Métrica (matemáticas)

No confundir con Measure (matemáticas) .

Función matemática que define la distancia

Una ilustración que compara la métrica del taxi con la métrica euclidiana en el avión: De acuerdo con la métrica del taxi, los caminos rojo, amarillo y azul tienen la misma longitud (12). Según la métrica euclidiana, el camino verde tiene longitud y es el único camino más corto.${\displaystyle 6{\sqrt {2}}\approx 8.49}$

En matemáticas , una función métrica o de distancia es una función que define una distancia entre cada par de elementos puntuales de un conjunto . Un conjunto con una métrica se llama espacio métrico . ^[1] Una métrica induce una topología en un conjunto, pero no todas las topologías pueden ser generadas por una métrica. Un espacio topológico cuya topología se puede describir mediante una métrica se denomina metrizable .

Una fuente importante de métricas en geometría diferencial son los tensores métricos , formas bilineales que pueden definirse a partir de los vectores tangentes de una variedad diferenciable en un escalar. Un tensor métrico permite que las distancias a lo largo de las curvas se determinen mediante integración y, por lo tanto, determina una métrica.

Definición

Una métrica en un conjunto X es una función (llamada función de distancia o simplemente distancia )

${\displaystyle d:X\times X\to [0,\infty )}$,

donde es el conjunto de números reales no negativos y para todos , se satisfacen los siguientes tres axiomas:${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle x,y,z\in X}$

1.	${\displaystyle d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y}$	identidad de indiscernibles
2.	${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$	simetría
3.	${\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}$	desigualdad triangular

Estos axiomas también implican la condición de no negatividad o separación :

${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$ para todos ${\displaystyle x,y\in X}$

Es decir, aplicando los axiomas 1, 3 y 2 en ese orden se obtiene lo que implica .${\displaystyle 0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)=d(x,y)+d(x,y)=2d(x,y)}$${\displaystyle 0\leq d(x,y)}$

La no negatividad y el axioma 1 juntos definen lo que se llama una función definida positiva .

Una métrica se llama ultramétrica si satisface la siguiente versión más fuerte de la desigualdad del triángulo donde los puntos nunca pueden caer 'entre' otros puntos:

${\displaystyle d(x,y)\leq \max(d(x,z),d(y,z))}$

para todos ${\displaystyle x,y,z\in X}$

Una métrica d en X se llama intrínseca si dos puntos x e y en X pueden unirse mediante una curva con una longitud arbitrariamente cercana a d ( x , y ) .

Una métrica d en un grupo G (escrito multiplicativamente) se dice que es invariante a la izquierda (resp. Invariante a la derecha ) si tenemos

${\displaystyle d(zx,zy)=d(x,y)}$[resp. ]${\displaystyle d(xz,yz)=d(x,y)}$

para todos x , y , y z en G .

Se dice que una métrica en un grupo aditivo conmutativo es invariante a la traducción si para todos o de manera equivalente, si para todos Cada espacio vectorial es también un grupo aditivo conmutativo y una métrica en un espacio vectorial real o complejo inducida por una norma es siempre traducción invariante. Una métrica en un espacio vectorial real o complejo es inducida por una norma si y solo si es invariante a la traducción y absolutamente homogénea , donde esto último significa que para todos los escalares y todos, en cuyo caso la función define una norma y la métrica canónica inducida por${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D(x,y)=D(x+z,y+z)}$${\displaystyle x,y,z\in X,}$${\displaystyle D(x,y)=D(x-y,0)}$${\displaystyle x,y\in X.}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D(sx,sy)=|s|D(x,y)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x,y\in X,}$${\displaystyle \|x\|:=D(x,0)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \|\cdot \|}$ es igual a ${\displaystyle D.}$

Notas

Estas condiciones expresan nociones intuitivas sobre el concepto de distancia . Por ejemplo, que la distancia entre puntos distintos es positivo y la distancia desde x a y es la misma que la distancia de y a x . Los medios de la desigualdad del triángulo que la distancia desde x a z a través de y es al menos tan grande como la de x a z directamente. Euclides en su trabajo afirmó que la distancia más corta entre dos puntos es una línea; esa era la desigualdad del triángulo para su geometría.

