Un megagon o 1 000 000-gon es un polígono con 1 000 000 de millones de lados ( mega- , del griego μέγας, que significa "grande", siendo un prefijo de unidad que denota un factor de un millón). [1] [2]
Megagon regular | |
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Tipo | Polígono regular |
Aristas y vértices | 1000000 |
Símbolo de Schläfli | {1000000}, t {500000}, tt {250000}, ttt {125000}, tttt {62500}, ttttt {31250}, tttttt {15625} |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | Diedro (D 1000000 ), orden 2 × 1000000 |
Ángulo interno ( grados ) | 179,99964 ° |
Polígono dual | Uno mismo |
Propiedades | Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal |
Megagon regular
Un megagon regular está representado por el símbolo de Schläfli {1,000,000} y se puede construir como un 500,000-gon truncado , t {500,000}, un 250,000-gon dos veces truncado, tt {250,000}, un 125,000 gon tres veces truncado, ttt {125,000}, o un 62,500-gon, tttt {62,500} truncado cuatro veces, un 31,250-gon, ttttt {31,250} truncado cinco veces, o un 15,625-gon, tttttt {15,625} truncado seis veces .
Un megagón regular tiene un ángulo interior de 179,99964 °. [1] El área de un megágono regular con lados de longitud a viene dada por
El perímetro de un megágono regular inscrito en el círculo unitario es:
que está muy cerca de 2π . De hecho, para un círculo del tamaño del ecuador de la Tierra , con una circunferencia de 40.075 kilómetros, un borde de un megagón inscrito en dicho círculo tendría un poco más de 40 metros de largo. La diferencia entre el perímetro de los megágonos inscritos y la circunferencia de este círculo es inferior a 1/16 milímetros. [3]
Como 1,000,000 = 2 6 × 5 6 , el número de lados no es un producto de primos de Fermat distintos y una potencia de dos. Por tanto, el megagono regular no es un polígono construible . De hecho, ni siquiera se puede construir con el uso de neusis o un trisector de ángulo, ya que el número de lados no es un producto de primos de Pierpont distintos , ni un producto de potencias de dos y tres.
Aplicación filosófica
Como el ejemplo del quiliagón de René Descartes , el polígono de un millón de lados se ha utilizado como ilustración de un concepto bien definido que no se puede visualizar. [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]
El megagon también se usa como una ilustración de la convergencia de polígonos regulares en un círculo. [11]
Simetría
El megagon regular tiene una simetría diédrica Dih 1,000,000 , orden 2,000,000, representada por 1,000,000 de líneas de reflexión. Dih 1.000.000 tiene 48 subgrupos diédricos: (Dih 500.000 , Dih 250.000 , Dih 125.000 , Dih 62.500 , Dih 31.250 , Dih 15.625 ), (Dih 200.000 , Dih 100.000 , Dih 50.000 , Dih 25.000 , Dih 12.500 , Dih 6.250 , Dih 3.125 ), (Dih 40.000 , Dih 20.000 , Dih 10.000 , Dih 5.000 , Dih 2.500 , Dih 1.250 , Dih 625 ), (Dih 8.000 , Dih 4.000 , Dih 2.000 , Dih 1.000 , Dih 500 , Dih 250 , Dih 125 , Dih 1.600 , Dih 800 , Dih 400 , Dih 200 , Dih 100 , Dih 50 , Dih 25 ), (Dih 320 , Dih 160 , Dih 80 , Dih 40 , Dih 20 , Dih 10 , Dih 5 ) y (Dih 64 , Dih 32 , Dih 16 , Dih 8 , Dih 4 , Dih 2 , Dih 1 ). También tiene 49 simetrías cíclicas más como subgrupos: (Z 1,000,000 , Z 500,000 , Z 250,000 , Z 125,000 , Z 62,500 , Z 31,250 , Z 15,625 ), (Z 200,000 , Z 100,000 , Z 50,000 , Z 25,000 , Z 12,500 , Z 6.250 , Z 3.125 ), (Z 40.000 , Z 20.000 , Z 10.000 , Z 5.000 , Z 2.500 , Z 1.250 , Z 625 ), (Z 8.000 , Z 4.000 , Z 2.000 , Z 1.000 , Z 500 , Z 250 , Z 125 ), (Z 1600 , Z 800 , Z 400 , Z 200 , Z 100 , Z 50 , Z 25 ), (Z 320 , Z 160 , Z 80 , Z 40 , Z 20 , Z 10 , Z 5 ) y ( Z 64 , Z 32 , Z 16 , Z 8 , Z 4 , Z 2 , Z 1 ), con Z n representando la simetría rotacional π / n radianes.
