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En matemáticas , un número primo de Mersenne es un número primo que es uno menos que una potencia de dos . Es decir, es un número primo de la forma M n = 2 n - 1 para algún número entero n . Llevan el nombre de Marin Mersenne , un fraile minim francés , que los estudió a principios del siglo XVII. Si n es un número compuesto, entonces también lo es 2 n - 1 . Por lo tanto, una definición equivalente de los números primos de Mersenne es que son los números primos de la forma M p = 2p - 1para algunos primos p .

Los exponentes n que dan primos de Mersenne son 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, ... (secuencia A000043 en la OEIS ) y los primos de Mersenne resultantes son 3 , 7 , 31 , 127 , 8191, 131071, 524287, 2147483647 , ... (secuencia A000668 en la OEIS ).

Los números de la forma M n = 2 n - 1 sin el requisito de primalidad pueden llamarse números de Mersenne . A veces, sin embargo, los números de Mersenne se definen para tener el requisito adicional de que n sea ​​primo. El número compuesto más pequeño de Mersenne con exponente primo n es 2 11 - 1 = 2047 = 23 × 89 .

Los números primos de Mersenne se estudiaron en la antigüedad debido a su estrecha conexión con los números perfectos : el teorema de Euclides-Euler afirma una correspondencia uno a uno entre los números perfectos pares y los números primos de Mersenne. Muchos de los números primos más grandes conocidos son primos de Mersenne porque los números de Mersenne son más fáciles de verificar para determinar si son primarios.

A octubre de 2020 , se conocen 51 primos de Mersenne. El número primo más grande conocido , 2 82,589,933 - 1 , es un primo de Mersenne. [1] Desde 1997, todos los números primos de Mersenne recién descubiertos han sido descubiertos por Great Internet Mersenne Prime Search , un proyecto de computación distribuida . En diciembre de 2020, se superó un hito importante en el proyecto después de que todos los exponentes por debajo de 100 millones se verificaron al menos una vez. [2]

Acerca de los primos de Mersenne [ editar ]

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Hay infinitos números primos de Mersenne?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Muchas preguntas fundamentales sobre los números primos de Mersenne siguen sin resolverse. Ni siquiera se sabe si el conjunto de números primos de Mersenne es finito o infinito. La conjetura de Lenstra-Pomerance-Wagstaff afirma que hay infinitos números primos de Mersenne y predice su orden de crecimiento . Tampoco se sabe si un número infinito de números de Mersenne con exponentes primos son compuestos , aunque esto se seguiría de conjeturas ampliamente creídas sobre números primos, por ejemplo, la infinitud de los primos de Sophie Germain congruentes con 3 ( mod 4 ). Para estos primos p , 2 p + 1 (que también es primo) dividirá M p, por ejemplo, 23 |  M 11 , 47 |  M 23 , 167 |  M 83 , 263 |  M 131 , 359 |  M 179 , 383 |  M 191 , 479 |  M 239 y 503 |  M 251 (secuencia A002515 en la OEIS ). Dado que para estos primos p , 2 p + 1 es congruente con 7 mod 8, entonces 2 es un residuo cuadrático mod 2 p+ 1 , y el orden multiplicativo de 2 mod 2 p + 1 debe dividir = p . Como p es primo, debe ser p o 1. Sin embargo, no puede ser 1 ya que 1 no tiene factores primos , por lo que debe ser p . Por tanto, 2 p + 1 se divide y no puede ser primo.

Los primeros cuatro primos de Mersenne son M 2 = 3 , M 3 = 7 , M 5 = 31 y M 7 = 127 y debido a que el primer primo de Mersenne comienza en M 2 , todos los primos de Mersenne son congruentes con 3 (mod 4). Aparte de M 0 = 0 y M 1 = 1 , todos los demás números de Mersenne también son congruentes con 3 (mod 4). En consecuencia, en la factorización prima de un número de Mersenne (  ≥  M 2  ) debe haber al menos un factor primo congruente con 3 (mod 4).

Un teorema básico sobre los números de Mersenne establece que si M p es primo, entonces el exponente p también debe ser primo. Esto se sigue de la identidad

Esto descarta la primalidad para los números de Mersenne con exponente compuesto, como M 4 = 2 4 - 1 = 15 = 3 × 5 = (2 2 - 1) × (1 + 2 2 ) .

Aunque los ejemplos anteriores pueden sugerir que M p es primo para todos los primos p , este no es el caso, y el contraejemplo más pequeño es el número de Mersenne

M 11 = 2 11 - 1 = 2047 = 23 × 89 .

La evidencia disponible sugiere que es mucho más probable que un número de Mersenne seleccionado aleatoriamente sea primo que un número entero impar arbitrario seleccionado aleatoriamente de tamaño similar. [3] No obstante, los valores primos de M p parecen volverse cada vez más escasos a medida que p aumenta. Por ejemplo, ocho de los primeros 11 primos p dan lugar a un primo de Mersenne M p (los términos correctos en la lista original de Mersenne), mientras que M p es primo para solo 43 de los primeros dos millones de números primos (hasta 32,452,843).

La falta de una prueba simple para determinar si un número de Mersenne dado es primo hace que la búsqueda de primos de Mersenne sea una tarea difícil, ya que los números de Mersenne crecen muy rápidamente. La prueba de primalidad de Lucas-Lehmer (LLT) es una prueba de primalidad eficiente que ayuda enormemente en esta tarea, lo que hace que sea mucho más fácil probar la primacía de los números de Mersenne que la de la mayoría de los otros números del mismo tamaño. La búsqueda de la prima más grande conocida tiene algo de seguidores de culto . En consecuencia, se ha gastado una gran cantidad de potencia informática en la búsqueda de nuevos números primos de Mersenne, muchos de los cuales ahora se realizan mediante computación distribuida .

Módulo aritmético un número de Mersenne es particularmente eficiente en una computadora binaria , lo que los convierte en opciones populares cuando se desea un módulo primo, como el generador de números aleatorios de Park-Miller . Para encontrar un polinomio primitivo de orden numérico de Mersenne requiere conocer la factorización de ese número, por lo que los números primos de Mersenne permiten encontrar polinomios primitivos de orden muy alto. Estos trinomios primitivos se utilizan en generadores de números pseudoaleatorios con períodos muy grandes, como el tornado de Mersenne , el registro de desplazamiento generalizado y los generadores de Fibonacci retrasados .

Números perfectos [ editar ]

Los primos de Mersenne M p están estrechamente relacionados con números perfectos . En el siglo IV a. C., Euclides demostró que si 2 p - 1 es primo, entonces 2 p - 1 (2 p - 1 ) es un número perfecto. En el siglo XVIII, Leonhard Euler demostró que, a la inversa, todos los números, incluso perfectos, tienen esta forma. [4] Esto se conoce como el teorema de Euclides-Euler . Se desconoce si existen números perfectos impares .

Historia [ editar ]

Los números primos de Mersenne toman su nombre del erudito francés del siglo XVII Marin Mersenne , quien compiló lo que se suponía que era una lista de números primos de Mersenne con exponentes hasta 257. Los exponentes enumerados por Mersenne fueron los siguientes:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257.

Su lista reproducía los números primos conocidos de su época con exponentes hasta 19. Su siguiente entrada, 31, era correcta, pero la lista se volvió en gran medida incorrecta, ya que Mersenne incluyó por error M 67 y M 257 (que son compuestos) y omitió M 61 , M 89 y M 107 (que son primos). Mersenne dio pocos indicios de cómo se le ocurrió la lista. [5]

Édouard Lucas demostró en 1876 que M 127 es realmente excelente, como afirmó Mersenne. Este fue el número primo más grande conocido durante 75 años, y el más grande jamás encontrado manualmente (sin la ayuda de computadoras). [ cita requerida ] M 61 fue determinado como primo en 1883 por Ivan Mikheevich Pervushin , aunque Mersenne afirmó que era compuesto, y por esta razón a veces se le llama número de Pervushin. Este era el segundo número primo más grande conocido, y permaneció así hasta 1911. Lucas había mostrado otro error en la lista de Mersenne en 1876. Sin encontrar un factor, Lucas demostró que M 67 es en realidad compuesto. No se encontró ningún factor hasta que una famosa charla deFrank Nelson Cole en 1903. [6] Sin decir una palabra, se acercó a un pizarrón y elevó 2 a la potencia 67, luego restó una. En el otro lado del tablero, multiplicó 193,707,721 × 761,838,257,287 y obtuvo el mismo número, luego regresó a su asiento (entre aplausos) sin hablar. [7] Más tarde dijo que el resultado le había costado "tres años de domingos" encontrarlo. [8] Una lista correcta de todos los números primos de Mersenne en este rango de números se completó y verificó rigurosamente solo unos tres siglos después de que Mersenne publicara su lista.