Ejemplos

Artículo principal: Espacio métrico § Ejemplos de espacios métricos

• La métrica discreta : si x = y entonces d ( x , y ) = 0. De lo contrario, d ( x , y ) = 1.
• La métrica euclidiana es invariante en traslación y rotación.
• La métrica del taxi es invariante a la traducción.
• De manera más general, cualquier métrica inducida por una norma es invariante en la traducción.
• Si es una secuencia de seminormas que definen un espacio vectorial topológico E ( localmente convexo ) , entonces${\displaystyle (p_{n})_{n\in N}}$

  ${\displaystyle d(x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}}$

  es una métrica que define la misma topología . (Se puede reemplazar por cualquier secuencia sumable de números estrictamente positivos ).${\displaystyle {\frac {1}{2^{n}}}}$ ${\displaystyle (a_{n})}$

• El espacio normado es un espacio de Banach donde el valor absoluto es una norma en la recta real que induce la costumbre de topología euclidiana en definir una métrica de por para todos Al igual  que está inducida por la métrica, la métrica también induce la topología euclidiana habitual en ℝ . Sin embargo, no es una métrica completa porque la secuencia definida por es una secuencia -Cauchy pero no converge a ningún punto de ℝ . Como consecuencia de no converger, este -Cauchy${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle D:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle D(x,y)=|\arctan(x)-\arctan(y)|}$${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} .}$${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle x_{i}:=i}$ D {\displaystyle D} ${\displaystyle D}$La secuencia no puede ser una secuencia de Cauchy en (es decir, no es una secuencia de Cauchy con respecto a la norma ) porque si fuera -Cauchy, entonces el hecho de que sea ​​un espacio de Banach implicaría que converge (una contradicción). ^[2]${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$
• Métrica de gráfico , una métrica definida en términos de distancias en un gráfico determinado.
• La distancia de Hamming en la teoría de la codificación.
• Métrica de Riemann , un tipo de función métrica que es apropiado imponer sobre cualquier variedad diferenciable . Para cualquier variedad de este tipo , se elige en cada punto pa una forma bilineal, definida positiva y simétrica L: T _p × T _p → ℝ en el espacio tangente T _p en p, haciéndolo de manera suave. Esta forma determina la longitud de cualquier vector tangente v en la variedad, a través de la definición${\textstyle \|v\|={\sqrt {L(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )}}}$. Luego, para cualquier ruta diferenciable en la variedad, su longitud se define como la integral de la longitud del vector tangente a la ruta en cualquier punto, donde la integración se realiza con respecto al parámetro de ruta. Finalmente, para obtener una métrica definida en cualquier par {x, y} de puntos de la variedad, se toma el mínimo, sobre todos los caminos de xay, del conjunto de longitudes de camino. Un colector liso equipado con una métrica de Riemann se llama colector de Riemann .
• La métrica Fubini-Study sobre el espacio proyectivo complejo . Este es un ejemplo de una métrica de Riemann.
• Las métricas de cadenas , como la distancia de Levenshtein y otras distancias de edición de cadenas , definen una métrica sobre las cadenas .
• La distancia de edición de gráficos define una función de distancia entre gráficos .
• La métrica de Wasserstein es una función de distancia definida entre dos distribuciones de probabilidad .
• La métrica de Finsler es una función continua no negativa F: TM → [0, + ∞) definida en el paquete tangente.

Equivalencia de métricas

Para un conjunto X dado , dos métricas d ₁ y d ₂ se denominan topológicamente equivalentes ( uniformemente equivalentes ) si el mapeo de identidad

id: ( X , d ₁ ) → ( X , d ₂ )

es un homeomorfismo ( isomorfismo uniforme ).

Por ejemplo, si es una métrica, entonces y son métricas equivalentes a${\displaystyle d}$${\displaystyle \min(d,1)}$${\displaystyle {d \over 1+d}}$${\displaystyle d.}$

Véanse también las nociones de equivalencia de espacio métrico .

Métricas sobre espacios vectoriales

Las normas sobre espacios vectoriales son equivalentes a ciertas métricas, a saber, las homogéneas, invariantes en la traducción. En otras palabras, cada norma determina una métrica y algunas métricas determinan una norma.

Dado un espacio vectorial normalizado , podemos definir una métrica en X por${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$

${\displaystyle d(x,y):=\|x-y\|}$.

