujo espacios de Hilbert para resolverecuaciones integrales . La idea del espacio vectorial normado estaba en el aire y, en la década de 1920, Banach creó el análisis funcional .

Conceptos importantes

Espacios métricos

Artículo principal: espacio métrico

En matemáticas , un espacio métrico es un conjunto donde se define una noción de distancia (llamada métrica ) entre elementos del conjunto.

Gran parte del análisis ocurre en algún espacio métrico; los más utilizados son la línea real , el plano complejo , el espacio euclidiano , otros espacios vectoriales y los enteros . Los ejemplos de análisis sin una métrica incluyen la teoría de medidas (que describe el tamaño en lugar de la distancia) y el análisis funcional (que estudia los espacios vectoriales topológicos que no necesitan tener ningún sentido de distancia).

Formalmente, un espacio métrico es un par ordenado , donde es un conjunto y es una métrica en , es decir, una función${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

de modo que para cualquiera , se cumple lo siguiente:${\displaystyle x,y,z\in M}$

1. ${\displaystyle d(x,y)=0}$ si y solo si    ( identidad de indiscernibles ),${\displaystyle x=y}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$    ( simetría ), y
3. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$    ( desigualdad triangular ).

Al tomar la tercera propiedad y alquilar , se puede demostrar que     ( no negativo ).${\displaystyle z=x}$${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$

Secuencias y límites

Artículo principal: Secuencia

Una secuencia es una lista ordenada. Como un conjunto , contiene miembros (también llamados elementos o términos ). A diferencia de un conjunto, el orden importa y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones de la secuencia. Más precisamente, una secuencia se puede definir como una función cuyo dominio es un conjunto contable totalmente ordenado , como los números naturales .

Una de las propiedades más importantes de una secuencia es la convergencia . De manera informal, una secuencia converge si tiene un límite . Continuando de manera informal, una secuencia ( infinita simple ) tiene un límite si se acerca a algún punto x , llamado límite, cuando n se vuelve muy grande. Es decir, para una secuencia abstracta ( a _n ) (con n que va de 1 a infinito entendido) la distancia entre a _n y x se acerca a 0 cuando n → ∞, denotado

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=x.}$

Ramas principales

Análisis real

Artículo principal: Análisis real

El análisis real (tradicionalmente, la teoría de funciones de una variable real ) es una rama del análisis matemático que se ocupa de los números reales y las funciones de valor real de una variable real. ^{[16] [17]} En particular, se ocupa de las propiedades analíticas de las funciones y secuencias reales , incluida la convergencia y los límites de las secuencias de números reales, el cálculo de los números reales y la continuidad , suavidad y propiedades relacionadas de las funciones con valores reales. .

Análisis complejo

Artículo principal: análisis complejo

El análisis complejo , tradicionalmente conocido como teoría de funciones de una variable compleja , es la rama del análisis matemático que investiga las funciones de números complejos . ^[18] Es útil en muchas ramas de las matemáticas, incluida la geometría algebraica , la teoría de números , las matemáticas aplicadas ; así como en física , incluyendo hidrodinámica , termodinámica , ingeniería mecánica , ingeniería eléctrica y, en particular, teoría cuántica de campos .

El análisis complejo se ocupa particularmente de las funciones analíticas de variables complejas (o, más generalmente, funciones meromórficas ). Debido a que las partes real e imaginaria separadas de cualquier función analítica deben satisfacer la ecuación de Laplace , el análisis complejo es ampliamente aplicable a problemas bidimensionales en física .

Análisis funcional

Artículo principal: análisis funcional

El análisis funcional es una rama del análisis matemático, cuyo núcleo está formado por el estudio de espacios vectoriales dotados de algún tipo de estructura relacionada con límites (por ejemplo , producto interno , norma , topología , etc.) y los operadores lineales que actúan sobre estos espacios. y respetar estas estructuras en un sentido adecuado. ^{[19] [20]} Las raíces históricas del análisis funcional se encuentran en el estudio de los espacios de funciones y la formulación de propiedades de transformaciones de funciones como la transformada de Fourier como transformaciones que definen continuas , unitariasetc. operadores entre espacios funcionales. Este punto de vista resultó ser particularmente útil para el estudio de ecuaciones diferenciales e integrales .

Ecuaciones diferenciales

Artículo principal: Ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación matemática para una función desconocida de una o varias variables que relaciona los valores de la función en sí y sus derivadas de varios órdenes . ^{[21] [22] [23]} Las ecuaciones diferenciales desempeñan un papel destacado en la ingeniería , la física , la economía , la biología y otras disciplinas.

