Espacio métrico

Distancia de definición de conjunto matemático

En matemáticas , un espacio métrico es un conjunto junto con una métrica en el conjunto. La métrica es una función que define un concepto de distancia entre dos miembros cualesquiera del conjunto, que normalmente se denominan puntos . La métrica satisface algunas propiedades simples. Informalmente:

• la distancia de a es cero si y solo si y son el mismo punto,${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
• la distancia entre dos puntos distintos es positiva,
• la distancia de a es la misma que la distancia de a , y${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$
• la distancia desde hasta es menor o igual a la distancia desde hasta vía cualquier tercer punto .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

Una métrica en un espacio induce propiedades topológicas como conjuntos abiertos y cerrados , que conducen al estudio de espacios topológicos más abstractos .

El espacio métrico más familiar es el espacio euclidiano tridimensional . De hecho, una "métrica" ​​es la generalización de la métrica euclidiana que surge de las cuatro propiedades conocidas de la distancia euclidiana. La métrica euclidiana define la distancia entre dos puntos como la longitud del segmento de línea recta que los conecta. Otros espacios métricos ocurren, por ejemplo, en geometría elíptica y geometría hiperbólica , donde la distancia en una esfera medida por ángulo es una métrica, y el modelo hiperboloide de geometría hiperbólica es utilizado por la relatividad especial como un espacio métrico de velocidades.. Algunos de los espacios métricos no geométricos incluyen espacios de cadenas finitas ( secuencias finitas de símbolos de un alfabeto predefinido) equipadas con por ejemplo, un Hamming 's o Levenshtein distancia , un espacio de subconjuntos de cualquier espacio métrico equipados con Hausdorff distancia , un espacio de bienes funciones integrables en un intervalo unitario con una métrica integral o espacios probabilísticos en cualquier espacio métrico elegido equipado con la métrica de Wasserstein .${\displaystyle d(f,g)=\int _{x=0}^{x=1}\left\vert f(x)-g(x)\right\vert \,dx}$

Historia

Esta sección necesita expandirse con: Razones para generalizar la métrica euclidiana, primeras métricas no euclidianas estudiadas, consecuencias para las matemáticas. Puede ayudar agregando más . ( Agosto de 2011 )

En 1906 Maurice Fréchet introdujo los espacios métricos en su obra Sur quelques points du calcul fonctionnel . ^[1] Sin embargo, el nombre se debe a Felix Hausdorff .

Definición

Un espacio métrico es un par ordenado , donde es un conjunto y es una métrica en , es decir, una función${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle d\,\colon M\times M\to \mathbb {R} }$

de modo que para cualquiera , se cumple lo siguiente: ^[2]${\displaystyle x,y,z\in M}$

1.	${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$	identidad de indiscernibles
2.	${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$	simetría
3.	${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$	subaditividad o desigualdad triangular

Dados los tres axiomas anteriores, también tenemos eso para cualquiera . Esto se deduce de la siguiente manera:${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$${\displaystyle x,y\in M}$

${\displaystyle d(x,y)+d(y,x)\geq d(x,x)}$	por desigualdad triangular
${\displaystyle d(x,y)+d(x,y)\geq d(x,x)}$	por simetría
${\displaystyle 2d(x,y)\geq 0}$	por identidad de indiscernibles
${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$	tenemos no negatividad

La función también se llama función de distancia o simplemente distancia . A menudo, se omite y solo se escribe para un espacio métrico si del contexto queda claro qué métrica se usa.${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle M}$

Ignorando los detalles matemáticos, para cualquier sistema de carreteras y terrenos, la distancia entre dos ubicaciones se puede definir como la longitud de la ruta más corta que conecta esas ubicaciones. Para ser una métrica, no debería haber carreteras de un solo sentido. La desigualdad del triángulo expresa el hecho de que los desvíos no son atajos. Si la distancia entre dos puntos es cero, los dos puntos son indistinguibles entre sí. Muchos de los ejemplos siguientes pueden verse como versiones concretas de esta idea general.