Se dice que la métrica d es inducida por la norma .${\displaystyle \|\cdot \|}$

Por el contrario, si una métrica d en un espacio vectorial X satisface las propiedades

• ${\displaystyle d(x,y)=d(x+a,y+a)}$( invariancia de traducción )
• ${\displaystyle d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha |d(x,y)}$( homogeneidad )

entonces podemos definir una norma en X por

${\displaystyle \|x\|:=d(x,0)}$

De manera similar, una seminorma induce una seudométrica (ver más abajo), y una pseudométrica homogénea invariante en la traducción induce una seminorma.

Métricas sobre conjuntos múltiples

Podemos generalizar la noción de métrica desde una distancia entre dos elementos hasta una distancia entre dos conjuntos de elementos finitos no vacíos. Un multiset es una generalización de la noción de un conjunto tal que un elemento puede ocurrir más de una vez. Defina si es el conjunto múltiple que consta de los elementos de los conjuntos múltiples y , es decir, si ocurre una vez dentro y una vez dentro, entonces ocurre dos veces . Una función de distancia en el conjunto de conjuntos múltiples finitos no vacíos es una métrica ^[3] si${\displaystyle Z=XY}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle d}$

1. ${\displaystyle d(X)=0}$si todos los elementos de son iguales y de otra manera ( definición positiva ), es decir, ( no negatividad más identidad de indiscernibles )${\displaystyle X}$${\displaystyle d(X)>0}$
2. ${\displaystyle d(X)}$es invariante bajo todas las permutaciones de ( simetría )${\displaystyle X}$
3. ${\displaystyle d(XY)\leq d(XZ)+d(ZY)}$( desigualdad triangular )

Tenga en cuenta que la métrica familiar entre dos elementos resulta si el conjunto múltiple tiene dos elementos en 1 y 2 y los conjuntos múltiples tienen un elemento cada uno en 3. Por ejemplo, si consta de dos apariciones de , entonces de acuerdo con 1.${\displaystyle X}$${\displaystyle X,Y,Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle d(X)=0}$

Un ejemplo simple es el conjunto de todos los conjuntos múltiples finitos no vacíos de enteros con . Ejemplos más complejos son la distancia de la información en varios conjuntos; ^[3] y distancia de compresión normalizada (NCD) en conjuntos múltiples. ^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle d(X)=\max\{x:x\in X\}-\min\{x:x\in X\}}$

Métricas generalizadas

Existen numerosas formas de relajar los axiomas de la métrica, dando lugar a diversas nociones de espacios métricos generalizados. Estas generalizaciones también se pueden combinar. La terminología utilizada para describirlos no está completamente estandarizada. En particular, en el análisis funcional, la pseudometría a menudo proviene de seminarios sobre espacios vectoriales, por lo que es natural llamarlos "semimétricos". Esto entra en conflicto con el uso del término en topología .

Métricas ampliadas

Algunos autores permiten que la función de distancia d alcance el valor ∞, es decir, las distancias son números no negativos en la recta numérica real extendida . Esta función se denomina métrica extendida o "métrica ∞". Cada métrica extendida se puede transformar en una métrica finita de modo que los espacios métricos sean equivalentes en lo que respecta a las nociones de topología (como continuidad o convergencia ). Esto se puede hacer usando una función acotada subaditiva que aumenta monótonamente y que es cero en cero, por ejemplo, d ′ ( x , y ) = d ( x , y) / (1 + d ( x , y )) o d ′ ′ ( x , y ) = min (1, d ( x , y )).

El requisito de que la métrica tome valores en [0, ∞) incluso se puede relajar para considerar métricas con valores en otros conjuntos dirigidos . La reformulación de los axiomas en este caso conduce a la construcción de espacios uniformes : espacios topológicos con una estructura abstracta que permite comparar las topologías locales de diferentes puntos.

Pseudometría

Artículo principal: Espacio pseudométrico

Una pseudométrica en X es una función d  : X × X → R que satisface los axiomas de una métrica, excepto que en lugar del segundo (identidad de indiscernibles) solo se requiere d ( x , x ) = 0 para todo x . En otras palabras, los axiomas de una pseudometría son:

1. d ( x , y ) ≥ 0
2. d ( x , x ) = 0 (pero posiblemente d ( x , y ) = 0 para algunos valores distintos x ≠ y .)
3. d ( x , y ) = d ( y , x )
4. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ).

En algunos contextos, se hace referencia a la pseudometría como semimétrica debido a su relación con seminormas .