Buscando números primos de Mersenne [ editar ]

Hay disponibles algoritmos rápidos para encontrar números primos de Mersenne y, a partir de junio de 2019, los siete números primos más grandes conocidos son los números primos de Mersenne.

Los primeros cuatro números primos de Mersenne M 2 = 3 , M 3 = 7 , M 5 = 31 y M 7 = 127 se conocían en la antigüedad. El quinto, M 13 = 8191 , fue descubierto de forma anónima antes de 1461; los dos siguientes ( M 17 y M 19 ) fueron encontrados por Pietro Cataldi en 1588. Después de casi dos siglos, Leonhard Euler verificó que M 31 era primo en 1772. El siguiente (en orden histórico, no numérico) fue M 127 , Encontrado porÉdouard Lucas en 1876, luego M 61 por Ivan Mikheevich Pervushin en 1883. Dos más ( M 89 y M 107 ) fueron encontrados a principios del siglo XX, por RE Powers en 1911 y 1914, respectivamente.

El mejor método actualmente conocido para probar la primacía de los números de Mersenne es la prueba de primacía de Lucas-Lehmer . Específicamente, se puede demostrar que para primos p > 2 , M p = 2 p - 1 es primo si y solo si M p divide S p - 2 , donde S 0 = 4 y S k = ( S k - 1 ) 2 - 2 para k > 0 .

Durante la era del cálculo manual, todos los exponentes hasta el 257 inclusive se probaron con la prueba de Lucas-Lehmer y se determinó que eran compuestos. Horace Scudder Uhler, profesor retirado de física de Yale, hizo una contribución notable, quien hizo los cálculos para los exponentes 157, 167, 193, 199, 227 y 229. [9] Desafortunadamente para esos investigadores, el intervalo que estaban probando contiene el mayor intervalo conocido. brecha relativa entre los números primos de Mersenne: el próximo exponente primo de Mersenne, 521, resultaría ser más de cuatro veces mayor que el récord anterior de 127.

Gráfico del número de dígitos en el número primo de Mersenne más grande conocido por año - era electrónica. La escala vertical es logarítmica en el número de dígitos, por lo que es función del valor del primo.

La búsqueda de números primos de Mersenne se vio revolucionada por la introducción de la computadora digital electrónica. Alan Turing los buscó en el Manchester Mark 1 en 1949, [10] pero la primera identificación exitosa de un Mersenne prime, M 521 , por este medio se logró a las 10:00 pm del 30 de enero de 1952 utilizando la Oficina Nacional de Estados Unidos de Standards Western Automatic Computer (SWAC) en el Instituto de Análisis Numérico de la Universidad de California, Los Ángeles , bajo la dirección de Lehmer , con un programa de búsqueda informática escrito y dirigido por el Prof. RM Robinson. Fue la primera prima de Mersenne en ser identificada en treinta y ocho años; el siguiente, M 607 , fue encontrado por la computadora poco menos de dos horas después. Tres más, M 1279 , M 2203 y M 2281  , fueron encontrados por el mismo programa en los siguientes meses. M 4253 es el primer primo de Mersenne que es titánico , M 44,497 es el primer gigante y M 6,972,593 fue el primer megaprime que se descubrió, siendo un primo con al menos 1,000,000 de dígitos. [11]Los tres fueron el primer primo conocido de ese tamaño. El número de dígitos en la representación decimal de M n es igual a n × log 10 2⌋ + 1 , donde x denota la función de piso (o equivalentemente ⌊log 10 M n ⌋ + 1 ).

En septiembre de 2008, los matemáticos de UCLA que participaron en Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) ganaron parte de un premio de $ 100,000 de la Electronic Frontier Foundation por su descubrimiento de un Mersenne prime de casi 13 millones de dígitos. El premio, finalmente confirmado en octubre de 2009, es para el primer prime conocido con al menos 10 millones de dígitos. El principal se encontró en una Dell OptiPlex 745 el 23 de agosto de 2008. Este fue el octavo principal de Mersenne descubierto en UCLA. [12]

El 12 de abril de 2009, un registro del servidor de GIMPS informó que posiblemente se había encontrado un número 47 de Mersenne principal. El hallazgo se notó por primera vez el 4 de junio de 2009 y se verificó una semana después. El primo es 2 42,643,801 - 1 . Aunque cronológicamente es el número 47 de Mersenne principal descubierto, es más pequeño que el más grande conocido en ese momento, que fue el número 45 en ser descubierto.

El 25 de enero de 2013, Curtis Cooper , un matemático de la Universidad de Central Missouri , descubrió un número primo número 48 de Mersenne, 2 57.885.161 - 1 (un número con 17.425.170 dígitos), como resultado de una búsqueda ejecutada por una red de servidores GIMPS. [13]

El 19 de enero de 2016, Cooper publicó su descubrimiento de un número 49 de Mersenne primo, 2 74,207,281 - 1 (un número con 22,338,618 dígitos), como resultado de una búsqueda ejecutada por una red de servidores GIMPS. [14] [15] [16] Este fue el cuarto primer Mersenne descubierto por Cooper y su equipo en los últimos diez años.

El 2 de septiembre de 2016, Great Internet Mersenne Prime Search terminó de verificar todas las pruebas por debajo de M 37,156,667 , confirmando así oficialmente su posición como la 45th Mersenne Prime. [17]

El 3 de enero de 2018, se anunció que Jonathan Pace, un ingeniero eléctrico de 51 años que vive en Germantown, Tennessee, había encontrado un número primo número 50 de Mersenne, 2 77,232,917 - 1 (un número con 23,249,425 dígitos), como resultado de una búsqueda ejecutada por una red de servidores GIMPS. [18]

El 21 de diciembre de 2018, se anunció que The Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) descubrió el número primo más grande conocido, 2 82,589,933 - 1 , con 24,862,048 dígitos. Una computadora ofrecida por Patrick Laroche de Ocala, Florida, hizo el hallazgo el 7 de diciembre de 2018. [19]

Teoremas sobre los números de Mersenne [ editar ]