John Conway etiquetó estas simetrías inferiores con una letra y el orden de la simetría sigue a la letra. [12] r2000000 representa simetría completa y a1 no etiqueta simetría. Da d (diagonal) con líneas de espejo a través de vértices, p con líneas de espejo a través de aristas (perpendiculares), i con líneas de espejo a través de vértices y aristas, y g para simetría rotacional.
Estas simetrías más bajas permiten grados de libertad para definir megagones irregulares. Solo el subgrupo g1000000 no tiene grados de libertad, pero puede verse como bordes dirigidos .
Megagramo
Un megagramo es un polígono estelar de un millón de lados . Hay 199,999 formas regulares [13] dadas por símbolos de Schläfli de la forma {1000000 / n }, donde n es un número entero entre 2 y 500.000 que es coprime a 1.000.000. También hay 300.000 figuras de estrellas regulares en los casos restantes.
Referencias
- ^ a b Darling, David J., [ https://books.google.com/books?id=0YiXM-x--4wC& polygon + megagon & hl = en & sa = X & ei = 0TE4T7jOMc-G0QGH1ezGAg & ved = 0CDgQ6AEwAA # v = onepage & q = polygon% 20megagon & f = false El libro universal de matemáticas: de Abracadabra a las paradojas de Zeno] , John Wiley & Sons, 2004. Página 249. ISBN 0-471-27047-4 .
- ^ Dugopolski, Mark, College AbrakaDABbra and Trigonometry , 2ª ed. Addison-Wesley, 1999. Página 505. ISBN 0-201-34712-1 .
- ^ Williamson, Benjamin, Tratado elemental sobre el cálculo diferencial , Longmans, Green y Co., 1899. Página 45.
- ^ McCormick, John Francis, Metafísica académica , Loyola University Press, 1928, p. 18.
- ^ Merrill, John Calhoun y Odell, S. Jack, Filosofía y periodismo , Longman, 1983, p. 47, ISBN 0-582-28157-1 .
- ^ Hospers, John, Introducción al análisis filosófico , 4ª ed, Routledge, 1997, p. 56, ISBN 0-415-15792-7 .
- ^ Mandik, Pete, Términos clave de la filosofía de la mente , Continuum International Publishing Group, 2010, p. 26, ISBN 1-84706-349-7 .
- ^ Kenny, Anthony, El ascenso de la filosofía moderna , Oxford University Press, 2006, p. 124, ISBN 0-19-875277-6 .
- ^ Balmes, James, Filosofía fundamental, Vol II , Sadlier and Co., Boston, 1856, p. 27.
- ^ Potter, Vincent G., Sobre la comprensión de la comprensión: una filosofía del conocimiento , 2ª ed, Fordham University Press, 1993, p. 86, ISBN 0-8232-1486-9 .
- ^ Russell, Bertrand, Historia de la filosofía occidental , edición de reimpresión, Routledge, 2004, p. 202, ISBN 0-415-32505-6 .
- ^ Las simetrías de las cosas , Capítulo 20
- ^ 199,999 = 500,000 casos - 1 (convexo) - 100,000 (múltiplos de 5) - 250,000 (múltiplos de 2) + 50,000 (múltiplos de 2 y 5)