En matemáticas , especialmente en teoría de la orden , un elemento maximal de un subconjunto S de algún conjunto parcialmente ordenado (poset) es un elemento de S que no es menor que cualquier otro elemento en S . Un elemento mínimo de un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado se define dualmente como un elemento de S que no es mayor que cualquier otro elemento en S .
Las nociones de elemento máximo y mínimo son más débiles que las de elemento mayor y elemento mínimo que también se conocen, respectivamente, como máximo y mínimo. El máximo de un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado es un elemento de S que es mayor o igual que cualquier otro elemento de S , y el mínimo de S se define nuevamente de forma dual. Mientras que un conjunto parcialmente ordenado puede tener como máximo uno de cada máximo y mínimo, puede tener múltiples elementos máximos y mínimos. [1] [2] Para conjuntos totalmente ordenados , las nociones de elemento máximo y máximo coinciden, y coinciden las nociones de elemento mínimo y mínimo.
Como ejemplo, en la colección
- S = {{ d , o }, { d , o , g }, { g , o , a , d }, { o , a , f }}
ordenado por contención , el elemento { d , o } es mínimo ya que no contiene conjuntos en la colección, el elemento { g , o , a , d } es máximo ya que no hay conjuntos en la colección que lo contengan, el elemento { d , o , g } no es ninguno, y el elemento { o , a , f } es tanto mínimo como máximo. Por el contrario, no existe ni un máximo ni un mínimo de S .
El lema de Zorn establece que todo conjunto parcialmente ordenado para el que todo subconjunto totalmente ordenado tiene un límite superior contiene al menos un elemento máximo. Este lema es equivalente al teorema del buen orden y el axioma de la opción [3] e implica importantes resultados en otras áreas de las matemáticas, como el teorema de Hahn-Banach , el teorema de kirszbraun , el teorema de Tychonoff , la existencia de una base de Hamel para cada espacio vectorial y la existencia de un cierre algebraico para cada campo .
Definición
Dejar ser un conjunto preordenado y dejar Un elemento máximo de con respecto a es un elemento tal que
- Si satisface entonces necesariamente
Del mismo modo, un elemento mínimo de con respecto a es un elemento tal que
- Si satisface entonces necesariamente
Equivalentemente, es un elemento mínimo de con respecto a si y solo si es un elemento máximo de con respecto a donde por definición, si y solo si (para todos ).
Si el subconjunto no se especifica, entonces debe asumirse que Explícitamente, un elemento máximo (respectivamente, elemento mínimo ) de es un elemento máximo (o mínimo) de con respecto a
Si el conjunto reservado también pasa a ser un conjunto parcialmente ordenado (o más en general, si la restricción es un conjunto parcialmente ordenado) entonces es un elemento máximo de si y solo si no contiene ningún elemento estrictamente mayor que ; explícitamente, esto significa que no existe ningún elemento tal que y La caracterización de elementos mínimos se obtiene utilizando en lugar de
Existencia y singularidad
No es necesario que existan elementos máximos.
- Ejemplo 1: Let dónde denota los números reales . Para todos pero (es decir, pero no ).
- Ejemplo 2: Let dónde denota los números racionales y donde es irracional.
En general es solo una orden parcial en Si es un elemento máximo y entonces sigue siendo posible que ni ni Esto deja abierta la posibilidad de que exista más de un elemento máximo.
- Ejemplo 3: en la valla todos son mínimos y todos son máximos, como se muestra en la imagen.
- Ejemplo 4: Sea A un conjunto con al menos dos elementos y sea ser el subconjunto del conjunto de potenciasque consta de subconjuntos singleton , parcialmente ordenados por Este es el poset discreto donde no hay dos elementos comparables y, por lo tanto, cada elemento es máxima (y mínima); además, para cualquier ninguno de los dos ni
Los mejores elementos
Para un juego parcialmente ordenado el núcleo irreflexivo de se denota como y está definido por Si y Para miembros arbitrarios se aplica exactamente uno de los siguientes casos:
- ;
- ;
- ;
- y son incomparables.
