En estadística , el método de momentos es un método de estimación de parámetros poblacionales .
Comienza expresando los momentos poblacionales (es decir, los valores esperados de potencias de la variable aleatoria en consideración) como funciones de los parámetros de interés. A continuación, esas expresiones se igualan a los momentos muestrales. El número de estas ecuaciones es el mismo que el número de parámetros a estimar. Luego, esas ecuaciones se resuelven para los parámetros de interés. Las soluciones son estimaciones de esos parámetros.
El método de los momentos fue introducido por Pafnuty Chebyshev en 1887 en la demostración del teorema del límite central. La idea de hacer coincidir los momentos empíricos de una distribución con los momentos de la población se remonta al menos a Pearson . [ cita requerida ]
Método
Suponga que el problema es estimar parámetros desconocidos caracterizando la distribución de la variable aleatoria . [1] Supongamos que el primero momentos de la distribución verdadera (los "momentos de población") se pueden expresar como funciones de la s:
Suponga una muestra de tamaño se dibuja, dando como resultado los valores . Para, dejar
ser el j -ésimo momento muestral, una estimación de. El método de estimador de momentos para denotado por se define como la solución (si hay una) a las ecuaciones: [ cita requerida ]
Ventajas y desventajas
El método de los momentos es bastante simple y produce estimadores consistentes (bajo supuestos muy débiles), aunque estos estimadores a menudo están sesgados .
Es una alternativa al método de máxima verosimilitud .
Sin embargo, en algunos casos las ecuaciones de verosimilitud pueden ser intratables sin computadoras, mientras que los estimadores del método de momentos pueden calcularse mucho más rápida y fácilmente. Debido a la facilidad de cálculo, las estimaciones del método de momentos se pueden utilizar como la primera aproximación a las soluciones de las ecuaciones de verosimilitud, y luego se pueden encontrar sucesivas aproximaciones mejoradas mediante el método de Newton-Raphson . De esta manera, el método de los momentos puede ayudar a encontrar estimaciones de máxima verosimilitud.
En algunos casos, infrecuentes con muestras grandes pero no tan infrecuentes con muestras pequeñas, las estimaciones dadas por el método de momentos están fuera del espacio de parámetros (como se muestra en el ejemplo siguiente); entonces no tiene sentido confiar en ellos. Ese problema nunca surge en el método de máxima probabilidad [ cita requerida ] . Además, las estimaciones por el método de los momentos no son necesariamente estadísticas suficientes , es decir, a veces no toman en cuenta toda la información relevante de la muestra.
Al estimar otros parámetros estructurales (p. Ej., Parámetros de una función de utilidad , en lugar de parámetros de una distribución de probabilidad conocida), es posible que no se conozcan las distribuciones de probabilidad apropiadas y se prefieran las estimaciones basadas en momentos a la estimación de máxima verosimilitud.
Ejemplos de
Una aplicación de ejemplo del método de momentos es estimar distribuciones de densidad de probabilidad polinomial. En este caso, un polinomio aproximado de orden se define en un intervalo . El método de los momentos produce entonces un sistema de ecuaciones, cuya solución implica la inversión de una matriz de Hankel . [2]
Distribución uniforme
Considere la distribución uniforme en el intervalo, . Si entonces nosotros tenemos
Resolver estas ecuaciones da
Dado un conjunto de muestras podemos usar los momentos de muestra y en estas fórmulas para estimar y .
Sin embargo, tenga en cuenta que este método puede producir resultados inconsistentes en algunos casos. Por ejemplo, el conjunto de muestras resultados en la estimación aunque y entonces es imposible para el set haber sido extraído de en este caso.
Ver también
Referencias
- ^ Kimiko O. Bowman y LR Shenton, "Estimador: método de momentos", pp 2092-2098, Enciclopedia de ciencias estadísticas , Wiley (1998).
- ^ J. Munkhammar, L. Mattsson, J. Rydén (2017) "Estimación de distribución de probabilidad polinomial utilizando el método de momentos". PLoS ONE 12 (4): e0174573. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0174573