  1. Si una y p son números naturales tales que un p - 1 es primo, entonces un = 2 o p = 1 .
    • Prueba : a ≡ 1 ( mod a - 1) . Entonces a p ≡ 1 (mod a - 1) , entonces a p - 1 ≡ 0 (mod a - 1) . Por tanto, a - 1 | a p - 1 . Sin embargo, a p - 1 es primo, entonces a - 1 = a p - 1 o a - 1 = ± 1 . En el primer caso, a = a p , por tanto a = 0, 1(lo cual es una contradicción, ya que ni −1 ni 0 son primos) o p = 1. En el último caso, a = 2 o a = 0 . Sin embargo, si a = 0 , 0 p - 1 = 0 - 1 = −1 que no es primo. Por tanto, a = 2 .
  2. Si 2 p - 1 es primo, entonces p es primo.
    • Demostración : suponga que p es compuesto, por lo tanto, se puede escribir p = ab con a y b > 1 . Entonces 2 p - 1 = 2 ab - 1 = (2 a ) b - 1 = (2 a - 1) ( (2 a ) b −1 + (2 a ) b −2 +… + 2 a + 1 ) entonces 2 p - 1 es compuesto. Por contrapositivo, si 2 p - 1es primo, entonces p es primo.
  3. Si p es un primo impar, entonces todo primo q que divide 2 p - 1 debe ser 1 más un múltiplo de 2 p . Esto se mantiene incluso cuando 2 p - 1 es primo.
    • Por ejemplo, 2 5 - 1 = 31 es primo y 31 = 1 + 3 × (2 × 5) . Un ejemplo compuesto es 2 11 - 1 = 23 × 89 , donde 23 = 1 + (2 × 11) y 89 = 1 + 4 × (2 × 11) .
    • Prueba : Por el pequeño teorema de Fermat , q es un factor de 2 q -1 - 1 . Como q es un factor de 2 p - 1 , para todos los enteros positivos c , q también es un factor de 2 pc - 1 . Dado que p es primo y q no es un factor de 2 1 - 1 , p también es el entero positivo más pequeño x tal que q es un factor de 2 x - 1. Como resultado, para todos los enteros positivos x , q es un factor de 2 x - 1 si y solo si p es un factor de x . Por lo tanto, puesto que q es un factor de 2 q -1 - 1 , p es un factor de q - 1 de modo q ≡ 1 (mod p ) . Además, dado que q es un factor de 2 p - 1 , que es impar, q es impar. Por lo tanto, q ≡ 1 (mod 2 p ) .
    • Este hecho conduce a una demostración del teorema de Euclides , que afirma la infinitud de los primos, distintos de la prueba escrita por Euclides: para cada primo impar p , todos los primos que dividen 2 p - 1 son mayores que p ; por tanto, siempre hay números primos más grandes que cualquier primo particular.
    • De este hecho se deduce que por cada primo p > 2 , hay al menos un primo de la forma 2 kp +1 menor o igual que M p , para algún entero k .
  4. Si p es un primo impar, entonces todo primo q que divide 2 p - 1 es congruente con ± 1 (mod 8) .
    • Prueba : 2 p +1 ≡ 2 (mod q ) , entonces 21/2(p + 1) es una raíz cuadrada de 2 mod q . Por reciprocidad cuadrática , cada módulo primo en el que el número 2 tiene una raíz cuadrada es congruente con ± 1 ( módulo 8) .
  5. Una prima de Mersenne no puede ser una prima de Wieferich .
    • Demostración : Demostramos que si p = 2 m - 1 es un primo de Mersenne, entonces la congruencia 2 p −1 mod 1 (mod p 2 ) no se cumple. Por el pequeño teorema de Fermat, m | p - 1 . Por lo tanto, se puede escribir p - 1 = . Si se satisface la congruencia dada, entonces p 2 | 2 - 1 , por lo tanto 0 ≡2 - 1/2 m - 1 = 1 + 2 m + 2 2 m + ... + 2 ( λ - 1) m ≡ - λ mod (2 m - 1) . Por tanto, 2 m - 1 | λ , y por lo tanto λ ≥ 2 m - 1 . Esto conduce a p - 1 ≥ m (2 m - 1) , lo cual es imposible ya que m ≥ 2 .
  6. Si m y n son números naturales, entonces m y n son primos entre sí si y sólo si 2 m - 1 y 2 n - 1 son primos entre sí. En consecuencia, un número primo divide como máximo un número de Mersenne de exponente primo. [20] Es decir, el conjunto de números perniciosos de Mersenne es coprime por pares.
  7. Si p y 2 p + 1 son primos (lo que significa que p es un primo de Sophie Germain ), y p es congruente con 3 (mod 4) , entonces 2 p + 1 divide 2 p - 1 . [21]
    • Ejemplo : 11 y 23 son primos y 11 = 2 × 4 + 3 , por lo que 23 divide 2 11 - 1 .
    • Prueba : Let q sea 2 p + 1 . Según el pequeño teorema de Fermat, 2 2 p ≡ 1 (mod q ) , entonces 2 p ≡ 1 (mod q ) o 2 p ≡ −1 (mod q ) . Suponiendo que esto último sea cierto, entonces 2 p +1 = (21/2( p + 1) ) 2 ≡ −2 (mod q ) , entonces −2 sería un residuo cuadrático mod q . Sin embargo, dado que p es congruente con 3 (mod 4) , q es congruente con 7 (mod 8) y por lo tanto 2 es un residuo cuadrático mod q . Además, dado que q es congruente con 3 (mod 4) , −1 es un mod q de no residuo cuadrático, entonces −2 es el producto de un residuo y un no residuo y, por lo tanto, es un no residuo, lo cual es una contradicción. Por tanto, la primera congruencia debe ser verdadera y 2 p + 1 divide M p.
  8. Todos los divisores compuestos de números de Mersenne con exponente primo son pseudoprimos fuertes a la base 2.
  9. Con la excepción de 1, un número de Mersenne no puede ser una potencia perfecta. Es decir, y de acuerdo con el teorema de Mihăilescu , la ecuación 2 m - 1 = n k no tiene soluciones donde m , n y k son números enteros con m > 1 y k > 1 .

Lista de primos conocidos de Mersenne [ editar ]

La siguiente tabla enumera todos los primos de Mersenne conocidos (secuencia A000043 ( p ) y A000668 ( M p ) en OEIS ):

  1. Aunque M 42,643,801 fue reportado por primera vez por una máquina el 12 de abril de 2009, ningún humano se dio cuenta de este hecho hasta el 4 de junio de 2009.
  2. ^ Strindmo también usa el alias Stig M. Valstad.
  3. ^ a b A partir del 12 de abril de 2021 según GIMPS .
  4. ^ a b c d No se verifica si existen números primos de Mersenne no descubiertos entre el 47 ( M 43,112,609 ) y el 51 ( M 82,589,933 ) en este gráfico; por tanto, la clasificación es provisional.
  5. ^ Aunque M 74,207,281 fue reportado por primera vez por una máquina el 17 de septiembre de 2015, ningún humano se dio cuenta de este hecho hasta el 7 de enero de 2016.

Todos los números de Mersenne por debajo del número 51 de Mersenne primo ( M 82,589,933 ) se han probado al menos una vez, pero algunos no se han verificado dos veces. Las primas no siempre se descubren en orden creciente. Por ejemplo, el número 29 de Mersenne principal se descubrió después del 30 y el 31. De manera similar, M 43,112,609 fue seguido por dos primos de Mersenne más pequeños, primero 2 semanas después y luego 9 meses después. [79] M 43,112,609 fue el primer número primo descubierto con más de 10 millones de dígitos decimales.

El número primo más grande conocido de Mersenne (2 82,589,933 - 1) es también el número primo más grande conocido . [1]

La prima más grande conocida ha sido una prima de Mersenne desde 1952, excepto entre 1989 y 1992. [80]

Factorización de números compuestos de Mersenne [ editar ]

Dado que son números primos, los números primos de Mersenne son divisibles solo por 1 y por sí mismos. Sin embargo, no todos los números de Mersenne son números primos de Mersenne, y los números de Mersenne compuestos pueden factorizarse de manera no trivial. Los números de Mersenne son casos de prueba muy buenos para el algoritmo de tamiz de campo numérico especial , por lo que a menudo el número más grande factorizado con este algoritmo ha sido un número de Mersenne. A junio de 2019 , 2 1,193  - 1 es el poseedor del récord, [81] habiendo sido factorizado con una variante del tamiz de campo de números especiales que permite la factorización de varios números a la vez. Ver registros de factorización de enterospara enlaces a más información. El tamiz de campo de números especiales puede factorizar números con más de un factor grande. Si un número tiene solo un factor muy grande, entonces otros algoritmos pueden factorizar números más grandes encontrando primero factores pequeños y luego haciendo una prueba de primalidad en el cofactor. A junio de 2019 , la factorización más grande con factores primos probables permitidos es 2 7,313,983 - 1 = 305,492,080,276,193 × q , donde q es un número primo probable de 2,201,714 dígitos. Fue descubierto por Oliver Kruse. [82] En junio de 2019 , el número de Mersenne M 1277es el número de Mersenne compuesto más pequeño sin factores conocidos; no tiene factores primos por debajo de 2 67 . [83]

La siguiente tabla muestra factorizaciones para los primeros 20 números compuestos de Mersenne (secuencia A244453 en la OEIS ).

El número de factores para los primeros 500 números de Mersenne se puede encontrar en (secuencia A046800 en la OEIS ).

Números de Mersenne en la naturaleza y en otros lugares [ editar ]

En el problema matemático Torre de Hanoi , resolver un rompecabezas con una torre de n discos requiere M n pasos, suponiendo que no se cometan errores. [84] El número de granos de arroz en todo el tablero de ajedrez en el problema del trigo y el tablero de ajedrez es M 64 .

El asteroide con el número de planeta menor 8191 se llama 8191 Mersenne en honor a Marin Mersenne, porque 8191 es un primo de Mersenne ( 3 Juno , 7 Iris , 31 Euphrosyne y 127 Johanna fueron descubiertos y nombrados durante el siglo XIX). [85]

En geometría , un triángulo rectángulo entero que es primitivo y tiene su cateto par una potencia de 2 (  ≥ 4  ) genera un triángulo rectángulo único tal que su radio interno es siempre un número de Mersenne. Por ejemplo, si el cateto par es 2 n  + 1 , debido a que es primitivo, restringe el cateto impar a 4 n  - 1 , la hipotenusa a 4 n  + 1 y su radio interno a 2 n  - 1 . [86]

Los números de Mersenne se estudiaron con respecto al número total de caminos de aceptación de máquinas de Turing de tiempo polinomial no determinista en 2018 [87] y se descubrieron inclusiones intrigantes.

