La notación matemática es un sistema de representaciones simbólicas de ideas y objetos matemáticos. Las notaciones matemáticas se utilizan en matemáticas , ciencias físicas , ingeniería y economía . Las notaciones matemáticas incluyen representaciones simbólicas relativamente simples, como los números 0, 1 y 2; variables como x , y y z ; delimitadores como "(" y "|"; símbolos de función como sin ; símbolos de operador como " + "; símbolos relacionales como "<"; símbolos conceptuales comolim y dy / dx ; ecuaciones y notaciones de diagrama complejas como la notación gráfica de Penrose y los diagramas de Coxeter-Dynkin . [1] [2]
Definición
Una notación matemática es un sistema de escritura utilizado para registrar conceptos en matemáticas.
- La notación utiliza símbolos o expresiones simbólicas que pretenden tener un significado semántico preciso.
- En la historia de las matemáticas , estos símbolos han denotado números, formas, patrones y cambios. La notación también puede incluir símbolos para partes del discurso convencional entre matemáticos, cuando se ven las matemáticas como un lenguaje .
Los medios utilizados para escribir se relatan a continuación, pero los materiales comunes actualmente incluyen papel y lápiz, pizarra y tiza (o rotulador de borrado en seco) y medios electrónicos. La adherencia sistemática a los conceptos matemáticos es un concepto fundamental de la notación matemática. Para conceptos relacionados, consulte argumento lógico , lógica matemática y teoría de modelos .
Expresiones
Una expresión matemática es una secuencia de símbolos que se pueden evaluar. Por ejemplo, si los símbolos representan números, entonces las expresiones se evalúan de acuerdo con un orden convencional de operaciones que permite el cálculo, si es posible, de cualquier expresión entre paréntesis, seguida de cualquier exponente y raíz, luego multiplicaciones y divisiones, y finalmente cualquier expresión. sumas o restas, todo hecho de izquierda a derecha.
En un lenguaje informático , estas reglas son implementadas por los compiladores . Para obtener más información sobre la evaluación de expresiones, consulte los temas de informática : evaluación entusiasta , evaluación perezosa , evaluación de atajos y operador de evaluación .
Significado semántico preciso
Las matemáticas modernas deben ser precisas, porque las notaciones ambiguas no permiten pruebas formales . Supongamos que tenemos enunciados , denotados por alguna secuencia formal de símbolos, sobre algunos objetos (por ejemplo, números, formas, patrones). Hasta que se pueda demostrar que las declaraciones son válidas, su significado aún no se ha resuelto. Durante el proceso de razonamiento, podríamos dejar que los símbolos se refieran a esos objetos denotados, quizás en un modelo . La semántica de ese objeto tiene un lado heurístico y un lado deductivo . En cualquier caso, podríamos querer conocer las propiedades de ese objeto, que luego podríamos enumerar en una definición intensional .
Esas propiedades podrían entonces expresarse mediante algunos símbolos bien conocidos y acordados de una tabla de símbolos matemáticos . Esta notación matemática puede incluir anotaciones como
- "Todo x ", "No x ", "Hay una x " (o su equivalente, "Alguna x "), "Un conjunto ", "Una función "
- "Un mapeo de los números reales a los números complejos "
En diferentes contextos, el mismo símbolo o notación se puede usar para representar diferentes conceptos (al igual que se pueden usar múltiples símbolos para representar el mismo concepto). [1] Por lo tanto, para comprender completamente un escrito matemático, es importante verificar primero las definiciones de las notaciones dadas por el autor. Esto puede resultar problemático, por ejemplo, si el autor supone que el lector ya está familiarizado con la notación en uso.
Historia
Contando
Se cree que una notación matemática para representar el conteo se desarrolló por primera vez hace al menos 50.000 años [3]; las primeras ideas matemáticas como el conteo con los dedos [4] también han sido representadas por colecciones de rocas, palos, huesos, arcilla, piedra, madera tallas y cuerdas anudadas. La vara de conteo es una forma de contar que se remonta al Paleolítico superior . Quizás los textos matemáticos más antiguos que se conocen son los de la antigua Sumeria . El Quipu de censo de los Andes y la Ishango hueso de África ambos utilizan la marca de la cuenta método de contabilización de los conceptos numéricos.
El desarrollo del cero como número es uno de los desarrollos más importantes en las primeras matemáticas. Fue utilizado como marcador de posición por los babilonios y los egipcios griegos , y luego como un número entero por los mayas , indios y árabes (consulte la historia del cero para obtener más información).
La geometría se vuelve analítica
Los primeros puntos de vista matemáticos en geometría no se prestaban bien para contar. Los números naturales , su relación con las fracciones y la identificación de cantidades continuas en realidad tardaron milenios en tomar forma, e incluso más para permitir el desarrollo de la notación.
De hecho, no fue hasta la invención de la geometría analítica por René Descartes que la geometría se volvió más sujeta a una notación numérica. [5] Algunos atajos simbólicos para conceptos matemáticos se empezaron a utilizar en la publicación de pruebas geométricas. Además, el poder y la autoridad del teorema de la geometría y la estructura de prueba influyeron en gran medida en los tratados no geométricos, como Principia Mathematica de Isaac Newton, por ejemplo.
