Teoría de modelos

Study of the structure of formal languages by means of their logical interpretation.

Este artículo trata sobre la disciplina matemática. Para conocer la noción informal en otras partes de las matemáticas y las ciencias, consulte Modelo matemático .

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En matemáticas , la teoría de modelos es el estudio de la relación entre las teorías formales (una colección de oraciones en un lenguaje formal que expresan enunciados sobre una estructura matemática ) y sus modelos, tomados como interpretaciones que satisfacen las oraciones de esa teoría. ^[1]

Descripción informal

La teoría de modelos reconoce y está íntimamente relacionada con una dualidad: examina elementos semánticos (significado y verdad) por medio de elementos sintácticos (fórmulas y pruebas) de un lenguaje correspondiente. En una definición resumida, que data de 1973:

teoría de modelos = álgebra universal + lógica . ^[2]

La teoría de modelos se desarrolló rápidamente durante la década de 1990, y Wilfrid Hodges (1997) proporciona una definición más moderna :

teoría de modelos = geometría algebraica - campos .

Este es un eslogan inteligente, que implica que hay muchos puntos en común: así, por ejemplo, una variedad algebraica puede describirse informalmente como el lugar geométrico de los puntos donde una colección de polinomios es cero. Asimismo, un modelo puede describirse como un lugar de interpretaciones donde una colección de oraciones son verdaderas. Hay más analogías que se extienden a diferentes profundidades.

Otro lema que se repite comúnmente establece que "si la teoría de la prueba trata sobre lo sagrado, entonces la teoría modelo trata sobre lo profano" , ^[3] indicando que estos dos temas son, en cierto sentido, duales entre sí. Al igual que la teoría de la prueba , la teoría de modelos se sitúa en un área de interdisciplinariedad entre las matemáticas , la filosofía y la informática . La teoría de modelos se utiliza en una variedad de entornos, tanto académicos como industriales. Éstos incluyen:

• Demostrar resultados en sistemas axiomáticos . Por ejemplo, la prueba de que la hipótesis del continuo es independiente de los otros axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC) se realiza construyendo dentro de ZFC un modelo de ZFC donde la hipótesis del continuo es verdadera, y otro modelo donde es falsa (ver Hipótesis del continuo § Independencia de ZFC ).
• Proporcionar la base para los solucionadores de teorías de módulo de satisfacibilidad , que se implementan comúnmente para la verificación funcional en la automatización del diseño electrónico . Estos solucionadores buscan oraciones que sean satisfactorias, hasta enunciados equivalentes en alguna teoría específica, como la teoría de la igualdad o la teoría del álgebra lineal .
• Proporcionar la base para los modelos relacionales , que son el fragmento formado por estructuras cuyas firmas consisten enteramente en relaciones . Los resultados bien conocidos incluyen que SQL y noSQL son duales categóricos entre sí.

La organización académica más destacada en el campo de la teoría de modelos es la Association for Symbolic Logic .

Ramas

Esta página se centra en la teoría de modelos finitarios de primer orden de estructuras infinitas. La teoría de modelos finitos , que se concentra en estructuras finitas, difiere significativamente del estudio de estructuras infinitas tanto en los problemas estudiados como en las técnicas utilizadas. La teoría de modelos en lógicas de orden superior o lógicas infinitarias se ve obstaculizada por el hecho de que la integridad y la compacidad no se aplican en general a estas lógicas. Sin embargo, también se ha estudiado mucho en este tipo de lógicas.

De manera informal, la teoría de modelos se puede dividir en teoría de modelos clásica, teoría de modelos aplicada a grupos y campos y teoría de modelos geométricos. Una subdivisión que falta es la teoría de modelos computables , pero podría decirse que esto puede considerarse como un subcampo independiente de la lógica.