Primos de Mersenne-Fermat [ editar ]

Un número de Mersenne-Fermat se define como2 p r - 1/2 p r - 1 - 1, con p primo, r número natural, y se puede escribir como MF ( p , r ) . Cuando r = 1 , es un número de Mersenne. Cuando p = 2 , es un número de Fermat . Los únicos números primos conocidos de Mersenne-Fermat con r > 1 son

MF (2, 2), MF (2, 3), MF (2, 4), MF (2, 5), MF (3, 2), MF (3, 3), MF (7, 2) y MF (59, 2) . [88]

De hecho, MF ( p , r ) = Φ p r (2) , donde Φ es el polinomio ciclotómico .

Generalizaciones [ editar ]

Los primos de Mersenne generalizados más simples son números primos de la forma f (2 n ) , donde f ( x ) es un polinomio de bajo grado con coeficientes enteros pequeños . [89] Un ejemplo es 2 64 - 2 32 + 1 , en este caso, n = 32 , y f ( x ) = x 2 - x + 1 ; otro ejemplo es 2 192 - 2 64 - 1 , en este caso, n = 64y f ( x ) = x 3 - x - 1 .

También es natural intentar generalizar los números primos de la forma 2 n - 1 a los números primos de la forma b n - 1 (para b ≠ 2 y n > 1 ). Sin embargo (véanse también los teoremas anteriores ), b n - 1 siempre es divisible por b - 1 , por lo que, a menos que el último sea una unidad , el primero no es un primo. Esto se puede remediar permitiendo que b sea ​​un número entero algebraico en lugar de un número entero:

Números complejos [ editar ]

En el anillo de los enteros (en números reales ), si b - 1 es una unidad , entonces b es 2 o 0. Pero 2 n - 1 son los números primos habituales de Mersenne, y la fórmula 0 n - 1 no conduce a nada. interesante (ya que siempre es −1 para todo n > 0 ). Por tanto, podemos considerar un anillo de "enteros" en números complejos en lugar de números reales , como enteros de Gauss y enteros de Eisenstein .

Primos gaussianos de Mersenne [ editar ]

Si consideramos el anillo de los enteros gaussianos , obtenemos el caso b = 1 + i y b = 1 - i , y podemos preguntar ( WLOG ) por cuál n el número (1 + i ) n - 1 es un primo gaussiano que será luego se llamará un primo gaussiano de Mersenne . [90]

(1 + i ) n - 1 es un primo gaussiano para el siguiente n :

2, 3, 5, 7, 11, 19, 29, 47, 73, 79, 113, 151, 157, 163, 167, 239, 241, 283, 353, 367, 379, 457, 997, 1367, 3041, 10141, 14699, 27529, 49207, 77291, 85237, 106693, 160423, 203789, 364289, 991961, 1203793, 1667321, 3704053, 4792057, ... (secuencia A057429 en la OEIS )

Como la secuencia de exponentes de los números primos habituales de Mersenne, esta secuencia contiene solo números primos (racionales).

Como para todos los números primos gaussianos, las normas (es decir, cuadrados de valores absolutos) de estos números son primos racionales:

5, 13, 41, 113, 2113, 525313, 536903681, 140737471578113, ... (secuencia A182300 en la OEIS ).

Eisenstein Mersenne primos [ editar ]

Se pueden encontrar casos en los que dicho número primo de Mersenne sea también un número primo de Eisenstein , siendo de la forma b = 1 + ω y b = 1 - ω . En estos casos, estos números se denominan números primos de Eisenstein Mersenne .

(1 + ω ) n - 1 es un primo de Eisenstein para el siguiente n :

2, 5, 7, 11, 17, 19, 79, 163, 193, 239, 317, 353, 659, 709, 1049, 1103, 1759, 2029, 5153, 7541, 9049, 10453, 23743, 255361, 534827, 2237561, ... (secuencia A066408 en la OEIS )

Las normas (es decir, cuadrados de valores absolutos) de estos números primos de Eisenstein son primos racionales:

7, 271, 2269, 176419, 129159847, 1162320517, ... (secuencia A066413 en la OEIS )

Dividir un número entero [ editar ]

Repunit primos [ editar ]

La otra forma de lidiar con el hecho de que b n - 1 siempre es divisible por b - 1 , es simplemente sacar este factor y preguntar qué valores de n hacen

ser primo. (El entero b puede ser positivo o negativo). Si, por ejemplo, tomamos b = 10 , obtenemos n valores de:

2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ... (secuencia A004023 en la OEIS ),
correspondiente a los primos 11, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, ... (secuencia A004022 en la OEIS ).

Estos números primos se denominan primos repunit. Otro ejemplo es cuando tomamos b = −12 , obtenemos n valores de:

2, 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, ... (secuencia A057178 en la OEIS ),
correspondientes a los primos −11, 19141, 57154490053, ....

Es una conjetura que para cada entero b que no es una potencia perfecta , hay infinitos valores de n tales queb n - 1/b - 1es primordial. (Cuando b es una potencia perfecta, se puede demostrar que hay como máximo un valor n tal queb n - 1/b - 1 es primordial)

Al menos n tal queb n - 1/b - 1es primo son (comenzando con b = 2 , 0 si no existe tal n )

2, 3, 2, 3, 2, 5, 3, 0, 2, 17, 2, 5, 3, 3, 2, 3, 2, 19, 3, 3, 2, 5, 3, 0, 7, 3, 2, 5, 2, 7, 0, 3, 13, 313, 2, 13, 3, 349, 2, 3, 2, 5, 5, 19, 2, 127, 19, 0, 3, 4229, 2, 11, 3, 17, 7, 3, 2, 3, 2, 7, 3, 5, 0, 19, 2, 19, 5, 3, 2, 3, 2, ... (secuencia A084740 en el OEIS )

Para bases negativas b , son (comenzando con b = −2 , 0 si no existe tal n )

3, 2, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 5, 5, 2, 3, 2, 3, 3, 7, 2, 17, 2, 3, 3, 11, 2, 3, 11, 0, 3, 7, 2, 109, 2, 5, 3, 11, 31, 5, 2, 3, 53, 17, 2, 5, 2, 103, 7, 5, 2, 7, 1153, 3, 7, 21943, 2, 3, 37, 53, 3, 17, 2, 7, 2, 3, 0, 19, 7, 3, 2, 11, 3, 5, 2, ... (secuencia A084742 en el OEIS ) (observe que esta secuencia OEIS no permite n = 2 )

Mínimo base b tal queb primo ( n ) - 1/b - 1 es primo son

2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 10, 6, 2, 61, 14, 15, 5, 24, 19, 2, 46, 3, 11, 22, 41, 2, 12, 22, 3, 2, 12, 86, 2, 7, 13, 11, 5, 29, 56, 30, 44, 60, 304, 5, 74, 118, 33, 156, 46, 183, 72, 606, 602, 223, 115, 37, 52, 104, 41, 6, 338, 217, ... (secuencia A066180 en la OEIS )

Para bases negativas b , son

3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, ... (secuencia A103795 en la OEIS )

Otros números primos generalizados de Mersenne [ editar ]

Otro número de Mersenne generalizado es

con a , b cualquier entero coprimo , a > 1 y - a < b < a . (Dado que a n - b n siempre es divisible por a - b , la división es necesaria para que haya alguna posibilidad de encontrar números primos. De hecho, este número es el mismo que el número de Lucas U n ( a + b , ab ) , ya que una y b son las raíces de laecuación cuadrática x 2 - ( a + b ) x + ab = 0 , y este número es igual a 1 cuando n = 1 ) Podemos preguntar cuál n hace que este número sea primo. Se puede demostrar que tales n deben ser primos o iguales a 4, y n puede ser 4 si y solo si a + b = 1 y a 2 + b 2 es primo. (Desdea 4 - b 4/a - b= ( a + b ) ( a 2 + b 2 ) . Por tanto, en este caso el par ( a , b ) debe ser ( x + 1, - x ) y x 2 + ( x + 1) 2 debe ser primo. Es decir, x debe estar en OEIS :  A027861 .) Es una conjetura que para cualquier par ( a , b ) tal que para cada número natural r > 1 , ay b no son ambas potencias r- ésimas perfectas , y −4 ab no es una cuarta potencia perfecta . hay infinitos valores de n tales quea n - b n/a - bes primordial. (Cuando un y b son ambos perfecta r º poderes para un r > 1 , o cuando -4 ab es un cuarto poder perfecto, se puede demostrar que hay a lo sumo dos n valores con esta propiedad, ya que si es así, entoncesa n - b n/a - bse puede factorizar algebraicamente) Sin embargo, esto no ha sido probado para ningún valor individual de ( a , b ) .

