En matemáticas , una operación es una función que toma cero o más valores de entrada (llamados operandos ) a un valor de salida bien definido. [1] El número de operandos es la aridad de la operación.
Las operaciones más comúnmente estudiadas son las operaciones binarias (es decir, operaciones de aridad 2), como la suma y la multiplicación , y las operaciones unarias (es decir, operaciones de aridad 1), como el inverso aditivo y el inverso multiplicativo . Una operación de aridad cero, u operación nula , es una constante . [2] [3] El producto mixto es un ejemplo de una operación de aridad 3, también llamada operación ternaria .
Generalmente, la aridad se considera finita. Sin embargo, a veces se consideran operaciones infinitas , [2] en cuyo caso las operaciones "usuales" de finita aridad se denominan operaciones finitarias .
Una operación parcial se define de manera similar a una operación, pero con una función parcial en lugar de una función.
Tipos de operación
Hay dos tipos comunes de operaciones: unarias y binarias . [1] Las operaciones unarias involucran solo un valor, como funciones de negación y trigonométricas . [4] Las operaciones binarias, por otro lado, toman dos valores e incluyen suma , resta , multiplicación , división y exponenciación . [5]
Las operaciones pueden involucrar objetos matemáticos distintos de los números. Los valores lógicos verdadero y falso se pueden combinar mediante operaciones lógicas , como y , o y no . Los vectores se pueden sumar y restar. [6] Las rotaciones se pueden combinar usando la operación de composición de funciones, realizando la primera rotación y luego la segunda. Las operaciones sobre conjuntos incluyen la unión e intersección de operaciones binarias y la operación unaria de complementación . [7] [8] [9] Las operaciones sobre funciones incluyen composición y convolución . [10] [11] [12]
Es posible que las operaciones no se definan para todos los valores posibles de su dominio . Por ejemplo, en los números reales no se puede dividir entre cero [13] o sacar raíces cuadradas de números negativos. Los valores para los cuales se define una operación forman un conjunto llamado su dominio de definición o dominio activo . El conjunto que contiene los valores producidos se denomina codominio , pero el conjunto de valores reales alcanzados por la operación es su codominio de definición, codominio activo, imagen o rango . [14] Por ejemplo, en los números reales, la operación de elevar al cuadrado solo produce números no negativos; el codominio es el conjunto de números reales, pero el rango son los números no negativos.
Las operaciones pueden involucrar objetos diferentes: un vector se puede multiplicar por un escalar para formar otro vector (una operación conocida como multiplicación escalar ), [15] y la operación del producto interno en dos vectores produce una cantidad que es escalar. [16] [17] Una operación puede tener o no ciertas propiedades, por ejemplo puede ser asociativa , conmutativa , anticomutativa , idempotente , etc. [1]
Los valores combinados se denominan operandos , argumentos o entradas , y el valor producido se denomina valor , resultado o salida . Las operaciones pueden tener menos o más de dos entradas (incluido el caso de entrada cero e infinitas entradas [2] ).
Un operador es similar a una operación en que se refiere al símbolo o al proceso utilizado para denotar la operación, [12] por lo tanto, su punto de vista es diferente. Por ejemplo, a menudo se habla de "la operación de suma" o "la operación de suma", cuando se enfoca en los operandos y el resultado, pero se cambia a "operador de suma" (rara vez "operador de suma"), cuando se enfoca en el proceso , o desde el punto de vista más simbólica, la función +: X × X → X .
Definición
Un n ary operación ω de X 1 , ..., X n a Y es una función ω : X 1 × ... × X n → Y . El conjunto X 1 ×… × X n se denomina dominio de la operación, el conjunto Y se denomina codominio de la operación y el entero fijo no negativo n (el número de operandos) se denomina aridad de la operación. Así, una operación unaria tiene aridad uno y una operación binaria tiene aridad dos. [1] Una operación de aridad cero, llamado un nullary operación, es simplemente un elemento de la codomain Y . Un n operación ary también se pueden ver como un ( n + 1) ary relación que es total de en sus n dominios de entrada y única en su dominio de salida.
Un n ary funcionamiento parcial ω de X 1 , ..., X n a Y es una función parcial ω : X 1 × ... × X n → Y . Una operación parcial n -aria también se puede ver como una relación ( n + 1) -aria que es única en su dominio de salida.
Lo anterior describe lo que se suele llamar operación finitaria , refiriéndose al número finito de operandos (el valor n ). Hay extensiones obvias donde la aridad se toma como un infinito ordinal o cardinal , [2] o incluso un conjunto arbitrario que indexa los operandos.
A menudo, el uso del término operación implica que el dominio de la función incluye una potencia del codominio (es decir, el producto cartesiano de una o más copias del codominio), [18] aunque esto no es de ninguna manera universal, como en el caso de producto escalar, donde los vectores se multiplican y dan como resultado un escalar. Una operación n -aria ω : X n → X se denomina operación interna . Un n operación ary ω : X i × S × X n - i - 1 → X donde 0 ≤ i < n se denomina una operación externa por el conjunto escalar o conjunto operador S . En particular, para una operación binaria, ω : S × X → X que se llama una operación de izquierda externa por S , y ω : X × S → X que se llama una operación derecha externa por S . Un ejemplo de una operación interna es la suma de vectores , donde se suman dos vectores y dan como resultado un vector. Un ejemplo de una operación externa es la multiplicación escalar , donde un vector se multiplica por un escalar y da como resultado un vector.
Ver también
- Relación finitaria
- Hiperoperación
- Operador
- Orden de operaciones
Referencias
- ^ a b c d "El glosario definitivo de jerga matemática superior - Operación" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 10 de diciembre de 2019 .
- ^ a b c d "Operación algebraica - Enciclopedia de las matemáticas" . www.encyclopediaofmath.org . Consultado el 10 de diciembre de 2019 .
- ^ DeMeo, William (26 de agosto de 2010). "Notas de álgebra universal" (PDF) . math.hawaii.edu . Consultado el 9 de diciembre de 2019 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Operación unaria" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 27 de julio de 2020 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Operación binaria" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 27 de julio de 2020 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Vector" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 27 de julio de 2020 .
Los vectores se pueden sumar (suma de vectores), restar (resta de vectores) ...
- ^ Weisstein, Eric W. "Unión" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 27 de julio de 2020 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Intersección" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 27 de julio de 2020 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Complementación" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 27 de julio de 2020 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Composición" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 27 de julio de 2020 .
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- ^ a b "Compendio de símbolos matemáticos: operadores" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-01 . Consultado el 8 de agosto de 2020 .
- ^ Weisstein, Eric W. "División por cero" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 27 de julio de 2020 .
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- ^ Jain, PK; Ahmad, Khalil; Ahuja, Om P. (1995). Análisis funcional . New Age International. ISBN 978-81-224-0801-0.
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- ^ Burris, SN; Sankappanavar, HP (1981). "Capítulo II, Definición 1.1". Un curso de álgebra universal . Saltador.