Ejemplos de primeros teoremas de la teoría de modelo clásico incluyen el teorema de Gödel exhaustividad , las hacia arriba y hacia abajo teoremas Löwenheim-Skolem , Vaught 'teorema de dos cardinal s, de Scott ' s isomorfismo teorema, las teorema tipos omitiendo , y el teorema de Ryll-Nardzewski . Ejemplos de los primeros resultados de la teoría de modelos aplicados a campos son la eliminación de cuantificadores de Tarski para campos cerrados reales , el teorema de Ax sobre campos pseudo-finitos y el desarrollo de análisis no estándar de Robinson .. Un paso importante en la evolución de la teoría clásica del modelo ocurrió con el nacimiento de la teoría de la estabilidad (a través del teorema de Morley sobre teorías incontables y categóricas y el programa de clasificación de Shelah ), que desarrolló un cálculo de independencia y rango basado en condiciones sintácticas satisfechas por teorías.

Durante las últimas décadas, la teoría de modelos aplicados se ha fusionado repetidamente con la teoría de la estabilidad más pura. El resultado de esta síntesis se denomina teoría del modelo geométrico en este artículo (que se considera que incluye la o-minimidad, por ejemplo, así como la teoría clásica de la estabilidad geométrica). Un ejemplo de una prueba de la teoría de modelos geométricos es la prueba de Hrushovski de la conjetura de Mordell-Lang para campos funcionales. La ambición de la teoría de modelos geométricos es proporcionar una geografía de las matemáticas al embarcarse en un estudio detallado de conjuntos definibles en varias estructuras matemáticas, con la ayuda de las herramientas sustanciales desarrolladas en el estudio de la teoría de modelos puros.

Teoría de modelos finitos

Artículo principal: teoría de modelos finitos

La teoría de modelos finitos (FMT) es la subárea de la teoría de modelos (MT) que se ocupa de su restricción a las interpretaciones de estructuras finitas, que tienen un universo finito.

Dado que muchos teoremas centrales de la teoría de modelos no se cumplen cuando se restringen a estructuras finitas, FMT es bastante diferente de MT en sus métodos de demostración. Los resultados centrales de la teoría de modelos clásicos que fallan para estructuras finitas bajo FMT incluyen el teorema de compacidad , el teorema de completitud de Gödel y el método de ultraproductos para lógica de primer orden .

Las principales áreas de aplicación de FMT son la teoría de la complejidad descriptiva , la teoría de bases de datos y la teoría del lenguaje formal .

Lógica de primer orden

Artículo principal: lógica de primer orden

Mientras que el álgebra universal proporciona la semántica de una firma , la lógica proporciona la sintaxis . Con términos, identidades y cuasi-identidades , incluso el álgebra universal tiene algunas herramientas sintácticas limitadas; La lógica de primer orden es el resultado de hacer explícita la cuantificación y agregar la negación al cuadro.

Una fórmula de primer orden se construye a partir de fórmulas atómicas como R ( f ( x , y ), z ) o y = x + 1 mediante las conectivas booleanas y el prefijo de cuantificadores o . Una oración es una fórmula en la que cada ocurrencia de una variable está en el alcance de un cuantificador correspondiente. Ejemplos de fórmulas son φ (o φ (x) para marcar el hecho de que como máximo x es una variable no vinculada en φ) y ψ se define de la siguiente manera:${\displaystyle \neg ,\land ,\lor ,\rightarrow }$${\displaystyle \forall v}$${\displaystyle \exists v}$

${\displaystyle {\varphi \;=\;\forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \exists w(x\times w=v)))\land x\neq 0\land x\neq 1,}}$

${\displaystyle \psi \;=\;\forall u\forall v((u\times v=x)\rightarrow (u=x)\lor (v=x))\land x\neq 0\land x\neq 1.}$

(Tenga en cuenta que el símbolo de igualdad tiene aquí un doble significado). Es intuitivamente claro cómo traducir tales fórmulas en significado matemático. En la estructura σ _smr de los números naturales, por ejemplo, un elemento n satisface la fórmula φ si y solo si n es un número primo. La fórmula ψ define de manera similar la irreductibilidad. Tarski dio una definición rigurosa, a veces llamada "definición de verdad de Tarski" , para la relación de satisfacción , de modo que uno pueda probar fácilmente:${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \models }$

${\displaystyle {\mathcal {N}}\models \varphi (n)\iff n}$ es un número primo.

${\displaystyle {\mathcal {N}}\models \psi (n)\iff n}$ es irreductible.