* Nota: si b <0 y n es par, los números n no se incluyen en la secuencia OEIS correspondiente.

Una conjetura relacionada con los primos generalizados de Mersenne: [3] [101] (la conjetura predice dónde está el siguiente primo generalizado de Mersenne, si la conjetura es verdadera, entonces hay infinitos números primos para todos esos pares ( a , b ) )

Para cualquier enteros una y b que satisfacen las condiciones:

  1. a > 1 , - a < b < a .
  2. un y b son primos entre sí . (por lo tanto, b no puede ser 0)
  3. Para cada número natural r > 1 , una y B no son ambos perfecta r º poderes. (dado que cuando a y b son ambas potencias r- ésimas perfectas , se puede demostrar que hay como máximo dos valores n tales quea n - b n/a - bes primo, y estos n valores son r en sí mismo o una raíz de r , o 2)
  4. −4 ab no es una cuarta potencia perfecta (si es así, entonces el número tiene una factorización aurifeuilleana ).

tiene números primos de la forma

para primo p , los números primos se distribuirán cerca de la línea de mejor ajuste

dónde

y hay sobre

números primos de esta forma menos de N .

  • e es la base del logaritmo natural .
  • γ es la constante de Euler-Mascheroni .
  • log a es el logaritmo en base a .
  • R ( a , b ) ( n ) es el n- ésimo número primo de la formaa p - b p/a - bpara prima p .
  • C es una constante de datos de ajuste que varía con una y b .
  • δ es una constante de datos de ajuste que varía con una y b .
  • m es el mayor número natural tal que una y - b son ambos perfecta 2 m - 1 º poderes.

También tenemos las siguientes tres propiedades:

  1. El número de números primos de la forma a p - b p/a - b(con prima p ) menor o igual an es aproximadamente e γ log a (log a ( n )) .
  2. El número esperado de números primos de la forma a p - b p/a - bcon el primer p entre n y una es aproximadamente e γ .
  3. La probabilidad de que el número de la forma a p - b p/a - bes primo (para primo p ) es aproximadamentee γ/p log e ( a ).

Si esta conjetura es cierta, entonces para todos esos pares ( a , b ) , sea q el n- ésimo primo de la formaa p - b p/a - b, la gráfica de log a (log a ( q )) versus n es casi lineal. (Ver [3] )

Cuando a = b + 1 , es ( b + 1) n - b n , una diferencia de dos n- ésimas potencias perfectas consecutivas , y si a n - b n es primo, entonces a debe ser b + 1 , porque es divisible por a - b .

Al menos n tal que ( b + 1) n - b n es primo son

2, 2, 2, 3, 2, 2, 7, 2, 2, 3, 2, 17, 3, 2, 2, 5, 3, 2, 5, 2, 2, 229, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 2, 2, 5, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 7, 2, 3, 37, 2, 3, 5, 58543, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 5, 3, 4663, 54517, 17, 3, 2, 5, 2, 3, 3, 2, 2, 47, 61, 19, ... (secuencia A058013 en la OEIS )

Al menos b tal que ( b + 1) primo ( n ) - b primo ( n ) es primo son

1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 39, 6, 4, 12, 2, 2, 1, 6, 17, 46, 7, 5, 1, 25, 2, 41, 1, 12, 7, 1, 7, 327, 7, 8, 44, 26, 12, 75, 14, 51, 110, 4, 14, 49, 286, 15, 4, 39, 22, 109, 367, 22, 67, 27, 95, 80, 149, 2, 142, 3, 11, ... (secuencia A222119 en la OEIS )

Ver también [ editar ]

  • Repunit
  • Fermat prime
  • Poder de dos
  • Constante de Erdős-Borwein
  • Conjeturas de Mersenne
  • Tornado de Mersenne
  • Número doble de Mersenne
  • Prime95 / MPrime
  • Gran búsqueda de Internet Mersenne Prime (GIMPS)
  • Número primo más grande conocido
  • Titanic prime
  • Prime gigantesco
  • Megaprime
  • Wieferich prime
  • Wagstaff prime
  • Cullen prime
  • Woodall prime
  • Proth prime
  • Solinas prime
  • Conjetura de Gillies
  • Número de Williams

Referencias [ editar ]

