Economía matemática

Aplicación de métodos matemáticos para representar teorías y analizar problemas en economía.

Parte de una serie sobre
Ciencias económicas
Índice Esquema Categoría
Historia Sucursales Clasificación Historia de la economia Escuelas de economia Economía convencional Economía heterodoxa Metodología económica Teoría económica Economía política Microeconomía Macroeconómica Economía Internacional Economía Aplicada Economía matemática Econometría Códigos de clasificación JEL
Conceptos Teoría Técnicas Sistemas economicos Crecimiento económico Mercado Contabilidad nacional Economía experimental Economía computacional Teoría de juego La investigación de operaciones Trampa de ingresos medios Complejo industrial
Por aplicacion Agrícola Conductual Negocio Cultural Demográfico Desarrollo Digitalización Ecológico Educación Ingenieria Ambiental Evolutivo Expedicionario Geografía economica Financiero Salud Historia economica Organización Industrial Información Institucional Conocimiento Labor Ley Gerencial Monetario Recurso natural Organizativo Personal Planificación económica Política económica Economía pública Elección pública  / social Regional Rural Servicio Socioeconomia Sociología económica Estadísticas económicas Urbano Bienestar Economía del bienestar
Economistas notables François Quesnay Adam Smith David Ricardo Thomas Robert Malthus John Stuart Mill Karl Marx William Stanley Jevons Léon Walras Alfred Marshall Irving Fisher John Maynard Keynes Arthur Cecil Pigou John Hicks Wassily Leontief Paul Samuelson más
Liza Economistas Publicaciones  ( revistas )
Glosario Glosario de economía
Portal de negocios  Portal de dinero
v t mi

La economía matemática es la aplicación de métodos matemáticos para representar teorías y analizar problemas en economía . Por convención, estos métodos aplicados van más allá de la geometría simple, como el cálculo diferencial e integral , las ecuaciones diferenciales y diferenciales , el álgebra matricial , la programación matemática y otros métodos computacionales . ^{[1] [2]} Los defensores de este enfoque afirman que permite la formulación de relaciones teóricas con rigor, generalidad y sencillez. ^[3]

Las matemáticas permiten a los economistas formar proposiciones significativas y comprobables sobre temas complejos y de amplio alcance que podrían expresarse con menos facilidad de manera informal. Además, el lenguaje de las matemáticas permite a los economistas hacer afirmaciones positivas y específicas sobre temas controvertidos o polémicos que serían imposibles sin las matemáticas. ^[4] Gran parte de la teoría económica se presenta actualmente en términos de modelos económicos matemáticos , un conjunto de relaciones matemáticas simplificadas y estilizadas que se afirman para aclarar supuestos e implicaciones. ^[5]

Las aplicaciones amplias incluyen:

• Problemas de optimización en cuanto al equilibrio de la meta, ya sea de un hogar, empresa comercial o formulador de políticas.
• Análisis estático (o de equilibrio ) en el que la unidad económica (como un hogar) o el sistema económico (como un mercado o la economía ) se modela como si no cambia
• estática comparativa en cuanto a un cambio de un equilibrio a otro inducido por un cambio en uno o más factores
• análisis dinámico , rastreando los cambios en un sistema económico a lo largo del tiempo, por ejemplo, del crecimiento económico . ^{[2] [6] [7]}

El modelado económico formal comenzó en el siglo XIX con el uso del cálculo diferencial para representar y explicar el comportamiento económico, como la maximización de la utilidad , una aplicación económica temprana de la optimización matemática . La economía se volvió más matemática como disciplina a lo largo de la primera mitad del siglo XX, pero la introducción de técnicas nuevas y generalizadas en el período cercano a la Segunda Guerra Mundial , como en la teoría de juegos , ampliaría enormemente el uso de formulaciones matemáticas en economía. ^{[8] [7]}

Esta rápida sistematización de la economía alarmó a los críticos de la disciplina, así como a algunos economistas destacados. John Maynard Keynes , Robert Heilbroner , Friedrich Hayek y otros han criticado el uso generalizado de modelos matemáticos para el comportamiento humano, argumentando que algunas elecciones humanas son irreductibles a las matemáticas.

Historia

Artículo principal: Historia del pensamiento económico

El uso de las matemáticas al servicio del análisis económico y social se remonta al siglo XVII. Luego, principalmente en las universidades alemanas , surgió un estilo de instrucción que se ocupaba específicamente de la presentación detallada de datos relacionados con la administración pública. Gottfried Achenwall dio una conferencia de esta manera, acuñando el término estadística . Al mismo tiempo, un pequeño grupo de profesores en Inglaterra estableció un método de "razonamiento por cifras sobre cosas relacionadas con el gobierno" y se refirió a esta práctica como Aritmética Política . ^[9] Sir William Petty escribió extensamente sobre temas que luego preocuparían a los economistas, como los impuestos, la velocidad del dinero yrenta nacional , pero aunque su análisis fue numérico, rechazó la metodología matemática abstracta. El uso de Petty de datos numéricos detallados (junto con John Graunt ) influiría en los estadísticos y economistas durante algún tiempo, a pesar de que los trabajos de Petty fueron ignorados en gran medida por los estudiosos ingleses. ^[10]

La matematización de la economía comenzó en serio en el siglo XIX. La mayor parte del análisis económico de la época fue lo que más tarde se llamaría economía clásica . Se discutieron los temas y se prescindió de ellos a través de medios algebraicos , pero no se utilizó el cálculo. Más importante aún, hasta que Johann Heinrich von Thünen Es El estado aislado en 1826, los economistas no se desarrollaron modelos explícitos y abstractas de conducta con el fin de aplicar las herramientas de las matemáticas. El modelo de Thünen de uso de tierras agrícolas representa el primer ejemplo de análisis marginal. ^[11] El trabajo de Thünen fue en gran parte teórico, pero también extrajo datos empíricos para intentar respaldar sus generalizaciones. En comparación con sus contemporáneos, Thünen construyó modelos y herramientas económicos, en lugar de aplicar herramientas anteriores a nuevos problemas. ^[12]

Mientras tanto, una nueva cohorte de académicos entrenados en los métodos matemáticos de las ciencias físicas gravitó hacia la economía, defendiendo y aplicando esos métodos a su tema, ^[13] y describió hoy como el movimiento de la geometría a la mecánica . ^[14] Estos incluyeron a WS Jevons, quien presentó un artículo sobre una "teoría matemática general de la economía política" en 1862, proporcionando un esquema para el uso de la teoría de la utilidad marginal en la economía política. ^[15] En 1871, publicó Los principios de la economía política., declarando que el sujeto como ciencia "debe ser matemático simplemente porque trata de cantidades". Jevons esperaba que solo la recopilación de estadísticas de precios y cantidades permitiría que el tema, tal como se presentaba, se convirtiera en una ciencia exacta. ^[16] Otros precedieron y siguieron en la expansión de las representaciones matemáticas de los problemas económicos .^[17]

Los marginalistas y las raíces de la economía neoclásica

Artículo principal: Marginalismo

Cantidades de equilibrio como solución a dos funciones de reacción en el duopolio de Cournot. Cada función de reacción se expresa como una ecuación lineal que depende de la cantidad demandada.

Augustin Cournot y Léon Walras construyeron las herramientas de la disciplina axiomáticamente en torno a la utilidad, argumentando que los individuos buscaban maximizar su utilidad a través de elecciones de una manera que podría describirse matemáticamente. ^[18] En ese momento, se pensaba que la utilidad era cuantificable, en unidades conocidas como utils . ^[19] Cournot, Walras y Francis Ysidro Edgeworth se consideran los precursores de la economía matemática moderna. ^[20]

Augustin Cournot

Cournot, profesor de matemáticas, desarrolló un tratamiento matemático en 1838 para el duopolio, una condición de mercado definida por la competencia entre dos vendedores. ^[20] Este tratamiento de la competencia, publicado por primera vez en Investigaciones sobre los principios matemáticos de la riqueza , ^[21] se conoce como duopolio de Cournot . Se supone que ambos vendedores tenían igual acceso al mercado y podían producir sus bienes sin costo alguno. Además, asumió que ambos bienes eran homogéneos. Cada vendedor variaría su producción en función de la producción del otro y el precio de mercado estaría determinado por la cantidad total ofrecida. El beneficio de cada empresa se determinaría multiplicando su producción y el precio de mercado por unidad . Diferenciar la función de ganancia con respecto a la cantidad ofrecida para cada empresa dejó un sistema de ecuaciones lineales, cuya solución simultánea dio la cantidad, el precio y las ganancias de equilibrio. ^[22] Las contribuciones de Cournot a la matematización de la economía serían ignoradas durante décadas, pero eventualmente influyeron en muchos de los marginalistas . ^{[22] [23]} Los modelos de duopolio y oligopolio de Cournot también representan una de las primeras formulaciones dejuegos no cooperativos . Hoy en día, la solución se puede dar como un equilibrio de Nash, pero el trabajo de Cournot precedió a la teoría de juegos moderna en más de 100 años. ^[24]

Léon Walras

Si bien Cournot proporcionó una solución para lo que más tarde se llamaría equilibrio parcial, Léon Walras intentó formalizar la discusión de la economía en su conjunto a través de una teoría del equilibrio competitivo general . El comportamiento de cada actor económico se consideraría tanto del lado de la producción como del consumo. Walras presentó originalmente cuatro modelos de intercambio separados, cada uno incluido de forma recursiva en el siguiente. La solución del sistema de ecuaciones resultante (tanto lineal como no lineal) es el equilibrio general. ^[25] En ese momento, no se podía expresar una solución general para un sistema de muchas ecuaciones arbitrariamente, pero los intentos de Walras produjeron dos resultados famosos en economía. El primero es la ley de Walras y el segundo es el principio detâtonnement . El método de Walras se consideró altamente matemático para la época y Edgeworth comentó extensamente sobre este hecho en su revisión de Éléments d'économie politique pure (Elementos de la economía pura). ^[26]

La ley de Walras se introdujo como una respuesta teórica al problema de determinar las soluciones en equilibrio general. Su notación es diferente de la notación moderna, pero se puede construir utilizando una notación sumatoria más moderna. Walras supuso que en equilibrio, todo el dinero se gastaría en todos los bienes: cada bien se vendería al precio de mercado por ese bien y cada comprador gastaría su último dólar en una canasta de bienes. A partir de esta suposición, Walras pudo entonces demostrar que si hubiera n mercados y n-1 mercados despejados (alcanzado condiciones de equilibrio), el enésimo mercado también lo haría. Esto es más fácil de visualizar con dos mercados (considerados en la mayoría de los textos como un mercado de bienes y un mercado de dinero). Si uno de los dos mercados ha alcanzado un estado de equilibrio, no hay bienes adicionales (o por el contrario,dinero) puede entrar o salir del segundo mercado, por lo que también debe estar en un estado de equilibrio. Walras usó esta declaración para avanzar hacia una prueba de la existencia de soluciones para el equilibrio general, pero se usa comúnmente hoy en día para ilustrar la compensación del mercado en los mercados monetarios a nivel de pregrado.^[27]

Tâtonnement (aproximadamente, francés para tantear hacia ) estaba destinado a servir como la expresión práctica del equilibrio general walrasiano. Walras abstrajo el mercado como una subasta de bienes donde el subastador anunciaría los precios y los participantes del mercado esperarían hasta que cada uno pudiera satisfacer sus precios de reserva personales por la cantidad deseada (recordando aquí que esta es una subasta de todos los bienes, por lo que todos tienen un precio de reserva para su canasta de productos deseada). ^[28]

Solo cuando todos los compradores estén satisfechos con el precio de mercado dado, se producirían las transacciones. El mercado se "liquidaría" a ese precio; no existiría ningún excedente o escasez. La palabra tâtonnement se usa para describir las direcciones que toma el mercado para alcanzar el equilibrio, estableciendo precios altos o bajos en diferentes bienes hasta que se acuerde un precio para todos los bienes. Si bien el proceso parece dinámico, Walras solo presentó un modelo estático, ya que no ocurrirían transacciones hasta que todos los mercados estuvieran en equilibrio. En la práctica, muy pocos mercados operan de esta manera. ^[29]

Francis Ysidro Edgeworth

Edgeworth introdujo elementos matemáticos a la economía explícitamente en Mathematical Psychics: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences , publicado en 1881. ^[30] Adoptó el feliz cálculo de Jeremy Bentham para el comportamiento económico, permitiendo que el resultado de cada decisión sea convertido en un cambio de utilidad. ^[31] Usando este supuesto, Edgeworth construyó un modelo de intercambio sobre tres supuestos: los individuos tienen interés propio, los individuos actúan para maximizar la utilidad y los individuos son "libres de recontratar con otro independientemente de ... cualquier tercero". ^[32]