Dado un subconjunto y algo
- si el caso 1 nunca se aplica a ninguna luego es un elemento máximo de como se define arriba;
- si los casos 1 y 4 nunca se aplican a ninguna luego se llama un elemento más grande de
Por tanto, la definición de un elemento mayor es más fuerte que la de un elemento máximo.
De manera equivalente, un elemento más grande de un subconjunto puede definirse como un elemento de que es mayor que cualquier otro elemento de Un subconjunto puede tener como máximo un elemento mayor. [nota 1]
El mayor elemento de si existe, es también un elemento máximo de [nota 2] y el único. [nota 3] Por contraposición , sitiene varios elementos máximos, no puede tener un elemento mayor; ver ejemplo 3. Sisatisface la condición de cadena ascendente , un subconjunto de tiene un elemento máximo si, y solo si , tiene un elemento máximo. [nota 4]
Cuando la restricción de a es un orden total (en la imagen superior es un ejemplo), entonces las nociones de elemento máximo y elemento mayor coinciden. [nota 5] Esta no es una condición necesaria: siempre quetiene un elemento mayor, las nociones coinciden también, como se dijo anteriormente. Si las nociones de elemento máximo y elemento mayor coinciden en cada subconjunto de dos elementos de luego es un orden total en P . [nota 6]
Conjuntos dirigidos
En un conjunto totalmente ordenado , los términos elemento máximo y elemento mayor coinciden, por lo que ambos términos se usan indistintamente en campos como el análisis donde solo se consideran los pedidos totales. Esta observación se aplica no sólo a los subconjuntos totalmente ordenados de cualquier conjunto, sino también a su generalización de la teoría del orden a través de conjuntos dirigidos . En un conjunto dirigido, cada par de elementos (particularmente los pares de elementos incomparables) tiene un límite superior común dentro del conjunto. Si un conjunto dirigido tiene un elemento máximo, también es su elemento más grande, [nota 7] y, por tanto, su único elemento máximo. Para un conjunto dirigido sin elementos máximos o mayores, consulte los ejemplos 1 y 2 anteriores .
Conclusiones similares son válidas para los elementos mínimos.
Se puede encontrar más información introductoria en el artículo sobre teoría del orden .
Propiedades
- Cada subconjunto finito no vacío tiene elementos máximos y mínimos. Un subconjunto infinito no necesita tener ninguno de ellos, p. Ej. Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}} con el orden habitual.
- El conjunto de elementos máximos de un subconjunto es siempre una anti-cadena , es decir, no hay dos elementos máximos diferentes deson comparables. Lo mismo se aplica a los elementos mínimos.
Ejemplos de
- En la eficiencia de Pareto , un óptimo de Pareto es un elemento máximo con respecto al orden parcial de mejora de Pareto, y el conjunto de elementos máximos se denomina frontera de Pareto.
- En la teoría de la decisión , una regla de decisión admisible es un elemento máximo con respecto al orden parcial de la regla de decisión dominante .
- En la teoría moderna de la cartera , el conjunto de elementos máximos con respecto al pedido de productos en riesgo y el rendimiento se llama la frontera eficiente .
- En la teoría de conjuntos , un conjunto es finito si y solo si cada familia de subconjuntos no vacíos tiene un elemento mínimo cuando está ordenado por la relación de inclusión .
- En álgebra abstracta , el concepto de divisor común máximo es necesario para generalizar los divisores comunes máximos a sistemas numéricos en los que los divisores comunes de un conjunto de elementos pueden tener más de un elemento máximo.
- En geometría computacional , los máximos de un conjunto de puntos son máximos con respecto al orden parcial de dominación por coordenadas.
Teoría del consumidor
En economía, uno puede relajar el axioma de la antisimetría, usando preordenes (generalmente preordenes totales ) en lugar de órdenes parciales; la noción análoga a elemento máximo es muy similar, pero se utiliza una terminología diferente, como se detalla a continuación.