Ejemplos de espacios métricos

• Los números reales con la función de distancia propuesta por el diferencia absoluta , y, más generalmente, euclidiano n -espacio con la distancia euclídea , son completos espacios métricos. Los números racionales con la misma función de distancia también forman un espacio métrico, pero no completo.${\displaystyle d(x,y)=|y-x|}$
• Los números reales positivos con función de distancia son un espacio métrico completo.${\displaystyle d(x,y)=\left|\log(y/x)\right|}$
• Cualquier espacio vectorial normado es un espacio métrico al definirlo ; consulte también métricas sobre espacios vectoriales . (Si dicho espacio está completo , lo llamamos espacio de Banach ). Ejemplos:${\displaystyle d(x,y)=\lVert y-x\rVert }$
  • La norma de Manhattan da lugar a la distancia de Manhattan , donde la distancia entre dos puntos, o vectores, es la suma de las diferencias entre las coordenadas correspondientes.
  • La métrica cíclica de Mannheim o distancia de Mannheim es una variante de módulo de la métrica de Manhattan. ^{[3] [4]}
  • La norma máxima da lugar a la distancia de Chebyshev o distancia del tablero de ajedrez, el número mínimo de movimientos que tomaría un rey del ajedrez para viajar desde a .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$
• La métrica de British Rail (también denominada “métrica de la oficina de correos” o la “ métrica de SNCF ”) en un espacio vectorial normalizado viene dada por puntos distintos y , y . De manera más general, se puede reemplazar con una función que toma un conjunto arbitrario en reales no negativos y toma el valor como máximo una vez: entonces la métrica se define en por para puntos distintos y , y . El nombre alude a la tendencia de los viajes en tren a pasar por Londres (o París) independientemente de su destino final.${\displaystyle d(x,y)=\lVert x\rVert +\lVert y\rVert }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle d(x,x)=0}$${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle S}$${\displaystyle d(x,y)=f(x)+f(y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle d(x,x)=0}$
• Si es un espacio métrico y es un subconjunto de , se convierte en un espacio métrico al restringir el dominio de a .${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle X\times X}$
• La métrica discreta , donde si y no, es un ejemplo simple pero importante, y se puede aplicar a todos los conjuntos. Esto, en particular, muestra que para cualquier conjunto, siempre hay un espacio métrico asociado. Usando esta métrica, el singleton de cualquier punto es una bola abierta , por lo tanto, cada subconjunto está abierto y el espacio tiene la topología discreta .${\displaystyle d(x,y)=0}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle d(x,y)=1}$
• Un espacio métrico finito es un espacio métrico que tiene un número finito de puntos. No todos los espacios métricos finitos se pueden incrustar isométricamente en un espacio euclidiano . ^{[5] [6]}
• El plano hiperbólico es un espacio métrico. Más generalmente:
  • Si hay alguna variedad de Riemann conectada , entonces podemos convertirnos en un espacio métrico definiendo la distancia de dos puntos como el mínimo de las longitudes de los caminos ( curvas continuamente diferenciables ) que los conectan.${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$
• Si es un conjunto y es un espacio métrico, entonces, el conjunto de todas las funciones acotadas (es decir, aquellas funciones cuya imagen es un subconjunto acotado de ) se puede convertir en un espacio métrico definiendo dos funciones acotadas cualesquiera y (donde es superior ) . ^[7] Esta métrica se denomina métrica uniforme o métrica superior, y si está completo, entonces este espacio funcional también lo está. Si X es también un espacio topológico, entonces el conjunto de todas las funciones continuas acotadas de a${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f\colon X\to M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}d(f(x),g(x))}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \sup }$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$(dotado de la métrica uniforme), también será una métrica completa si M es.
• Si es un gráfico conectado no dirigido , entonces el conjunto de vértices de se puede convertir en un espacio métrico definiendo como la longitud de la ruta más corta que conecta los vértices y . En la teoría de grupos geométricos, esto se aplica al gráfico de Cayley de un grupo, lo que produce la palabra métrica .${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle d(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$
• La distancia de edición de gráficos es una medida de disimilitud entre dos gráficos , definida como el número mínimo de operaciones de edición de gráficos necesarias para transformar un gráfico en otro.
• La distancia de Levenshtein es una medida de la disimilitud entre dos cadenas y , definida como el número mínimo de eliminaciones, inserciones o sustituciones de caracteres necesarios para transformarse en . Esto se puede considerar como un caso especial de la métrica de ruta más corta en un gráfico y es un ejemplo de una distancia de edición .${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$
• Dado un espacio métrico y una función cóncava creciente tal que si y solo si , entonces también es una métrica en .${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty )}$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f\circ d}$${\displaystyle X}$
• Dada una función inyectiva de cualquier conjunto a un espacio métrico , define una métrica en .${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle d(f(x),f(y))}$${\displaystyle A}$
• Usando la teoría T , el espacio estrecho de un espacio métrico también es un espacio métrico. El espacio reducido es útil en varios tipos de análisis.
• El conjunto de todas por matrices sobre algún campo es un espacio métrico con respecto a la distancia de rango .${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d(X,Y)=\mathrm {rank} (Y-X)}$
• La métrica de Helly se utiliza en teoría de juegos .