Un cuadro de Edgeworth que muestra la curva del contrato en una economía con dos participantes. Conocido como el "núcleo" de la economía en el lenguaje moderno, hay infinitas soluciones a lo largo de la curva para economías con dos participantes ^[33]

Dados dos individuos, el conjunto de soluciones donde ambos individuos pueden maximizar la utilidad se describe mediante la curva de contrato en lo que ahora se conoce como una caja de Edgeworth . Técnicamente, la construcción de la solución de dos personas al problema de Edgeworth no fue desarrollada gráficamente hasta 1924 por Arthur Lyon Bowley . ^[34] La curva de contrato de la caja de Edgeworth (o más generalmente en cualquier conjunto de soluciones al problema de Edgeworth para más actores) se conoce como el núcleo de una economía. ^[35]

Edgeworth dedicó un esfuerzo considerable a insistir en que las demostraciones matemáticas eran apropiadas para todas las escuelas de pensamiento en economía. Mientras estaba al frente de The Economic Journal , publicó varios artículos en los que criticaba el rigor matemático de investigadores rivales, incluido Edwin Robert Anderson Seligman , un notable escéptico de la economía matemática. ^[36] Los artículos se centraron en un vaivén sobre la incidencia fiscal.y respuestas de los productores. Edgeworth notó que un monopolio que producía un bien que tenía una oferta conjunta pero no una demanda conjunta (como primera clase y clase económica en un avión, si el avión vuela, ambos juegos de asientos vuelan con él) en realidad podría reducir el precio visto por el operador. consumidor por uno de los dos productos básicos si se aplicara un impuesto. El sentido común y el análisis numérico más tradicional parecían indicar que esto era absurdo. Seligman insistió en que los resultados que logró Edgeworth fueron una peculiaridad de su formulación matemática. Sugirió que la suposición de una función de demanda continua y un cambio infinitesimal en el impuesto dieron como resultado las predicciones paradójicas. Harold Hotellingluego demostró que Edgeworth tenía razón y que el mismo resultado (una "disminución del precio como resultado del impuesto") podría ocurrir con una función de demanda discontinua y grandes cambios en la tasa impositiva. ^[37]

Economía matemática moderna

Desde finales de la década de 1930, se desplegó una serie de nuevas herramientas matemáticas del cálculo diferencial y ecuaciones diferenciales, conjuntos convexos y teoría de grafos para hacer avanzar la teoría económica de una manera similar a los nuevos métodos matemáticos aplicados anteriormente a la física. ^{[8] [38]} El proceso se describió más tarde como pasar de la mecánica a la axiomática . ^[39]

Cálculo diferencial

Artículos principales: Fundamentos del análisis económico y cálculo diferencial

Ver también: eficiencia de Pareto y subasta walrasiana

Vilfredo Pareto analizó la microeconomía tratando las decisiones de los actores económicos como intentos de cambiar una asignación determinada de bienes por otra asignación más preferida. Los conjuntos de asignaciones podrían entonces tratarse como Pareto eficientes (Pareto óptimo es un término equivalente) cuando no podrían ocurrir intercambios entre actores que pudieran mejorar al menos a un individuo sin empeorar a cualquier otro individuo. ^[40] a prueba de Pareto se confunden frecuentemente con Walrassian equilibrio o informalmente atribuye a Adam Smith 's mano invisible hipótesis. ^[41] Más bien, la declaración de Pareto fue la primera afirmación formal de lo que se conocería como elprimer teorema fundamental de la economía del bienestar . ^[42] Estos modelos carecían de las desigualdades de la próxima generación de economía matemática.

En el histórico tratado Foundations of Economic Analysis (1947), Paul Samuelson identificó un paradigma común y una estructura matemática en múltiples campos del tema, basándose en trabajos previos de Alfred Marshall . Los fundamentos tomaron conceptos matemáticos de la física y los aplicaron a problemas económicos. Esta visión amplia (por ejemplo, comparando el principio de Le Chatelier con el tâtonnement) impulsa la premisa fundamental de la economía matemática: los sistemas de actores económicos pueden ser modelados y su comportamiento descrito de manera muy similar a cualquier otro sistema. Esta extensión siguió el trabajo de los marginalistas en el siglo anterior y lo extendió significativamente. Samuelson abordó los problemas de aplicar la maximización de la utilidad individual sobre grupos agregados con estática comparativa , que compara dos estados de equilibrio diferentes después de un cambio exógeno en una variable. Este y otros métodos del libro proporcionaron la base para la economía matemática en el siglo XX. ^{[7] [43]}

Modelos lineales

Ver también: álgebra lineal , programación lineal y teorema de Perron-Frobenius

John von Neumann formuló modelos restringidos de equilibrio general en 1937. ^[44] A diferencia de las versiones anteriores, los modelos de von Neumann tenían restricciones de desigualdad. Para su modelo de una economía en expansión, von Neumann demostró la existencia y unicidad de un equilibrio utilizando su generalización del teorema del punto fijo de Brouwer . El modelo de Von Neumann de una economía en expansión consideró la matriz lápiz  A - λ B con matrices no negativas  A y B ; von Neumann trató de probabilidad vectores p y  q y un número positivo  λ que resolvería el  ecuación de complementariedad

p ^T  ( A - λ  B ) q = 0 ,

junto con dos sistemas de desigualdad que expresan eficiencia económica. En este modelo, el vector de probabilidad ( transpuesto ) p representa los precios de los bienes, mientras que el vector de probabilidad q representa la "intensidad" a la que se desarrollaría el proceso de producción. La solución única λ representa la tasa de crecimiento de la economía, que es igual a la tasa de interés . Probar la existencia de una tasa de crecimiento positiva y demostrar que la tasa de crecimiento es igual a la tasa de interés fueron logros notables, incluso para von Neumann. ^{[45] [46] [47]} Los resultados de Von Neumann se han visto como un caso especial de programación lineal, donde el modelo de von Neumann usa solo matrices no negativas. ^[48] El estudio del modelo de von Neumann de una economía en expansión continúa interesando a los economistas matemáticos interesados ​​en la economía computacional. ^{[49] [50] [51]}

Economía de insumo-producto

Artículo principal: Modelo input-output

En 1936, el economista nacido en Rusia Wassily Leontief construyó su modelo de análisis de insumo-producto a partir de las tablas de "balance de materiales" construidas por economistas soviéticos, que a su vez siguieron trabajos anteriores de los fisiócratas . Con su modelo, que describía un sistema de procesos de producción y demanda, Leontief describió cómo los cambios en la demanda en un sector económico influirían en la producción en otro. ^[52] En la práctica, Leontief estimó los coeficientes de sus modelos simples para abordar cuestiones económicamente interesantes. En economía de producciónLas "tecnologías de Leontief" producen productos utilizando proporciones constantes de insumos, independientemente del precio de los insumos, lo que reduce el valor de los modelos de Leontief para comprender las economías pero permite estimar sus parámetros con relativa facilidad. Por el contrario, el modelo de von Neumann de una economía en expansión permite la elección de técnicas , pero los coeficientes deben estimarse para cada tecnología. ^{[53] [54]}

Optimización matemática

Punto rojo en la dirección z como máximo para la función paraboloide de las entradas (x, y)

Artículos principales: Optimización matemática y problema dual

Ver también: Convexidad en economía y No convexidad (economía)

En matemáticas, la optimización matemática (u optimización o programación matemática) se refiere a la selección del mejor elemento de un conjunto de alternativas disponibles. ^[55] En el caso más simple, un problema de optimización implica maximizar o minimizar una función real seleccionando valores de entrada de la función y calculando los valores correspondientes de la función. El proceso de solución incluye la satisfacción de las condiciones generales necesarias y suficientes para la optimización . Para problemas de optimización, notación especializadase puede utilizar en cuanto a la función y su (s) entrada (s). De manera más general, la optimización incluye encontrar el mejor elemento disponible de alguna función dado un dominio definido y puede usar una variedad de diferentes técnicas de optimización computacional . ^[56]

La economía está estrechamente vinculada a la optimización suficiente por los agentes en una economía que una definición influyente describe relacionado con lo anterior la economía qua la ciencia como el "estudio del comportamiento humano como una relación entre fines y los escasos medios" con usos alternativos. ^{[57] Los} problemas de optimización se encuentran en la economía moderna, muchos de ellos con limitaciones económicas o técnicas explícitas. En microeconomía, el problema de maximización de la utilidad y su problema dual , el problema de minimización del gasto para un nivel dado de utilidad, son problemas de optimización económica. ^{[58] La} teoría postula que los consumidores maximizar su utilidad , sujeto a sus restricciones presupuestarias y que las empresas maximicen sus ganancias , sujeto a sus funciones de producción , costos de insumos y demanda del mercado . ^[59]

El equilibrio económico se estudia en la teoría de la optimización como un ingrediente clave de los teoremas económicos que, en principio, podrían contrastarse con datos empíricos. ^{[7] [60] Se} han producido nuevos desarrollos en programación dinámica y optimización de modelos con riesgo e incertidumbre , incluidas aplicaciones a la teoría de carteras , la economía de la información y la teoría de búsqueda . ^[59]

Las propiedades de optimalidad para un sistema de mercado completo pueden expresarse en términos matemáticos, como en la formulación de los dos teoremas fundamentales de la economía del bienestar ^[61] y en el modelo de equilibrio general de Arrow-Debreu (que también se analiza más adelante ). ^[62] Más concretamente, muchos problemas son susceptibles de solución analítica (formulada). Muchos otros pueden ser lo suficientemente complejos como para requerir métodos numéricos de solución, con la ayuda de software. ^[56] Aún otros son complejos pero lo suficientemente manejables como para permitir métodos computables de solución, en particular el equilibrio general computable.modelos para toda la economía. ^[63]

La programación lineal y no lineal ha afectado profundamente a la microeconomía, que anteriormente solo había considerado las restricciones de igualdad. ^[64] Muchos de los economistas matemáticos que recibieron premios Nobel de Economía habían realizado investigaciones notables utilizando programación lineal: Leonid Kantorovich , Leonid Hurwicz , Tjalling Koopmans , Kenneth J. Arrow , Robert Dorfman , Paul Samuelson y Robert Solow . ^[65] Tanto Kantorovich como Koopmans reconocieron que George B. Dantzigmerecían compartir su premio Nobel de programación lineal. Los economistas que realizaron investigaciones en programación no lineal también han ganado el premio Nobel, en particular Ragnar Frisch, además de Kantorovich, Hurwicz, Koopmans, Arrow y Samuelson.

Optimización lineal

Artículos principales: Programación lineal y algoritmo Simplex

La programación lineal se desarrolló para ayudar a la asignación de recursos en empresas e industrias durante la década de 1930 en Rusia y durante la de 1940 en Estados Unidos. Durante el puente aéreo de Berlín (1948) , se utilizó la programación lineal para planificar el envío de suministros para evitar que Berlín muriera de hambre después del bloqueo soviético. ^{[66] [67]}

Programación no lineal

Consulte también: programación no lineal , multiplicador lagrangiano , condiciones de Karush-Kuhn-Tucker y precio sombra

Albert W. Tucker y Harold Kuhn lograron extensiones a la optimización no lineal con restricciones de desigualdad en 1951 , quienes consideraron el problema de la optimización no lineal :

Minimizar ( ) sujeto a _i ( ) ≤ 0 y _j ( ) = 0 donde${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x}$${\displaystyle h}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle f}$( ^. ) es la función a minimizar

${\displaystyle g}$_i ( ^. ) (= 1, ...,) son las funciones de las restricciones de desigualdad${\displaystyle i}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle h}$_j ( ^. ) ( = 1, ..., ) son las funciones de las restricciones de igualdad.${\displaystyle j}$${\displaystyle l}$${\displaystyle l}$

Al permitir restricciones de desigualdad, el enfoque de Kuhn-Tucker generalizó el método clásico de los multiplicadores de Lagrange , que (hasta entonces) solo había permitido restricciones de igualdad. ^[68] El enfoque de Kuhn-Tucker inspiró nuevas investigaciones sobre la dualidad lagrangiana, incluido el tratamiento de las limitaciones de la desigualdad. ^{[69] [70]} La teoría de la dualidad de la programación no lineal es particularmente satisfactoria cuando se aplica a problemas de minimización convexa , que disfrutan de la teoría de la dualidad convexo-analítica de Fenchel y Rockafellar ; esta dualidad convexa es particularmente fuerte para funciones convexas poliédricas, como los que surgen en la programación lineal . La dualidad lagrangiana y el análisis convexo se utilizan a diario en la investigación de operaciones , en la programación de plantas de energía, la planificación de programas de producción para fábricas y el enrutamiento de aerolíneas (rutas, vuelos, aviones, tripulaciones). ^[70]

Cálculo variacional y control óptimo

Ver también: Cálculo de variaciones , Control óptimo y Programación dinámica

La dinámica económica permite cambios en las variables económicas a lo largo del tiempo, incluso en los sistemas dinámicos . El problema de encontrar funciones óptimas para tales cambios se estudia en cálculo variacional y en teoría de control óptimo . Antes de la Segunda Guerra Mundial, Frank Ramsey y Harold Hotelling utilizaron el cálculo de variaciones con ese fin.