Cuasimétricas

Ocasionalmente, un cuasimétrico se define como una función que satisface todos los axiomas de una métrica con la posible excepción de la simetría :. ^{[5] [6]} El nombre de esta generalización no está completamente estandarizado. ^[7]

1. d ( x , y ) ≥ 0 ( positividad )
2. d ( x , y ) = 0 si y solo si   x = y ( definición positiva )
3. d ( x , y ) = d ( y , x )( simetría , caída)
4. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) ( desigualdad triangular )

Los cuasimétricos son comunes en la vida real. Por ejemplo, dado un conjunto X de pueblos de montaña, los tiempos de caminata típicos entre los elementos de X forman un cuasimétrico porque viajar cuesta arriba toma más tiempo que viajar cuesta abajo. Otro ejemplo es un taxi geometría topología que tienen calles de un solo sentido, en los que una trayectoria desde el punto A al punto B comprende un conjunto diferente de calles de una trayectoria desde B a A .

Un cuasimétrico de los reales se puede definir estableciendo

d ( x , y ) = x - y si x ≥ y , y

d ( x , y ) = 1 en caso contrario. El 1 puede ser reemplazado por infinito o por .${\displaystyle 1+10^{(y-x)}}$

El espacio topológico subyacente a este espacio cuasimétrico es la línea de Sorgenfrey . Este espacio describe el proceso de limar una barra de metal: es fácil reducir su tamaño, pero es difícil o imposible cultivarlo.

Si d es un cuasimétrico en X , se puede formar una métrica d ' en X tomando

d' ( x , y ) = ¹ / ₂ ( d ( x , y ) + d ( y , x )).

Metametría

En una metamétrica , se satisfacen todos los axiomas de una métrica excepto que la distancia entre puntos idénticos no es necesariamente cero. En otras palabras, los axiomas de una metamétrica son:

1. d ( x , y ) ≥ 0
2. d ( x , y ) = 0 implica x = y (pero no al revés).
3. d ( x , y ) = d ( y , x )
4. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ).

La metametría aparece en el estudio de los espacios métricos hiperbólicos de Gromov y sus límites. La metamétrica visual en tal espacio satisface d ( x , x ) = 0 para los puntos x en el límite, pero por lo demás d ( x , x ) es aproximadamente la distancia desde x al límite. La metametría fue definida por primera vez por Jussi Väisälä. ^[8]

Semimétrica

Un semimétrico en X es una función d  : X × X → R que satisface los primeros tres axiomas, pero no necesariamente la desigualdad del triángulo:

1. d ( x , y ) ≥ 0
2. d ( x , y ) = 0 si y solo si   x = y
3. d ( x , y ) = d ( y , x )

Algunos autores trabajan con una forma más débil de la desigualdad del triángulo, como:

d ( x , z ) ≤ ρ ( d ( x , y ) + d ( y , z )) (ρ-desigualdad triangular relajada)

d ( x , z ) ≤ ρ max ( d ( x , y ), d ( y , z )) (ρ-desigualdad inframétrica).

La desigualdad ρ-inframétrica implica la desigualdad del triángulo ρ-relajado (asumiendo el primer axioma), y la desigualdad del triángulo ρ-relajado implica la desigualdad 2ρ-inframétrica. Los semimétricos que satisfacen estas condiciones equivalentes a veces se denominan "cuasimétricos", ^[9] "cuasimétricos" ^[10] o inframétricos . ^[11]

Las desigualdades ρ-inframétricas se introdujeron para modelar los tiempos de retardo de ida y vuelta en Internet . ^[11] La desigualdad del triángulo implica la desigualdad 2-inframétrica, y la desigualdad ultramétrica es exactamente la desigualdad 1-inframétrica.

Premétricas

Relajar los tres últimos axiomas conduce a la noción de una premétrica , es decir, una función que satisface las siguientes condiciones:

1. d ( x , y ) ≥ 0
2. d ( x , x ) = 0
3. d ( x , y ) = d ( y , x )

Este no es un término estándar. A veces se usa para referirse a otras generalizaciones de métricas como pseudosemimetrics ^[12] o pseudometrics; ^[13] en las traducciones de libros rusos a veces aparece como "pramétrico". ^[14] También se llama distancia. ^[15]

Cualquier premétrico da lugar a una topología como sigue. Para una r real positiva , la bola r centrada en un punto p se define como

B _r ( p ) = { x | d ( x , p ) <r}.