Conjuntos abiertos y cerrados, topología y convergencia

Todo espacio métrico es un espacio topológico de manera natural y, por lo tanto, todas las definiciones y teoremas sobre espacios topológicos generales también se aplican a todos los espacios métricos.

Acerca de cualquier punto en un espacio métrico , definimos la bola abierta de radio (donde es un número real) aproximadamente como el conjunto${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle B(x;r)=\{y\in M:d(x,y)<r\}.}$

Estas bolas abiertas forman la base de una topología en M , lo que lo convierte en un espacio topológico .

Explícitamente, un subconjunto de se llama abierto si para cada en existe un tal que está contenido en . El complemento de un conjunto abierto se llama cerrado . Una vecindad del punto es cualquier subconjunto que contiene una bola abierta como un subconjunto.${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle B(x;r)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$

Un espacio topológico que puede surgir de este modo a partir de un espacio métrico se denomina espacio metrizable .

Se dice que una secuencia ( ) en un espacio métrico converge al límite si y solo si para cada existe un número natural N tal que para todos . De manera equivalente, se puede utilizar la definición general de convergencia disponible en todos los espacios topológicos.${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle d(x_{n},x)<\varepsilon }$${\displaystyle n>N}$

Un subconjunto del espacio métrico se cierra si y solo si cada secuencia en que converge a un límite en tiene su límite en .${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$

Tipos de espacios métricos

Espacios completos

Artículo principal: Espacio métrico completo

Se dice que un espacio métrico está completo si cada secuencia de Cauchy converge . Es decir: si como ambos e independientemente van al infinito, entonces hay algunos con .${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d(x_{n},x_{m})\to 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle y\in M}$${\displaystyle d(x_{n},y)\to 0}$

Todo espacio euclidiano está completo, al igual que todo subconjunto cerrado de un espacio completo. Los números racionales, usando la métrica de valor absoluto , no están completos.${\displaystyle d(x,y)=\vert x-y\vert }$

Cada espacio métrico tiene una terminación única (hasta isometría ) , que es un espacio completo que contiene el espacio dado como un subconjunto denso . Por ejemplo, los números reales son la finalización de los racionales.

Si es un subconjunto completo del espacio métrico , entonces está cerrado . De hecho, un espacio está completo si y solo si está cerrado en cualquier espacio métrico que lo contenga.${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$

Cada espacio métrico completo es un espacio de Baire .

Espacios acotados y totalmente acotados

Diámetro de un juego.

Ver también: conjunto acotado

Un espacio métrico se llama acotado si existe algún número , tal que para todos . El más pequeño posible se llama diámetro de . El espacio se llama precompacto o totalmente acotado si por cada existen finitas bolas abiertas de radio cuya unión cubre${\displaystyle M}$${\displaystyle r}$${\displaystyle d(x,y)\leq r}$${\displaystyle x,y\in M}$${\displaystyle r}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle r}$${\displaystyle M}$. Dado que el conjunto de los centros de estas bolas es finito, tiene un diámetro finito, de lo cual se sigue (usando la desigualdad del triángulo) que todo espacio totalmente acotado está acotado. Lo contrario no se cumple, ya que a cualquier conjunto infinito se le puede dar la métrica discreta (uno de los ejemplos anteriores) bajo la cual está acotado y, sin embargo, no totalmente acotado.

Tenga en cuenta que en el contexto de los intervalos en el espacio de los números reales y, en ocasiones, las regiones de un espacio euclidiano, un conjunto acotado se denomina "intervalo finito" o "región finita". Sin embargo, la delimitación no debe confundirse en general con "finito", que se refiere al número de elementos, no a la extensión del conjunto; finitud implica delimitación, pero no a la inversa. También tenga en cuenta que un subconjunto ilimitado de puede tener un volumen finito .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Espacios compactos

Un espacio métrico es compacto si cada secuencia en tiene una subsecuencia que converge a un punto en . Esto se conoce como compacidad secuencial y, en espacios métricos (pero no en espacios topológicos generales), es equivalente a las nociones topológicas de compacidad y compacidad contables definidas a través de cubiertas abiertas .${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Ejemplos de espacios métricos compactos incluyen el intervalo cerrado con el valor de la métrica absoluta, todos los espacios métricas con un número finito de puntos, y el conjunto de Cantor . Cada subconjunto cerrado de un espacio compacto es en sí mismo compacto.${\displaystyle [0,1]}$

Un espacio métrico es compacto si y solo si está completo y totalmente acotado. Esto se conoce como el teorema de Heine-Borel . Tenga en cuenta que la compacidad depende solo de la topología, mientras que la delimitación depende de la métrica.