Un conjunto T de oraciones se llama teoría (de primer orden) . Una teoría es satisfiable si tiene un modelo , es decir, una estructura (de la firma apropiada) que satisface todas las frases en el conjunto T . La consistencia de una teoría generalmente se define de manera sintáctica, pero en la lógica de primer orden por el teorema de completitud no hay necesidad de distinguir entre satisfacibilidad y consistencia. Por lo tanto, los teóricos de modelos a menudo usan "consistente" como sinónimo de "satisfactorio".${\displaystyle {\mathcal {M}}\models T}$

Una teoría se llama categórica si determina una estructura hasta el isomorfismo, pero resulta que esta definición no es útil, debido a serias restricciones en la expresividad de la lógica de primer orden. El teorema de Löwenheim-Skolem implica que para cada teoría T que tiene una firma contable ^[4] que tiene un modelo infinito para algún número cardinal infinito , entonces tiene un modelo de tamaño κ para cualquier número cardinal infinito κ. Dado que dos modelos de diferentes tamaños no pueden ser isomorfos, solo las estructuras finitarias pueden describirse mediante una teoría categórica.

Sin embargo, la falta de expresividad (en comparación con lógicas superiores como la lógica de segundo orden ) tiene sus ventajas. Para los teóricos de modelos, el teorema de Löwenheim-Skolem es una herramienta práctica importante más que la fuente de la paradoja de Skolem . En cierto sentido, precisado por el teorema de Lindström , la lógica de primer orden es la lógica más expresiva para la que se cumplen tanto el teorema de Löwenheim-Skolem como el teorema de la compacidad.

Como corolario (es decir, su contrapositivo), el teorema de la compacidad dice que toda teoría de primer orden insatisfactorio tiene un subconjunto finito insatisfactorio. Este teorema es de importancia central en la teoría de modelos infinitos, donde las palabras "por compacidad" son un lugar común. Una forma de demostrarlo es mediante ultraproductos . Una demostración alternativa utiliza el teorema de completitud, que de otro modo se reduce a un papel marginal en la mayor parte de la teoría de modelos moderna.

Axiomatizabilidad, eliminación de cuantificadores y completitud del modelo

El primer paso, a menudo trivial, para aplicar los métodos de la teoría de modelos a una clase de objetos matemáticos como grupos o árboles en el sentido de la teoría de grafos, es elegir una firma σ y representar los objetos como σ-estructuras. El siguiente paso es mostrar que la clase es una clase elemental , es decir, axiomatizable en lógica de primer orden (es decir, hay una teoría T tal que una estructura σ está en la clase si y solo si satisface T  ). Por ejemplo, este paso falla para los árboles, ya que la conexión no se puede expresar en lógica de primer orden. La axiomatizabilidad asegura que la teoría de modelos pueda hablar sobre los objetos correctos. La eliminación del cuantificador puede verse como una condición que asegura que la teoría del modelo no diga demasiado sobre los objetos.

Una teoría T tiene eliminación de cuantificador si cada fórmula de primer orden φ ( x ₁ , ..., x _n ) sobre su firma es módulo T equivalente a una fórmula de primer orden ψ ( x ₁ , ..., x _n ) sin cuantificadores, es decir, tiene en todos los modelos de T . Por ejemplo, la teoría de campos algebraicamente cerrados en la firma σ _ring = (×, +, -, 0,1) tiene eliminación de cuantificador porque cada fórmula es equivalente a una combinación booleana de ecuaciones entre polinomios.${\displaystyle \forall x_{1}\dots \forall x_{n}(\phi (x_{1},\dots ,x_{n})\leftrightarrow \psi (x_{1},\dots ,x_{n}))}$

Una subestructura de una estructura σ es un subconjunto de su dominio, cerrado bajo todas las funciones en su firma σ, que se considera una estructura σ al restringir todas las funciones y relaciones en σ al subconjunto. Una incrustación de una estructura σ en otra estructura σ es un mapa f : A → B entre los dominios que se puede escribir como un isomorfismo de con una subestructura de . Cada incrustación es un homomorfismo inyectivo , pero lo contrario se cumple solo si la firma no contiene símbolos de relación.${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Si una teoría no tiene eliminación de cuantificador, se pueden agregar símbolos adicionales a su firma para que la tenga. La teoría del modelo inicial dedicó mucho esfuerzo a demostrar la axiomatizabilidad y los resultados de eliminación de cuantificadores para teorías específicas, especialmente en álgebra. Pero a menudo, en lugar de la eliminación del cuantificador, es suficiente una propiedad más débil:

Una teoría T se llama modelo completo si cada subestructura de un modelo de T que es en sí mismo un modelo de T es una subestructura elemental. Existe un criterio útil para probar si una subestructura es una subestructura elemental, llamado prueba de Tarski-Vaught . De este criterio se sigue que una teoría T es modelo completo si y solo si cada fórmula de primer orden φ ( x ₁ , ..., x _n ) sobre su firma es módulo T equivalente a una fórmula existencial de primer orden, es decir una fórmula de la siguiente forma:

${\displaystyle \exists v_{1}\dots \exists v_{m}\psi (x_{1},\dots ,x_{n},v_{1},\dots ,v_{m})}$,

donde ψ es cuantificador libre. Una teoría que no tiene un modelo completo puede o no tener un modelo completo , que es una teoría relacionada con el modelo completo que no es, en general, una extensión de la teoría original. Una noción más general es la de compañeros modelo .

Categoricidad

Como se observa en la sección sobre lógica de primer orden, las teorías de primer orden no pueden ser categóricas, es decir, no pueden describir un modelo único hasta el isomorfismo, a menos que ese modelo sea finito. Pero dos famosos teoremas de la teoría de modelos tratan con la noción más débil de categoricidad κ para un κ cardinal . Una teoría T se llama κ-categórica si dos modelos cualesquiera de T que son de cardinalidad κ son isomórficos. Resulta que la cuestión de la categoricidad κ depende críticamente de si κ es mayor que la cardinalidad del lenguaje (es decir,  + | σ |, donde | σ | es la cardinalidad de la firma). Para firmas finitas o contables, esto significa que existe una diferencia fundamental entre${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$-cardinalidad y κ-cardinalidad para κ incontables.

Algunas caracterizaciones de -categoricidad ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} incluyen:

Para una teoría T de primer orden completa en una firma finita o contable, las siguientes condiciones son equivalentes:

1. T es -categórico.${\displaystyle \aleph _{0}}$
2. Para cada número natural n , el espacio de piedra S _n ( T ) es finito.
3. Para cada número natural n , el número de fórmulas φ ( x ₁ , ..., x _n ) en n variables libres, hasta el módulo de equivalencia T , es finito.

Este resultado, debido independientemente a Engeler , Ryll-Nardzewski y Svenonius , a veces se denomina teorema de Ryll-Nardzewski .

Además, las teorías categóricas y sus modelos contables tienen fuertes vínculos con los grupos oligomórficos . A menudo se construyen como límites de Fraïssé .${\displaystyle \aleph _{0}}$

El resultado altamente no trivial de Michael Morley de que (para los lenguajes contables) solo hay una noción de categoricidad incontable fue el punto de partida para la teoría de modelos moderna, y en particular la teoría de la clasificación y la teoría de la estabilidad:

Teorema de categoricidad de Morley

Si una teoría de primer orden T en una firma finita o contable es κ-categórica para algún cardinal κ incontable, entonces T es κ-categórica para todos los cardinales κ incontables.

Las teorías incontablemente categóricas (es decir, κ-categóricas para todos los incontables cardinales κ) son, desde muchos puntos de vista, las teorías con mejor comportamiento. Una teoría que es tanto categórica como incontablemente categórica se llama totalmente categórica .${\displaystyle \aleph _{0}}$

Teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos (que se expresa en un lenguaje contable ), si es consistente, tiene un modelo contable; esto se conoce como la paradoja de Skolem , ya que hay oraciones en la teoría de conjuntos que postulan la existencia de conjuntos incontables y, sin embargo, estas oraciones son verdaderas en nuestro modelo contable. Particularmente, la prueba de la independencia de la hipótesis del continuo requiere considerar conjuntos en modelos que parecen ser incontables cuando se ven desde dentro del modelo, pero son contables para alguien fuera del modelo.