Las ecuaciones diferenciales surgen en muchas áreas de la ciencia y la tecnología, específicamente cuando se conoce o postula una relación determinista que involucra algunas cantidades continuamente variables (modeladas por funciones) y sus tasas de cambio en el espacio o el tiempo (expresadas como derivadas). Esto se ilustra en la mecánica clásica , donde el movimiento de un cuerpo se describe por su posición y velocidad a medida que varía el valor del tiempo. Las leyes de Newton permiten que uno (dada la posición, velocidad, aceleración y varias fuerzas que actúan sobre el cuerpo) exprese estas variables dinámicamente como una ecuación diferencial para la posición desconocida del cuerpo en función del tiempo. En algunos casos, esta ecuación diferencial (llamada ecuación de movimiento) puede resolverse explícitamente.

Teoría de la medida

Artículo principal: Medir (matemáticas)

Una medida en un conjunto es una forma sistemática de asignar un número a cada subconjunto adecuado de ese conjunto, interpretado intuitivamente como su tamaño. ^[24] En este sentido, una medida es una generalización de los conceptos de longitud, área y volumen. Un ejemplo particularmente importante es la medida de Lebesgue en un espacio euclidiano , que asigna la longitud , el área y el volumen convencionales de la geometría euclidiana a subconjuntos adecuados del espacio euclidiano dimensional . Por ejemplo, la medida de Lebesgue del intervalo en los números reales${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left[0,1\right]}$es su longitud en el sentido cotidiano de la palabra, específicamente, 1.

Técnicamente, una medida es una función que asigna un número real no negativo o + ∞ a (ciertos) subconjuntos de un conjunto . Debe asignar 0 al conjunto vacío y ser ( contablemente ) aditivo: la medida de un subconjunto 'grande' que se puede descomponer en un número finito (o contable) de subconjuntos disjuntos 'más pequeños', es la suma de las medidas del subconjuntos "más pequeños". En general, si uno quiere asociar un tamaño consistente a cada subconjunto de un conjunto dado mientras se satisfacen los otros axiomas de una medida, solo se encuentran ejemplos triviales como la medida de contar . Este problema se resolvió definiendo la medida solo en una subcolección de todos los subconjuntos; el llamado medible${\displaystyle X}$subconjuntos, que se requieren para formar un -álgebra . Esto significa que las uniones contables , las intersecciones contables y los complementos de subconjuntos medibles son medibles. Los conjuntos no medibles en un espacio euclidiano, en los que la medida de Lebesgue no se puede definir de manera consistente, son necesariamente complicados en el sentido de estar mal mezclados con su complemento. De hecho, su existencia es una consecuencia no trivial del axioma de elección . σ {\ Displaystyle \ sigma}

Análisis numérico

Artículo principal: análisis numérico

El análisis numérico es el estudio de algoritmos que utilizan la aproximación numérica (en oposición a las manipulaciones simbólicas generales ) para los problemas de análisis matemático (a diferencia de las matemáticas discretas ). ^[25]

El análisis numérico moderno no busca respuestas exactas, porque las respuestas exactas a menudo son imposibles de obtener en la práctica. En cambio, gran parte del análisis numérico se ocupa de obtener soluciones aproximadas manteniendo límites razonables para los errores.

El análisis numérico naturalmente encuentra aplicaciones en todos los campos de la ingeniería y las ciencias físicas, pero en el siglo XXI, las ciencias de la vida e incluso las artes han adoptado elementos de cálculos científicos. Las ecuaciones diferenciales ordinarias aparecen en la mecánica celeste (planetas, estrellas y galaxias); el álgebra lineal numérica es importante para el análisis de datos; Las ecuaciones diferenciales estocásticas y las cadenas de Markov son esenciales en la simulación de células vivas para la medicina y la biología.

Análisis vectorial

Artículo principal: Vector (matemáticas)

Análisis tensorial

Artículo principal: Tensor (matemáticas)