El lema del número de Lebesgue establece que por cada cubierta abierta de un espacio métrico compacto , existe un "número de Lebesgue" tal que cada subconjunto de diámetro está contenido en algún miembro de la cubierta.${\displaystyle M}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r<\delta }$

Cada espacio métrico compacto es contable en segundo lugar , ^[8] y es una imagen continua del conjunto de Cantor . (El último resultado se debe a Pavel Alexandrov y Urysohn ).

Espacios localmente compactos y adecuados

Se dice que un espacio métrico es localmente compacto si cada punto tiene una vecindad compacta. Los espacios euclidianos son localmente compactos, pero los espacios de Banach de dimensión infinita no lo son.

Un espacio es adecuado si cada bola cerrada es compacta. Los espacios adecuados son localmente compactos, pero lo contrario no es cierto en general.${\displaystyle \{y\,\colon d(x,y)\leq r\}}$

Conectividad

Un espacio métrico está conectado si los únicos subconjuntos que están abiertos y cerrados son el conjunto vacío y él mismo.${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Un espacio métrico está conectado con una ruta si para dos puntos cualesquiera existe un mapa continuo con y . Todos los espacios conectados por caminos están conectados, pero lo contrario no es cierto en general.${\displaystyle M}$${\displaystyle x,y\in M}$${\displaystyle f\colon [0,1]\to M}$${\displaystyle f(0)=x}$${\displaystyle f(1)=y}$

También hay versiones locales de estas definiciones: espacios conectados localmente y espacios conectados localmente con rutas .

Los espacios simplemente conectados son aquellos que, en cierto sentido, no tienen "huecos".

Espacios separables

Un espacio métrico es un espacio separable si tiene un subconjunto denso contable . Los ejemplos típicos son los números reales o cualquier espacio euclidiano. Para los espacios métricos (pero no para los espacios topológicos generales), la separabilidad es equivalente a la segunda contabilidad y también a la propiedad de Lindelöf .

Espacios métricos puntiagudos

Si es un espacio métrico y luego se llama espacio métrico puntiagudo y se llama punto distinguido . Tenga en cuenta que un espacio métrico puntiagudo es solo un espacio métrico no vacío con la atención puesta en su punto distinguido, y que cualquier espacio métrico no vacío puede verse como un espacio métrico puntiagudo. El punto distinguido a veces se denota debido a su comportamiento similar a cero en ciertos contextos.${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle (X,x_{0})}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle 0}$

Tipos de mapas entre espacios métricos

Supongamos que y son dos espacios métricos.${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

Mapas continuos

Artículo principal: función continua (topología)

El mapa es continuo si tiene una (y por lo tanto todas) de las siguientes propiedades equivalentes:${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$

Continuidad topológica general

por cada set abierto en , la preimagen está abierta en${\displaystyle U}$${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle f^{-1}[U]}$${\displaystyle M_{1}}$

Ésta es la definición general de continuidad en topología .

Continuidad secuencial

si hay una secuencia en que converge en , entonces la secuencia converge en en .${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (f(x_{n}))}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle M_{2}}$

Se trata de una continuidad secuencial , gracias a Eduard Heine .

ε-δ definición

para todos y cada uno existe tal que para todos en tenemos${\displaystyle x\in M_{1}}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M_{1}}$

${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta \implies d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon .}$

Esto usa la definición de límite (ε, δ) , y se debe a Augustin Louis Cauchy .

Además, es continuo si y solo si es continuo en cada subconjunto compacto de .${\displaystyle f}$${\displaystyle M_{1}}$

La imagen de cada aparato compacto bajo una función continua es compacta, y la imagen de cada aparato conectado bajo una función continua está conectada.

Mapas uniformemente continuos

El mapa es uniformemente continuo si para cada existe tal que${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta \implies d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon \quad {\mbox{for all}}\quad x,y\in M_{1}.}$

Cada mapa uniformemente continuo es continuo. Lo contrario es cierto si es compacto ( teorema de Heine-Cantor ).${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$${\displaystyle M_{1}}$

Los mapas uniformemente continuos convierten las secuencias de Cauchy en secuencias de Cauchy en . Para mapas continuos, esto es generalmente incorrecto; por ejemplo, un mapa continuo desde el intervalo abierto a la línea real convierte algunas secuencias de Cauchy en secuencias ilimitadas.${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle (0,1)}$

Mapas y contracciones continuas de Lipschitz

Artículo principal: continuidad de Lipschitz

Dado un número real , el mapa es K -Lipschitz continuo si${\displaystyle K>0}$${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$

${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))\leq Kd_{1}(x,y)\quad {\mbox{for all}}\quad x,y\in M_{1}.}$

Cada mapa continuo de Lipschitz es uniformemente continuo, pero lo contrario no es cierto en general.

