Espacio Minkowski

En física matemática , el espacio de Minkowski (o espacio-tiempo de Minkowski ) ( / m ɪ ŋ k ɔː f s k i , - k ɒ f - / ^[1] ) es una combinación de tres dimensiones espacio euclidiano y tiempo en una de cuatro variedad dimensional donde el intervalo espaciotemporal entre dos eventos es independiente del marco de referencia inercialen el que están registrados. Aunque inicialmente desarrollada por el matemático Hermann Minkowski para las ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell, se demostró que la estructura matemática del espacio-tiempo de Minkowski estaba implícita en los postulados de la relatividad especial . ^[2]

Hermann Minkowski (1864-1909) descubrió que la teoría de la relatividad especial, introducida por su antiguo alumno Albert Einstein , podría entenderse mejor como un espacio de cuatro dimensiones, conocido desde entonces como el espacio-tiempo de Minkowski.

El espacio de Minkowski está estrechamente asociado con las teorías de la relatividad especial y la relatividad general de Einstein y es la estructura matemática más común sobre la que se formula la relatividad especial. Si bien los componentes individuales en el espacio y el tiempo euclidianos pueden diferir debido a la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo , en el espacio-tiempo de Minkowski, todos los marcos de referencia estarán de acuerdo en la distancia total en el espacio-tiempo entre eventos. ^{[nb 1]} Debido a que trata el tiempo de manera diferente a como trata las 3 dimensiones espaciales, el espacio de Minkowski se diferencia del espacio euclidiano de cuatro dimensiones .

En el espacio euclidiano tridimensional (por ejemplo, simplemente espacio en la relatividad galileana ), el grupo de isometría (los mapas que preservan la distancia euclidiana regular ) es el grupo euclidiano . Se genera mediante rotaciones , reflexiones y traslaciones . Cuando el tiempo se modifica como una cuarta dimensión, se añaden las transformaciones posteriores de las traducciones en el tiempo y los impulsos galileanos , y el grupo de todas estas transformaciones se denomina grupo galileo . Todas las transformaciones galileanas conservan la distancia euclidiana tridimensional . Esta distancia es puramente espacial. Las diferencias horarias también se conservan por separado . Esto cambia en el espacio-tiempo de la relatividad especial, donde el espacio y el tiempo se entrelazan.

El espacio-tiempo está equipado con una forma bilineal indefinida no degenerada , llamada de diversas formas la métrica de Minkowski , ^[3] la norma de Minkowski al cuadrado o el producto interno de Minkowski, según el contexto. ^{[nb 2]} El producto interno de Minkowski se define para producir el intervalo espaciotemporal entre dos eventos cuando se les da su vector de diferencia de coordenadas como argumento. ^[4] Equipado con este producto interno, el modelo matemático del espacio-tiempo se llama espacio de Minkowski. El análogo del grupo galileano para el espacio de Minkowski, preservando el intervalo espaciotemporal (en oposición a la distancia espacial euclidiana) es el grupo de Poincaré .

Como variedades, el espaciotiempo galileano y el espaciotiempo de Minkowski son iguales . Se diferencian en qué estructuras adicionales se definen en ellos. El primero tiene la función de distancia euclidiana y el intervalo de tiempo (por separado) junto con marcos inerciales cuyas coordenadas están relacionadas por transformaciones galileanas, mientras que el segundo tiene la métrica de Minkowski junto con marcos inerciales cuyas coordenadas están relacionadas por transformaciones de Poincaré.

Historia

Espacio-tiempo complejo de Minkowski

En su segundo artículo de relatividad en 1905-06, Henri Poincaré mostró ^[5] cómo, al tomar el tiempo para ser una cuarta coordenada espaciotemporal imaginaria tic , donde c es la velocidad de la luz e i es la unidad imaginaria , las transformaciones de Lorentz pueden visualizarse como ordinarias. rotaciones de la esfera euclidiana de cuatro dimensiones

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+(ict)^{2}={\text{const}}.}$

Poincaré fijó c = 1 por conveniencia. Las rotaciones en planos abarcados por dos vectores unitarios espaciales aparecen en el espacio de coordenadas, así como en el espacio-tiempo físico, como rotaciones euclidianas y se interpretan en el sentido ordinario. La "rotación" en un plano abarcado por un vector de unidad espacial y un vector de unidad de tiempo, aunque formalmente sigue siendo una rotación en el espacio de coordenadas, es un impulso de Lorentz en el espacio-tiempo físico con coordenadas inerciales reales . La analogía con las rotaciones euclidianas es solo parcial, ya que el radio de la esfera es en realidad imaginario, lo que convierte las rotaciones en rotaciones en el espacio hiperbólico. (ver rotación hiperbólica )

Esta idea, que Poincaré mencionó sólo muy brevemente, fue elaborada con gran detalle por Minkowski en un extenso e influyente artículo en alemán en 1908 llamado "Las ecuaciones fundamentales para los procesos electromagnéticos en los cuerpos en movimiento". ^[6] Minkowski, utilizando esta formulación, reformuló la entonces reciente teoría de la relatividad de Einstein. En particular, al reformular las ecuaciones de Maxwell como un conjunto simétrico de ecuaciones en las cuatro variables ( x , y , z , ict ) combinadas con variables vectoriales redefinidas para cantidades electromagnéticas, pudo mostrar directa y muy simplemente su invariancia bajo la transformación de Lorentz. . También hizo otras contribuciones importantes y utilizó la notación matricial por primera vez en este contexto. A partir de su reformulación, concluyó que el tiempo y el espacio deberían tratarse por igual, y así surgió su concepto de eventos que tienen lugar en un continuo espacio - tiempo unificado de cuatro dimensiones .

Espacio-tiempo real de Minkowski

En un desarrollo posterior en su conferencia "Espacio y tiempo" de 1908, ^[7] Minkowski dio una formulación alternativa de esta idea que utiliza una coordenada en tiempo real en lugar de una imaginaria, que representa las cuatro variables ( x , y , z , t ) del espacio y el tiempo en forma de coordenadas en un espacio vectorial real de cuatro dimensiones . Los puntos en este espacio corresponden a eventos en el espacio-tiempo. En este espacio, hay un cono de luz definido asociado con cada punto, y los eventos que no están en el cono de luz se clasifican por su relación con el vértice como espaciales o temporales . Es principalmente esta visión del espacio-tiempo la que es actual hoy en día, aunque la visión más antigua que involucra el tiempo imaginario también ha influido en la relatividad especial.

En la traducción al inglés del artículo de Minkowski, la métrica de Minkowski tal como se define a continuación se denomina elemento de línea . El producto interno de Minkowski de abajo aparece sin nombre cuando se refiere a la ortogonalidad (que él llama normalidad ) de ciertos vectores, y la norma de Minkowski al cuadrado se denomina (algo crípticamente, tal vez esto dependa de la traducción) como "suma".

La principal herramienta de Minkowski es el diagrama de Minkowski , y lo usa para definir conceptos y demostrar propiedades de las transformaciones de Lorentz (por ejemplo, contracción de tiempo y longitud adecuada ) y para proporcionar interpretación geométrica a la generalización de la mecánica newtoniana a la mecánica relativista . Para estos temas especiales, consulte los artículos de referencia, ya que la presentación a continuación se limitará principalmente a la estructura matemática (la métrica de Minkowski y de ella las cantidades derivadas y el grupo de Poincaré como grupo de simetría del espacio-tiempo) que sigue a la invariancia del intervalo del espacio-tiempo en el el espaciotiempo múltiple como consecuencia de los postulados de la relatividad especial, no a la aplicación específica o derivación de la invariancia del intervalo espaciotemporal. Esta estructura proporciona el contexto de fondo de todas las teorías relativistas actuales, salvo la relatividad general para la cual el espacio-tiempo plano de Minkowski todavía proporciona un trampolín, ya que el espacio-tiempo curvo es localmente Lorentziano.

Minkowski, consciente de la reformulación fundamental de la teoría que había hecho, dijo

Las visiones del espacio y el tiempo que deseo exponerles han surgido del terreno de la física experimental, y ahí radica su fuerza. Son radicales. De ahora en adelante, el espacio por sí mismo, y el tiempo por sí mismo, están condenados a desvanecerse en meras sombras, y sólo una especie de unión de los dos preservará una realidad independiente.