Un conjunto se llama abierto si para cualquier punto p del conjunto hay una bola r centrada en p que está contenida en el conjunto. Todo espacio premétrico es un espacio topológico y, de hecho, un espacio secuencial . En general, las r -balls mismas no necesitan ser conjuntos abiertos con respecto a esta topología. En cuanto a las métricas, la distancia entre dos conjuntos A y B , se define como

re ( A , B ) = inf _{x ∊ A , y ∊ B} re ( x , y ).

Esto define una premétrica en el conjunto de potencia de un espacio premétrico. Si comenzamos con un espacio (pseudosemi-) métrico, obtenemos un pseudosemimétrico, es decir, un premétrico simétrico. Cualquier premétrica da lugar a un operador de cierre previo cl como sigue:

cl ( A ) = { x | d ( x , A ) = 0}.

Pseudocuasimétricas

Los prefijos pseudo- , cuasi y semi- también se pueden combinar, por ejemplo, un pseudocuasimétrico (a veces llamado hemimétrico ) relaja tanto el axioma de indiscernibilidad como el axioma de simetría y es simplemente un premétrico que satisface la desigualdad del triángulo. Para los espacios pseudocuasimétricos, las bolas r abiertas forman una base de conjuntos abiertos. Un ejemplo muy básico de un espacio pseudocuasimétrico es el conjunto {0,1} con la premétrica dada por d (0,1) = 1 yd (1,0) = 0. El espacio topológico asociado es el espacio de Sierpiński .

Los conjuntos equipados con un pseudocuasimétrico extendido fueron estudiados por William Lawvere como "espacios métricos generalizados". ^{[16] [17]} Desde un punto de vista categórico , los espacios pseudométricos extendidos y los espacios pseudocuasimétricos extendidos, junto con sus correspondientes mapas no expansivos, son los que mejor se comportan de las categorías espaciales métricas. Se pueden tomar productos y coproductos arbitrarios y formar objetos cocientes dentro de la categoría dada. Si uno cae "extendido", solo puede tomar productos y coproductos finitos. Si se descarta "pseudo", no se pueden tomar cocientes. Los espacios de aproximación son una generalización de los espacios métricos que mantienen estas buenas propiedades categóricas.

Distancia Łukaszyk-Karmowski

La distancia de Łukaszyk-Karmowski es una función que define una distancia entre dos variables aleatorias o dos vectores aleatorios . Los axiomas de esta función son:

1. d ( x , y )> 0
2. d ( x , y ) = d ( y , x )
3. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ).

Esta función de distancia satisface la condición de identidad de indiscernibles si y solo si ambos argumentos se describen mediante funciones de distribución de probabilidad de densidad delta de Dirac idealizadas .

Casos importantes de métricas generalizadas

En geometría diferencial , se considera un tensor métrico , que se puede considerar como una función métrica cuadrática "infinitesimal". Esto se define como una forma bilineal simétrica no degenerada en el espacio tangente de una variedad con un requisito de diferenciabilidad apropiado . Si bien estas no son funciones métricas como se definen en este artículo, inducen lo que se llama una función pseudo-semimétrica mediante la integración de su raíz cuadrada a lo largo de una ruta a través de la variedad. Si uno impone el requisito de definición positiva de un producto interno en el tensor métrico, esto se restringe al caso de unVariedad de Riemann , y la integración de la ruta produce una métrica.

En la relatividad general, el concepto relacionado es un tensor métrico (relatividad general) que expresa la estructura de una variedad pseudo-riemanniana . Aunque se usa el término "métrica", la idea fundamental es diferente porque hay vectores nulos distintos de cero en el espacio tangente de estas variedades, y los vectores pueden tener normas cuadradas negativas. Esta visión generalizada de las "métricas", en la que la distancia cero no implica identidad, también se ha introducido en algunos escritos matemáticos: ^{[18] [19]}

Ver también

• Métrica acústica
• Métrica completa
• Medida de similitud
• Función de distancia firmada