Si , entonces se llama contracción . Supongamos que y está completo. Si es una contracción, entonces admite un único punto fijo ( teorema de punto fijo de Banach ). Si es compacto, la condición puede debilitarse un poco: admite un único punto fijo si${\displaystyle K<1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M_{2}=M_{1}}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle d(f(x),f(y))<d(x,y)\quad {\mbox{for all}}\quad x\neq y\in M_{1}}$.

Isometrías

El mapa es una isometría si${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$

${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))=d_{1}(x,y)\quad {\mbox{for all}}\quad x,y\in M_{1}}$

Las isometrías son siempre inyectivas ; la imagen de un conjunto compacto o completo bajo una isometría es compacta o completa, respectivamente. Sin embargo, si la isometría no es sobreyectiva , no es necesario que la imagen de un conjunto cerrado (o abierto) esté cerrada (o abierta).

Cuasi-isometrías

El mapa es una cuasi-isometría si existen constantes y tales que${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$${\displaystyle A\geq 1}$${\displaystyle B\geq 0}$

${\displaystyle {\frac {1}{A}}d_{2}(f(x),f(y))-B\leq d_{1}(x,y)\leq Ad_{2}(f(x),f(y))+B\quad {\text{ for all }}\quad x,y\in M_{1}}$

y una constante tal que cada punto en tenga una distancia como máximo de algún punto de la imagen .${\displaystyle C\geq 0}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f(M_{1})}$

Tenga en cuenta que no se requiere que una cuasi-isometría sea continua. Las cuasi-isometrías comparan la "estructura a gran escala" de los espacios métricos; encuentran uso en la teoría de grupos geométricos en relación con la palabra métrica .

Nociones de equivalencia de espacio métrico

Dados dos espacios métricos y :${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

• Se denominan homeomorfos (topológicamente isomorfos) si existe un homeomorfismo entre ellos (es decir, una biyección continua en ambas direcciones).
• Se denominan uniformes (uniformemente isomorfos) si existe un isomorfismo uniforme entre ellos (es decir, una biyección uniformemente continua en ambas direcciones).
• Se denominan isométricos si existe una isometría biyectiva entre ellos. En este caso, los dos espacios métricos son esencialmente idénticos.
• Se denominan cuasi-isométricos si existe una cuasi-isometría entre ellos.

Propiedades topológicas

Los espacios métricos son espacios paracompactos ^{[9] de} Hausdorff ^[10] y, por tanto, normales (de hecho, son perfectamente normales). Una consecuencia importante es que todo espacio métrico admite particiones de unidad y que cada función continua de valor real definida en un subconjunto cerrado de un espacio métrico puede extenderse a un mapa continuo en todo el espacio ( teorema de extensión de Tietze ). También es cierto que cada mapa continuo de Lipschitz con valor real definido en un subconjunto de un espacio métrico puede extenderse a un mapa continuo de Lipschitz en todo el espacio.

Los espacios métricos son contables en primer lugar, ya que se pueden usar bolas con un radio racional como base de vecindario.

La topología métrica en un espacio métrico es la topología más burda en relación con la cual la métrica es un mapa continuo desde el producto de consigo mismo a los números reales no negativos.${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d}$${\displaystyle M}$

Distancia entre puntos y conjuntos; Distancia de Hausdorff y métrica de Gromov

Una forma sencilla de construir una función que separe un punto de un conjunto cerrado (como se requiere para un espacio completamente regular ) es considerar la distancia entre el punto y el conjunto . Si es un espacio métrico, es un subconjunto de y es un punto de , definimos la distancia desde a como${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle d(x,S)=\inf\{d(x,s):s\in S\}}$donde representa el infimum .${\displaystyle \inf }$

Entonces si y solo si pertenece al cierre de . Además, tenemos la siguiente generalización de la desigualdad del triángulo:${\displaystyle d(x,S)=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle d(x,S)\leq d(x,y)+d(y,S),}$

lo que en particular muestra que el mapa es continuo.${\displaystyle x\mapsto d(x,S)}$