Otros temas

• El cálculo de variaciones se ocupa de las funciones extremas , a diferencia del cálculo ordinario que se ocupa de las funciones .
• El análisis armónico se ocupa de la representación de funciones o señales como la superposición de ondas básicas .
• El análisis geométrico implica el uso de métodos geométricos en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales y la aplicación de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales a la geometría.
• El análisis de Clifford , el estudio de las funciones valoradas por Clifford que son aniquiladas por Dirac o operadores similares a Dirac, denominados en general funciones monogénicas o analíticas de Clifford.
• análisis p -ádico , el estudio del análisis dentro del contexto de los números p -ádicos , que difiere en algunas formas interesantes y sorprendentes de sus contrapartes reales y complejas.
• Análisis no estándar , que investiga los números hiperreales y sus funciones y da un tratamiento riguroso de infinitesimales y números infinitamente grandes.
• Análisis computable , el estudio de qué partes del análisis se pueden realizar de manera computable .
• Cálculo estocástico : nociones analíticas desarrolladas para procesos estocásticos .
• Análisis con valores establecidos : aplica ideas del análisis y la topología a funciones con valores establecidos.
• Análisis convexo , el estudio de conjuntos y funciones convexas.
• Análisis idempotente : análisis en el contexto de un semiring idempotente , donde la falta de un inverso aditivo se compensa de alguna manera con la regla idempotente A + A = A.
  • Análisis tropical - análisis del semiring idempotente llamado semiring tropical (o álgebra max-plus / álgebra min-plus ).

Aplicaciones

Las técnicas de análisis también se encuentran en otras áreas como:

Ciencias físicas

La gran mayoría de la mecánica clásica , la relatividad y la mecánica cuántica se basa en el análisis aplicado, y en las ecuaciones diferenciales en particular. Ejemplos de ecuaciones diferenciales importantes incluyen la segunda ley de Newton , la ecuación de Schrödinger y las ecuaciones de campo de Einstein .

El análisis funcional también es un factor importante en la mecánica cuántica .

Procesamiento de señales

Al procesar señales, como audio , ondas de radio , ondas de luz, ondas sísmicas e incluso imágenes, el análisis de Fourier puede aislar componentes individuales de una forma de onda compuesta, concentrándolos para una detección o eliminación más fácil. Una gran familia de técnicas de procesamiento de señales consiste en transformar una señal de Fourier, manipular los datos transformados de Fourier de una manera simple e invertir la transformación. ^[26]

Otras áreas de las matemáticas

Las técnicas de análisis se utilizan en muchas áreas de las matemáticas, que incluyen:

• Teoría analítica de números
• Combinatoria analítica
• Probabilidad continua
• La entropía diferencial en la teoría de la información
• Juegos diferenciales
• Geometría diferencial , la aplicación del cálculo a espacios matemáticos específicos conocidos como variedades que poseen una estructura interna complicada pero se comportan de manera simple localmente.
• Variedades diferenciables
• Topología diferencial
• Ecuaciones diferenciales parciales

Ver también

• Análisis constructivo
• Historia del cálculo
• Análisis hipercomplejo
• Análisis no clásico
• Lógica paraconsistente
• Análisis infinitesimal suave
• Cronología del cálculo y análisis matemático

Notas

1. Edwin Hewitt y Karl Stromberg, "Análisis real y abstracto", Springer-Verlag, 1965
2. Stillwell, John Colin. "análisis | matemáticas" . Encyclopædia Britannica . Archivado desde el original el 26 de julio de 2015 . Consultado el 31 de julio de 2015 .
3. Jahnke, Hans Niels (2003). Una historia del análisis . Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 7. ISBN 978-0-8218-2623-2. Archivado desde el original el 17 de mayo de 2016 . Consultado el 15 de noviembre de 2015 .
4. Stillwell (2004). "Series infinitas".Matemáticas y su historia(2ª ed.). Springer Science + Business Media Inc. p. 170. ISBN 978-0-387-95336-6. Las series infinitas estaban presentes en las matemáticas griegas, [...] No hay duda de que la paradoja de la dicotomía de Zenón (Sección 4.1), por ejemplo, se refiere a la descomposición del número 1 en la serie infinita ¹ ⁄ ₂ + ¹ ⁄ ₂ ² + ¹ ⁄ ₂ ³ + ¹ ⁄ ₂ ⁴ + ... y que Arquímedes encontró el área del segmento parabólico (Sección 4.4) esencialmente sumando la serie infinita 1 + ¹ ⁄ ₄ + ¹ ⁄ ₄ ² + ¹ ⁄ ₄ ³ + ... = ⁴⁄ ₃ . Ambos ejemplos son casos especiales del resultado que expresamos como suma de una serie geométrica
5. Smith, 1958 .
6. Pinto, J. Sousa (2004). Métodos infinitesimales de análisis matemático . Publicación de Horwood. pag. 8. ISBN 978-1-898563-99-0. Archivado desde el original el 11 de junio de 2016 . Consultado el 15 de noviembre de 2015 .
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Referencias

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Enlaces externos

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• Usos conocidos más tempranos de algunas de las palabras de las matemáticas: cálculo y análisis
• Análisis básico: Introducción al análisis real por Jiri Lebl ( Creative Commons BY-NC-SA )
• Análisis matemático-Encyclopædia Britannica
• Cálculo y análisis