El punto de vista de la teoría de modelos ha sido útil en la teoría de conjuntos ; por ejemplo, en el trabajo de Kurt Gödel sobre el universo constructible, que, junto con el método de forzar desarrollado por Paul Cohen, puede demostrarse que demuestra la (nuevamente filosóficamente interesante) independencia del axioma de elección y la hipótesis del continuo de los otros axiomas de la teoría de conjuntos.

En la otra dirección, la teoría del modelo en sí puede formalizarse dentro de la teoría de conjuntos ZFC. El desarrollo de los fundamentos de la teoría de modelos (como el teorema de la compacidad) se basa en el axioma de elección, o más exactamente en el teorema del ideal booleano. Otros resultados en la teoría de modelos dependen de axiomas de la teoría de conjuntos más allá del marco estándar de ZFC. Por ejemplo, si la Hipótesis del Continuum es válida, entonces cada modelo contable tiene una ultrapotencia que está saturada (en su propia cardinalidad). De manera similar, si se cumple la hipótesis del continuo generalizado, entonces cada modelo tiene una extensión elemental saturada. Ninguno de estos resultados se puede demostrar solo en ZFC. Finalmente, se ha demostrado que algunas cuestiones que surgen de la teoría de modelos (como la compacidad de las lógicas infinitas) son equivalentes a grandes axiomas cardinales.

Otras nociones básicas

Reducciones y ampliaciones

Artículo principal: Reducir

Un campo o un espacio vectorial se puede considerar como un grupo (conmutativo) simplemente ignorando parte de su estructura. La noción correspondiente en la teoría de modelos es la de una reducción de una estructura a un subconjunto de la firma original. La relación opuesta se llama expansión ; por ejemplo, el grupo (aditivo) de los números racionales , considerado como una estructura en la firma {+, 0} se puede expandir a un campo con la firma {×, +, 1,0} o a un grupo ordenado con la firma {+, 0, <}.

De manera similar, si σ 'es una firma que extiende otra firma σ, entonces una teoría σ' completa se puede restringir a σ intersecando el conjunto de sus oraciones con el conjunto de fórmulas σ. A la inversa, una teoría σ completa se puede considerar como una teoría σ ', y se puede extender (en más de una forma) a una teoría σ' completa. Los términos reducción y expansión a veces también se aplican a esta relación.

Interpretabilidad

Artículo principal: Interpretación (teoría de modelos)

Dada una estructura matemática, muy a menudo hay estructuras asociadas que pueden construirse como un cociente de parte de la estructura original mediante una relación de equivalencia. Un ejemplo importante es un grupo cociente de un grupo.

Se podría decir que para comprender la estructura completa hay que comprender estos cocientes. Cuando la relación de equivalencia es definible, podemos dar a la oración anterior un significado preciso. Decimos que estas estructuras son interpretables .

Un hecho clave es que se pueden traducir oraciones del idioma de las estructuras interpretadas al idioma de la estructura original. Por tanto, se puede demostrar que si una estructura M interpreta otra cuya teoría es indecidible , entonces M en sí mismo es indecidible.

Usando los teoremas de compacidad e integridad

El teorema de completitud de Gödel (que no debe confundirse con sus teoremas de incompletitud ) dice que una teoría tiene un modelo si y solo si es consistente , es decir, la teoría no prueba ninguna contradicción. Este es el corazón de la teoría de modelos, ya que nos permite responder preguntas sobre teorías mirando modelos y viceversa. No se debe confundir el teorema de completitud con la noción de una teoría completa. Una teoría completa es una teoría que contiene cada oración o su negación. Es importante destacar que se puede encontrar una teoría coherente completa que amplíe cualquier teoría coherente. Sin embargo, como muestran los teoremas de incompletitud de Gödel, solo en casos relativamente simples será posible tener una teoría consistente completa que también sea recursiva., es decir, que puede describirse mediante un conjunto de axiomas enumerables de forma recursiva . En particular, la teoría de los números naturales no tiene una teoría recursiva completa y consistente. Las teorías no recursivas tienen poco uso práctico, ya que es indecidible si un axioma propuesto es de hecho un axioma, lo que hace que la verificación de pruebas sea una supertarea .