Dados dos subconjuntos y de , definimos su distancia de Hausdorff como${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle d_{H}(S,T)=\max\{\sup\{d(s,T):s\in S\},\sup\{d(t,S):t\in T\}\}}$donde representa el supremo .${\displaystyle \sup }$

En general, la distancia de Hausdorff puede ser infinita. Dos conjuntos están cerca uno del otro en la distancia de Hausdorff si cada elemento de cualquiera de los conjuntos está cerca de algún elemento del otro conjunto.${\displaystyle d_{H}(S,T)}$

La distancia de Hausdorff convierte el conjunto de todos los subconjuntos compactos no vacíos de en un espacio métrico. Uno puede demostrar que está completo si está completo. (Una noción diferente de convergencia de subconjuntos compactos viene dada por la convergencia de Kuratowski ).${\displaystyle d_{H}}$${\displaystyle K(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle K(M)}$${\displaystyle M}$

Luego, se puede definir la distancia de Gromov-Hausdorff entre dos espacios métricos cualesquiera considerando la distancia mínima de Hausdorff de las versiones incrustadas isométricamente de los dos espacios. Usando esta distancia, la clase de todos (clases de isometría de) espacios métricos compactos se convierte en un espacio métrico por derecho propio.

Espacios métricos del producto

Si son espacios métricos, y es la norma euclidiana en , a continuación, es un espacio métrico, donde la métrica de producto se define por${\displaystyle (M_{1},d_{1}),\ldots ,(M_{n},d_{n})}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\Bigl (}M_{1}\times \cdots \times M_{n},N(d_{1},\ldots ,d_{n}){\Bigr )}}$

${\displaystyle N(d_{1},\ldots ,d_{n}){\Big (}(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}){\Big )}=N{\Big (}d_{1}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{n}(x_{n},y_{n}){\Big )},}$

y la topología inducida concuerda con la topología del producto . Por la equivalencia de normas en dimensiones finitas, se obtiene una métrica equivalente si es la norma del taxi , una p-norma , la norma máxima, o cualquier otra norma que no sea decreciente como las coordenadas de una tupla positiva aumentan (produciendo el desigualdad triangular).${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$

De manera similar, se puede obtener un producto contable de espacios métricos utilizando la siguiente métrica

${\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {d_{i}(x_{i},y_{i})}{1+d_{i}(x_{i},y_{i})}}.}$

Un producto incontable de espacios métricos no necesita ser metrizable. Por ejemplo, no se puede contar primero y, por lo tanto, no es metrizable.${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$

Continuidad de la distancia

En el caso de un solo espacio , el mapa de distancia (de la definición ) es uniformemente continuo con respecto a cualquiera de las métricas de producto anteriores y, en particular, es continuo con respecto a la topología del producto de .${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle d\colon M\times M\to R^{+}}$${\displaystyle N(d,d)}$${\displaystyle M\times M}$

Espacios métricos de cociente

Si M es un espacio métrico con la métrica , y es una relación de equivalencia en , entonces podemos dotar al conjunto cociente con un pseudometric. Dadas dos clases de equivalencia y , definimos${\displaystyle d}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle M}$${\displaystyle M/\!\sim }$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle [y]}$

${\displaystyle d'([x],[y])=\inf\{d(p_{1},q_{1})+d(p_{2},q_{2})+\dotsb +d(p_{n},q_{n})\}}$

donde el ínfimo se toma sobre todas las secuencias finitas y con , , . En general, esto solo definirá una pseudometría , es decir , no implica necesariamente eso . Sin embargo, para algunas relaciones de equivalencia (por ejemplo, las que se dan al pegar poliedros a lo largo de las caras), es una métrica.${\displaystyle (p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$${\displaystyle [p_{1}]=[x]}$${\displaystyle [q_{n}]=[y]}$${\displaystyle [q_{i}]=[p_{i+1}],i=1,2,\dots ,n-1}$${\displaystyle d'([x],[y])=0}$${\displaystyle [x]=[y]}$${\displaystyle d'}$

La métrica del cociente se caracteriza por la siguiente propiedad universal . Si es un mapa métrico entre espacios métricos (es decir, para todos , ) que satisface siempre que entonces la función inducida , dada por , es un mapa métrico${\displaystyle d}$${\displaystyle f\,\colon (M,d)\to (X,\delta )}$${\displaystyle \delta (f(x),f(y))\leq d(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f(x)=f(y)}$${\displaystyle x\sim y,}$${\displaystyle {\overline {f}}\,\colon M/\!\sim \to X}$${\displaystyle {\overline {f}}([x])=f(x)}$${\displaystyle {\overline {f}}\,\colon (M/\!\sim ,d')\to (X,\delta ).}$