  1. ^ a b c "El proyecto GIMPS descubre el mayor número primo conocido: 2 82.589.933 -1" . Mersenne Research, Inc . 21 de diciembre de 2018 . Consultado el 21 de diciembre de 2018 .
  2. ^ "Informe de hitos de GIMPS" . Mersenne.org . Mersenne Research, Inc . Consultado el 5 de diciembre de 2020 .
  3. ^ a b c Caldwell, Chris. "Heurística: derivar la conjetura de Wagstaff Mersenne" .
  4. ^ Chris K. Caldwell, Mersenne Primes: Historia, teoremas y listas
  5. ^ Las Prime Pages, conjetura de Mersenne .
  6. ^ Cole, FN (1 de diciembre de 1903). "Sobre la factorización de grandes números" . Boletín de la American Mathematical Society . 10 (3): 134-138. doi : 10.1090 / S0002-9904-1903-01079-9 .
  7. ^ Bell, ET y Asociación Matemática de América (1951). Matemáticas, reina y sirvienta de la ciencia . McGraw-Hill Nueva York.pag. 228.
  8. ^ "h2g2: números de Mersenne" . BBC News . Archivado desde el original el 5 de diciembre de 2014.
  9. ^ Horace S. Uhler (1952). "Una breve historia de las investigaciones sobre los números de Mersenne y las últimas inmensas primas" . Scripta Mathematica . 18 : 122-131.
  10. ^ Brian Napper, El Departamento de Matemáticas y Mark 1 .
  11. ^ Las Prime Pages, The Prime Glossary: ​​megaprime .
  12. Maugh II, Thomas H. (27 de septiembre de 2008). "Los matemáticos de UCLA descubren un número primo de 13 millones de dígitos" . Los Angeles Times . Consultado el 21 de mayo de 2011 .
  13. ^ Tia Ghose. "Mayor número primo descubierto" . Scientific American . Consultado el 7 de febrero de 2013 .
  14. ↑ a b Cooper, Curtis (7 de enero de 2016). "Descubrimiento de números primos de Mersenne - 2 74207281  - ¡1 es primo!" . Mersenne Research, Inc . Consultado el 22 de enero de 2016 .
  15. ^ Brook, Robert (19 de enero de 2016). "El número primo con 22 millones de dígitos es el más grande jamás encontrado" . Nuevo científico . Consultado el 19 de enero de 2016 .
  16. ^ Chang, Kenneth (21 de enero de 2016). "Nuevo número primo más grande = 2 a 74 Mil ... Uh, es grande" . The New York Times . Consultado el 22 de enero de 2016 .
  17. ^ "Hitos" . Archivado desde el original el 3 de septiembre de 2016.
  18. ^ "Mersenne Prime Discovery - 2 ^ 77232917-1 es Prime!" . www.mersenne.org . Consultado el 3 de enero de 2018 .
  19. ^ "GIMPS descubre el mayor número primo conocido: 2 ^ 82,589,933-1" . Consultado el 1 de enero de 2019 .
  20. ^ Página de Will Edgington en Mersenne Archivado el 14 de octubre de 2014 en la Wayback Machine.
  21. ^ Caldwell, Chris K. "Prueba de un resultado de Euler y Lagrange en divisores de Mersenne" . Prime Pages .
  22. ^ a b Entre los antiguos egipcios no se mencionaban los números primos, y no tenían ningún concepto de números primos conocido en la actualidad. En el papiro de Rhind (1650 a. C.), las expansiones de fracciones egipcias tienen formas bastante diferentes de números primos y compuestos, por lo que se puede argumentar que conocían los números primos. "Los egipcios usaron ($) en la tabla anterior para los primeros números primos r = 3, 5, 7 u 11 (también para r = 23). Aquí hay otra observación intrigante: que los egipcios detuvieron el uso de ($) en 11 sugiere que entendieron (al menos algunas partes) del Tamiz de Eratóstenes 2000 años antes de que Eratóstenes 'lo descubriera' ". La mesa Rhind 2 / n[Consultado el 11 de noviembre de 2012]. En la escuela de Pitágoras (n. Alrededor del 570 - d. Alrededor del 495 a. C.) y los pitagóricos , encontramos las primeras observaciones seguras de los números primos. Por lo tanto, los dos primeros números primos de Mersenne, 3 y 7, eran conocidos e incluso se puede decir que fueron descubiertos por ellos. Sin embargo, no hay ninguna referencia a su forma especial 2 2  - 1 y 2 3  - 1 como tales. Las fuentes del conocimiento de los números primos entre los pitagóricos son tardías. El filósofo neoplatónico Iamblichus , AD c. 245 – c. 325, afirma que el filósofo platónico griego Speusippus , c. 408 - 339/8 a. C., escribió un libro titulado Sobre los números pitagóricos. Según Iamblichus, este libro se basó en las obras de Pitágoras Philolaus , c. 470 – c. 385 a. C., que vivió un siglo después de Pitágoras , 570 a. C. 495 a. C. En su Teología de la aritmética en el capítulo Sobre la década , Iamblichus escribe: "Speusippus, el hijo de la hermana de Platón, Potone, y director de la Academia antes de Jenócrates, compiló un librito pulido de los escritos pitagóricos que fueron particularmente valorados en cualquier momento, y especialmente de los escritos de Philolaus; tituló el libro On Pythagorean Numbers. En la primera mitad del libro, expone con elegancia números lineales [es decir, números primos], números poligonales y todo tipo de números planos, números sólidos y las cinco cifras que se asignan a los elementos del universo, discutiendo tanto sus atributos y sus características compartidas, y su proporcionalidad y reciprocidad. " Iamblichus The Theology of Arithmetic traducido por Robin Waterfiled, 1988, p. 112f. [Consultado el 11-11-2012]. Iamblichus también nos da una cita directa del libro de Speusippus donde Speusippusentre otras cosas escribe: "En segundo lugar, es necesario que un número perfecto [el concepto" número perfecto "no se usa aquí en un sentido moderno] contenga una cantidad igual de números primos e incompuestos, y números secundarios y compuestos". Iamblichus La teología de la aritmética traducida por Robin Waterfiled, 1988, p. 113. [Consultado el 11 de noviembre de 2012]. Para el texto original griego, véase Speusippus of Athens: A Critical Study with a Collection of the Related Texts and Commentary by Leonardo Tarán, 1981, p. 140 línea 21-22 [Consultado el 11 de noviembre de 2012] En sus comentarios a la Introducción a la aritmética de Nicomachus de Gerasas , Iamblichus también menciona que Thymaridas, ca. 400 aC - ca. 350 aC, usa el término rectilíneo para números primos, y que Theon de Smyrna , fl. 100 d.C., utiliza eutimétrico y lineal como términos alternativos. Nicomachus de Gerasa, Introducción a la aritmética, 1926, p. 127 [Consultado el 11 de noviembre de 2012] Sin embargo, no está claro cuándo vivió Thymaridas. "En un pasaje muy sospechoso de Iamblichus, Thymaridas aparece como alumno del propio Pitágoras". Pitagorismo [recuperado 11.11.2012] Antes de Filolao , c. 470 – c. 385 a. C., no tenemos pruebas de ningún conocimiento de los números primos.
  23. ^ a b "Elementos de Euclides, libro IX, proposición 36" .
  24. ^ a b c d e f El matemático árabe Ismail ibn Ibrahim ibn Fallus (1194-1239) conocía los primeros siete números perfectos muchos años antes de que fueran descubiertos en Europa; ver Los números perfectos de MacTutor Historia del archivo de las matemáticas . Referencia: Brentjes, Sonja (1987). "Die ersten sieben vollkommenen Zahlen und drei Arten befreundeter Zahlen in einem Werk zur elementaren Zahlentheorie von Ismā'īl b. Ibrāhīm b. Fallūs" [Los primeros siete números perfectos y tres tipos de números amistosos en un trabajo sobre teoría de números elementales de Ismā ' īl b. Ibrāhīm b. Fallus]. NTM Schriftenreihe für Geschichte der Naturwissenschaften, Technik und Medizin(en alemán). 24 (1): 21–30. OCLC  812888599 . Zbl  0625.01005 ..
  25. ^ Las Prime Pages, Mersenne Primes: Historia, teoremas y listas .
  26. ^ Encontramos la nota más antigua (indiscutible) del resultado en el Codex nr. 14908, que tiene su origen en Bibliotheca monasterii ord. S. Benedicti ad S. Emmeramum Ratisbonensis ahora en el archivo de la Bayerische Staatsbibliothek, ver "Halm, Karl / Laubmann, Georg von / Meyer, Wilhelm: Catalogus codicum latinorum Bibliothecae Regiae Monacensis, Bd .: 2,2, Monachii, 1876, pág. 250 ".[recuperado el 17 de septiembre de 2012] The Codex nr. 14908 consta de 10 obras medievales diferentes sobre matemáticas y temas relacionados. Se conocen los autores de la mayoría de estos escritos. Algunos autores consideran al monje Fridericus Gerhart (Amman), 1400-1465 (Frater Fridericus Gerhart monachus ordinis sancti Benedicti astrologus professus in monasterio sancti Emmerani diocesis Ratisponensis et in ciuitate eiusdem) como el autor de la parte donde se menciona el número primo 8191. Geschichte Der Mathematik [recuperado el 17 de septiembre de 2012] El segundo manuscrito del Codex nr. 14908 tiene el nombre "Regulae et exempla arithmetica, algebraica, geometrica" ​​y el quinto número perfecto y todos los factores, incluido el 8191, se mencionan en el folio núm. 34 a tergo (reverso de la pág. 34). Partes del manuscrito se han publicado enArchiv der Mathematik und Physik, 13 (1895), págs. 388–406 [consultado el 23 de septiembre de 2012 ]
  27. ^ "A i lettori. Nel trattato de 'numeri perfetti, che giàfino dell anno 1588 composi, oltrache se era passato auáti à trouarne molti auertite molte cose, se era anco amplamente dilatatala Tauola de' numeri composti, di ciascuno de 'quali si vedeano per ordine li componenti, onde preposto unnum. " pag. 1 en Trattato de 'nvumeri perfetti Di Pietro Antonio Cataldo 1603. http://fermi.imss.fi.it/rd/bdv?/bdviewer@selid=1373775# [ enlace muerto permanente ]
  28. ^ pp. 13-18 en Trattato de 'nvumeri perfetti Di Pietro Antonio Cataldo 1603. http://fermi.imss.fi.it/rd/bdv?/bdviewer@selid=1373775# [ enlace muerto permanente ]
  29. ^ pp. 18-22 en Trattato de 'nvumeri perfetti Di Pietro Antonio Cataldo 1603. http://fermi.imss.fi.it/rd/bdv?/bdviewer@selid=1373775# [ enlace muerto permanente ]
  30. ^ http://bibliothek.bbaw.de/bbaw/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=03-nouv/1772&seite:int=36 Archivado el 31 de marzo de 2012 en la Wayback Machine Nouveaux Mémoires de l 'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres 1772, págs. 35–36 EULER, Leonhard: Extrait d'une lettre à M. Bernoulli, concernnant le Mémoire imprimé parmi ceux de 1771. pág. 318 [intitulé: Recherches sur les diviseurs de quelques nombres très grandes compuestos dans la somme de la progression géométrique 1 + 101 + 102 + 103 + ... + 10T = S]. Consultado el 2 de octubre de 2011.
  31. ^ http://primes.utm.edu/notes/by_year.html#31 La fecha y el año del descubrimiento no están seguros. Las fechas entre 1752 y 1772 son posibles.
  32. ^ Chris K. Caldwell. "Restricciones modulares en divisores Mersenne" . Primes.utm.edu . Consultado el 21 de mayo de 2011 .
  33. ^ “En novembre de l'année 1883, dans la correspondance de notre Académie se trouve une communication qui contient l'assertion que le nombre 2 61 - 1 = 2305843009213693951 est un nombre premier. /… / Le tome XLVIII des Mémoires Russes de l'Académie /… / contient le compte-rendu de la séance du 20 de diciembre de 1883, dans lequel l'objet de la communication du père Pervouchine est indiqué avec précision ”. Bulletin de l'Académie Impériale des Sciences de St.-Pétersbourg, art. 3, v. 31, 1887, cols. 532–533. https://www.biodiversitylibrary.org/item/107789#page/277/mode/1up[consultado el 17 de septiembre de 2012] Véase también Mélanges mathématiques et astronomiques tirés du Bulletin de l'Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg v. 6 (1881-1888), págs. 553–554. Véase también Mémoires de l'Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg: Sciences mathématiques, physiques et naturelles, vol. 48