Notas

1. Čech, Eduard (1969). Conjuntos de puntos . Nueva York: Academic Press. pag. 42.
2. Narici y Beckenstein 2011 , págs. 47–51.
3. Vitanyi, Paul MB (2011). "Distancia de información en múltiplos". Transacciones IEEE sobre teoría de la información . 57 (4): 2451–2456. arXiv : 0905.3347 . doi : 10.1109 / TIT.2011.2110130 . S2CID 6302496 . 
4. Cohen, Andrew R .; Vitanyi, Paul MB (2012). "Distancia de compresión normalizada de multisets con aplicaciones" . Transacciones IEEE sobre análisis de patrones e inteligencia de máquinas . 37 (8): 1602-1614. arXiv : 1212.5711 . doi : 10.1109 / TPAMI.2014.2375175 . PMC 4566858 . PMID 26352998 .  
5. Por ejemplo, Steen y Seebach (1995).
6. Smyth, M. (1987). M.Main; A. Melton; M.Mislove; D.Schmidt (eds.). Cuasi uniformidades: conciliación de dominios con espacios métricos . III Congreso sobre Fundamentos Matemáticos de la Semántica del Lenguaje de Programación. Springer-Verlag, Lecture Notes in Computer Science 298. págs. 236-253. doi : 10.1007 / 3-540-19020-1_12 .
7. Rolewicz, Stefan (1987), Teoría de control y análisis funcional: Sistemas lineales , Springer , ISBN 90-277-2186-6, OCLC  13064804Este libro los llama "semimétricos". Ese mismo término también se usa con frecuencia para otras dos generalizaciones de métricas.
8. Väisälä, Jussi (2005), "Gromov hyperbolic spaces" (PDF) , Expositiones Mathematicae , 23 (3): 187-231, doi : 10.1016 / j.exmath.2005.01.010 , MR 2164775  
9. Xia, Q. (2009), "El problema geodésico en espacios cuasimétricos", Journal of Geometric Analysis , 19 (2): 452–479, arXiv : 0807.3377 , doi : 10.1007 / s12220-008-9065-4 , S2CID 17475581 
10. Qinglan Xia (2008), "El problema geodésico en espacios cuasimétricos", Journal of Geometric Analysis , 19 (2): 452–479, arXiv : 0807.3377 , Bibcode : 2008arXiv0807.3377X .
11. * Fraigniaud, P .; Lebhar, E .; Viennot, L. (2008). "El modelo inframétrico para Internet". 2008 IEEE INFOCOM - La 27ª Conferencia sobre Comunicaciones Informáticas . IEEE INFOCOM 2008. La 27ª Conferencia sobre Comunicaciones Informáticas . págs. 1085–1093. CiteSeerX 10.1.1.113.6748 . doi : 10.1109 / INFOCOM.2008.163 . ISBN  978-1-4244-2026-1. S2CID  5733968 ..
12. Buldygin, VV; Kozachenko, IUV (2000), Caracterización métrica de variables aleatorias y procesos aleatorios , ISBN 9780821897911.
13. Khelemskiĭ (2006), Conferencias y ejercicios sobre análisis funcional.
14. Arkhangel'skii y Pontryagin (1990). Aldrovandi, R .; Pereira, JG (1995), Introducción a la física geométrica.
15. Deza, MM; Laurent, M. (1997), geometría de cortes y métricas.
16. Lawvere, FW (2002) [1973], Espacios métricos, lógica generalizada y categorías cerradas (PDF) , Reimpresiones en teoría y aplicaciones de categorías, 1 , págs. 1-37 .
17. Vickers, Steven (2005), "Finalización local de espacios métricos generalizados I" , Teoría y aplicaciones de categorías , 14 : 328–356
18. S. Parrott (1987) Relativistic Electrodynamics and Differential Geometry , página 4, Springer-Verlag ISBN 0-387-96435-5  : "Esta forma bilineal se llama de forma diversa métrica de Lorentz o métrica de Minkowski o tensor métrico ". 
19. Thomas E. Cecil (1992) Lie Sphere Geometry , página 9, Springer-Verlag ISBN 0-387-97747-3  : "Llamamos a este producto escalar la métrica de Lorentz " 

Referencias

• Arkhangel'skii, AV; Pontryagin, LS (1990), Topología general I: Teoría de la dimensión de conceptos básicos y construcciones , Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, Springer , ISBN 3-540-18178-4
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología , Dover , ISBN 978-0-486-68735-3, MR  0507446 , OCLC  32311847
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .

Enlaces externos

• "Espacio cuasimétrico" . PlanetMath .
• "Semimétrico" . PlanetMath .