Un espacio topológico es secuencial si y solo si es un cociente de un espacio métrico. ^[11]

Generalizaciones de espacios métricos

• Cada espacio métrico es un espacio uniforme de manera natural, y cada espacio uniforme es naturalmente un espacio topológico . Por tanto, los espacios uniformes y topológicos pueden considerarse como generalizaciones de espacios métricos.
• Relajar el requisito de que la distancia entre dos puntos distintos sea distinta de cero conduce a los conceptos de un espacio pseudométrico o un espacio métrico dislocado. ^[12] Eliminando el requisito de simetría, llegamos a un espacio cuasimétrico . Reemplazar la desigualdad del triángulo con una forma más débil conduce a espacios semimétricos .
• Si la función de distancia toma valores en la recta numérica real extendida , pero por lo demás satisface las condiciones de una métrica, entonces se llama métrica extendida y el espacio correspondiente se llama espacio métrico . Si la función de distancia toma valores en algún conjunto ordenado (adecuado) (y la desigualdad del triángulo se ajusta en consecuencia), llegamos a la noción de ultramétrico generalizado . ^[12]${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$${\displaystyle \infty }$
• Los espacios de aproximación son una generalización de los espacios métricos, basados ​​en distancias de punto a conjunto, en lugar de distancias de punto a punto.
• Un espacio de continuidad es una generalización de espacios métricos y posets , que se puede utilizar para unificar las nociones de espacios y dominios métricos .
• Se pretende que un espacio métrico parcial sea la menor generalización de la noción de espacio métrico, de modo que la distancia de cada punto de sí mismo ya no sea necesariamente cero. ^[13]

Espacios métricos como categorías enriquecidas

El conjunto ordenado puede verse como una categoría solicitando exactamente un morfismo si y ninguno en caso contrario. Al usarlo como producto tensorial y como identidad , se convierte en una categoría monoidal . Cada espacio métrico ahora se puede ver como una categoría enriquecida con :${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$ ${\displaystyle a\to b}$${\displaystyle a\geq b}$${\displaystyle +}$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle R^{*}}$${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle M^{*}}$ ${\displaystyle R^{*}}$

• Colocar ${\displaystyle \operatorname {Ob} (M^{*}):=M}$
• Para cada juego${\displaystyle X,Y\in M}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y):=d(X,Y)\in \operatorname {Ob} (R^{*})}$
• El morfismo de composición será el morfismo único dado a partir de la desigualdad del triángulo${\displaystyle \operatorname {Hom} (Y,Z)\otimes \operatorname {Hom} (X,Y)\to \operatorname {Hom} (X,Z)}$${\displaystyle R^{*}}$${\displaystyle d(y,z)+d(x,y)\geq d(x,z)}$
• El morfismo de identidad será el morfismo único dado por el hecho de que .${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} (X,X)}$${\displaystyle 0\geq d(X,X)}$
• Dado que es un poset, todos los diagramas que se requieren para una categoría enriquecida se conmutan automáticamente.${\displaystyle R^{*}}$

Consulte el documento de FW Lawvere que se enumera a continuación.

Ver también

• Problema de Aleksandrov-Rassias
• Categoría de espacios métricos
• Espacio Wiener clásico
• Mapeo de contracciones  : función que reduce la distancia entre todos los puntos
• Glosario de geometría riemanniana y métrica  - Glosario de matemáticas
• Espacio de Hilbert  : generalización matemática del espacio euclidiano a dimensiones infinitas
• El cuarto problema de Hilbert
• Isometria
• Distancia de Lee
• Continuidad de Lipschitz  : forma fuerte de continuidad uniforme
• Medida (matemáticas)  - Generalización de longitud, área, volumen e integral
• Métrica (matemáticas)  : función matemática que define la distancia
• Mapa métrico
• Firma métrica
• Tensor métrico
• Árbol métrico
• Norma (matemáticas)  - Longitud en un espacio vectorial
• Espacio vectorial normado: espacio  vectorial en el que se define una distancia
• Métrica del producto
• Espacio (matemáticas)  : conjunto matemático con alguna estructura agregada
• Desigualdad de triángulos  : propiedad de la geometría, también utilizada para generalizar la noción de "distancia" en espacios métricos
• Espacio ultramétrico  : un tipo de espacio métrico en el que la desigualdad del triángulo se reemplaza por una desigualdad más fuerte utilizando max en lugar de la suma.