Siguiendo el trabajo de Richard Bellman sobre programación dinámica y la traducción al inglés de 1962 del trabajo anterior de L. Pontryagin et al ., ^{[71] la} teoría del control óptimo se utilizó más ampliamente en economía para abordar problemas dinámicos, especialmente en lo que respecta al equilibrio del crecimiento económico y estabilidad de los sistemas económicos ^[72], de los cuales un ejemplo de libro de texto es el consumo y el ahorro óptimos . ^[73] Una distinción crucial es entre modelos de control deterministas y estocásticos. ^[74] Otras aplicaciones de la teoría del control óptimo incluyen las de finanzas, inventarios y producción, por ejemplo. ^[75]

Análisis funcional

Ver también: análisis funcional , conjunto convexo , hiperplano de apoyo , teorema de Hahn-Banach , teorema del punto fijo y espacio dual

Fue en el curso de probar la existencia de un equilibrio óptimo en su modelo de crecimiento económico de 1937 que John von Neumann introdujo métodos analíticos funcionales para incluir la topología en la teoría económica, en particular, la teoría del punto fijo a través de su generalización de la teoría fija de Brouwer. teorema del punto . ^{[8] [44] [76]} Siguiendo el programa de von Neumann, Kenneth Arrow y Gérard Debreu formularon modelos abstractos de equilibrios económicos utilizando conjuntos convexos y teoría de punto fijo. Al presentar el modelo Arrow-Debreuen 1954, demostraron la existencia (pero no la unicidad) de un equilibrio y también demostraron que todo equilibrio de Walras es Pareto eficiente ; en general, los equilibrios no tienen por qué ser únicos. ^[77] En sus modelos, el espacio vectorial ("primario") representaba cantidades mientras que el espacio vectorial "dual" representaba precios . ^[78]

En Rusia, el matemático Leonid Kantorovich desarrolló modelos económicos en espacios vectoriales parcialmente ordenados , que enfatizaban la dualidad entre cantidades y precios. ^[79] Kantorovich renombró los precios como "valoraciones determinadas objetivamente", que se abreviaban en ruso como "o. O. O.", En alusión a la dificultad de discutir los precios en la Unión Soviética. ^{[78] [80] [81]}

Incluso en dimensiones finitas, los conceptos de análisis funcional han iluminado la teoría económica, particularmente al aclarar el papel de los precios como vectores normales a un hiperplano que sostiene un conjunto convexo, que representa posibilidades de producción o consumo. Sin embargo, los problemas de descripción de la optimización en el tiempo o bajo incertidumbre requieren el uso de espacios funcionales de dimensión infinita, porque los agentes eligen entre funciones o procesos estocásticos . ^{[78] [82] [83] [84]}

Aumento y descenso diferencial

Ver también: análisis global , categoría de Baire y lema de Sard

El trabajo de John von Neumann sobre análisis funcional y topología abrió nuevos caminos en matemáticas y teoría económica. ^{[44] [85]} También dejó a la economía matemática avanzada con menos aplicaciones del cálculo diferencial. En particular, los teóricos del equilibrio general utilizaron la topología general , la geometría convexa y la teoría de la optimización más que el cálculo diferencial, porque el enfoque del cálculo diferencial no había logrado establecer la existencia de un equilibrio.

Sin embargo, el declive del cálculo diferencial no debe exagerarse, porque el cálculo diferencial siempre se ha utilizado en la formación de graduados y en aplicaciones. Además, el cálculo diferencial ha vuelto a los niveles más altos de la economía matemática, la teoría del equilibrio general (GET), tal como la practica el " GET-set " (la designación humorística debida a Jacques H. Drèze ). En las décadas de 1960 y 1970, sin embargo, Gérard Debreu y Stephen Smale lideraron un renacimiento del uso del cálculo diferencial en la economía matemática. En particular, pudieron probar la existencia de un equilibrio general, donde los escritores anteriores habían fallado, debido a sus novedosas matemáticas: categoría de Baire detopología general y lema de Sard a partir de topología diferencial . Otros economistas asociados con el uso del análisis diferencial incluyen a Egbert Dierker, Andreu Mas-Colell e Yves Balasko . ^{[86] [87]} Estos avances han cambiado la narrativa tradicional de la historia de la economía matemática, siguiendo a von Neumann, que celebró el abandono del cálculo diferencial.

Teoría de juegos

Artículo principal: Teoría de juegos

Ver también: teoría de juegos cooperativos ; Teoría de juegos no cooperativos ; John von Neumann ; Teoría de los juegos y comportamiento económico ; y John Forbes Nash, Jr.

John von Neumann, trabajando con Oskar Morgenstern en la teoría de juegos , abrió nuevos caminos matemáticos en 1944 al extender los métodos analíticos funcionales relacionados con los conjuntos convexos y la teoría topológica de punto fijo al análisis económico. ^{[8] [85]} Su trabajo evitó así el cálculo diferencial tradicional , para el cual el operador máximo no se aplicaba a funciones no diferenciables. Continuando con el trabajo de von Neumann en teoría de juegos cooperativos , los teóricos de juegos Lloyd S. Shapley , Martin Shubik , Hervé Moulin ,Nimrod Megiddo , Bezalel Peleg influyó en la investigación económica en política y economía. Por ejemplo, la investigación sobre los precios justos en los juegos cooperativos y los valores justos para los juegos de votación llevó a cambiar las reglas para votar en las legislaturas y para contabilizar los costos en los proyectos de obras públicas. Por ejemplo, la teoría de juegos cooperativos se utilizó para diseñar el sistema de distribución de agua del sur de Suecia y para establecer tarifas para líneas telefónicas dedicadas en los EE. UU.

La teoría neoclásica anterior había limitado solo el rango de resultados de la negociación y, en casos especiales, por ejemplo, el monopolio bilateral o a lo largo de la curva de contrato de la caja de Edgeworth . ^{[88] Los resultados de} Von Neumann y Morgenstern fueron igualmente débiles. Sin embargo, siguiendo el programa de von Neumann, John Nash utilizó la teoría del punto fijo para probar las condiciones bajo las cuales el problema de negociación y los juegos no cooperativos pueden generar una solución de equilibrio única . ^[89] La teoría de juegos no cooperativa se ha adoptado como un aspecto fundamental de la economía experimental., ^[90] economía del comportamiento , ^[91] economía de la información , ^[92] organización industrial , ^[93] y economía política . ^[94] También ha dado lugar al tema del diseño de mecanismos (a veces llamado teoría de juegos inversos), que tiene aplicaciones de política pública y privada en cuanto a formas de mejorar la eficiencia económica a través de incentivos para compartir información. ^[95]

En 1994, Nash, John Harsanyi y Reinhard Selten recibieron el Premio Nobel de Ciencias Económicas por su trabajo en juegos no cooperativos. Harsanyi y Selten fueron premiados por su trabajo en juegos repetidos . El trabajo posterior extendió sus resultados a los métodos computacionales de modelado. ^[96]

Economía computacional basada en agentes

Artículo principal: Economía computacional basada en agentes

La economía computacional basada en agentes (ECA) como un campo con nombre es relativamente reciente, y data aproximadamente de la década de 1990 en cuanto al trabajo publicado. Estudia los procesos económicos, incluidas las economías enteras , como sistemas dinámicos de agentes que interactúan a lo largo del tiempo. Como tal, cae en el paradigma de los sistemas adaptativos complejos . ^[97] En los correspondientes modelos basados ​​en agentes, los agentes no son personas reales sino "objetos computacionales modelados como interactuando de acuerdo con reglas" ... "cuyas interacciones a nivel micro crean patrones emergentes" en el espacio y el tiempo. ^[98]Las reglas están formuladas para predecir el comportamiento y las interacciones sociales basadas en incentivos e información. El supuesto teórico de optimización matemática de los mercados de agentes es reemplazado por el postulado menos restrictivo de agentes con racionalidad acotada que se adaptan a las fuerzas del mercado. ^[99]

Los modelos ACE aplican métodos numéricos de análisis a simulaciones basadas en computadora de problemas dinámicos complejos para los cuales los métodos más convencionales, como la formulación de teoremas, pueden no encontrar un uso inmediato. ^[100] A partir de condiciones iniciales especificadas, el sistema económico computacional se modela como evolucionando con el tiempo a medida que sus agentes constituyentes interactúan repetidamente entre sí. En estos aspectos, ACE se ha caracterizado como un enfoque de plato de cultura de abajo hacia arriba para el estudio de la economía. ^[101]A diferencia de otros métodos de modelado estándar, los eventos ACE son impulsados ​​únicamente por las condiciones iniciales, ya sea que existan o no equilibrios o sean computacionalmente manejables. El modelo ACE, sin embargo, incluye la adaptación, la autonomía y el aprendizaje de los agentes. ^[102] Tiene similitud y superposición con la teoría de juegos como un método basado en agentes para modelar interacciones sociales. ^[96] Otras dimensiones del enfoque incluyen temas económicos estándar como la competencia y la colaboración , ^[103] la estructura del mercado y la organización industrial , ^[104] los costos de transacción , ^{[105] la} economía del bienestar ^[106]y diseño de mecanismos , ^[95] información e incertidumbre , ^[107] y macroeconomía . ^{[108] [109]}

Se dice que el método se beneficia de las continuas mejoras en las técnicas de modelado de la informática y el aumento de las capacidades informáticas. Los problemas incluyen los comunes a la economía experimental en general ^[110] y por comparación ^[111] y al desarrollo de un marco común para la validación empírica y la resolución de preguntas abiertas en el modelado basado en agentes. ^[112] El objetivo científico último del método se ha descrito como "probar [probar] los hallazgos teóricos contra datos del mundo real de manera que permitan que las teorías respaldadas empíricamente se acumulen a lo largo del tiempo, y que el trabajo de cada investigador se base de manera apropiada en el trabajo que se ha realizado". antes de". ^[113]

Matemática de la economía

La superficie de la sonrisa Volatility es una superficie tridimensional en la que la volatilidad implícita del mercado actual (eje Z) para todas las opciones en el subyacente se grafica contra el precio de ejercicio y el tiempo hasta el vencimiento (ejes X e Y). ^[114]

A lo largo del siglo XX, los artículos de las "principales revistas" ^[115] de economía han sido escritos casi exclusivamente por economistas del mundo académico . Como resultado, gran parte del material transmitido en esas revistas se relaciona con la teoría económica, y "la teoría económica en sí misma ha sido continuamente más abstracta y matemática". ^[116] Una evaluación subjetiva de las técnicas matemáticas ^[117] empleadas en estas revistas principales mostró una disminución en los artículos que no utilizan representaciones geométricas ni notación matemática del 95% en 1892 al 5,3% en 1990. ^[118] Una encuesta de 2007 de diez de las principales revistas económicas encuentra que solo el 5,8% de los artículos publicados en 2003 y 2004 carecían de análisis estadístico de datos y carecían de expresiones matemáticas mostradas que estaban indexadas con números al margen de la página. ^[119]

Econometría

Artículo principal: Econometría

Entre las guerras mundiales, los avances en la estadística matemática y un cuadro de economistas con formación matemática llevaron a la econometría , que fue el nombre propuesto para la disciplina de hacer avanzar la economía mediante el uso de las matemáticas y la estadística. Dentro de la economía, la "econometría" se ha utilizado a menudo para métodos estadísticos en economía, en lugar de economía matemática. La econometría estadística presenta la aplicación de regresión lineal y análisis de series de tiempo a los datos económicos.