-  Hermann Minkowski, 1908, 1909 ^[7]

Aunque Minkowski dio un paso importante para la física, Albert Einstein vio su limitación:

En un momento en que Minkowski estaba dando la interpretación geométrica de la relatividad especial al extender el espacio tridimensional euclidiano a un espacio cuádruple cuasi euclidiano que incluía el tiempo, Einstein ya era consciente de que esto no es válido, porque excluye el fenómeno de la gravitación . Todavía estaba lejos del estudio de las coordenadas curvilíneas y la geometría de Riemann , y del pesado aparato matemático que ello conllevaba. ^[8]

Para obtener más información histórica, véanse las referencias Galison (1979) , Corry (1997) y Walter (1999) .

Estructura causal

Subdivisión del espacio-tiempo de Minkowski con respecto a un evento en cuatro conjuntos disjuntos. El cono de luz , el futuro absoluto , el pasado absoluto y otros lugares . La terminología es de Sard (1970) .

Donde v es la velocidad, yx , y , z son coordenadas cartesianas en el espacio tridimensional, y c es la constante que representa el límite de velocidad universal y t es el tiempo, el vector de cuatro dimensiones v = ( ct , x , y , z ) = ( ct , r ) se clasifica según el signo de c ² t ² - r ² . Un vector es similar al tiempo si c ² t ² > r ² , similar al espacio si c ² t ² < r ² , y nulo o similar a la luz si c ² t ² = r ² . Esto también se puede expresar en términos del signo de η ( v , v ) , que depende de la firma. La clasificación de cualquier vector será la misma en todos los marcos de referencia que estén relacionados por una transformación de Lorentz (pero no por una transformación de Poincaré general porque el origen puede entonces desplazarse) debido a la invariancia del intervalo.

El conjunto de todos los vectores nulos en un evento ^{[nb 3]} del espacio de Minkowski constituye el cono de luz de ese evento. Dado un vector v similar al tiempo , hay una línea de mundo de velocidad constante asociada a él, representada por una línea recta en un diagrama de Minkowski.

Una vez que se elige una dirección del tiempo, ^{[nb 4]} los vectores nulos y similares a tiempo pueden descomponerse en varias clases. Para los vectores temporales, uno tiene

1. Vectores similares al tiempo dirigidos hacia el futuro cuyo primer componente es positivo (punta del vector ubicado en el futuro absoluto en la figura) y
2. vectores similares al tiempo dirigidos al pasado cuyo primer componente es negativo (pasado absoluto).

Los vectores nulos se dividen en tres clases:

1. el vector cero, cuyos componentes en cualquier base son (0, 0, 0, 0) (origen),
2. vectores nulos dirigidos al futuro cuyo primer componente es positivo (cono de luz superior), y
3. vectores nulos dirigidos al pasado cuyo primer componente es negativo (cono de luz inferior).

Junto con los vectores espaciales hay 6 clases en total.

Una base ortonormal para el espacio de Minkowski consiste necesariamente en un vector unitario similar al tiempo y tres vectores unitarios espaciales. Si se desea trabajar con bases no ortonormales, es posible tener otras combinaciones de vectores. Por ejemplo, se puede construir fácilmente una base (no ortonormal) que consta en su totalidad de vectores nulos, denominada base nula .

Los campos vectoriales se denominan temporales, espaciales o nulos si los vectores asociados son temporales, espaciales o nulos en cada punto donde se define el campo.

Propiedades de los vectores temporales

Los vectores similares al tiempo tienen especial importancia en la teoría de la relatividad, ya que corresponden a eventos que son accesibles al observador en (0, 0, 0, 0) con una velocidad menor que la de la luz. De mayor interés son los vectores similares al tiempo que se dirigen de manera similar, es decir, todos en los conos hacia adelante o hacia atrás. Estos vectores tienen varias propiedades que no comparten los vectores espaciales. Estos surgen porque los conos hacia adelante y hacia atrás son convexos, mientras que la región espacial no es convexa.

Producto escalar

El producto escalar de dos vectores similares al tiempo u ₁ = ( t ₁ , x ₁ , y ₁ , z ₁ ) y u ₂ = ( t ₂ , x ₂ , y ₂ , z ₂ ) es

${\displaystyle \eta (u_{1},u_{2})=u_{1}\cdot u_{2}=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}.}$

Positividad del producto escalar : una propiedad importante es que el producto escalar de dos vectores similares al tiempo dirigidos de manera similar es siempre positivo. Esto se puede ver en la desigualdad de Cauchy-Schwarz invertida a continuación. De ello se deduce que si el producto escalar de dos vectores es cero, al menos uno de estos debe ser similar al espacio. El producto escalar de dos vectores espaciales puede ser positivo o negativo, como puede verse al considerar el producto de dos vectores espaciales que tienen componentes espaciales ortogonales y tiempos de signos diferentes o iguales.

Usando la propiedad de positividad de los vectores similares al tiempo, es fácil verificar que una suma lineal con coeficientes positivos de vectores similares al tiempo dirigidos de manera similar también es similar al tiempo dirigido de manera similar (la suma permanece dentro del cono de luz debido a la convexidad).

Norma y desigualdad de Cauchy invertida

La norma de un vector similar al tiempo u = ( ct , x , y , z ) se define como

${\displaystyle \left\|u\right\|={\sqrt {\eta (u,u)}}={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}}$

La desigualdad de Cauchy invertida es otra consecuencia de la convexidad de cada cono de luz. ^[9] Para dos vectores temporales distintos u ₁ y u ₂ dirigidos de manera similar, esta desigualdad es

${\displaystyle \eta (u_{1},u_{2})>\left\|u_{1}\right\|\left\|u_{2}\right\|}$

o algebraicamente,

${\displaystyle c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}>{\sqrt {\left(c^{2}t_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-z_{1}^{2}\right)\left(c^{2}t_{2}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2}-z_{2}^{2}\right)}}}$

A partir de esto, se puede ver la propiedad de positividad del producto escalar.

La desigualdad del triángulo invertido

Para dos vectores similares al tiempo u y w dirigidos de manera similar , la desigualdad es ^[10]

${\displaystyle \left\|u+w\right\|\geq \left\|u\right\|+\left\|w\right\|,}$

donde la igualdad se mantiene cuando los vectores son linealmente dependientes .

La demostración usa la definición algebraica con la desigualdad de Cauchy invertida: ^[11]

${\displaystyle \left\|u+w\right\|^{2}=\left\|u\right\|^{2}+2\left(u,w\right)+\left\|w\right\|^{2}\geq \left\|u\right\|^{2}+2\left\|u\right\|\left\|w\right\|+\left\|w\right\|^{2}=\left(\left\|u\right\|+\left\|w\right\|\right)^{2}}$

El resultado ahora sigue sacando la raíz cuadrada en ambos lados.

Estructura matemática

A continuación se asume que el espacio-tiempo está dotado de un sistema de coordenadas correspondiente a un marco inercial . Esto proporciona un origen , que es necesario para poder referirnos al espacio-tiempo como modelado como un espacio vectorial. Esto no está realmente motivado físicamente porque debería existir un origen canónico (evento "central" en el espacio-tiempo). Uno puede salirse con la suya con menos estructura, la de un espacio afín , pero esto complicaría innecesariamente la discusión y no reflejaría cómo el espacio-tiempo plano se trata normalmente matemáticamente en la literatura introductoria moderna.

Para una visión general, el espacio de Minkowski es una 4 -dimensional verdadero espacio vectorial equipado con un no degenerado, forma bilineal simétrica en el espacio tangente en cada punto en el espacio-tiempo, aquí llamado simplemente el producto interno de Minkowski , la firma métrica o bien (+ - - -) o (- + + +) . El espacio tangente en cada evento es un espacio vectorial de la misma dimensión que el espacio-tiempo, 4 .