  34. ^ Powers, RE (1 de enero de 1911). "El décimo número perfecto". The American Mathematical Monthly . 18 (11): 195-197. doi : 10.2307 / 2972574 . JSTOR 2972574 . 
  35. ^ "ME Fauquenbergue a trouvé ses résultats depuis Février, et j'en ai reçu communication le 7 Juin; M. Powers a envoyé le 1 er Juin un cablógramme à M. Bromwich [secretario de la London Mathematical Society] pour M 107. Sur ma demande, ces deux auteurs m'ont adressé leurs remarquables résultats, et je m'empresse de les publier dans nos colonnes, avec nos felicitations. " pag. 103, André Gérardin, Nombres de Mersenne págs. 85, 103-108 en Sphinx-Œdipe. [Journal mensuel de la curiosité, de concours & de mathématiques.] V. 9, No. 1, 1914.
  36. ^ "El cable de Power que anunciaba este mismo resultado se envió al London Math. Entonces, el 1 de junio de 1914". Números de Mersenne, Scripta Mathematica , v. 3, 1935, págs. 112-119 http://primes.utm.edu/mersenne/LukeMirror/lit/lit_008s.htm [consultado el13 de octubre de 2012]
  37. ^ "Registros de procedimientos en reuniones". Actas de la London Mathematical Society . s2-13 (1): iv – xl. 1914. doi : 10.1112 / plms / s2-13.1.1-s .
  38. ^ Las Prime Pages, M 107 : ¿Fauquembergue o poderes? .
  39. ^ http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-3039&I=166&M=chemindefer Presentado en una reunión con la Académie des sciences (Francia) el 10 de enero de 1876. Consultado el 2 de octubre de 2011.
  40. ^ a b "Utilizando la prueba estándar de Lucas para los números primos de Mersenne según lo programado por RM Robinson, el SWAC ha descubierto los números primos 2 521  - 1 y 2 607  - 1 el 30 de enero de 1952". DH Lehmer, Recent Discoveries of Large Primes , Mathematics of Computation, vol. 6, núm. 37 (1952), pág. 61, http://www.ams.org/journals/mcom/1952-06-037/S0025-5718-52-99404-0/S0025-5718-52-99404-0.pdf [Consultado el 18 de septiembre de 2012 ]
  41. ^ "El programa descrito en la Nota 131 (c) produjo el 15º Mersenne prime 2 1279  - 1 el 25 de junio. El SWAC prueba este número en 13 minutos y 25 segundos". DH Lehmer, A New Mersenne Prime , Matemáticas de la computación, vol. 6, núm. 39 (1952), pág. 205, http://www.ams.org/journals/mcom/1952-06-039/S0025-5718-52-99387-3/S0025-5718-52-99387-3.pdf [Consultado el 18 de septiembre de 2012 ]
  42. ^ a b "Dos números primos de Mersenne más, 2 2203  - 1 y 2 2281  - 1, fueron descubiertos por el SWAC el 7 y 9 de octubre de 1952". DH Lehmer, Two New Mersenne Primes , Mathematics of Computation, vol. 7, núm. 41 (1952), pág. 72, http://www.ams.org/journals/mcom/1953-07-041/S0025-5718-53-99371-5/S0025-5718-53-99371-5.pdf [Consultado el 18 de septiembre de 2012 ]
  43. ^ Riesel, Hans (1 de enero de 1958). "Un nuevo Mersenne Prime" . Matemáticas de la Computación . 12 (61): 60. doi : 10.1090 / S0025-5718-58-99282-2 .
  44. ^ a b A. Hurwitz y JL Selfridge, números de Fermat y números perfectos , Notices of the American Mathematical Society, v. 8, 1961, p. 601, resumen 587-104.
  45. ^ a b "Si p es primo, M p = 2 p - 1 se llama número de Mersenne. Los primos M 4253 y M 4423 se descubrieron codificando la prueba de Lucas-Lehmer para el IBM 7090". Alexander Hurwitz, New Mersenne Primes , Matemáticas de la computación, vol. 16, núm. 78 (1962), págs. 249–251, http://www.ams.org/journals/mcom/1962-16-078/S0025-5718-1962-0146162-X/S0025-5718-1962 -0146162-X.pdf [Consultado el 18 de septiembre de 2012 ]
  46. ↑ a b c Gillies, Donald B. (1 de enero de 1964). "Tres nuevos números primos de Mersenne y una teoría estadística" . Matemáticas de la Computación . 18 (85): 93–97. doi : 10.1090 / S0025-5718-1964-0159774-6 . JSTOR 2003409 . 
  47. ^ Tuckerman, Bryant (1 de octubre de 1971). "El 24 de Mersenne Prime" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 68 (10): 2319–2320. Código Bibliográfico : 1971PNAS ... 68.2319T . doi : 10.1073 / pnas.68.10.2319 . PMC 389411 . PMID 16591945 .  
  48. ^ a b Noll, Curt; Nickel, Laura (octubre de 1980). "Los primos 25 y 26 de Mersenne" . Matemáticas de la Computación . 35 (152): 1387. doi : 10.1090 / S0025-5718-1980-0583517-4 . JSTOR 2006405 . 
  49. ^ David Slowinski, "Buscando el 27 de Mersenne Prime", Journal of Recreational Mathematics , v. 11 (4), 1978–79, págs. 258–261, MR 80g # 10013
  50. ^ "El número primo 27 de Mersenne. Tiene 13395 dígitos y es igual a 2 44497  - 1. [...] Su primo se determinó el 8 de abril de 1979 utilizando la prueba de Lucas-Lehmer. La prueba fue programada en una computadora CRAY-1 por David Slowinski y Harry Nelson ". (p. 15) "El resultado fue que después de aplicar la prueba de Lucas-Lehmer a unos mil números, el código determinó, el domingo 8 de abril, que 2 44497  - 1 es, de hecho, el número 27 primo de Mersenne". (pág. 17), David Slowinski, "Buscando al 27º Mersenne Prime", Cray Channels , vol. 4, no. 1, (1982), págs. 15-17.
  51. ^ Colquitt, WN; Welsh, L. (1 de mayo de 1991). "Una nueva prima de Mersenne" . Matemáticas de la Computación . 56 (194): 867. Bibcode : 1991MaCom..56..867C . doi : 10.1090 / S0025-5718-1991-1068823-9 . JSTOR 2008415 . 
  52. ^ Peterson, I. (1988). "Preparándose para un golpe de suerte". Noticias de ciencia . 133 (6): 85. doi : 10.2307 / 3972461 . JSTOR 3972461 . 
  53. ^ "Números primos de Mersenne" . Omes.uni-bielefeld.de. 2011-01-05 . Consultado el 21 de mayo de 2011 .
  54. ^ "Slowinski, un ingeniero de software de Cray Research Inc. en Chippewa Falls, descubrió el número a las 11:36 am del lunes. [Es decir, el 19 de septiembre de 1983]" Jim Higgins, "El número del numeral escurridizo ha aumentado" y "El científico encuentra grande number "en The Milwaukee Sentinel - 24 de septiembre de 1983, p. 1 , pág. 11 [consultado el 23 de octubre de 2012]
  55. ^ Peterson, I. (1985). "Prime Time para supercomputadoras". Noticias de ciencia . 128 (13): 199. doi : 10.2307 / 3970245 . JSTOR 3970245 . 
  56. ^ "El programa de Slowinski también encontró el 28 en 1982, el 29 en 1983 y el 30 [conocido en ese momento] el pasado fin de semana del Día del Trabajo. [Es decir, del 31 de agosto al 1 de septiembre de 1985]" Rad Sallee ",` Supercomputer '/ El dispositivo de cálculo de Chevron encuentra un número primo más grande " Houston Chronicle , viernes 20/09/1985, sección 1, página 26, edición de 4 estrellas [consultado el 23 de octubre de 2012]
  57. ^ Las Prime Pages, El hallazgo de la 32ª Mersenne .
  58. ^ Chris Caldwell, Los premios más grandes conocidos .
  59. ^ Comunicado de prensa de Crays
  60. ^ "Correo electrónico de Slowinskis" .
  61. ^ Comunicado de prensa de Silicon Graphics https://web.archive.org/web/19970606011821/http://www.sgi.com/Headlines/1996/September/prime.html [Consultado el 20 de septiembre de 2012]
  62. ^ ¡ Las Prime Pages, un tamaño récord! 2 1257787  - 1 .
  63. ^ GIMPS descubre la 35a Mersenne Prime .
  64. ^ GIMPS descubre el número 36 conocido de Mersenne Prime .
  65. ^ GIMPS descubre la 37a Mersenne Prime conocida .
  66. ^ GIMPS encuentra la prima de primer millón de dígitos, reclamación de $ 50,000 EFF Award .
  67. ^ GIMPS, los investigadores descubren la mayor prima de varios millones de dígitos utilizando la red informática distribuida de Entropia .
  68. ^ GIMPS, el proyecto Mersenne descubre el mayor número primo conocido en la red de computadoras de voluntarios en todo el mundo .
  69. ^ GIMPS, proyecto de Mersenne.org descubre el nuevo número primo más grande conocido, 2 24,036,583  - 1 .
  70. ^ GIMPS, proyecto de Mersenne.org descubre el nuevo número primo más grande conocido, 2 25,964,951  - 1 .
  71. ^ GIMPS, proyecto de Mersenne.org descubre el nuevo número primo más grande conocido, 2 30,402,457  - 1 .
  72. ^ GIMPS, proyecto de Mersenne.org descubre el número primo más grande conocido, 2 32,582,657  - 1 .
  73. ^ a b Titanic Primes compitió para ganar un premio de investigación de $ 100,000 . Consultado el 16 de septiembre de 2008.
  74. ^ "El 12 de abril [2009], el número 47 de Mersenne primo conocido, 2 42,643,801  - 1, un número de 12,837,064 dígitos fue encontrado por Odd Magnar Strindmo de Melhus, Noruega. Este número primo es el segundo número primo más grande conocido, un" simple "141,125 dígitos más pequeños que el número primo de Mersenne encontrado en agosto pasado. ", Página de inicio de la lista de primas más grandes conocidas , http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=88847 [consultado el 18 de septiembre de 2012]
  75. ^ "GIMPS descubre 48 Mersenne Prime, 2 57.885.161 - 1 es ahora el Prime más grande conocido" . Gran búsqueda de Internet Mersenne Prime . Consultado el 19 de enero de 2016 .
  76. ^ "Lista de números primos conocidos de Mersenne" . Consultado el 29 de noviembre de 2014 .
  77. ^ "Proyecto GIMPS descubre el mayor número primo conocido: 2 77,232,917 -1" . Mersenne Research, Inc . 3 de enero de 2018 . Consultado el 3 de enero de 2018 .
  78. ^ "Lista de números primos conocidos de Mersenne" . Consultado el 3 de enero de 2018 .
  79. ^ Informe de hitos de GIMPS . Consultado el 17 de mayo de 2019.
  80. ^ Caldwell, " La prima más grande conocida por año: una breve historia " delsitio web Prime Pages , Universidad de Tennessee en Martin .
  81. ^ Kleinjung, Thorsten; Bos, Joppe W .; Lenstra, Arjen K. (2014). "Fábrica de factorización de Mersenne". Avances en Criptología - ASIACRYPT 2014 . Apuntes de conferencias en informática. 8874 . págs. 358–377. doi : 10.1007 / 978-3-662-45611-8_19 . ISBN 978-3-662-45607-1.
  82. ^ Henri Lifchitz y Renaud Lifchitz. "PRP Top Records" . Consultado el 21 de marzo de 2018 .
  83. ^ "Estado de exponente para M1277" . Consultado el 22 de junio de 2018 .
  84. Petković, Miodrag (2009). Famosos rompecabezas de grandes matemáticos . Librería AMS. pag. 197. ISBN 978-0-8218-4814-2.
  85. ^ Alan Chamberlin. "Navegador de base de datos de cuerpo pequeño JPL" . Ssd.jpl.nasa.gov . Consultado el 21 de mayo de 2011 .
  86. ^ "OEIS A016131" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros.
  87. ^ Tayfun Pay y James L. Cox. "Una descripción general de algunas clases de complejidad semántica y sintáctica" .
  88. ^ "Una investigación de los primos de Mersenne y Fermat" . Archivado desde el original el 29 de mayo de 2012.
  89. ^ Solinas, Jerome A. (01 de enero de 2011). "Generalizado Mersenne Prime". En Tilborg, furgoneta de Henk CA; Jajodia, Sushil (eds.). Enciclopedia de Criptografía y Seguridad . Springer EE. UU. págs. 509–510. doi : 10.1007 / 978-1-4419-5906-5_32 . ISBN 978-1-4419-5905-8.
  90. Chris Caldwell: The Prime Glossary: ​​Gaussian Mersenne (parte de Prime Pages )
  91. ^ Zalnezhad, Ali; Zalnezhad, Hossein; Shabani, Ghasem; Zalnezhad, Mehdi (marzo de 2015). "Relaciones y algoritmo para lograr los mayores precios". arXiv : 1503.07688 [ math.NT ].
  92. ^ ( x , 1) y ( x , −1) para x = 2 a 50
  93. ^ ( x , 1) para x = 2 a 160
  94. ^ ( x , −1) para x = 2 a 160
  95. ^ ( x + 1, x ) para x = 1 a 160
  96. ^ ( x + 1, - x ) para x = 1 a 40
  97. ^ ( x + 2, x ) para x impar = 1 a 107
  98. ^ ( x , −1) para x = 2 a 200
  99. ^ Registros PRP, busque (a ^ nb ^ n) / c, es decir, ( a , b )
  100. ^ Registros PRP, busque (a ^ n + b ^ n) / c, es decir, ( a , - b )
  101. ^ "Conjetura de repunición generalizada" .