Ragnar Frisch acuñó la palabra "econometría" y ayudó a fundar tanto la Econometric Society en 1930 como la revista Econometrica en 1933. ^{[120] [121]} Un estudiante de Frisch, Trygve Haavelmo publicó The Probability Approach in Econometrics en 1944, donde afirmó que el análisis estadístico preciso podría utilizarse como herramienta para validar teorías matemáticas sobre actores económicos con datos de fuentes complejas. ^[122] Esta vinculación del análisis estadístico de sistemas con la teoría económica también fue promulgada por la Comisión Cowles (ahora la Fundación Cowles ) durante las décadas de 1930 y 1940. ^[123]

Las raíces de la econometría moderna se remontan al economista estadounidense Henry L. Moore . Moore estudió la productividad agrícola e intentó ajustar los valores cambiantes de la productividad para las parcelas de maíz y otros cultivos a una curva usando diferentes valores de elasticidad. Moore cometió varios errores en su trabajo, algunos por su elección de modelos y otros por limitaciones en su uso de las matemáticas. La precisión de los modelos de Moore también se vio limitada por los datos deficientes para las cuentas nacionales en los Estados Unidos en ese momento. Si bien sus primeros modelos de producción eran estáticos, en 1925 publicó un modelo dinámico de "equilibrio en movimiento" diseñado para explicar los ciclos económicos; esta variación periódica de la corrección excesiva en las curvas de oferta y demanda se conoce ahora como el modelo de telaraña. Una derivación más formal de este modelo fue realizada más tarde por Nicholas Kaldor , a quien se le atribuye en gran medida su exposición. ^[124]

Aplicación

El modelo IS / LM es un modelo macroeconómico keynesiano diseñado para hacer predicciones sobre la intersección de la actividad económica "real" (por ejemplo, gasto, ingresos , tasas de ahorro) y decisiones tomadas en los mercados financieros ( oferta monetaria y preferencia de liquidez ). El modelo ya no se enseña ampliamente a nivel de posgrado, pero es común en los cursos de macroeconomía de pregrado. ^[125]

Gran parte de la economía clásica se puede presentar en términos geométricos simples o en notación matemática elemental. Sin embargo, la economía matemática utiliza convencionalmente el cálculo y el álgebra matricial en el análisis económico para hacer afirmaciones poderosas que serían más difíciles sin tales herramientas matemáticas. Estas herramientas son requisitos previos para el estudio formal, no solo en economía matemática sino en la teoría económica contemporánea en general. Los problemas económicos a menudo involucran tantas variables que las matemáticas son la única forma práctica de atacarlos y resolverlos. Alfred Marshall argumentó que todo problema económico que pueda cuantificarse, expresarse analíticamente y resolverse, debe tratarse mediante el trabajo matemático.^[126]

La economía se ha vuelto cada vez más dependiente de los métodos matemáticos y las herramientas matemáticas que emplea se han vuelto más sofisticadas. Como resultado, las matemáticas se han vuelto considerablemente más importantes para los profesionales de la economía y las finanzas. Los programas de posgrado tanto en economía como en finanzas requieren una sólida preparación universitaria en matemáticas para la admisión y, por esta razón, atraen a un número cada vez mayor de matemáticos . Los matemáticos aplicados aplican principios matemáticos a problemas prácticos, como el análisis económico y otros temas relacionados con la economía, y muchos problemas económicos se definen a menudo como integrados en el ámbito de las matemáticas aplicadas. ^[18]

Esta integración resulta de la formulación de problemas económicos como modelos estilizados con supuestos claros y predicciones falsables. Este modelo puede ser informal o prosaica, como lo fue en Adam Smith 's La riqueza de las naciones , o puede ser formal, rigurosa y matemática.

En términos generales, los modelos económicos formales pueden clasificarse en estocásticos o deterministas y en discretos o continuos. A nivel práctico, la modelización cuantitativa se aplica a muchas áreas de la economía y varias metodologías han evolucionado más o menos independientemente unas de otras. ^[127]

• Los modelos estocásticos se formulan mediante procesos estocásticos . Modelan valores económicamente observables a lo largo del tiempo. La mayor parte de la econometría se basa en estadísticas para formular y probar hipótesis sobre estos procesos o estimar parámetros para ellos. Entre las guerras mundiales, Herman Wold desarrolló una representación de procesos estocásticos estacionarios en términos de modelos autorregresivos y una tendencia determinista. Wold y Jan Tinbergen aplicaron el análisis de series de tiempo a los datos económicos. La investigación contemporánea sobre estadísticas de series de tiempo considera formulaciones adicionales de procesos estacionarios, como modelos de media móvil autorregresivos . Los modelos más generales incluyen modelos de heterocedasticidad condicional autorregresiva (ARCH) y modelos ARCH generalizados ( GARCH ).
• Los modelos matemáticos no estocásticos pueden ser puramente cualitativos (por ejemplo, modelos involucrados en algún aspecto de la teoría de la elección social ) o cuantitativos (que involucran la racionalización de variables financieras, por ejemplo con coordenadas hiperbólicas , y / o formas específicas de relaciones funcionales entre variables). En algunos casos, las predicciones económicas de un modelo simplemente afirman la dirección del movimiento de las variables económicas, por lo que las relaciones funcionales se utilizan solo en un sentido cualitativo: por ejemplo, si el precio de un artículo aumenta, la demanda de ese artículo disminuirá. . Para tales modelos, los economistas suelen utilizar gráficos bidimensionales en lugar de funciones.
• Ocasionalmente se utilizan modelos cualitativos . Un ejemplo es la planificación de escenarios cualitativos en la que se desarrollan posibles eventos futuros. Otro ejemplo es el análisis de árbol de decisiones no numérico. Los modelos cualitativos a menudo adolecen de falta de precisión.

Ejemplo: el efecto de un recorte de impuestos corporativos sobre los salarios

El gran atractivo de la economía matemática es que aporta cierto grado de rigor al pensamiento económico, particularmente en torno a temas políticos cargados. Por ejemplo, durante la discusión sobre la eficacia de un recorte de impuestos corporativos para aumentar los salarios de los trabajadores, un modelo matemático simple resultó beneficioso para comprender los problemas en cuestión.

Como ejercicio intelectual, el profesor Greg Mankiw de la Universidad de Harvard planteó el siguiente problema : ^[128]

Una economía abierta tiene la función de producción , donde es la producción por trabajador y es el capital por trabajador. El stock de capital se ajusta para que el producto marginal del capital después de impuestos sea igual a la tasa de interés mundial dada exógenamente ... ¿Cuánto aumentará los salarios la reducción de impuestos?${\textstyle y=f(k)}$${\textstyle y}$${\textstyle k}$${\textstyle r}$

Para responder a esta pregunta, seguimos a John H. Cochrane de la Hoover Institution . ^[129] Supongamos que una economía abierta tiene la función de producción :

$${\displaystyle Y=F(K,L)=f(k)L,\quad k=K/L}$$

Donde las variables en esta ecuación son:

• ${\textstyle Y}$ es la salida total
• ${\textstyle F(K,L)}$ es la función de producción
• ${\textstyle K}$ es el capital social total
• ${\textstyle L}$ es el stock total de mano de obra

La opción estándar para la función de producción es la función de producción Cobb-Douglas :

$${\displaystyle Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha }=Ak^{\alpha }L,\quad \alpha \in [0,1]}$$

donde es el factor de productividad - se supone que es una constante. Un recorte del impuesto de sociedades en este modelo equivale a un impuesto sobre el capital. Con los impuestos, las empresas buscan maximizar:${\textstyle A}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}J&=\max _{K,L}\;(1-\tau )\left[F(K,L)-wL\right]-rK\\&\equiv \max _{K,L}\;(1-\tau )\left[f(k)-w\right]L-rK\end{aligned}}}$$

donde es la tasa del impuesto sobre el capital, es el salario por trabajador y es la tasa de interés exógena. Entonces, las condiciones de optimalidad de primer orden se convierten en:${\textstyle \tau }$${\textstyle w}$${\textstyle r}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial J \over {\partial K}}&=(1-\tau )f'(k)-r\\{\partial J \over {\partial L}}&=(1-\tau )\left[f(k)-f'(k)k-w\right]\end{aligned}}}$$

Por tanto, las condiciones de optimalidad implican que:

$${\displaystyle r=(1-\tau )f'(k),\quad w=f(k)-f'(k)k}$$

Defina los impuestos totales . Esto implica que los impuestos por trabajador son:${\textstyle X=\tau [F(K,L)-wL]}$${\textstyle x}$

$${\displaystyle x=\tau [f(k)-w]=\tau f'(k)k}$$

Entonces, el cambio en los impuestos por trabajador, dada la tasa impositiva, es:

$${\displaystyle {dx \over {d\tau }}=\underbrace {f'(k)k} _{\text{Static}}+\underbrace {\tau \left[f'(k)+f''(k)k\right]{dk \over {d\tau }}} _{\text{Dynamic}}}$$

Para encontrar el cambio en los salarios, diferenciamos la segunda condición de optimalidad para que los salarios por trabajador obtengan:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{dw \over {d\tau }}&=\left[f'(k)-f'(k)-f''(k)k\right]{dk \over {d\tau }}\\&=-f''(k)k{dk \over {d\tau }}\end{aligned}}}$$

Suponiendo que la tasa de interés se fija en , de modo que podamos diferenciar la primera condición de optimalidad para que la tasa de interés encuentre:${\textstyle r}$${\textstyle dr/d\tau =0}$

$${\displaystyle {dk \over {d\tau }}={f'(k) \over {(1-\tau )f''(k)}}}$$

Por el momento, centrémonos solo en el efecto estático de un recorte del impuesto sobre el capital, de modo que . Si sustituimos esta ecuación en la ecuación para los cambios salariales con respecto a la tasa impositiva, encontramos que:${\textstyle dx/d\tau =f'(k)k}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{dw \over {d\tau }}&=-{f'(k)k \over {1-\tau }}\\&=-{1 \over {1-\tau }}{dx \over {d\tau }}\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, el efecto estático de un recorte del impuesto al capital sobre los salarios es:

$${\displaystyle {dw \over {dx}}=-{1 \over {1-\tau }}}$$

Según el modelo, parece posible que logremos un aumento en el salario de un trabajador mayor que el monto de la reducción de impuestos. Pero eso solo considera el efecto estático, y sabemos que el efecto dinámico debe tenerse en cuenta. En el modelo dinámico, podemos reescribir la ecuación de cambios en los impuestos por trabajador con respecto a la tasa impositiva como:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{dx \over {d\tau }}&=f'(k)k+\tau \left[f'(k)+f''(k)k\right]{dk \over {d\tau }}\\&=f'(k)k+{\tau \over {1-\tau }}{[f'(k)]^{2}+f'(k)f''(k)k \over {f''(k)}}\\&={\tau \over {1-\tau }}{f'(k)^{2} \over {f''(k)}}+{1 \over {1-\tau }}f'(k)k\\&={f'(k) \over {1-\tau }}\left[\tau {f'(k) \over {f''(k)}}+k\right]\end{aligned}}}$$

Recordando eso , tenemos que:${\textstyle dw/d\tau =-f'(k)k/(1-\tau )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{dw \over {dx}}&=-{{f'(k)k \over {1-\tau }} \over {{f'(k) \over {1-\tau }}\left[\tau {f'(k) \over {f''(k)}}+k\right]}}\\&=-{1 \over {\tau {f'(k) \over {kf''(k)}}+1}}\end{aligned}}}$$

Usando la función de producción Cobb-Douglas, tenemos que:

$${\displaystyle {f'(k) \over {kf''(k)}}=-{1 \over {1-\alpha }}}$$

Por lo tanto, el efecto dinámico de una reducción del impuesto al capital sobre los salarios es:

$${\displaystyle {dw \over {dx}}=-{1-\alpha \over {1-\tau -\alpha }}}$$

Si lo tomamos , entonces el efecto dinámico de reducir los impuestos al capital sobre los salarios será incluso mayor que el efecto estático. Además, si hay externalidades positivas a la acumulación de capital, el efecto de la reducción de impuestos sobre los salarios sería mayor que en el modelo que acabamos de derivar. Es importante señalar que el resultado es una combinación de:${\textstyle \alpha =\tau =1/3}$

1. El resultado estándar de que en una pequeña economía abierta el trabajo soporta el 100% de un impuesto sobre la renta del pequeño capital
2. El hecho de que, comenzando con una tasa impositiva positiva, la carga de un aumento impositivo excede la recaudación de ingresos debido a la pérdida de peso muerto de primer orden

Este resultado, que muestra que, bajo ciertos supuestos, un recorte del impuesto de sociedades puede aumentar los salarios de los trabajadores en más de la pérdida de ingresos, no implica que la magnitud sea correcta. Más bien, sugiere una base para el análisis de políticas que no se basa en agitar las manos. Si los supuestos son razonables, entonces el modelo es una aproximación aceptable de la realidad; si no es así, se deberían desarrollar mejores modelos.