Vectores de tangente

Representación pictórica del espacio tangente en un punto, x , de una esfera . Este espacio vectorial se puede considerar como un subespacio de ℝ ^{3 en} sí mismo. Entonces los vectores en él se llamarían vectores geométricos tangentes . Por el mismo principio, el espacio tangente en un punto del espacio-tiempo plano puede considerarse como un subespacio del espacio-tiempo que resulta ser todo el espacio-tiempo.

En la práctica, no es necesario preocuparse por los espacios tangentes. La naturaleza del espacio vectorial del espacio de Minkowski permite la identificación canónica de vectores en espacios tangentes en puntos (eventos) con vectores (puntos, eventos) en el propio espacio de Minkowski. Véase, por ejemplo, Lee (2003 , Proposición 3.8). Estas identificaciones se realizan habitualmente en matemáticas. Se pueden expresar formalmente en coordenadas cartesianas como ^[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x^{0},\,x^{1},\,x^{2},\,x^{3}\right)\ &\leftrightarrow \ \left.x^{0}\mathbf {e} _{0}\right|_{p}+\left.x^{1}\mathbf {e} _{1}\right|_{p}+\left.x^{2}\mathbf {e} _{2}\right|_{p}+\left.x^{3}\mathbf {e} _{3}\right|_{p}\\\ &\leftrightarrow \ \left.x^{0}\mathbf {e} _{0}\right|_{q}+\left.x^{1}\mathbf {e} _{1}\right|_{q}+\left.x^{2}\mathbf {e} _{2}\right|_{q}+\left.x^{3}\mathbf {e} _{3}\right|_{q},\end{aligned}}}$

con vectores base en los espacios tangentes definidos por

${\displaystyle \left.\mathbf {e} _{\mu }\right|_{p}=\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right|_{p}{\text{ or }}\mathbf {e} _{0}|_{p}=\left({\begin{matrix}1\\0\\0\\0\end{matrix}}\right){\text{, etc}}.}$

Aquí p y q son dos eventos y el último de identificación se conoce como transporte paralelo . La primera identificación es la identificación canónica de vectores en el espacio tangente en cualquier punto con vectores en el espacio mismo. La aparición de vectores base en espacios tangentes como operadores diferenciales de primer orden se debe a esta identificación. Está motivado por la observación de que un vector tangente geométrico se puede asociar de manera uno a uno con un operador derivado direccional en el conjunto de funciones suaves. Esto se promueve a una definición de vectores tangentes en variedades que no necesariamente están incrustadas en R ⁿ . Esta definición de vectores tangentes no es la única posible ya que también se pueden usar n- tuplas ordinarias .

Definiciones de vectores tangentes como vectores ordinarios

Un vector tangente en un punto p se puede definir, aquí especializado en coordenadas cartesianas en marcos de Lorentz, como vectores de columna v de 4 × 1 asociados a cada marco de Lorentz relacionado por la transformación de Lorentz Λ tal que el vector v en un marco relacionado con algún marco por Λ se transforma de acuerdo con v → Λ v . Esta es la misma forma en que se transforman las coordenadas x ^μ . Explícitamente,

${\displaystyle {\begin{aligned}x'^{\mu }&={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu },\\v'^{\mu }&={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }v^{\nu }.\end{aligned}}}$

Esta definición es equivalente a la definición dada anteriormente bajo un isomorfismo canónico.

Para algunos propósitos, es deseable identificar vectores tangentes en un punto p con vectores de desplazamiento en p , lo cual es, por supuesto, admisible esencialmente por la misma identificación canónica. ^[13] Las identificaciones de vectores a las que se hace referencia anteriormente en el contexto matemático se pueden encontrar correspondientemente en un contexto más físico y explícitamente geométrico en Misner, Thorne y Wheeler (1973) . Ofrecen varios grados de sofisticación (y rigor) según la parte del material que se elija leer.

Firma métrica

La firma métrica se refiere a qué signo produce el producto interno de Minkowski cuando se le da espacio (como un espacio para ser específico, definido más abajo) y vectores de base de tiempo (como un tiempo ) como argumentos. La discusión adicional sobre esta elección teóricamente intrascendente, pero prácticamente necesaria para propósitos de consistencia interna y conveniencia, se pospone al cuadro oculto a continuación.

La elección de la firma métrica

En general, pero con varias excepciones, los matemáticos y los relativistas generales prefieren los vectores espaciales para producir un signo positivo, (- + + +) , mientras que los físicos de partículas tienden a preferir los vectores temporales para producir un signo positivo, (+ - - -) . Los autores que cubren varias áreas de la física, por ejemplo, Steven Weinberg y Landau y Lifshitz ( (- + + +) y (+ - - -) respectivamente) se apegan a una opción independientemente del tema. Los argumentos a favor de la primera convención incluyen la "continuidad" del caso euclidiano correspondiente al límite no relativista c → ∞ . Los argumentos a favor de lo último incluyen que los signos negativos, que de otro modo son omnipresentes en la física de partículas, desaparecen. Sin embargo, otros autores, especialmente de textos introductorios, por ejemplo, Kleppner y Kolenkow (1978) , no eligen una firma en absoluto, sino que optan por coordinar el espacio-tiempo de modo que la coordenada temporal (¡pero no el tiempo en sí!) Sea imaginaria. Esto elimina la necesidad de la introducción explícita de un tensor métrico (que puede parecer una carga adicional en un curso introductorio), y no es necesario preocuparse por los vectores covariantes y contravariantes (o índices de aumento y disminución) que se describen a continuación. En cambio, el producto interno se efectúa mediante una extensión directa del producto escalar en ℝ ³ a ℝ ³ × ℂ . Esto funciona en el espaciotiempo plano de la relatividad especial, pero no en el espaciotiempo curvo de la relatividad general, ver Misner, Thorne y Wheeler (1973 , Cuadro 2.1, Adiós a las tic ) (quienes, por cierto, usan (- + + +) ) . MTW también argumenta que oculta la verdadera naturaleza indefinida de la métrica y la verdadera naturaleza de los impulsos de Lorentz, que no son rotaciones. También complica innecesariamente el uso de herramientas de geometría diferencial que, de otro modo, están inmediatamente disponibles y son útiles para la descripción y el cálculo geométricos, incluso en el espacio-tiempo plano de la relatividad especial, por ejemplo, del campo electromagnético.

Terminología

Matemáticamente asociado a la forma bilineal hay un tensor de tipo (0,2) en cada punto del espacio-tiempo, llamado métrica de Minkowski . ^{[nb 5]} La métrica de Minkowski, la forma bilineal y el producto interno de Minkowski son todos el mismo objeto; es una función bilineal que acepta dos vectores (contravariantes) y devuelve un número real. En coordenadas, esta es la matriz de 4 × 4 que representa la forma bilineal.

En comparación, en la relatividad general , un Lorentzian colector de L está igualmente equipado con un tensor métrico g , que es una forma bilineal simétrica no degenerada en el espacio tangente T _p L en cada punto p de L . En coordenadas, puede estar representado por una matriz de 4 × 4 dependiendo de la posición del espacio-tiempo . El espacio de Minkowski es, por tanto, un caso especial comparativamente simple de una variedad de Lorentz. Su tensor métrico está en coordenadas la misma matriz simétrica en cada punto de M , y sus argumentos pueden, como se indicó anteriormente, tomarse como vectores en el propio espacio-tiempo.

Introduciendo más terminología (pero no más estructura), el espacio de Minkowski es, por tanto, un espacio pseudo-euclidiano con dimensión total n = 4 y firma (3, 1) o (1, 3) . Los elementos del espacio de Minkowski se denominan eventos . El espacio de Minkowski se denota a menudo ℝ ^3,1 o ℝ ^1,3 destacar la firma elegida, o simplemente M . Es quizás el ejemplo más simple de una variedad pseudo-riemanniana .

Un ejemplo interesante de coordenadas no inerciales para (parte del) espacio-tiempo de Minkowski son las coordenadas de Born . Otro conjunto útil de coordenadas son las coordenadas del cono de luz .

