En teoría de números , los teoremas de Mertens son tres resultados de 1874 relacionados con la densidad de números primos demostrados por Franz Mertens . [1] El "teorema de Mertens" también puede referirse a su teorema en análisis .
En teoría de números
A continuación, dejemos significa que todos los números primos que no excedan n .
Primer teorema de Mertens :
no excede 2 en valor absoluto para cualquier . ( A083343 )
Segundo teorema de Mertens :
donde M es la constante de Meissel-Mertens ( A077761 ). Más precisamente, Mertens [1] demuestra que la expresión por debajo del límite no excede en valor absoluto
para cualquier .
Tercer teorema de Mertens :
donde γ es la constante de Euler-Mascheroni ( A001620 ).
Cambios de signo
En un artículo [2] sobre la tasa de crecimiento de la función de suma de divisores publicado en 1983, Guy Robin demostró que en el segundo teorema de Mertens la diferencia
cambia de signo infinitamente a menudo, y que en el tercer teorema de Mertens la diferencia
cambia de signo infinitamente a menudo. Resultados de Robin son análogos a Littlewood 's famoso teorema que la diferencia π ( x ) - li ( x ) cambia de signo infinito de veces. No se conoce ningún análogo del número de Skewes (un límite superior en el primer número natural x para el cual π ( x )> li ( x )) en el caso de los teoremas segundo y tercero de Mertens.
El segundo teorema de Mertens y el teorema de los números primos
Con respecto a esta fórmula asintótica, Mertens se refiere en su artículo a "dos fórmulas curiosas de Legendre", [1] la primera es el prototipo del segundo teorema de Mertens (y el segundo es el prototipo del tercer teorema de Mertens: ver las primeras líneas del artículo ). Recuerda que está contenido en la tercera edición de Legendre de su "Théorie des nombres" (1830; de hecho, ya se menciona en la segunda edición, 1808), y también que Chebyshev probó una versión más elaborada en 1851. [3 ] Nótese que, ya en 1737, Euler conocía el comportamiento asintótico de esta suma.
Mertens describe diplomáticamente su prueba como más precisa y rigurosa. En realidad, ninguna de las demostraciones anteriores es aceptable según los estándares modernos: los cálculos de Euler involucran el infinito (¡y el logaritmo hiperbólico del infinito, y el logaritmo del logaritmo del infinito!); El argumento de Legendre es heurístico; y la demostración de Chebyshev, aunque perfectamente sólida, hace uso de la conjetura de Legendre-Gauss, que no se demostró hasta 1896 y se hizo más conocida como el teorema de los números primos .
La prueba de Mertens no apela a ninguna hipótesis no probada (en 1874), y solo al análisis real elemental. Viene 22 años antes de la primera demostración del teorema de los números primos que, por el contrario, se basa en un análisis cuidadoso del comportamiento de la función zeta de Riemann como función de una variable compleja. La prueba de Mertens es notable en ese sentido. De hecho, con la notación moderna produce
mientras que el teorema de los números primos (en su forma más simple, sin estimación de error), puede demostrarse que es equivalente a [4]
En 1909, Edmund Landau , utilizando la mejor versión del teorema de los números primos a su disposición, demostró [5] que
sostiene; en particular, el término de error es menor quepara cualquier entero fijo k . Una simple suma por partes que explota la forma más fuerte conocida del teorema de los números primos mejora esto a
para algunos .
De manera similar, una suma parcial muestra que es equivalente al PNT.
Tercer teorema de Mertens y teoría del tamiz
Una estimación de la probabilidad de () sin factor es dado por
Esto está estrechamente relacionado con el tercer teorema de Mertens que da una aproximación asintótica de
En teoría de sumabilidad
En la teoría de sumabilidad , el teorema de Mertens establece que si una serie infinita real o compleja
converge a A y a otro
converge absolutamente a B, entonces su producto de Cauchy converge a AB .
Prueba
El paso principal es
donde la última igualdad necesita que se sigue de .
Así, hemos probado que
- .
Una suma parcial produce
- .
Referencias
- ^ a b c F. Mertens. J. reine angew. Matemáticas. 78 (1874), 46–62 Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie
- ^ Robin, G. (1983). "Sur l'ordre maximum de la fonction somme des diviseurs". Séminaire Delange – Pisot – Poitou, Théorie des nombres (1981–1982). Progreso en Matemáticas . 38 : 233–244.
- ^ PL Tchebychev. Sur la fonction qui détermine la totalité des nombres premiers. Mémoires présentés à l'Académie Impériale des Sciences de St-Pétersbourg par divers savants, VI 1851, 141-157
- ↑ Aunque esta equivalencia no se menciona explícitamente allí, puede, por ejemplo, derivarse fácilmente del material del capítulo I.3 de: G. Tenenbaum. Introducción a la teoría de números analítica y probabilística. Traducido de la segunda edición francesa (1995) por CB Thomas. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 46. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
- ^ Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leipzig 1909, Repr. Chelsea Nueva York 1953, § 55, pág. 197-203.
Otras lecturas
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Mertens Constant" . MathWorld .
- Sondow, Jonathan y Weisstein, Eric W. "Teorema de Mertens" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Segundo teorema de Mertens" . MathWorld .
- Varun Rajkumar, π (x) y el tamiz de Eratosthenes