Función de producción CES

Ahora supongamos que en lugar de la función de producción Cobb-Douglas tenemos una función de producción de elasticidad constante de sustitución (CES) más general :

$${\displaystyle f(k)=A\left[\alpha k^{\rho }+(1-\alpha )\right]^{1/\rho }}$$

donde ; es la elasticidad de sustitución entre capital y trabajo. La cantidad relevante que queremos calcular es , que se puede derivar como:${\textstyle \rho =1-\sigma ^{-1}}$${\textstyle \sigma }$${\textstyle f'/kf''}$

$${\displaystyle {f' \over {kf''}}=-{1 \over {1-\rho -{\alpha (1-\rho ) \over {\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }}}}}}$$

Por lo tanto, podemos usar esto para encontrar que:

$${\displaystyle {\begin{aligned}1+\tau {f' \over {kf''}}&=1-{\tau [\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }] \over {(1-\rho )[\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }]-\alpha (1-\rho )}}\\&={(1-\rho -\tau )[\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }]-\alpha (1-\rho ) \over {(1-\rho )[\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }]-\alpha (1-\rho )}}\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, bajo un modelo CES general, el efecto dinámico de un recorte del impuesto al capital sobre los salarios es:

$${\displaystyle {dw \over {dx}}=-{(1-\rho )[\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }]-\alpha (1-\rho ) \over {(1-\rho -\tau )[\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }]-\alpha (1-\rho )}}}$$

Recuperamos la solución Cobb-Douglas cuando . Cuando , que es el caso cuando existen sustitutos perfectos, encontramos que - no hay efecto de cambios en los impuestos sobre el capital sobre los salarios. Y cuando , que es el caso cuando existen complementos perfectos, encontramos que : un recorte en los impuestos sobre el capital aumenta los salarios en exactamente un dólar.${\textstyle \rho =0}$${\textstyle \rho =1}$${\textstyle dw/dx=0}$${\textstyle \rho =-\infty }$${\textstyle dw/dx=-1}$

Críticas y defensas

Adecuación de las matemáticas para la economía cualitativa y complicada

Friedrich Hayek sostuvo que el uso de técnicas formales proyecta una exactitud científica que no da cuenta adecuadamente de las limitaciones informativas que enfrentan los agentes económicos reales. ^[130]

En una entrevista en 1999, el historiador económico Robert Heilbroner declaró: ^[131]

Supongo que el enfoque científico comenzó a penetrar y pronto a dominar la profesión en los últimos veinte o treinta años. Esto se produjo en parte debido a la "invención" del análisis matemático de varios tipos y, de hecho, a considerables mejoras en él. Esta es la época en la que no solo tenemos más datos, sino un uso más sofisticado de los datos. Por lo tanto, existe un fuerte sentimiento de que esta es una ciencia cargada de datos y una empresa cargada de datos que, en virtud de los números, las ecuaciones y el aspecto puro de la página de un diario, tiene cierto parecido con la ciencia. . . Esa actividad central parece científica. Entiendo que. Creo que eso es genuino. Se acerca a ser una ley universal. Pero parecerse a una ciencia es diferente a ser una ciencia.

Heilbroner afirmó que "parte / gran parte de la economía no es cuantitativa por naturaleza y, por lo tanto, no se presta a una exposición matemática". ^[132]

Prueba de predicciones de economía matemática

El filósofo Karl Popper discutió la posición científica de la economía en las décadas de 1940 y 1950. Argumentó que la economía matemática adolecía de ser tautológica. En otras palabras, en la medida en que la economía se convirtió en una teoría matemática, la economía matemática dejó de depender de la refutación empírica, sino que se basó en pruebas y refutaciones matemáticas . ^[133] Según Popper, los supuestos falsificables pueden probarse mediante el experimento y la observación, mientras que los supuestos infalsificables pueden explorarse matemáticamente por sus consecuencias y por su coherencia con otros supuestos. ^[134]

Compartiendo las preocupaciones de Popper sobre los supuestos en economía en general, y no solo en la economía matemática, Milton Friedman declaró que "todos los supuestos son poco realistas". Friedman propuso juzgar los modelos económicos por su desempeño predictivo más que por la correspondencia entre sus supuestos y la realidad. ^[135]

Economía matemática como una forma de matemática pura

Ver también: Matemáticas puras , Matemáticas aplicadas e Ingeniería

Considerando la economía matemática, JM Keynes escribió en The General Theory : ^[136]

Es una gran falta de los métodos pseudomatemáticos simbólicos de formalizar un sistema de análisis económico ... que asumen expresamente una estricta independencia entre los factores involucrados y pierden su fuerza y ​​autoridad si esta hipótesis es rechazada; mientras que, en el discurso ordinario, donde no estamos manipulando ciegamente y sabemos todo el tiempo lo que estamos haciendo y lo que significan las palabras, podemos mantener 'en el fondo de nuestras cabezas' las reservas y calificaciones necesarias y los ajustes que tendremos para hacer más adelante, de una manera en la que no podamos mantener complicados diferenciales parciales "al final" de varias páginas de álgebra que asumen que todas se desvanecen. Una proporción demasiado grande de la economía `` matemática '' reciente son simplemente brebajes, tan imprecisos como los supuestos iniciales en los que se basan.que permiten al autor perder de vista las complejidades e interdependencias del mundo real en un laberinto de símbolos pretenciosos e inútiles.

Defensa de la economía matemática

En respuesta a estas críticas, Paul Samuelson argumentó que las matemáticas son un lenguaje, repitiendo una tesis de Josiah Willard Gibbs . En economía, el lenguaje de las matemáticas a veces es necesario para representar problemas sustantivos. Además, la economía matemática ha dado lugar a avances conceptuales en la economía. ^[137] En particular, Samuelson dio el ejemplo de la microeconomía , escribiendo que "pocas personas son lo suficientemente ingeniosas para captar [sus] partes más complejas ... sin recurrir al lenguaje de las matemáticas, mientras que la mayoría de las personas comunes pueden hacerlo con bastante facilidad con la ayuda de las matemáticas ". ^[138]

Algunos economistas afirman que la economía matemática merece apoyo al igual que otras formas de las matemáticas, en particular sus vecinos en la optimización matemática y estadística matemática y cada vez más en la informática teórica . La economía matemática y otras ciencias matemáticas tienen una historia en la que los avances teóricos han contribuido regularmente a la reforma de las ramas más aplicadas de la economía. En particular, siguiendo el programa de John von Neumann, la teoría de juegos proporciona ahora las bases para describir gran parte de la economía aplicada, desde la teoría de la decisión estadística (como "juegos contra la naturaleza") y la econometría hasta la teoría del equilibrio general y la organización industrial. En la última década, con el auge de Internet, los economistas matemáticos y los expertos en optimización e informáticos han trabajado en problemas de fijación de precios para los servicios en línea, sus contribuciones utilizando las matemáticas de la teoría de juegos cooperativos, la optimización no diferenciable y los juegos combinatorios.

Robert M. Solow concluyó que la economía matemática era la " infraestructura " central de la economía contemporánea:

La economía ya no es un tema de conversación adecuado para damas y caballeros. Se ha convertido en un tema técnico. Como cualquier tema técnico, atrae a algunas personas que están más interesadas en la técnica que en el tema. Eso es una lástima, pero puede ser inevitable. En cualquier caso, no se engañe: el núcleo técnico de la economía es la infraestructura indispensable para la economía política. Por eso, si consulta [una referencia en economía contemporánea] en busca de esclarecimiento sobre el mundo actual, será conducido a la economía técnica, o la historia, o nada en absoluto. ^[139]

Economistas matemáticos

Entre los economistas matemáticos destacados se encuentran los siguientes.

Siglo XIX

Enrico Barone Antoine Augustin Cournot Francis Ysidro Edgeworth

Irving Fisher William Stanley Jevons

Vilfredo Pareto Léon Walras

Siglo XX

Charalambos D. Aliprantis RGD Allen Maurice Allais Kenneth J. Arrow Robert J. Aumann Yves Balasko David Blackwell Lawrence E. Blume Graciela Chichilnisky George B. Dantzig Gérard Debreu Mario Draghi Jacques H. Drèze David Gale Nicolás Georgescu-Roegen

Roger Guesnerie Frank Hahn John C. Harsanyi John R. Hicks Werner Hildenbrand Harold Hotelling Leonid Hurwicz Leonid Kantorovich Tjalling Koopmans David M. Kreps Harold W. Kuhn Edmond Malinvaud Andreu Mas-Colell Eric Maskin

Nimrod Megiddo Jean-François Mertens James Mirrlees Roger Myerson John Forbes Nash, Jr. John von Neumann Edward C. Prescott Roy Radner Frank Ramsey Donald John Roberts Paul Samuelson Thomas Sargent Leonard J. Savage Pañuelo Herbert

Reinhard Selten Amartya Sen Lloyd S. Shapley Stephen Smale Robert Solow Hugo F. Sonnenschein Nancy L. Stokey Albert W. Tucker Hirofumi Uzawa Robert B. Wilson Abraham Wald Hermann Wold Nicholas C. Yannelis Yuliy Sannikov