Métricas pseudoeuclidianas

El producto interno de Minkowski no es un producto interno , ya que no es positivo-definido , es decir, la forma cuadrática η ( v , v ) no necesita ser positiva para v diferente de cero . La condición positiva-definida ha sido reemplazada por la condición más débil de no degeneración. Se dice que la forma bilineal es indefinida . La métrica de Minkowski η es el tensor métrico del espacio de Minkowski. Es una métrica pseudo-euclidiana, o más generalmente una métrica pseudo-riemanniana constante en coordenadas cartesianas. Como tal, es una forma bilineal simétrica no degenerada, un tensor de tipo (0, 2) . Se acepta dos argumentos u _p , v _p , vectores en T _p M , p ∈ M , el espacio tangente en p en M . Debido a la identificación canónica anteriormente mencionado de T _p M con M sí mismo, acepta argumentos u , v con ambos u y v en M .

Como convención de notación, los vectores v en M , llamados 4 vectores , se indican en cursiva y no, como es común en la configuración euclidiana, con negrita v . Este último se reserva generalmente para la parte de 3 vectores (que se introducirá a continuación) de un vector de 4 .

La definición ^[14]

${\displaystyle u\cdot v=\eta (u,\,v)}$

produce una estructura similar a un producto interno en M , anteriormente y también de ahora en adelante, llamado producto interno de Minkowski , similar al producto interno euclidiano , pero describe una geometría diferente. También se le llama producto escativista relativista . Si los dos argumentos son iguales,

${\displaystyle u\cdot u=\eta (u,u)\equiv \|u\|^{2}\equiv u^{2},}$

la cantidad resultante se llamará la norma de Minkowski al cuadrado . El producto interior de Minkowski satisface las siguientes propiedades.

Linealidad en el primer argumento

${\displaystyle \eta (au+v,\,w)=a\eta (u,\,w)+\eta (v,\,w),\quad \forall u,\,v\in M,\;\forall a\in \mathbb {R} }$

Simetría

${\displaystyle \eta (u,\,v)=\eta (v,\,u)}$

No degeneración

${\displaystyle \eta (u,\,v)=0,\;\forall v\in M\ \Rightarrow \ u=0}$

Las dos primeras condiciones implican bilinealidad. La diferencia definitoria entre un producto pseudo-interno y un producto interno propiamente dicho es que no se requiere que el primero sea ​​positivo definido, es decir, se permite η ( u , u ) <0 .

La característica más importante del producto interno y la norma al cuadrado es que se trata de cantidades que no se ven afectadas por las transformaciones de Lorentz . De hecho, se puede tomar como propiedad definitoria de una transformación de Lorentz que conserva el producto interno (es decir, el valor de la forma bilineal correspondiente en dos vectores). Este enfoque se toma de manera más general para todos los grupos clásicos definibles de esta manera en el grupo clásico . Allí, la matriz Φ es idéntica en el caso O (3, 1) (el grupo de Lorentz) a la matriz η que se muestra a continuación.

Dos vectores v y w se dice que son ortogonales si η ( v , w ) = 0 . Para una interpretación geométrica de la ortogonalidad en el caso especial cuando η ( v , v ) ≤ 0 y η ( w , w ) ≥ 0 (o viceversa), consulte ortogonalidad hiperbólica .

Un vector e se llama vector unitario si η ( e , e ) = ± 1 . Una base para M que consta de vectores unitarios mutuamente ortogonales se denomina base ortonormal . ^{[ cita requerida ]}

Para un marco inercial dado , una base ortonormal en el espacio, combinada con el vector de tiempo unitario, forma una base ortonormal en el espacio de Minkowski. El número de vectores unitarios positivos y negativos en cualquiera de tales bases es un par fijo de números, igual a la firma de la forma bilineal asociada con el producto interno. Ésta es la ley de inercia de Sylvester .

Más terminología (pero no más estructura): la métrica de Minkowski es una métrica pseudo-Riemanniana , más específicamente, una métrica de Lorentz , incluso más específicamente, la métrica de Lorentz, reservada para el espacio-tiempo plano de 4 dimensiones con la ambigüedad restante solo siendo la convención de la firma. .

Métrica de Minkowski

Del segundo postulado de la relatividad especial , junto con la homogeneidad del espacio-tiempo y la isotropía del espacio, se deduce que el intervalo espacio-temporal entre dos eventos arbitrarios llamados 1 y 2 es: ^[15]

${\displaystyle {\sqrt {c^{2}\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}-\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}-\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}-\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}}}.}$

Esta cantidad no se menciona de manera uniforme en la literatura. En ocasiones, el intervalo se denomina cuadrado del intervalo tal como se define aquí. ^[16] No es posible proporcionar una lista exhaustiva de incoherencias de notación. Primero hay que comprobar las definiciones al consultar la literatura sobre relatividad.

La invariancia del intervalo bajo transformaciones de coordenadas entre marcos inerciales se sigue de la invariancia de

${\displaystyle \pm \left[c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right]}$

(con cualquier signo ± preservado), siempre que las transformaciones sean lineales. Esta forma cuadrática se puede utilizar para definir una forma bilineal

${\displaystyle u\cdot v=\pm \left[c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}\right].}$

a través de la identidad de polarización . Esta forma bilineal se puede escribir a su vez como

${\displaystyle u\cdot v=u^{\textsf {T}}[\eta ]v,}$

donde [ η ] es una matriz de 4 × 4 asociada con η . Si bien es posible que sea confuso, es una práctica común denotar [ η ] con solo η . La matriz se lee de la forma bilineal explícita como

${\displaystyle \eta =\pm {\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}},}$

y la forma bilineal

${\displaystyle u\cdot v=\eta (u,v),}$

con lo que esta sección comenzó asumiendo su existencia, ahora se identifica.

Para mayor precisión y presentación más breve, la firma (- + + +) se adopta a continuación. Esta elección (o la otra opción posible) no tiene implicaciones físicas (conocidas). El grupo de simetría que conserva la forma bilineal con una opción de firma es isomorfo (debajo del mapa que se proporciona aquí ) y el grupo de simetría conserva la otra opción de firma. Esto significa que ambas opciones están de acuerdo con los dos postulados de la relatividad. Cambiar entre las dos convenciones es sencillo. Si el tensor métrico η se ha utilizado en una derivación, vuelva al punto más antiguo donde se utilizó, sustituya η por - η y vuelva a la fórmula deseada con la firma métrica deseada.

Base estándar

Una base estándar para el espacio de Minkowski es un conjunto de cuatro vectores mutuamente ortogonales { e ₀ , e ₁ , e ₂ , e ₃ } tales que

${\displaystyle -\eta (e_{0},e_{0})=\eta (e_{1},e_{1})=\eta (e_{2},e_{2})=\eta (e_{3},e_{3})=1.}$

Estas condiciones se pueden escribir de forma compacta en la forma

${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.}$

En relación con una base estándar, los componentes de un vector v se escriben ( v ⁰ , v ¹ , v ² , v ³ ) donde se usa la notación de Einstein para escribir v = v ^μ e _μ . El componente v ⁰ se denomina componente temporal de v, mientras que los otros tres componentes se denominan componentes espaciales . Los componentes espaciales de un vector de 4 v pueden identificarse con un vector de 3 v = ( v ₁ , v ₂ , v ₃ ) .

En términos de componentes, el producto interno de Minkowski entre dos vectores v y w viene dado por

${\displaystyle \eta (v,w)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }w^{\nu }=v^{0}w_{0}+v^{1}w_{1}+v^{2}w_{2}+v^{3}w_{3}=v^{\mu }w_{\mu }=v_{\mu }w^{\mu },}$

y

${\displaystyle \eta (v,v)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }v^{\nu }=v^{0}v_{0}+v^{1}v_{1}+v^{2}v_{2}+v^{3}v_{3}=v^{\mu }v_{\mu }.}$

Aquí se utilizó la reducción de un índice con la métrica.