En la teoría del consumidor, el espacio de consumo es un conjunto, por lo general, el orto positivo de algún espacio vectorial de modo que cada representa una cantidad de consumo especificada para cada producto básico existente en la economía. Las preferencias de un consumidor suelen estar representadas por un pedido anticipado total así que eso y lee: es como mucho tan preferido como . Cuándo y se interpreta que el consumidor es indiferente entre y pero no hay razón para concluir que nunca se supone que las relaciones de preferencia sean antisimétricas. En este contexto, para cualquier un elemento se dice que es un elemento máximo si
- implica
donde se interpreta como un paquete de consumo que no está dominado por ningún otro paquete en el sentido de que es decir y no
Cabe señalar que la definición formal se parece mucho a la de un elemento mayor para un conjunto ordenado. Sin embargo cuando es solo un pedido anticipado, un elemento con la propiedad anterior se comporta de manera muy similar a un elemento máximo en un pedido. Por ejemplo, un elemento máximo no es único para no excluye la posibilidad de que (tiempo y no implicar pero simplemente indiferencia ). La noción de mayor elemento para un preorden de preferencia sería la de elección más preferida . Es decir, algunos con
- implica
Una aplicación obvia es la definición de correspondencia de demanda. Dejar ser la clase de funcionales en . Un elementose denomina precio funcional o sistema de precios y mapea cada paquete de consumo en su valor de mercado . La correspondencia presupuestaria es una correspondencia mapear cualquier sistema de precios y cualquier nivel de ingresos en un subconjunto
La correspondencia de demanda mapea cualquier precio y cualquier nivel de ingresos en el conjunto de -Elementos máximos de .
Se llama correspondencia de demanda porque la teoría predice que para y dada, la elección racional de un consumidor será algún elemento
Nociones relacionadas
Un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado se dice que es cofinal si por cada existe algo tal que Cada subconjunto cofinal de un conjunto parcialmente ordenado con elementos máximos debe contener todos los elementos máximos.
Un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado se dice que es un conjunto inferior de si está cerrado hacia abajo: si y luego Cada conjunto inferior de un conjunto ordenado finito es igual al conjunto inferior más pequeño que contiene todos los elementos máximos de
Ver también
- Elemento mayor y elemento menor
- Infimum y supremum
- Límites superior e inferior
Notas
- ^ Si y son los dos mejores, entonces y y por lo tanto por antisimetría .
- ^ Si es el mayor elemento de y luego Por antisimetría , esto hace ( y ) imposible.
- ^ Si es un elemento máximo entonces (porque es mayor) y por lo tanto desde es máxima.
- ^ Solo si : ver arriba. - Si : Suponga por contradicción que tiene solo un elemento máximo, pero ningún elemento mayor. Desde no es el mejor, algunos debe existir que sea incomparable a Por eso no puede ser máximo, es decir, debe aguantar para algunos Este último debe ser incomparable a también, ya que contradice máxima mientras contradice la incomparabilidad de y Repitiendo este argumento, una cadena ascendente infinita se puede encontrar (de modo que cada es incomparable a y no máxima). Esto contradice la condición de la cadena ascendente.
- ^ Deje ser un elemento máximo, para cualquier ya sea o En el segundo caso, la definición de elemento máximo requiere que entonces se sigue que En otras palabras, es un elemento más grande.
- ^ Si fueron incomparables, entonces tendría dos elementos máximos, pero ningún elemento mayor, contradiciendo la coincidencia.
- ^ Dejesea máximo. Suponga por contradicción alguna arbitraria es incomparable a , luego el límite superior común de y es comparable con y por lo tanto no puede igualar , por eso , contradiciendo la maximalidad. Por eso es el elemento más grande.
Referencias
- ^ Richmond, Bettina; Richmond, Thomas (2009), Una transición discreta a las matemáticas avanzadas , American Mathematical Society, p. 181, ISBN 978-0-8218-4789-3.
- ^ Scott, William Raymond (1987), Teoría de grupos (2ª ed.), Dover, p. 22, ISBN 978-0-486-65377-8
- ^ Jech, Thomas (2008) [publicado originalmente en 1973]. El axioma de la elección . Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-46624-8.