Ver también

• Econofísica
• Finanzas matemáticas

Referencias

1. Elaborado en los códigos de clasificación JEL , matemáticos y métodos cuantitativos JEL: C subcategorías .
2. Chiang, Alpha C .; Kevin Wainwright (2005). Métodos fundamentales de economía matemática . McGraw-Hill Irwin. págs. 3–4. ISBN 978-0-07-010910-0. TOC.
3. Debreu, Gérard ([1987] 2008). "Economía matemática", sección II, The New Palgrave Dictionary of Economics , 2ª edición. Resumen. Reeditado con revisiones de 1986, "modelos teóricos: forma matemática y contenido económico", Econometrica , 54 (6), pp. 1259 -1270.
4. Varian, Hal (1997). "¿De qué sirve la teoría económica?" en A. D'Autume y J. Cartelier, ed., Is Economics Becoming a Hard Science? , Edward Elgar. Pre-publicación de PDF. Consultado el 1 de abril de 2008.
5. • Como en Handbook of Mathematical Economics , enlaces de capítulos de la primera página:
        Arrow, Kenneth J. y Michael D. Intriligator, ed., (1981), v. 1
        _____ (1982). v. 2
        _____ (1986). v. 3
        Hildenbrand, Werner y Hugo Sonnenschein , ed. (1991). v. 4.
      • Debreu, Gérard (1983). Economía matemática: Veinte artículos de Gérard Debreu , Contenido .
      • Glaister, Stephen (1984). Métodos matemáticos para economistas , 3ª ed., Blackwell. Contenido.
      • Takayama, Akira (1985).Economía matemática , 2ª ed. Cambridge. Descripción y Contenidos .
      • Michael Carter (2001). Fundamentos de la economía matemática , MIT Press. Descripción y Contenidos .
6. Chiang, Alpha C. (1992). Elementos de optimización dinámica , Waveland. Enlace de TOC y Amazon.comal interior, primeras págs.
7. Samuelson, Paul (1947) [1983]. Fundamentos del análisis económico . Prensa de la Universidad de Harvard. ISBN 978-0-674-31301-9.
8. • Debreu, Gérard ([1987] 2008). "Economía matemática", The New Palgrave Dictionary of Economics , 2ª edición. Resumen. Reeditado con revisiones de 1986, "modelos teóricos: forma matemática y contenido económico", Econometrica , 54 (6), pp. 1259 -1270.
      • von Neumann, John y Oskar Morgenstern (1944). Teoría de los juegos y comportamiento económico . Prensa de la Universidad de Princeton.
9. Schumpeter, JA (1954). Elizabeth B. Schumpeter (ed.). Historia del análisis económico . Nueva York: Oxford University Press. págs. 209–212. ISBN 978-0-04-330086-2. OCLC  13498913 .
10. Schumpeter (1954) p. 212-215
11. Schnieder, Erich (1934). "Johann Heinrich von Thünen". Econometrica . 2 (1): 1–12. doi : 10.2307 / 1907947 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1907947 . OCLC 35705710 .   
12. Schumpeter (1954) p. 465-468
13. Philip Mirowski , 1991. "El cuándo, el cómo y el por qué de la expresión matemática en la historia del análisis económico", Journal of Economic Perspectives , 5 (1) pp. 145-157. ^{[ enlace muerto permanente ]}
14. Weintraub, E. Roy (2008). "matemáticas y economía", The New Palgrave Dictionary of Economics , 2ª edición. Resumen .
15. Jevons, WS (1866). "Breve descripción de una teoría matemática general de la economía política", Revista de la Royal Statistical Society , XXIX (junio) págs. 282–87. Leer en la Sección F de la Asociación Británica, 1862. PDF.
16. Jevons, W. Stanley (1871). Los principios de la economía política, págs. 4, 25 . Macmillan. La teoría de la economía política, jevons 1871.
17. Véase el prefacio del trabajo de Irving Fisher de 1897, Una breve introducción al cálculo infinitesimal: diseñado especialmente para ayudar en la lectura de la economía matemática y la estadística .
18. Sheila C., Dow (21 de mayo de 1999). "El uso de las matemáticas en la economía" . Seminario de Comprensión Pública de Matemáticas de ESRC . Birmingham : Consejo de Investigaciones Económicas y Sociales . Consultado el 6 de julio de 2008 .
19. Si bien el concepto de cardinalidad ha caído en desgracia en la economía neoclásica , las diferencias entre la utilidad cardinal y la utilidad ordinal son menores para la mayoría de las aplicaciones.
20. Nicola, PierCarlo (2000). Economía matemática dominante en el siglo XX . Saltador. pag. 4. ISBN 978-3-540-67084-1. Consultado el 21 de agosto de 2008 .
21. Augustin Cournot (1838, tr. 1897) Investiga los principios matemáticos de la riqueza . Enlaces a descripciones y capítulos.
22. Hotelling, Harold (1990). "Estabilidad en competición" . En Darnell, Adrian C. (ed.). Los artículos de economía recopilados de Harold Hotelling . Saltador. págs. 51, 52. ISBN 978-3-540-97011-8. OCLC  20217006 . Consultado el 21 de agosto de 2008 .
23. "Antoine Augustin Cournot, 1801-1877" . Sitio web de Historia del pensamiento económico . La nueva escuela de investigación social. Archivado desde el original el 9 de julio de 2000 . Consultado el 21 de agosto de 2008 .
24. Gibbons, Robert (1992). Teoría de juegos para economistas aplicados . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. págs. 14, 15. ISBN 978-0-691-00395-5.
25. Nicola, pág. 9-12
26. Edgeworth, Francis Ysidro (5 de septiembre de 1889). "La teoría matemática de la economía política: revisión de Léon Walras, Éléments d'économie politique pure" (PDF) . Naturaleza . 40 (1036): 434–436. doi : 10.1038 / 040434a0 . ISSN 0028-0836 . S2CID 21004543 . Archivado desde el original (PDF) el 11 de abril de 2003 . Consultado el 21 de agosto de 2008 .   
27. Nicholson, Walter; Snyder, Christopher, pág. 350-353.
28. Dixon, Robert. "Ley de Walras y Macroeconomía" . Guía legal de Walras . Departamento de Economía, Universidad de Melbourne. Archivado desde el original el 17 de abril de 2008 . Consultado el 28 de septiembre de 2008 .
29. Dixon, Robert. "Una prueba formal de la ley de Walras" . Guía legal de Walras . Departamento de Economía, Universidad de Melbourne. Archivado desde el original el 30 de abril de 2008 . Consultado el 28 de septiembre de 2008 .
30. Rima, Ingrid H. (1977). "Neoclasicismo y disensión 1890-1930" . En Weintraub, Sidney (ed.). Pensamiento económico moderno . Prensa de la Universidad de Pennsylvania. págs. 10, 11. ISBN 978-0-8122-7712-8.
31. Heilbroner, Robert L. (1999) [1953]. Los filósofos mundanos (Séptima ed.). Nueva York: Simon y Schuster. págs. 172-175, 313. ISBN 978-0-684-86214-9.
32. Edgeworth, Francis Ysidro (1961) [1881]. Psíquicos matemáticos . Londres: Kegan Paul [AM Kelley]. págs. 15-19.
33. Nicola, pág. 14, 15, 258-261
34. Bowley, Arthur Lyon (1960) [1924]. El fundamento matemático de la economía: un tratado introductorio . Oxford: Clarendon Press [Kelly].
35. Gillies, DB (1969). "Soluciones a juegos generales de suma distinta de cero" . En Tucker, AW; Luce, RD (eds.). Contribuciones a la teoría de los juegos . Annals of Mathematics . 40 . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . págs. 47–85. ISBN 978-0-691-07937-0.
36. Moss, Lawrence S. (2003). "El debate de Seligman-Edgeworth sobre el análisis de la incidencia fiscal: el advenimiento de la economía matemática, 1892-1910". Historia de la Economía Política . 35 (2): 207, 212, 219, 234–237. doi : 10.1215 / 00182702-35-2-205 . ISSN 0018-2702 . 
37. Hotelling, Harold (1990). "Nota sobre el fenómeno de la fiscalidad de Edgeworth y la condición adicional del profesor Garver en las funciones de demanda" . En Darnell, Adrian C. (ed.). Los artículos de economía recopilados de Harold Hotelling . Saltador. págs. 94-122. ISBN 978-3-540-97011-8. OCLC  20217006 . Consultado el 26 de agosto de 2008 .
38. Herstein, IN (octubre de 1953). "Algunos métodos y técnicas matemáticas en economía" . Trimestral de Matemática Aplicada . 11 (3): 249–262. doi : 10.1090 / qam / 60205 . ISSN 1552-4485 . [Páginas. 249-62 .
39. • Weintraub, E. Roy (2008). "matemáticas y economía", The New Palgrave Dictionary of Economics , 2ª edición. Resumen .
       • _____ (2002). Cómo la economía se convirtió en una ciencia matemática . Prensa de la Universidad de Duke. Descripción y vista previa .
40. Nicholson, Walter; Snyder, Christopher (2007). "Equilibrio general y bienestar". Microeconomía intermedia y sus aplicaciones (10ª ed.). Thompson. págs. 364, 365. ISBN 978-0-324-31968-2.
41. Jolink, Albert (2006). "¿Qué salió mal con Walras?". En Backhaus, Juergen G .; Maks, JA Hans (eds.). De Walras a Pareto . El patrimonio europeo en economía y ciencias sociales. IV . Saltador. págs. 69–80. doi : 10.1007 / 978-0-387-33757-9_6 . ISBN 978-0-387-33756-2.
       • Blaug, Mark (2007). "Los teoremas fundamentales de la economía moderna del bienestar, históricamente contemplados" . Historia de la Economía Política . 39 (2): 186–188. doi : 10.1215 / 00182702-2007-001 . ISSN 0018-2702 . S2CID 154074343 .  
42. Blaug (2007), p. 185, 187
43. Metzler, Lloyd (1948). "Revisión de Fundamentos del Análisis Económico ". American Economic Review . 38 (5): 905–910. ISSN 0002-8282 . JSTOR 1811704 .  
44. Neumann, J. von (1937). "Über ein ökonomisches Gleichungssystem und ein Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes", Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums , 8, pp. 73-83, traducido y publicado en 1945-46, como "Un modelo de equilibrio general", Revista de estudios económicos , 13, págs. 1–9.
45. Para que este problema tenga una solución única, es suficiente que las matrices no negativas  A y  B satisfagan una condición de irreductibilidad , generalizando la del teorema de matrices no negativas de Perron-Frobenius , que considera el problema de valores propios (simplificado)