Subida y bajada de índices

Funcionales lineales (formas 1) α , β y su suma σ y vectores u , v , w , en el espacio euclidiano 3d . El número de hiperplanos (de 1 forma) intersecados por un vector es igual al producto interno . ^[17]

Técnicamente, una forma bilineal no degenerada proporciona un mapa entre un espacio vectorial y su dual; en este contexto, el mapa es entre los espacios tangentes de M y los espacios cotangente de M . En un punto de M , los espacios tangente y cotangente son espacios vectoriales duales (por lo que la dimensión del espacio cotangente en un evento también es 4 ). Así como un producto interno auténtico en un espacio vectorial con un argumento fijo, por el teorema de representación de Riesz , puede expresarse como la acción de un funcional lineal en el espacio vectorial, lo mismo se aplica al producto interno de Minkowski del espacio de Minkowski. ^[18]

Por lo tanto, si v ^μ son los componentes de un vector en un espacio tangente, entonces η _μν v ^μ = v _ν son los componentes de un vector en el espacio cotangente (un funcional lineal). Debido a la identificación de vectores en espacios tangentes con vectores en M mismo, esto se ignora en su mayoría, y los vectores con índices más bajos se denominan vectores covariantes . En esta última interpretación, los vectores covariantes se identifican (casi siempre implícitamente) con vectores (funcionales lineales) en el espacio dual de Minkowski. Los que tienen índices superiores son vectores contravariantes . De la misma manera, el inverso del mapa de los espacios tangente a cotangente, dado explícitamente por el inverso de η en la representación matricial, se puede utilizar para definir la elevación de un índice . Los componentes de esta inversa se denotan η ^μν . Sucede que η ^μν = η _μν . Estos mapas entre un espacio vectorial y su dual se pueden denotar η ^♭ (eta-plano) y η ^♯ (eta-sostenido) por la analogía musical. ^[19]

Los vectores contravariantes y covariantes son objetos geométricamente muy diferentes. El primero puede y debe considerarse flechas. Un funcional lineal se puede caracterizar por dos objetos: su núcleo , que es un hiperplano que pasa por el origen, y su norma. Geométricamente, por tanto, los vectores covariantes deben verse como un conjunto de hiperplanos, con espaciado dependiendo de la norma (mayor = menor espaciado), con uno de ellos (el núcleo) pasando por el origen. El término matemático para un vector covariante es 1-covector o 1-forma (aunque este último generalmente se reserva para campos de covector ).

Misner, Thorne y Wheeler (1973) utilizan una vívida analogía con los frentes de onda de una onda de De Broglie (escalada por un factor de la constante reducida de Planck) asociada mecánicamente cuánticamente a un momento de cuatro vectores para ilustrar cómo se podría imaginar una versión covariante de vector contravariante. El producto interno de dos vectores contravariantes podría pensarse igualmente como la acción de la versión covariante de uno de ellos sobre la versión contravariante del otro. El producto interno es entonces cuántas veces la flecha perfora los planos. La referencia matemática, Lee (2003) , ofrece la misma vista geométrica de estos objetos (pero no menciona perforaciones).

El tensor de campo electromagnético es una forma diferencial de 2 , cuya descripción geométrica también se puede encontrar en MTW.

Por supuesto, uno puede ignorar todas las vistas geométricas (como es el estilo en, por ejemplo, Weinberg (2002) y Landau & Lifshitz 2002 ) y proceder algebraicamente de una manera puramente formal. La robustez probada en el tiempo del formalismo en sí, a veces denominado gimnasia de índice , asegura que los vectores en movimiento y el cambio de vectores contravariantes a covariantes y viceversa (así como tensores de orden superior) sean matemáticamente sólidos. Las expresiones incorrectas tienden a revelarse rápidamente.

El formalismo de la métrica de Minkowski

El presente propósito es mostrar semi-rigurosamente cuán formalmente se puede aplicar la métrica de Minkowski a dos vectores y obtener un número real, es decir, mostrar el papel de los diferenciales y cómo desaparecen en un cálculo. El escenario es el de la teoría de la variedad suave, y se introducen conceptos como los campos convectores y las derivadas exteriores.

Un enfoque formal de la métrica de Minkowski

Una versión completa de la métrica de Minkowski en coordenadas como un campo tensor en el espacio-tiempo tiene la apariencia

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }\odot dx^{\nu }=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.}$

Explicación: Los diferenciales de coordenadas son campos de una forma. Se definen como la derivada exterior de las funciones de coordenadas x ^μ . Estas cantidades evaluadas en un punto p proporcionan una base para el espacio cotangente en p . El producto tensorial (denotado por el símbolo ⊗ ) produce un campo tensorial de tipo (0, 2) , es decir, el tipo que espera dos vectores contravariantes como argumentos. En el lado derecho, se ha tomado el producto simétrico (denotado por el símbolo ⊙ o por yuxtaposición). La igualdad se mantiene ya que, por definición, la métrica de Minkowski es simétrica. ^[20] La notación en el extremo derecho también se usa a veces para el elemento de línea relacionado, pero diferente . Es no un tensor. Para más detalles sobre las diferencias y similitudes, consulte Misner, Thorne & Wheeler (1973 , recuadro 3.2 y sección 13.2).

Los vectores tangentes están, en este formalismo, dados en términos de una base de operadores diferenciales de primer orden,

${\displaystyle \left.{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right|_{p},}$

donde p es un evento. Este operador aplicado a una función f da la derivada direccional de f en p en la dirección de aumentar x ^μ con x ^ν , ν ≠ μ fijo. Proporcionan una base para el espacio tangente en p .

La derivada exterior df de una función f es un campo codificador , es decir, una asignación de un vector cotangente a cada punto p , por definición tal que

${\displaystyle df(X)=Xf,}$

para cada campo vectorial X . Un campo vectorial es una asignación de un vector tangente a cada punto p . En coordenadas X se puede expandir en cada punto p en la base dada por ∂ / ∂ x ^ν | _p . Aplicando esto con f = x ^μ , la función de coordenadas en sí, y X = ∂ / ∂ x ^ν , llamado campo vectorial de coordenadas , se obtiene

${\displaystyle dx^{\mu }\left({\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\right)={\frac {\partial x^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}=\delta _{\nu }^{\mu }.}$

Dado que esta relación se cumple en cada punto p , dx ^μ | _p proporcionan una base para el espacio cotangente en cada py las bases dx ^μ | _p y ∂ / ∂ x ^nu | _p son duales entre sí,

${\displaystyle \left.dx^{\mu }\right|_{p}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\right|_{p}\right)=\delta _{\nu }^{\mu }.}$

en cada p . Además, uno tiene

${\displaystyle \alpha \otimes \beta (a,b)=\alpha (a)\beta (b)}$

para formas uniformes generales en un espacio tangente α , β y vectores tangentes generales a , b . (Esto puede tomarse como una definición, pero también puede demostrarse en un contexto más general).

Por lo tanto, cuando el tensor métrico se alimenta con dos campos vectoriales a , b , ambos expandidos en términos de los campos vectoriales de coordenadas base, el resultado es

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }(a,b)=\eta _{\mu \nu }a^{\mu }b^{\nu },}$

donde a ^μ , b ^ν son las funciones componentes de los campos vectoriales. La ecuación anterior se cumple en cada punto p , y la relación también puede interpretarse como la métrica de Minkowski en p aplicada a dos vectores tangentes en p .

Como se mencionó, en un espacio vectorial, como el que modela el espacio-tiempo de la relatividad especial, los vectores tangentes pueden identificarse canónicamente con los vectores en el espacio mismo, y viceversa. Esto significa que los espacios tangentes en cada punto se identifican canónicamente entre sí y con el espacio vectorial en sí. Esto explica cómo se puede emplear directamente el lado derecho de la ecuación anterior, sin tener en cuenta el punto del espacio-tiempo en el que se va a evaluar la métrica y de dónde (qué espacio tangente) provienen los vectores.

Esta situación cambia en la relatividad general . Hay uno tiene

${\displaystyle g(p)_{\mu \nu }\left.dx^{\mu }\right|_{p}\left.dx^{\nu }\right|_{p}(a,b)=g(p)_{\mu \nu }a^{\mu }b^{\nu },}$

donde ahora η → g ( p ) , es decir, g sigue siendo un tensor métrico pero ahora depende del espacio-tiempo y es una solución de las ecuaciones de campo de Einstein . Además, a , b deben ser vectores tangentes en el punto del espacio-tiempo py ya no pueden moverse libremente.