Enlaces externos [ editar ]

  • "Número de Mersenne" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
  • Página de inicio de GIMPS
  • Estado de GIMPS : la página de estado brinda varias estadísticas sobre el progreso de la búsqueda, que generalmente se actualizan cada semana, incluido el progreso para demostrar el pedido de los números primos de Mersenne más grandes conocidos
  • GIMPS, factores conocidos de los números de Mersenne
  • M q = (8 x ) 2 - (3 qy ) 2 Propiedad de los números de Mersenne con exponente primo que son compuestos (PDF)
  • M q = x 2 + d · y 2 tesis de matemáticas (PS)
  • Grime, James. "31 y Mersenne Primes" . Numberphile . Brady Haran . Archivado desde el original el 31 de mayo de 2013 . Consultado el 6 de abril de 2013 .
  • Bibliografía principal de Mersenne con hipervínculos a publicaciones originales
  • informe sobre los números primos de Mersenne : detección en detalle (en alemán)
  • Wiki GIMPS
  • Página Mersenne de Will Edgington : contiene factores para números pequeños de Mersenne
  • Factores conocidos de los números de Mersenne
  • Dígitos decimales y nombres en inglés de los números primos de Mersenne
  • Prime curiosidades: 2305843009213693951
  • http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cunningham/2-.txt Archivado el 5 de noviembre de 2014 en la Wayback Machine.
  • http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cunningham/2+.txt Archivado el 2 de mayo de 2013 en la Wayback Machine.
  • Secuencia OEIS A250197 (Números n tales que la parte primitiva Aurifeuillian izquierda de 2 ^ n + 1 es prima) —Factorización de números de Mersenne M n ( n hasta 1280)
  • Factorización de números de Mersenne completamente factorizados
  • El proyecto Cunningham, factorización de b n ± 1, b = 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12
  • http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cunningham/main.htm Archivado el 4 de marzo de 2016 en la Wayback Machine.
  • http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/anbn/main.htm Archivado el 2 de febrero de 2016 en Wayback Machine

Enlaces MathWorld [ editar ]

  • Weisstein, Eric W. "Número de Mersenne" . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Mersenne prime" . MathWorld .
  • 47 ° Mersenne Prime encontrado