    A - λ yo q = 0 ,

    donde la matriz no negativa A debe ser cuadrada y donde la matriz diagonal I es la matriz identidad . La condición de irreductibilidad de Von Neumann fue denominada hipótesis de las "ballenas y arrieros " por David Champernowne, quien proporcionó un comentario verbal y económico sobre la traducción al inglés del artículo de von Neumann. La hipótesis de Von Neumann implicaba que cada proceso económico usaba una cantidad positiva de cada bien económico. David Gale y John Kemeny , Oskar Morgenstern y Gerald L. Thompson dieron condiciones de "irreductibilidad" más débiles en la década de 1950 y luego por Stephen M. Robinson en la década de 1970.  
46. David Gale. La teoría de los modelos económicos lineales . McGraw-Hill, Nueva York, 1960.
47. Morgenstern, Oskar ; Thompson, Gerald L. (1976). Teoría matemática de economías en expansión y contracción . Libros de Lexington. Lexington, Massachusetts: DC Heath and Company. págs. xviii + 277.
48. Alexander Schrijver , Teoría de la programación lineal y entera . John Wiley e hijos, 1998, ISBN 0-471-98232-6 . 
49. • Rockafellar, R. Tyrrell (1967). Procesos monótonos de tipo convexo y cóncavo . Memorias de la American Mathematical Society. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. págs. i + 74.
       • Rockafellar, RT (1974). "Álgebra convexa y dualidad en modelos dinámicos de producción". En Josef Loz; Maria Loz (eds.). Modelos matemáticos en economía (Proc. Sympos. Y Conf. Von Neumann Models, Varsovia, 1972) . Amsterdam: Academia de Ciencias de Holanda Septentrional y Polaca (PAN). págs. 351–378.
       • Rockafellar, RT (1997) [1970]. Análisis convexo . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press.
50. Flecha de Kenneth , Paul Samuelson , John Harsanyi , Sidney Afriat , Gerald L. Thompson y Nicholas Kaldor . (1989). Mohammed Dore; Sukhamoy Chakravarty; Richard Goodwin (eds.). John Von Neumann y la economía moderna . Oxford: Clarendon. pag. 261.
51. Capítulo 9.1 "El modelo de crecimiento de von Neumann" (páginas 277-299): Yinyu Ye . Algoritmos de puntos interiores: teoría y análisis . Wiley. 1997.
52. Screpanti, Ernesto; Zamagni, Stefano (1993). Un esbozo de la historia del pensamiento económico . Nueva York: Oxford University Press . págs. 288-290. ISBN 978-0-19-828370-6. OCLC  57281275 .
53. David Gale . La teoría de los modelos económicos lineales . McGraw-Hill, Nueva York, 1960.
54. Morgenstern, Oskar ; Thompson, Gerald L. (1976). Teoría matemática de economías en expansión y contracción . Libros de Lexington. Lexington, Massachusetts: D. C. Heath and Company. págs. xviii + 277.
55. " La naturaleza de la programación matemática ", Glosario de programación matemática , INFORMS Computing Society.
56. Schmedders, Karl (2008). "Métodos de optimización numérica en economía", The New Palgrave Dictionary of Economics , 2ª edición, v. 6, págs. 138–57. Resumen.
57. Robbins, Lionel (1935, 2ª ed.). Un ensayo sobre la naturaleza y la importancia de la ciencia económica , Macmillan, p. dieciséis.
58. Blume, Lawrence E. (2008). "dualidad", The New Palgrave Dictionary of Economics , 2ª edición. Resumen.
59. Dixit, AK ([1976] 1990). Optimización en teoría económica , 2ª ed., Oxford. Vista previa de descripción y contenido .
60. • Samuelson, Paul A., 1998. "¿Cómo Fundamentos llegó a ser", Journal of Economic Literature , 36 (3), pp. 1375 -1386.
       • _____ (1970). "Principios máximos en economía analítica" , conferencia del Premio Nobel.
61. • Allan M. Feldman (3008). "Economía del bienestar", The New Palgrave Dictionary of Economics , 2ª edición. Resumen .
       • Mas-Colell, Andreu , Michael D. Whinston y Jerry R. Green (1995), Microeconomic Theory , Capítulo 16. Oxford University Press, ISBN 0-19-510268-1 . Descripción Archivado el 26 de enero de 2012 en Wayback Machine y su contenido . 
62. • Geanakoplos, John ([1987] 2008). "Modelo Arrow-Debreu de equilibrio general", The New Palgrave Dictionary of Economics , 2ª edición. Resumen .
      • Arrow, Kenneth J. y Gérard Debreu (1954). "Existencia de un equilibrio para una economía competitiva", Econometrica 22 (3), pp. 265 -290.
63. • Bufanda, Herbert E. (2008). "Cálculo de equilibrios generales", The New Palgrave Dictionary of Economics , 2ª edición. Resumen.
      • Kubler, Felix (2008). "cálculo de equilibrios generales (nuevos desarrollos)", The New Palgrave Dictionary of Economics , 2ª edición. Resumen.
64. Nicola, pág. 133
65. Dorfman, Robert, Paul A. Samuelson y Robert M. Solow (1958). Programación lineal y análisis económico . McGraw – Hill. Vínculos de vista previa del capítulo .
66. M. Padberg, Optimización lineal y extensiones , segunda edición, Springer-Verlag, 1999.
67. Dantzig, George B. ([1987] 2008). "Programación lineal", The New Palgrave Dictionary of Economics , 2ª edición. Resumen .
68. • Intriligador, Michael D. (2008). "Programación no lineal", The New Palgrave Dictionary of Economics , 2ª edición. TOC .
       • Blume, Lawrence E. (2008). "Programación convexa", The New Palgrave Dictionary of Economics , 2ª edición. Resumen .
       • Kuhn, HW ; Tucker, AW (1951). "Programación no lineal". Actas del 2º Simposio de Berkeley . Berkeley: Prensa de la Universidad de California. págs. 481–492.
69. • Bertsekas, Dimitri P. (1999). Programación no lineal (Segunda ed.). Cambridge, Massachusetts: Athena Scientific. ISBN 978-1-886529-00-7.
       • Vapnyarskii, IB (2001) [1994], "Multiplicadores de Lagrange" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
       • Lasdon, Leon S. (1970). Teoría de optimización para grandes sistemas . Serie Macmillan en investigación de operaciones. Nueva York: The Macmillan Company. págs. xi + 523. Señor 0337317 . 
       • Lasdon, Leon S. (2002). Teoría de la optimización para grandes sistemas (reimpresión de la edición de Macmillan de 1970). Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. págs. Xiii + 523. Señor 1888251 . 
       • Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (1993). "XII Dualidad abstracta para practicantes". Algoritmos de análisis y minimización convexos, Volumen II: Teoría avanzada y métodos de agrupación . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas]. 306 . Berlín: Springer-Verlag. págs. 136–193 (y comentarios bibliográficos sobre las págs. 334–335). ISBN 978-3-540-56852-0. Señor  1295240 .
70. Lemaréchal, Claude (2001). "Relajación lagrangiana". En Michael Jünger; Denis Naddef (eds.). Optimización combinatoria computacional: artículos de la Escuela de Primavera celebrada en Schloß Dagstuhl, del 15 al 19 de mayo de 2000 . Apuntes de conferencias en informática. 2241 . Berlín: Springer-Verlag. págs. 112-156. doi : 10.1007 / 3-540-45586-8_4 . ISBN 978-3-540-42877-0. Señor  1900016 .
71. Pontryagin, LS; Boltyanski, VG, Gamkrelidze, RV, Mischenko, EF (1962). La teoría matemática de los procesos óptimos . Nueva York: Wiley. ISBN 9782881240775.
72. • Zelikin, MI ([1987] 2008). "Principio de optimización de Pontryagin", The New Palgrave Dictionary of Economics , 2ª edición. Enlace de vista previa.
       • Martos, Béla (1987). "Control y coordinación de la actividad económica", The New Palgrave: Un diccionario de economía . Enlace de descripción.
       • Brock, WA (1987). "Control óptimo y dinámica económica", The New Palgrave: Un diccionario de economía . Esquema .
       • Shell, K., ed. (1967). Ensayos sobre la teoría del crecimiento económico óptimo . Cambridge, Massachusetts: The MIT Press. ISBN 978-0-262-19036-7.]
73. Stokey, Nancy L. y Robert E. Lucas con Edward Prescott (1989). Los métodos recursivos en Dinámica Económica , Harvard University Press, capítulo 5. Desecription y capítulo vista previa de enlaces .
74. Malliaris, AG (2008). "Control óptimo estocástico", The New Palgrave Dictionary of Economics , 2ª edición. Resumen Archivado el 18 de octubre de 2017 en la Wayback Machine .
75. • Flecha, KJ; Kurz, M. (1970). Inversión pública, tasa de rendimiento y política fiscal óptima . Baltimore, Maryland: Prensa de Johns Hopkins. ISBN 978-0-8018-1124-1. Resumen. Archivado el 9 de marzo de 2013 en la Wayback Machine.
       • Sethi, SP; Thompson, GL (2000). Teoría del control óptimo: aplicaciones a la ciencia y la economía de la gestión, segunda edición . Nueva York: Springer. ISBN 978-0-7923-8608-7.Desplácese hasta los enlaces de vista previa del capítulo .
76. Andrew McLennan, 2008. "Teoremas del punto fijo", The New Palgrave Dictionary of Economics , segunda edición. Resumen .
77. Weintraub, E. Roy (1977). "Teoría del equilibrio general" . En Weintraub, Sidney (ed.). Pensamiento económico moderno . Prensa de la Universidad de Pennsylvania. págs. 107–109. ISBN 978-0-8122-7712-8.
       • Arrow, Kenneth J .; Debreu, Gérard (1954). "Existencia de un equilibrio para una economía competitiva". Econometrica . 22 (3): 265–290. doi : 10.2307 / 1907353 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1907353 .  
78. Kantorovich, Leonid y Victor Polterovich (2008). "Análisis funcional", en S. Durlauf y L. Blume, ed., The New Palgrave Dictionary of Economics , 2ª edición. Resumen. , ed., Palgrave Macmillan.
79. Kantorovich, L. V (1990). " " Mi viaje en la ciencia (supuesto informe a la Sociedad Matemática de Moscú) "[expandiendo las matemáticas rusas. Encuestas  42 (1987), no. 2, págs. 233-270]". En Lev J. Leifman (ed.). Análisis funcional, optimización y economía matemática: una colección de artículos dedicados a la memoria de Leonid Vitalʹevich Kantorovich . Nueva York: The Clarendon Press, Oxford University Press. págs. 8–45. ISBN 978-0-19-505729-4. Señor  0898626 .
80. Página 406: Polyak, B. T. (2002). "Historia de la programación matemática en la URSS: análisis del fenómeno (Capítulo 3 El pionero: L. V. Kantorovich, 1912-1986, pp. 405-407)". Programación matemática . Serie  B . 91 (ISMP 2000, Parte 1 (Atlanta, GA), número 3). págs. 401–416. doi : 10.1007 / s101070100258 . Señor 1888984 . 
81. "Leonid Vitaliyevich Kantorovich - Premio Conferencia (" Matemáticas en economía: logros, dificultades, perspectivas ")" . Nobelprize.org . Consultado el 12 de diciembre de 2010 .
82. Aliprantis, Charalambos D .; Brown, Donald J .; Burkinshaw, Owen (1990). Existencia y optimalidad de equilibrios competitivos . Berlín: Springer – Verlag. págs. xii + 284. ISBN 978-3-540-52866-1. Señor  1075992 .
83. Rockafellar, R. Tyrrell . Conjuga dualidad y optimización . Conferencias impartidas en la Universidad Johns Hopkins, Baltimore, Maryland, junio de 1973. Junta de conferencias de la serie de conferencias regionales de ciencias matemáticas en matemáticas aplicadas, núm. 16. Society for Industrial and Applied Mathematics, Filadelfia, Pensilvania, 1974. vi + 74 páginas.
84. Lester G. Telser y Robert L. Graves Análisis funcional en economía matemática: Optimización sobre horizontes infinitos 1972. University of Chicago Press, 1972, ISBN 978-0-226-79190-6 . 
85. Neumann, John von y Oskar Morgenstern (1944) Teoría de juegos y comportamiento económico , Princeton.
86. Mas-Colell, Andreu (1985). La teoría del equilibrio económico general: un enfoque diferenciable . Monografías de la Econometric Society. Cambridge UP. ISBN 978-0-521-26514-0. Señor  1113262 .
87. Yves Balasko . Fundamentos de la teoría del equilibrio general , 1988, ISBN 0-12-076975-1 . 
88. Creedy, John (2008). "Francis Ysidro (1845-1926)", The New Palgrave Dictionary of Economics , segunda edición. Resumen .
89. • Nash, John F., Jr. (1950). "El problema de la negociación", Econometrica , 18 (2), págs. 155-162 .
       • Serrano, Roberto (2008). "negociación", The New Palgrave Dictionary of Economics , 2ª edición. Resumen .
90. • Smith, Vernon L. (1992). "Teoría de Juegos y Economía Experimental: Principios y Influencias tempranas", en ER Weintraub, ed,. Hacia una historia de la teoría de juegos , pp. 241- 282.
       • _____ (2001). "Economía experimental", Enciclopedia internacional de las ciencias sociales y del comportamiento , págs. 5100–5108. Resumen por secta. 1.1 y 2.1.
       • Plott, Charles R. y Vernon L. Smith, ed. (2008). Manual de resultados de economía experimental , v. 1, Elsevier, Parte 4, Juegos, cap. 45-66 enlaces de vista previa.
       • Shubik, Martin (2002). "Teoría de juegos y juegos experimentales", en R. Aumann y S. Hart, ed.,Manual de teoría de juegos con aplicaciones económicas , Elsevier, v. 3, págs. 2327–2351. Resumen .
91. Del New Palgrave Dictionary of Economics (2008), 2ª edición:
       • Gul, Faruk . "Economía del comportamiento y teoría de juegos". Resumen.
       • Camerer, Colin F. "teoría de juegos conductuales". Resumen.
92. • Rasmusen, Eric (2007). Juegos e información , 4ª ed. Enlaces de descripción y vista previa de capítulos .
       • Aumann, R. y S. Hart, ed. (1992, 2002). Manual de teoría de juegos con aplicaciones económicas v. 1, enlaces en el cap. 3-6 y v. 3, cap. 43 .
93. • Tirole, Jean (1988). La teoría de la organización industrial , MIT Press.Enlaces de descripción y vista previa de capítulos, págs. Vii-ix , "Organización general", págs. 5-6 , y "Teoría de juegos no cooperativos: Manual de guía del usuario", cap. 11, págs. 423-59 .
       • Bagwell, Kyle y Asher Wolinsky (2002). "Teoría de juegos y organización industrial", cap. 49, Manual de teoría de juegos con aplicaciones económicas , v. 3, pp. 1851 -1895.
94. • Shubik, Martin (1981). "Modelos y métodos de teoría de juegos en economía política", en Handbook of Mathematical Economics ,, v. 1, pp. 285 ^{[ enlace muerto ]} -330.
95. • The New Palgrave Dictionary of Economics (2008), 2ª edición:
         Myerson, Roger B. "Diseño de mecanismos". Resumen.
         _____. "principio de revelación". Resumen.
         Sandholm, Tuomas. "Computación en el diseño de mecanismos". Resumen.
       • Nisan, Noam y Amir Ronen (2001). "Diseño de mecanismos algorítmicos", Juegos y comportamiento económico , 35 (1-2), págs. 166-196 .
       • Nisan, Noam, et al ., Ed. (2007). Teoría algorítmica de juegos , Cambridge University Press. Descripción Archivado el 5 de mayo de 2012 en la Wayback Machine .
96. • Halpern, Joseph Y. (2008). "Informática y teoría de juegos", The New Palgrave Dictionary of Economics , 2ª edición. Resumen .
             • Shoham, Yoav (2008). "Ciencias de la Computación y Teoría de Juegos", Comunicaciones del ACM , 51 (8), págs. 75-79 Archivado el 26 de abril de 2012 en Wayback Machine .
             • Roth, Alvin E. (2002). "El economista como ingeniero: teoría de juegos, experimentación y computación como herramientas para la economía del diseño", Econometrica , 70 (4), págs. 1341-1378 .
97. • Kirman, Alan (2008). "La economía como sistema complejo", The New Palgrave Dictionary of Economics , 2ª edición. Resumen .
       • Tesfatsion, Leigh (2003). "Economía computacional basada en agentes: modelos de economías como sistemas adaptativos complejos", Ciencias de la información , 149 (4), págs. 262-268 .
98. Scott E. Page (2008), "modelos basados ​​en agentes", The New Palgrave Dictionary of Economics , segunda edición. Resumen .
99. • Holland, John H. y John H. Miller (1991). "Agentes adaptativos artificiales en la teoría económica", American Economic Review , 81 (2), págs. 365-370 Archivado 2011-01-05 en Wayback Machine p. 366.
       • Arthur, W. Brian , 1994. "Razonamiento inductivo y racionalidad limitada", American Economic Review , 84 (2), págs. 406-411 .
       • Schelling, Thomas C. (1978 [2006]). Micromotivos y macrocomportamiento , Norton. Descripción Archivado el 2 de noviembre de 2017 en Wayback Machine , vista previa .
       • Sargent, Thomas J. (1994). Racionalidad limitada en macroeconomía , Oxford. Enlaces a la primera página de descripción y vista previa del capítulo .
100. • Judd, Kenneth L. (2006). "Análisis computacionalmente intensivos en economía", Manual de economía computacional , v. 2, cap. 17, Introducción, pág. 883. Pp. 881- 893. Pre-pub PDF .
        • _____ (1998). Métodos numéricos en economía , MIT Press. Vínculos a la descripción y vistas previas de los capítulos .
101. • Tesfatsion, Leigh (2002). "Economía computacional basada en agentes: economías en crecimiento desde abajo hacia arriba", Vida artificial , 8 (1), pp.55-82. Resumen y pre-pub PDF .
        • _____ (1997). "Cómo los economistas pueden cobrar vida", en WB Arthur, S. Durlauf y D. Lane, eds., La economía como un sistema complejo en evolución, II , págs. 533–564. Addison-Wesley. PDF previo a la publicación.
102. Tesfatsion, Leigh (2006), "Economía computacional basada en agentes: un enfoque constructivo de la teoría económica", cap. 16, Handbook of Computational Economics , v. 2, part 2, Estudio ACE del sistema económico. Resumen y pre-pub PDF .
103. Axelrod, Robert (1997). La complejidad de la cooperación: modelos de competencia y colaboración basados ​​en agentes , Princeton. Descripción , contenido y vista previa .
104. • Leombruni, Roberto y Matteo Richiardi, ed. (2004), Industria y dinámica laboral: el enfoque de la economía computacional basada en agentes. Publicaciones científicas mundiales ISBN 981-256-100-5 . Descripción Archivado el 27 de julio de 2010 en Wayback Machine y enlaces de vista previa de capítulos.   • Epstein, Joshua M. (2006). "Organizaciones adaptativas en crecimiento: un enfoque computacional basado en agentes", en Ciencias sociales generativas: estudios en modelado computacional basado en agentes , págs. 309 - [1] 344. Descripción y resumen . 
     