Relaciones cronológicas y de causalidad

Deje x , y ∈ M . Nosotros decimos eso

1. x precede cronológicamente a y si y - x es temporal dirigido al futuro. Esta relación tiene la propiedad transitiva y, por lo tanto, se puede escribir x < y .
2. x precede causalmente a y si y - x es nulo o temporal dirigido al futuro. Da un orden parcial del espacio-tiempo y por lo tanto se puede escribir x ≤ y .

Suponga que x ∈ M es similar a un tiempo. Entonces el hiperplano simultáneo para x es${\displaystyle \{y:\eta (x,y)=0\}.}$Dado que este hiperplano varía cuando x varía, existe una relatividad de simultaneidad en el espacio de Minkowski.

Generalizaciones

Una variedad de Lorentz es una generalización del espacio de Minkowski de dos maneras. El número total de dimensiones del espacio-tiempo no está restringido a 4 ( 2 o más) y una variedad de Lorentz no necesita ser plana, es decir, permite la curvatura.

Espacio de Minkowski generalizado

El espacio de Minkowski se refiere a una formulación matemática en cuatro dimensiones. Sin embargo, las matemáticas se pueden ampliar o simplificar fácilmente para crear un espacio de Minkowski generalizado análogo en cualquier número de dimensiones. Si n ≥ 2 , el espacio de Minkowski n- dimensional es un espacio vectorial de dimensión real n en el que hay una métrica constante de Minkowski de firma ( n - 1, 1) o (1, n - 1) . Estas generalizaciones se utilizan en teorías donde se supone que el espacio-tiempo tiene más o menos de 4 dimensiones. La teoría de cuerdas y la teoría M son dos ejemplos donde n > 4 . En la teoría de cuerdas, aparecen teorías de campo conformes con dimensiones espaciotemporales 1 + 1 .

El espacio de Sitter se puede formular como una subvariedad del espacio de Minkowski generalizado, al igual que los espacios modelo de geometría hiperbólica (ver más abajo).

Curvatura

Como espacio-tiempo plano , los tres componentes espaciales del espacio-tiempo de Minkowski siempre obedecen al Teorema de Pitágoras . El espacio de Minkowski es una base adecuada para la relatividad especial , una buena descripción de sistemas físicos a distancias finitas en sistemas sin gravitación significativa . Sin embargo, para tener en cuenta la gravedad, los físicos utilizan la teoría de la relatividad general , que está formulada en las matemáticas de una geometría no euclidiana . Cuando esta geometría se utiliza como modelo de espacio físico, se conoce como espacio curvo .

Incluso en el espacio curvo, el espacio de Minkowski sigue siendo una buena descripción en una región infinitesimal que rodea cualquier punto (salvo las singularidades gravitacionales). ^{[nb 6] De manera} más abstracta, decimos que en presencia de gravedad, el espacio-tiempo se describe mediante una variedad curvada de 4 dimensiones para la cual el espacio tangente a cualquier punto es un espacio de Minkowski de 4 dimensiones. Por tanto, la estructura del espacio de Minkowski sigue siendo esencial en la descripción de la relatividad general.

Geometría

El significado del término geometría para el espacio de Minkowski depende en gran medida del contexto. El espacio de Minkowski no está dotado de una geometría euclidiana, ni de ninguna de las geometrías riemannianas generalizadas con curvatura intrínseca, las expuestas por los espacios modelo en geometría hiperbólica (curvatura negativa) y la geometría modelada por la esfera (curvatura positiva). La razón es la indefinición de la métrica de Minkowski. El espacio de Minkowski, en particular, no es un espacio métrico ni una variedad de Riemann con una métrica de Riemann. Sin embargo, el espacio de Minkowski contiene subvariedades dotadas de una métrica de Riemann que produce geometría hiperbólica.

Los espacios modelo de geometría hiperbólica de baja dimensión, digamos 2 o 3 , no se pueden incrustar isométricamente en el espacio euclidiano con una dimensión más, es decir, ℝ ³ o ℝ ⁴ respectivamente, con la métrica euclidiana g , lo que impide la visualización fácil. ^{[nb 7] [21]} En comparación, los espacios modelo con curvatura positiva son simplemente esferas en el espacio euclidiano de una dimensión superior. ^[22] Los espacios hiperbólicos se pueden incrustar isométricamente en espacios de una dimensión más cuando el espacio de incrustación está dotado de la métrica de Minkowski η .

Definir H^{1 ( n )}
_R⊂ M ^{n +1} para ser la hoja superior ( ct > 0 ) del hiperboloide

${\displaystyle \mathbf {H} _{R}^{1(n)}=\left\{\left(ct,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\in \mathbf {M} ^{n}:c^{2}t^{2}-\left(x^{1}\right)^{2}\cdots \left(x^{n}\right)^{2}=R^{2},ct>0\right\}}$

en el espacio de Minkowski generalizado M ^{n +1} de dimensión espacio-tiempo n + 1 . Esta es una de las superficies de transitividad del grupo de Lorentz generalizado. La métrica inducida en esta subvariedad,

${\displaystyle h_{R}^{1(n)}=\iota ^{*}\eta ,}$

el retroceso de la métrica de Minkowski η bajo inclusión, es una métrica de Riemann . Con esta métrica H^{1 ( n )}
_Res una variedad de Riemann . Es uno de los espacios del modelo de la geometría de Riemann, el modelo de hiperboloide de espacio hiperbólico . Es un espacio de curvatura negativa constante −1 / R ² . ^[23] El 1 en el índice superior se refiere a una enumeración de los diferentes espacios modelo de geometría hiperbólica y la n para su dimensión. A 2 (2) corresponde al modelo de disco de Poincaré , mientras que 3 ( n ) corresponde al modelo de medio espacio de Poincaré de dimensión n .

Preliminares

En la definición anterior ι : H^{1 ( n )}
_R→ M ^{n +1} es el mapa de inclusión y la estrella en superíndice denota el retroceso . El presente propósito es describir esta y otras operaciones similares como preparación para la demostración real de que H^{1 ( n )}
_R en realidad es un espacio hiperbólico.

Comportamiento de tensores en inclusión, retroceso de tensores covariantes en mapas generales y avance de vectores en mapas generales

Comportamiento de los tensores bajo inclusión: Para mapas de inclusión de una subvariedad S en M y un tensor covariante α de orden k en M, se sostiene que ${\displaystyle \iota ^{*}\alpha \left(X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{k}\right)=\alpha \left(\iota _{*}X_{1},\,\iota _{*}X_{2},\,\ldots ,\,\iota _{*}X_{k}\right)=\alpha \left(X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{k}\right),}$ donde X 1 , X 1 , ..., X k son campos de vectores en S . La estrella subíndice denota el avance (que se introducirá más adelante), y en este caso especial es simplemente el mapa de identidad (como es el mapa de inclusión). La última igualdad se cumple porque un espacio tangente a una subvariedad en un punto es, de manera canónica, un subespacio del espacio tangente de la propia variedad en el punto en cuestión. Uno puede simplemente escribir ${\displaystyle \iota ^{*}\alpha =\alpha |_{S},}$ lo que significa (con un ligero abuso de notación ) la restricción de α para aceptar como vectores de entrada tangentes a algunos s ∈ S solamente. Retroceso de tensores bajo mapas generales: El retroceso de un covariante k -tensor α (uno que toma solo vectores contravariantes como argumentos) bajo un mapa F : M → N es un mapa lineal ${\displaystyle F^{*}\colon T_{F(p)}^{k}N\rightarrow T_{p}^{k}M,}$ donde para cualquier espacio vectorial V , ${\displaystyle T^{k}V=\underbrace {V^{*}\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{k{\text{ times}}}.}$ Está definido por ${\displaystyle F^{*}(\alpha )\left(X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{k}\right)=\alpha \left(F_{*}X_{1},\,F_{*}X_{2},\,\ldots ,\,F_{*}X_{k}\right),}$ donde la estrella subíndice indica la pushforward del mapa F , y X 1 , X 2 , ..., X k son vectores en T p M . (Esto está de acuerdo con lo que se detalló sobre el retroceso del mapa de inclusión. En el caso general aquí, no se puede proceder simplemente porque F ∗ X 1 ≠ X 1 en general). El empuje hacia adelante de vectores bajo mapas generales: Heurísticamente, retirar un tensor ap ∈ M de F ( p ) ∈ N alimentando sus vectores que residen en p ∈ M es por definición lo mismo que empujar hacia adelante los vectores de p ∈ M a F ( p ) ∈ N alimentándolos al tensor que reside en F ( p ) ∈ N. Desenrollar Además las definiciones, el pushforward F * : TM p → TN F ( p ) de un campo de vector en un mapa F : M → N entre colectores se define por ${\displaystyle F_{*}(X)f=X(f\circ F),}$ donde f es una función de N . Cuando M = ℝ m , N = ℝ n el empuje hacia adelante de F se reduce a DF : ℝ m → ℝ n , el diferencial ordinario , que viene dado por la matriz jacobiana de derivadas parciales de las funciones componentes. El diferencial es la mejor aproximación lineal de una función F de ℝ m a ℝ n . El empuje hacia adelante es la versión múltiple suave de esto. Actúa entre espacios tangentes, y está en coordenadas representadas por la matriz jacobiana de la representación de coordenadas de la función. El retroceso correspondiente es el mapa dual desde el dual del espacio tangente de rango al dual del espacio tangente de dominio, es decir, es un mapa lineal, ${\displaystyle F^{*}\colon T_{F(p)}^{*}N\rightarrow T_{p}^{*}M.}$