El teorema de la compacidad establece que un conjunto de oraciones S es satisfactorio si todo subconjunto finito de S es satisfactorio. En el contexto de la teoría de la prueba, el enunciado análogo es trivial, ya que cada prueba solo puede tener un número finito de antecedentes utilizados en la prueba. En el contexto de la teoría de modelos, sin embargo, esta prueba es algo más difícil. Hay dos pruebas bien conocidas, una de Gödel (que pasa por pruebas) y otra de Malcev (que es más directa y nos permite restringir la cardinalidad del modelo resultante).

La teoría de modelos generalmente se ocupa de la lógica de primer orden , y muchos resultados importantes (como los teoremas de integridad y compacidad) fallan en la lógica de segundo orden u otras alternativas. En la lógica de primer orden, todos los cardinales infinitos se ven iguales en un lenguaje que es contable . Esto se expresa en los teoremas de Löwenheim-Skolem , que establecen que cualquier teoría contable con un modelo infinito tiene modelos de todas las cardinalidades infinitas (al menos la del lenguaje) que concuerdan con todas las oraciones, es decir, son " elementalmente equivalentes ".${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

Tipos

Artículo principal: Tipo (teoría de modelos)

Fija una estructura y un número natural . El conjunto de subconjuntos definibles de algunos parámetros es un álgebra booleana . Según el teorema de representación de Stone para álgebras de Boole, hay una noción dual natural en esto. Se puede considerar que este es el espacio topológico que consta de conjuntos máximos de fórmulas consistentes . A esto le llamamos el espacio de (completos) - tipos más , y la escritura .${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S_{n}(A)}$

Ahora considere un elemento . Luego, el conjunto de todas las fórmulas con parámetros en variables libres para que sea ​​consistente y máximo. Se llama el tipo de sobre .${\displaystyle m\in M^{n}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle M\models \phi (m)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle A}$

Se puede demostrar que para cualquier tipo , existe alguna extensión elemental de y alguna de modo que ese es el tipo de sobre .${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle a\in N^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$

Muchas propiedades importantes en la teoría de modelos se pueden expresar con tipos. Además, muchas pruebas pasan por la construcción de modelos con elementos que contienen elementos con ciertos tipos y luego el uso de estos elementos.

Ejemplo ilustrativo: supongamos que es un campo algebraicamente cerrado . La teoría tiene eliminación de cuantificadores. Esto nos permite mostrar que un tipo está determinado exactamente por las ecuaciones polinómicas que contiene. Por tanto, el espacio de -tipos sobre un subcampo es biyectivo con el conjunto de ideales primos del anillo polinomial . Este es el mismo conjunto que el espectro de . Sin embargo, tenga en cuenta que la topología considerada en el espacio de tipos es la topología construible : un conjunto de tipos es básico abierto si es de la forma o de la forma . Esto es más fino que la topología de Zariski.${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle \{p:f(x)=0\in p\}}$${\displaystyle \{p:f(x)\neq 0\in p\}}$.

Historia

La teoría de modelos como materia existe desde aproximadamente mediados del siglo XX. Sin embargo, algunas investigaciones anteriores, especialmente en lógica matemática , a menudo se consideran de naturaleza teórica de modelos en retrospectiva. El primer resultado significativo en lo que ahora es la teoría de modelos fue un caso especial del teorema descendente de Löwenheim-Skolem , publicado por Leopold Löwenheim en 1915. El teorema de la compacidad estaba implícito en el trabajo de Thoralf Skolem , ^[5] pero se publicó por primera vez en 1930 , como un lema en la demostración de Kurt Gödel de su teorema de completitud. El teorema de Löwenheim-Skolem y el teorema de la compacidad recibieron sus respectivas formas generales en 1936 y 1941 de Anatoly Maltsev .

El desarrollo de la teoría del modelo se remonta a Alfred Tarski , miembro de la escuela Lwów-Warsaw durante el interbellum . El trabajo de Tarski incluyó la consecuencia lógica , los sistemas deductivos , el álgebra de la lógica, la teoría de la definibilidad y la definición semántica de la verdad , entre otros temas. Sus métodos semánticos culminaron en la teoría del modelo que él y varios de sus estudiantes de Berkeley desarrollaron en las décadas de 1950 y 1960. Estos conceptos modernos de la teoría de modelos influyeron en el programa de Hilbert y en las matemáticas modernas.