105. Klosa, Tomas B. y Bart Nooteboom , 2001. "Economía de costes de transacción computacional basada en agentes", Journal of Economic Dynamics and Control 25 (3-4), págs. 503-52. Resumen.
106. Axtell, Robert (2005). "La complejidad del intercambio", Economic Journal , 115 (504, Características), págs. F193-F210 .
107. Sandholm, Tuomas W. y Victor R. Lesser (2001). "Contratos de compromiso nivelado y incumplimiento estratégico", Juegos y comportamiento económico , 35 (1-2), págs. 212-270 .
108. • Colander, David , Peter Howitt , Alan Kirman, Axel Leijonhufvud y Perry Mehrling (2008). "Más allá de los modelos DSGE: hacia una basada en Macroeconomía Empíricamente", American Economic Review , 98 (2), pp. 236 -240. PDF previo a la publicación.
        • Sargent, Thomas J. (1994). Racionalidad limitada en macroeconomía , Oxford. Descripción y enlaces de la primera página de la vista previa del capítulo.
109. Tesfatsion, Leigh (2006), "Economía computacional basada en agentes: un enfoque constructivo de la teoría económica", cap. 16, Handbook of Computational Economics , v. 2, págs. 832–865. Resumen y pre-pub PDF .
110. Smith, Vernon L. (2008). "economía experimental", The New Palgrave Dictionary of Economics , 2ª edición. Resumen .
111. Duffy, John (2006). "Modelos basados ​​en agentes y experimentos con sujetos humanos", cap. 19, Handbook of Computational Economics , v.2, págs. 949-101. Resumen .
112. • Namatame, Akira y Takao Terano (2002). "La liebre y la tortuga: progreso acumulativo en la simulación basada en agentes ", en Enfoques basados en agentes en sistemas económicos y sociales complejos . págs. 3-14 , IOS Press. Descripción .
        • Fagiolo, Giorgio, Alessio Moneta y Paul Windrum (2007). "Una guía crítica para validación empírica de los modelos basados en agentes en Economía: metodologías, procedimientos y problemas abiertos", Computacional Economía , 30, pp. 195 -226.
113. • Tesfatsion, Leigh (2006). "Economía computacional basada en agentes: un enfoque constructivo de la teoría económica", cap. 16, Handbook of Computational Economics , v. 2, [págs. 831–880] secc. 5. Resumen y PDF prepublicado.
        • Judd, Kenneth L. (2006). "Análisis computacionalmente intensivos en economía", Manual de economía computacional , v. 2, cap. 17, pp. 881- 893. Pre-pub PDF .
        • Tesfatsion, Leigh y Kenneth L. Judd, ed. (2006). Handbook of Computational Economics , v. 2. Descripción Archivado el 6 de marzo de2012 en la Wayback Machine.& y enlaces de vista previa de capítulos .
114. Brockhaus, Oliver; Farkas, Michael; Ferraris, Andrew; Long, Douglas; Overhaus, Marcus (2000). Derivados de renta variable y modelos de riesgo de mercado . Libros de riesgo. págs. 13-17. ISBN 978-1-899332-87-8. Consultado el 17 de agosto de 2008 .
115. Trazador de líneas, Gaines H. (2002). "Revistas básicas en economía". Consulta económica . 40 (1): 140. doi : 10.1093 / ei / 40.1.138 .
116. Stigler, George J .; Stigler, Steven J .; Friedland, Claire (abril de 1995). "Las Revistas de Economía" . La Revista de Economía Política . 103 (2): 331–359. doi : 10.1086 / 261986 . ISSN 0022-3808 . JSTOR 2138643 . S2CID 154780520 .   
117. Stigler y col. revisó artículos de revistas en revistas económicas centrales (según la definición de los autores, pero que generalmente significa revistas no especializadas) a lo largo del siglo XX. Se señaló que los artículos de revistas que en algún momento utilizaron representación geométrica o notación matemática utilizaron ese nivel de matemáticas como su "nivel más alto de técnica matemática". Los autores se refieren a "técnicas verbales" como aquellas que transmiten el tema de la pieza sin notación de geometría , álgebra o cálculo .
118. Stigler y col., P. 342
119. Sutter, Daniel y Rex Pjesky. "¿Dónde publicaría Adam Smith hoy ?: La casi ausencia de investigación sin matemáticas en las principales revistas" (mayo de 2007). [2]
120. Arrow, Kenneth J. (abril de 1960). "El trabajo de Ragnar Frisch, econométrico". Econometrica . 28 (2): 175-192. doi : 10.2307 / 1907716 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1907716 .  
121. Bjerkholt, Olav (julio de 1995). "Ragnar Frisch, editor de Econometrica 1933-1954". Econometrica . 63 (4): 755–765. doi : 10.2307 / 2171799 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1906940 .  
122. Lange, Oskar (1945). "El alcance y el método de la economía". Revisión de estudios económicos . 13 (1): 19–32. doi : 10.2307 / 2296113 . ISSN 0034-6527 . JSTOR 2296113 .  
123. Aldrich, John (enero de 1989). "Autonomía". Documentos económicos de Oxford . 41 (1, Historia y metodología de la econometría): 15–34. doi : 10.1093 / oxfordjournals.oep.a041889 . ISSN 0030-7653 . JSTOR 2663180 .  
124. Epstein, Roy J. (1987). Una historia de la econometría . Contribuciones al análisis económico. Holanda Septentrional. págs. 13-19. ISBN 978-0-444-70267-8. OCLC  230844893 .
125. Colador, David C. (2004). "La extraña persistencia del modelo IS-LM". Historia de la Economía Política . 36 (Suplemento anual): 305–322. CiteSeerX 10.1.1.692.6446 . doi : 10.1215 / 00182702-36-Suppl_1-305 . ISSN 0018-2702 . S2CID 6705939 .   
126. Brems, Hans (octubre de 1975). "Marshall en Matemáticas". Revista de Derecho y Economía . 18 (2): 583–585. doi : 10.1086 / 466825 . ISSN 0022-2186 . JSTOR 725308 .  
127. Frigg, R .; Hartman, S. (27 de febrero de 2006). Edward N. Zalta (ed.). Modelos en ciencia . Enciclopedia de Filosofía de Stanford. Stanford, California: El laboratorio de investigación de metafísica. ISSN 1095-5054 . Consultado el 16 de agosto de 2008 . 
128. "Blog de Greg Mankiw: un ejercicio para mis lectores" . Consultado el 7 de agosto de 2019 .
129. Cochrane, John H. (21 de octubre de 2017). "El economista gruñón: álgebra de Greg" . El economista gruñón . Consultado el 7 de agosto de 2019 .
130. Hayek, Friedrich (septiembre de 1945). "El uso del conocimiento en la sociedad". American Economic Review . 35 (4): 519–530. JSTOR 1809376 . 
131. Heilbroner, Robert (mayo-junio de 1999). "¿El fin de la ciencia lúgubre?" . Revista Challenge . Archivado desde el original el 10 de diciembre de 2008.
132. Beed y Owen, 584
133. Boland, LA (2007). "Siete décadas de metodología económica" . En IC Jarvie; K. Milford; DW Miller (eds.). Karl Popper: una evaluación del centenario . Londres: Ashgate Publishing. pag. 219. ISBN 978-0-7546-5375-2. Consultado el 10 de junio de 2008 .
134. Beed, Clive; Kane, Owen (1991). "¿Qué es la crítica de la matematización de la economía?". Kyklos . 44 (4): 581–612. doi : 10.1111 / j.1467-6435.1991.tb01798.x .
135. Friedman, Milton (1953). Ensayos de economía positiva . Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago. págs.  30 , 33, 41. ISBN 978-0-226-26403-5.
136. Keynes, John Maynard (1936). La teoría general del empleo, el interés y el dinero . Cambridge: Macmillan. pag. 297. ISBN 978-0-333-10729-4.
137. Paul A. Samuelson (1952). "Economic Theory and Mathematics - An Appraisal", American Economic Review , 42 (2), págs. 56, 64-65 (presione + ).
138. DW Bushaw y RW Clower (1957). Introducción a la economía matemática , p. vii.
139. Solow, Robert M. (20 de marzo de 1988). "The Wide, Wide World Of Wealth ( The New Palgrave: A Dictionary of Economics . Editado por John Eatwell, Murray Milgate y Peter Newman. Cuatro volúmenes. 4.103 pp. Nueva York: Stockton Press. $ 650)" . New York Times .

Lectura adicional

• Alpha C. Chiang y Kevin Wainwright, [1967] 2005. Métodos fundamentales de economía matemática , McGraw-Hill Irwin. Contenido.
• E. Roy Weintraub , 1982. Matemáticas para economistas , Cambridge. Contenidos .
• Stephen Glaister , 1984. Métodos matemáticos para economistas , 3ª ed., Blackwell. Contenido.
• Akira Takayama, 1985. Economía matemática , 2ª ed. Cambridge. Contenidos .
• Nancy L. Stokey y Robert E. Lucas con Edward Prescott , 1989. Métodos recursivos en dinámica económica , Harvard University Press. Desecription y el capítulo-vista previa enlaces .
• AK Dixit , [1976] 1990. Optimization in Economic Theory , 2ª ed., Oxford. Vista previa de descripción y contenido .
• Kenneth L. Judd , 1998. Métodos numéricos en economía , MIT Press. Enlaces de descripción y vista previa de capítulos .
• Michael Carter, 2001. Fundamentos de la economía matemática , MIT Press. Contenidos .
• Ferenc Szidarovszky y Sándor Molnár, 2002. Introducción a la teoría de matrices: con aplicaciones a los negocios y la economía , World Scientific Publishing. Descripción y vista previa .
• D. Wade Hands, 2004. Introducción a la economía matemática , 2ª ed. Oxford. Contenidos .
• Giancarlo Gandolfo, [1997] 2009. Economic Dynamics , 4ª ed., Springer. Descripción y vista previa .
• John Stachurski, 2009. Dinámica económica: teoría y computación , MIT Press. Descripción y vista previa .

Enlaces externos

Wikiquote tiene citas relacionadas con: Economía matemática

Busque economía matemática en Wikcionario, el diccionario gratuito.

• Journal of Mathematical Economics Objetivos y alcance
• Economía matemática y matemáticas financieras en Curlie
• Erasmus Mundus Master QEM - Modelos y métodos de economía cuantitativa , Los modelos y métodos de economía cuantitativa - QEM