Proyección estereográfica hiperbólica

El arco circular rojo es geodésico en el modelo de disco de Poincaré ; se proyecta a la geodésica marrón sobre el hiperboloide verde.

Para exhibir la métrica es necesario retirarla mediante una parametrización adecuada . Una parametrización de una subvariedad S de M es un mapa de U ⊂ ℝ ^m → M cuyo rango es un subconjunto abierto de S . Si S tiene la misma dimensión que M , una parametrización es la inversa de un mapa de coordenadas φ : M → U ⊂ ℝ ^m . La parametrización que se utilizará es la inversa de la proyección estereográfica hiperbólica . Esto se ilustra en la figura de la izquierda para n = 2 . Es instructivo compararlo con la proyección estereográfica de esferas.

Proyección estereográfica σ : Hⁿ
_R→ ℝ ⁿ y su inversa σ ⁻¹ : ℝ ⁿ → Hⁿ
_R son dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (\tau ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} &={\frac {R\mathbf {x} }{R+\tau }},\\\sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau ,\mathbf {x} )&=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right),\end{aligned}}}$

donde, por simplicidad, τ ≡ ct . Las ( τ , x ) son coordenadas en M ^{n +1} y las u son coordenadas en ℝ ⁿ .

Derivación detallada

Dejar ${\displaystyle \mathbf {H} _{R}^{n}=\left\{\left(\tau ,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\subset \mathbf {M} :-\tau ^{2}+\left(x^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(x^{n}\right)^{2}=-R^{2},\tau >0\right\}}$ y deja ${\displaystyle S=(-1,0,\ldots ,0)}$ Si ${\displaystyle P=\left(\tau ,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\in \mathbf {H} _{R}^{n},}$ entonces es geométricamente claro que el vector ${\displaystyle {\overrightarrow {PS}}}$ se cruza con el hiperplano ${\displaystyle \left\{\left(\tau ,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\in M:\tau =0\right\}}$ una vez en el punto denotado ${\displaystyle U=\left(0,u^{1}(P),\ldots ,u^{n}(P)\right)\equiv (0,\mathbf {u} ).}$ Uno tiene ${\displaystyle {\begin{aligned}S+{\overrightarrow {SU}}&=U\Rightarrow {\overrightarrow {SU}}=U-S,\\S+{\overrightarrow {SP}}&=P\Rightarrow {\overrightarrow {SP}}=U-P\end{aligned}}.}$ o ${\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {SU}}&=(0,\mathbf {u} )-(-R,0)=(R,\mathbf {u} ),\\{\overrightarrow {SP}}&=(\tau ,\mathbf {x} )-(-R,0)=(\tau +R,\mathbf {x} ).\end{aligned}}}$ Por la construcción de la proyección estereográfica uno tiene ${\displaystyle {\overrightarrow {SU}}=\lambda (\tau ){\overrightarrow {SP}}.}$ Esto conduce al sistema de ecuaciones. ${\displaystyle {\begin{aligned}R&=\lambda (\tau +R),\\\mathbf {u} &=\lambda \mathbf {x} .\end{aligned}}}$ El primero de estos se resuelve para ${\displaystyle \lambda }$ y se obtiene por proyección estereográfica ${\displaystyle \sigma (\tau ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} ={\frac {R\mathbf {x} }{R+\tau }}.}$ A continuación, la inversa ${\displaystyle \sigma ^{-1}(u)=(\tau ,\mathbf {x} )}$debe calcularse. Utilice las mismas consideraciones que antes, pero ahora con ${\displaystyle {\begin{aligned}U&=(0,\mathbf {u} )\\P&=(\tau (\mathbf {u} ),\xi (\mathbf {u} )).\end{aligned}}}$ Uno consigue ${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &={\frac {R(1-\lambda )}{\lambda }},\\\mathbf {x} &={\frac {\mathbf {u} }{\lambda }},\end{aligned}}}$ pero ahora con ${\displaystyle \lambda }$ Dependiendo de ${\displaystyle \mathbf {u} .}$La condición de P que se encuentra en el hiperboloide es ${\displaystyle -\tau ^{2}+\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} =-\tau ^{2}+|u|^{2}=-R^{2},}$ o ${\displaystyle -{\frac {R^{2}(1-\lambda )^{2}}{\lambda ^{2}}}={\frac {|u|^{2}}{\lambda ^{2}}},}$ llevando a ${\displaystyle \lambda ={\frac {R^{2}-|u|^{2}}{2R^{2}}}.}$ Con este ${\displaystyle \lambda }$, Se obtiene ${\displaystyle \sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau ,\mathbf {x} )=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}.\right)}$

Retirando la métrica

Uno tiene

${\displaystyle h_{R}^{1(n)}=\eta |_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=\left(dx^{1}\right)^{2}+\ldots +\left(dx^{n}\right)^{2}-d\tau ^{2}}$

y el mapa

${\displaystyle \sigma ^{-1}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {H} _{R}^{1(n)};\quad \sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau (\mathbf {u} ),\,\mathbf {x} (\mathbf {u} ))=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},\,{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right).}$

La métrica retirada se puede obtener mediante métodos sencillos de cálculo;

${\displaystyle \left.\left(\sigma ^{-1}\right)^{*}\eta \right|_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=\left(dx^{1}(\mathbf {u} )\right)^{2}+\ldots +\left(dx^{n}(\mathbf {u} )\right)^{2}-\left(d\tau (\mathbf {u} )\right)^{2}.}$

Se calcula de acuerdo con las reglas estándar para calcular diferenciales (aunque en realidad se calculan las derivadas exteriores rigurosamente definidas),

${\displaystyle {\begin{aligned}dx^{1}(\mathbf {u} )&=d\left({\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)={\frac {\partial }{\partial u^{1}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{1}+\ldots +{\frac {\partial }{\partial u^{n}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{n}+{\frac {\partial }{\partial \tau }}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}d\tau ,\\&\ \ \vdots \\dx^{n}(\mathbf {u} )&=d\left({\frac {2R^{2}u^{n}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)=\cdots ,\\d\tau (\mathbf {u} )&=d\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)=\cdots ,\end{aligned}}}$

y sustituye los resultados en el lado derecho. Esto produce

${\displaystyle \left(\sigma ^{-1}\right)^{*}h_{R}^{1(n)}={\frac {4R^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\ldots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}\equiv h_{R}^{2(n)}.}$