Ver también

Teoría algebraica Clase axiomatizable Teorema de compacidad Complejidad descriptiva Equivalencia elemental

Teorías de primer orden Número hiperreal Teoría del modelo institucional Semántica de Kripke Teorema de Löwenheim-Skolem

Gramática teórica de modelos Teoría de la prueba Modelo saturado Forma normal de Skolem Conexión de lenguajes de ontología web (OWL) a las lógicas de descripción

Notas

1. Chang y Keisler, p. 1
2. Chang y Keisler, p. 1
3. Dirk van Dalen, (1980; Quinta revisión 2013) "Lógica y estructura" Springer. (Ver página 1. )
4. En una firma contable. El teorema tiene una generalización sencilla a incontables firmas.
5. "Los tres comentaristas [es decir, Vaught, van Heijenoort y Dreben] están de acuerdo en que tanto los teoremas de integridad como de compacidad estaban implícitos en Skolem 1923 ...". [ Dawson, JW (1993). "La compacidad de la lógica de primer orden: de gödel a lindström". Historia y Filosofía de la Lógica . 14 : 15. doi : 10.1080 / 01445349308837208 .]

Referencias

Libros de texto canónicos

• Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990) [1973]. Teoría de modelos . Estudios de Lógica y Fundamentos de las Matemáticas (3ª ed.). Elsevier. ISBN 978-0-444-88054-3.
• Hodges, Wilfrid (1997). Una teoría de modelos más breve . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-58713-6.
• Kopperman, R. (1972). Teoría de modelos y sus aplicaciones . Boston: Allyn y Bacon .
• Marker, David (2002). Teoría de modelos: una introducción . Textos de Posgrado en Matemáticas 217. Springer. ISBN 0-387-98760-6.

Otros libros de texto

• Bell, John L .; Slomson, Alan B. (2006) [1969]. Modelos y ultraproductos: una introducción (reimpresión de 1974 ed.). Publicaciones de Dover . ISBN 0-486-44979-3.
• Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Flum, Jörg; Thomas, Wolfgang (1994). Lógica matemática . Springer . ISBN 0-387-94258-0.
• Hinman, Peter G. (2005). Fundamentos de Lógica Matemática . AK Peters . ISBN 1-56881-262-0.
• Hodges, Wilfrid (1993). Teoría de modelos . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-30442-3.
• Manzano, María (1999). Teoría de modelos . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-853851-0.
• Poizat, Bruno (2000). Un curso de teoría de modelos . Saltador. ISBN 0-387-98655-3.
• Rautenberg, Wolfgang (2010). Una introducción concisa a la lógica matemática (3ª ed.). Nueva York : Springer Science + Business Media . doi : 10.1007 / 978-1-4419-1221-3 . ISBN 978-1-4419-1220-6.
• Rothmaler, Philipp (2000). Introducción a la teoría de modelos (nueva ed.). Taylor y Francis . ISBN 90-5699-313-5.
• Tienda, Katrin ; Ziegler, Martin (2012). Un curso de teoría de modelos . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 9780521763240.
• Kirby, Jonathan (2019). Una invitación a la teoría de modelos . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-1-107-16388-1.

Textos en línea gratuitos

• Chatzidakis, Zoé (2001). Introducción a la teoría de modelos (PDF) . págs. 26 págs.
• Pillay, Anand (2002). Lecture Notes - Model Theory (PDF) . pp. 61 páginas.
• "Teoría de modelos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Hodges, Wilfrid , teoría de modelos . La Enciclopedia de Filosofía de Stanford, E. Zalta (ed.).
• Hodges, Wilfrid , teoría de modelos de primer orden . La Enciclopedia de Filosofía de Stanford, E. Zalta (ed.).
• Simmons, Harold (2004), Una introducción a la buena teoría de modelos a la antigua . Apuntes de un curso introductorio para posgrados (con ejercicios).
• J. Barwise y S. Feferman (editores), Model-Theoretic Logics , Perspectives in Mathematical Logic, Volumen 8, Nueva York: Springer-Verlag, 1985.

Enlaces externos

• Mapa del Universo - Pequeña base de datos de teorías y sus propiedades.