Referencias

1. Rendic. Circ. Estera. Palermo 22 (1906) 1–74
2. B. Choudhary (1992). Los elementos del análisis complejo . New Age International. pag. 20. ISBN 978-81-224-0399-2.
3. Huber, Klaus (enero de 1994) [17 de enero de 1993, 21 de mayo de 1992]. "Códigos sobre enteros gaussianos" (PDF) . Transacciones IEEE sobre teoría de la información . 40 (1): 207–216. doi : 10.1109 / 18.272484 . eISSN 1557-9654 . ISSN 0018-9448 . S2CID 195866926 . ID de registro IEEE 9215213. doi : 10.1109 / ISIT.1993.748675 . Archivado (PDF) desde el original el 17 de diciembre de 2020 . Consultado el 17 de diciembre de 2020 .     [1] [2] (1 + 10 páginas) (NB. Este trabajo fue presentado parcialmente en la Conferencia CDS-92, Kaliningrado, Rusia, el 1992-09-07 y en el Simposio IEEE sobre Teoría de la Información, San Antonio, TX, EE.UU.)
4. Strang, Thomas; Dammann, Armin; Röckl, Matthias; Plass, Simon (octubre de 2009). Uso de códigos Gray como identificadores de ubicación (PDF) . 6. GI / ITG KuVS Fachgespräch Ortsbezogene Anwendungen und Dienste (en inglés y alemán). Oberpfaffenhofen, Alemania: Instituto de Comunicaciones y Navegación, Centro Aeroespacial Alemán (DLR). CiteSeerX 10.1.1.398.9164 . Archivado (PDF) desde el original el 1 de mayo de 2015 . Consultado el 16 de diciembre de 2020 . Lay resumen (PDF) .   (5/8 páginas) [3]
5. Nathan Linial . Espacios métricos finitos: combinatoria, geometría y algoritmos , Actas del ICM, Beijing 2002, vol. 3, págs. 573–586 Archivado el 2 de mayo de 2018 en la Wayback Machine.
6. Problemas abiertos sobre incrustaciones de espacios métricos finitos , editado por Jirīı Matoušek, 2007 Archivado 2010-12-26 en Wayback Machine
7. Searcóid, p. 107 .
8. "PlanetMath: un espacio métrico compacto es el segundo contable" . planetmath.org . Archivado desde el original el 5 de febrero de 2009 . Consultado el 2 de mayo de 2018 .
9. Rudin, Mary Ellen. Una nueva prueba de que los espacios métricos son paracompactos. Archivado el 12 de abril de 2016 en la Wayback Machine . Actas de la American Mathematical Society, vol. 20, núm. 2. (febrero de 1969), pág. 603.
10. "los espacios métricos son Hausdorff" . PlanetMath .
11. Goreham, Anthony. Convergencia secuencial en espacios topológicos Archivado 2011-06-04 en la Wayback Machine . Tesis de Honor, Queen's College, Oxford (abril de 2001), pág. 14
12. Pascal Hitzler ; Anthony Seda (19 de abril de 2016). Aspectos matemáticos de la semántica de programación lógica . Prensa CRC. ISBN 978-1-4398-2962-2.
13. "Métricas parciales: bienvenido" . www.dcs.warwick.ac.uk . Archivado desde el original el 27 de julio de 2017 . Consultado el 2 de mayo de 2018 .

Lectura adicional

• Victor Bryant, Metric Spaces: Iteration and Application , Cambridge University Press , 1985, ISBN 0-521-31897-1 . 
• Dmitri Burago, Yu D Burago , Sergei Ivanov, Un curso de geometría métrica , American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2129-6 . 
• Athanase Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature , European Mathematical Society , Primera edición 2004, ISBN 978-3-03719-010-4 . Segunda edición 2014, ISBN 978-3-03719-132-3 .  
• Mícheál Ó Searcóid , Metric Spaces , Springer Undergraduate Mathematics Series , 2006, ISBN 1-84628-369-8 . 
• Lawvere, F. William, "Espacios métricos, lógica generalizada y categorías cerradas", [Rend. Sem. Estera. Fis. Milano 43 (1973), 135-166 (1974); (Resumen en italiano)

Esto se reimprime (con comentario de autor) en Reimpresiones en teoría y aplicaciones de categorías también (con un comentario de autor) en Categorías enriquecidas en la lógica de la geometría y el análisis. Repr. Aplicación de teoría Categ. Núm. 1 (2002), 1–37.

• Weisstein, Eric W. "Product Metric" . MathWorld .

Enlaces externos

• "Espacio métrico" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Lejos y cerca: varios ejemplos de funciones de distancia en el corte del nudo .