Esquema detallado de cálculo

Uno tiene ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial u^{1}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{1}&={\frac {2\left(R^{2}-|u|^{2}\right)+4R^{2}\left(u^{1}\right)^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}du^{1},\\{\frac {\partial }{\partial u^{2}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{2}&={\frac {4R^{2}u^{1}u^{2}du^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}du^{2},\end{aligned}}}$ y ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}d\tau ^{2}=0.}$ Con esto uno puede escribir ${\displaystyle dx^{1}(\mathbf {u} )={\frac {2R^{2}\left(R^{2}-|u|^{2}\right)du^{1}+4R^{2}u^{1}(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}},}$ a partir del cual ${\displaystyle \left(dx^{1}(\mathbf {u} )\right)^{2}={\frac {4R^{2}\left(r^{2}-|u|^{2}\right)^{2}\left(du^{1}\right)^{2}+16R^{4}\left(R^{2}-|u|^{2}\right)\left(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} \right)u^{1}du^{1}+14R^{r}\left(u^{1}\right)^{2}\left(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} \right)^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{4}}}.}$ Sumando esta fórmula uno obtiene ${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(dx^{1}(\mathbf {u} )\right)^{2}+\ldots +\left(dx^{n}(\mathbf {u} )\right)^{2}\\={}&{\frac {4R^{2}\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\ldots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]+16R^{4}\left(R^{2}-|u|^{2}\right)(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )+16R^{4}|u|^{2}(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{4}}}\\={}&{\frac {4R^{2}\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\ldots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{4}}}+R^{2}{\frac {16R^{4}(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{4}}}.\end{aligned}}}$ Del mismo modo, para τ se obtiene ${\displaystyle d\tau =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial u^{i}}}R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}+|u|^{2}}}du^{i}+{\frac {\partial }{\partial \tau }}R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}+|u|^{2}}}d\tau =\sum _{i=1}^{n}R^{4}{\frac {4R^{2}u^{i}du^{i}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)}},}$ flexible ${\displaystyle -dt^{2}=-\left(R{\frac {4R^{4}\left(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} \right)}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}\right)^{2}=-R^{2}{\frac {14R^{4}(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{4}}}.}$ Ahora agregue esta contribución para finalmente obtener ${\displaystyle \left(\sigma ^{-1}\right)^{*}h_{R}^{1(n)}={\frac {4R^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\ldots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}\equiv h_{R}^{2(n)}.}$

Esta última ecuación muestra que la métrica de la bola es idéntica a la métrica riemanniana h^{2 ( n )}
_Ren el modelo de bola de Poincaré , otro modelo estándar de geometría hiperbólica.

Cálculo alternativo mediante pushforward

El retroceso se puede calcular de una manera diferente. Por definición, ${\displaystyle \left(\sigma ^{-1}\right)^{*}h_{R}^{1(n)}(V,\,V)=h_{R}^{1(n)}\left(\left(\sigma ^{-1}\right)_{*}V,\,\left(\sigma ^{-1}\right)_{*}V\right)=\eta |_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}\left(\left(\sigma ^{-1}\right)_{*}V,\,\left(\sigma ^{-1}\right)_{*}V\right).}$ En coordenadas, ${\displaystyle \left(\sigma ^{-1}\right)_{*}V=\left(\sigma ^{-1}\right)_{*}V^{i}{\frac {\partial }{\partial u^{i}}}=V^{i}{\frac {\partial x^{j}}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+V^{i}{\frac {\partial \tau }{\partial u^{i}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}=V^{i}{\frac {\partial }{x}}^{j}{\partial u^{i}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+V^{i}{\frac {\partial }{\tau }}{\partial u^{i}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}=Vx^{j}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+V\tau {\frac {\partial }{\partial \tau }}.}$ Uno tiene de la fórmula para σ –1 ${\displaystyle {\begin{aligned}Vx^{j}&=V^{i}{\frac {\partial }{\partial u^{i}}}\left({\frac {2R^{2}u^{j}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)={\frac {2R^{2}V^{j}}{R^{2}-|u|^{2}}}-{\frac {4R^{2}u^{j}\langle \mathbf {V} ,\,\mathbf {u} \rangle }{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}},\quad \left({\text{here }}V|u|^{2}=2\sum _{k=1}^{n}V^{k}u^{k}\equiv 2\langle \mathbf {V} ,\,\mathbf {u} \rangle \right)\\V\tau &=V\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)={\frac {4R^{3}\langle \mathbf {V} ,\,\mathbf {u} \rangle }{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$ Finalmente, ${\displaystyle \eta \left(\sigma _{*}^{-1}V,\,\sigma _{*}^{-1}V\right)=\sum _{j=1}^{n}\left(Vx^{j}\right)^{2}-(V\tau )^{2}={\frac {4R^{4}|V|^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}=h_{R}^{2(n)}(V,z,V),}$ y se llega a la misma conclusión.

Ver también

• Introducción a las matemáticas de la relatividad general.
• Avión de Minkowski
• Espacio

Observaciones

1. Esto hace que la distancia del espacio-tiempo sea invariante .
2. El uso coherente de los términos "producto interno de Minkowski", "norma de Minkowski" o "métrica de Minkowski" está destinado a la forma bilineal aquí, ya que es de uso generalizado. De ninguna manera es "estándar" en la literatura, pero no parece existir una terminología estándar.
3. Traslade el sistema de coordenadas para que el evento sea el nuevo origen.
4. Esto corresponde a la coordenada de tiempo que aumenta o disminuye cuando aumenta el tiempo adecuado para cualquier partícula. Una aplicación de T cambia esta dirección.
5. Para comparar y motivar la terminología, tome una métrica de Riemann , que proporciona una forma bilineal simétrica definida positiva, es decir, un producto interno propiamente dicho en cada punto de una variedad.
6. Esta similitud entre el espacio plano y curvo a escalas de distancia infinitesimalmente pequeñas es fundamental para la definición de una variedad en general.
7. No es una inmersión isométrica en ℝ ⁿ de acuerdo con la Nash incrustación teorema ( Nash (1956) ), pero la dimensión de la incrustación es mucho mayor, n = ( m / 2) ( m + 1) (3 m + 11) para una Variedad de Riemann de dimensión m .

Notas

1. "Minkowski" . Diccionario íntegro de Random House Webster .
2. Landau y Lifshitz 2002 , p. 4
3. Lee 1997 , p. 31
4. Schutz, John W. (1977). Axiomas independientes para el espacio-tiempo de Minkowski (edición ilustrada). Prensa CRC. págs. 184-185. ISBN 978-0-582-31760-4. Extracto de la página 184
5. Poincaré 1905-1906 , págs. 129-176 Traducción de Wikisource: Sobre la dinámica del electrón
6. Minkowski 1907-1908 , págs. 53-111 * Traducción de Wikisource: s: Traducción: Las ecuaciones fundamentales para procesos electromagnéticos en cuerpos en movimiento .
7. Minkowski 1908–1909 , pp. 75–88 Varias traducciones al inglés en Wikisource: " Space and Time ".
8. Cornelius Lanczos (1972) "El camino de Einstein de la relatividad especial a la general", páginas 5-19 de Relatividad general: artículos en honor a JL Synge , editor de L. O'Raifeartaigh, Clarendon Press , ver página 11
9. Ver prueba de Schutz p 148, también Naber p.48
10. Schutz p.148, Naber p.49
11. Schutz p.148
12. Lee 1997 , p. 15
13. Lee 2003 , consulte la discusión de Lee sobre los vectores tangentes geométricos al principio del capítulo 3.
14. Giulini 2008 págs. 5, 6
15. Minkowski, Landau y Lifshitz 2002 , p. 4
16. Sard 1970 , p. 71
17. Misner, Thorne y Wheeler 1973
18. Lee 2003 . Un punto en la prueba de Lee de la existencia de este mapa necesita modificación (Lee se ocupa de las métricas de Riemann ). Cuando Lee se refiere a la definición positiva para mostrar la inyectividad del mapa, uno necesita en cambio apelar a la no degeneración.
19. Lee 2003 , El isomorfismo tangente-cotangente p. 282.
20. Lee 2003
21. Lee 1997 , p. 66
22. Lee 1997 , p. 33
23. Lee 1997

Referencias

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enlaces externos

Medios relacionados con los diagramas de Minkowski en Wikimedia Commons

• Clip de animación en YouTube que visualiza el espacio de Minkowski en el contexto de la relatividad especial.
• La geometría de la relatividad especial: el cono de luz espacio-temporal de Minkowski
• Espacio Minkowski en PhilPapers