Notación moderna
Los siglos XVIII y XIX vieron la creación y estandarización de la notación matemática como se usa hoy. Leonhard Euler fue responsable de muchas de las notaciones actualmente en uso: el uso de a , b , c para constantes y x , y , z para incógnitas, e para la base del logaritmo natural, sigma (Σ) para la suma , i para la unidad imaginaria y la notación funcional f ( x ). También popularizó el uso de π para la constante de Arquímedes (debido a la propuesta de William Jones para el uso de π de esta manera basada en la notación anterior de William Oughtred ).
Además, muchos campos de las matemáticas llevan la huella de sus creadores para la notación: el operador diferencial de Leibniz , [6] los infinitos cardinales de Georg Cantor (además de la lemniscate (∞) de John Wallis ), el símbolo de congruencia (≡ ) de Gauss , etc.
Notación computarizada
Los lenguajes de marcado con orientación matemática, como TeX , LaTeX y, más recientemente, MathML , son lo suficientemente potentes como para expresar una amplia variedad de notaciones matemáticas.
El software de prueba de teoremas viene naturalmente con sus propias notaciones para las matemáticas; el proyecto OMDoc busca proporcionar un común abierto para tales notaciones; y el lenguaje MMT proporciona una base para la interoperabilidad entre otras notaciones.
Notación matemática no basada en el latín
La notación matemática árabe moderna se basa principalmente en el alfabeto árabe y se usa ampliamente en el mundo árabe , especialmente en la educación pre- terciaria .
(La notación occidental usa números arábigos , pero la notación árabe también reemplaza las letras latinas y los símbolos relacionados con la escritura árabe).
Además de la notación árabe, las matemáticas también utilizan alfabetos griegos para denotar una amplia variedad de objetos y variables matemáticos. En algunas ocasiones, también se utilizan ciertos alfabetos hebreos (como en el contexto de infinitos cardenales ). [7]
Algunas notaciones matemáticas son en su mayoría esquemáticas, por lo que son casi completamente independientes de la escritura. Algunos ejemplos son la notación gráfica de Penrose y los diagramas de Coxeter-Dynkin .
Las notaciones matemáticas basadas en braille que utilizan las personas ciegas incluyen Nemeth Braille y GS8 Braille .
Ver también
- Abuso de notación
- Begriffsschrift
- Glosario de símbolos matemáticos
- Símbolo de curva peligrosa de Bourbaki
- Historia de la notación matemática
- ISO 31-11
- ISO 80000-2
- Notación de flecha hacia arriba de Knuth
- Símbolos alfanuméricos matemáticos
- Notación en probabilidad y estadística
- Lenguaje de las matematicas
- Notación cientifica
- Semasiografía
- Tabla de símbolos matemáticos
- Convenciones tipográficas en fórmulas matemáticas
- Notación vectorial
- Notación matemática árabe moderna
Notas
- ^ a b "Compendio de símbolos matemáticos" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-01 . Consultado el 8 de agosto de 2020 .
- ^ Helmenstine, Anne Marie (27 de junio de 2019). "Por qué las matemáticas son un lenguaje" . ThoughtCo . Consultado el 8 de agosto de 2020 .
- ^ Una introducción a la historia de las matemáticas (sexta edición) por Howard Eves (1990) p.9
- ^ Georges Ifrah señala que los humanos aprendieron a contar con las manos. Ifrah muestra, por ejemplo, una imagen de Boecio (que vivió 480-524 o 525) contando con sus dedos en Ifrah 2000 , p. 48.
- ^ Boyer, CB (1959), "Descartes y la geometrización del álgebra", The American Mathematical Monthly , 66 (5): 390–393, doi : 10.2307 / 2308751 , JSTOR 2308751 , MR 0105335 ,
El gran logro de Descartes en matemáticas invariablemente se describe como la aritmetización de la geometría.
- ^ "Gottfried Wilhelm Leibnitz" . Consultado el 5 de octubre de 2014 .
- ^ "Símbolos griegos / hebreos / latinos en matemáticas" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-20 . Consultado el 8 de agosto de 2020 .
Referencias
- Florian Cajori , Historia de las notaciones matemáticas (1929), 2 volúmenes. ISBN 0-486-67766-4
- Ifrah, Georges (2000), La historia universal de los números: desde la prehistoria hasta la invención de la computadora. , John Wiley and Sons , pág. 48, ISBN 0-471-39340-1. Traducido del francés por David Bellos, EF Harding, Sophie Wood e Ian Monk. Ifrah apoya su tesis citando frases idiomáticas de idiomas de todo el mundo.
- Mazur, Joseph (2014), Símbolos esclarecedores: una breve historia de la notación matemática y sus poderes ocultos . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-15463-3
enlaces externos
- Usos más antiguos de varios símbolos matemáticos
- Notación matemática ASCII cómo escribir la notación matemática en cualquier editor de texto.
- Matemáticas como lenguaje en el corte del nudo
- Stephen Wolfram : Notación matemática: pasado y futuro . Octubre de 2000. Transcripción de un discurso de apertura presentado en MathML y Math on the Web: MathML International Conference.