El teorema de modularidad (anteriormente llamado conjetura de Taniyama-Shimura , conjetura de Taniyama-Weil o conjetura de modularidad para curvas elípticas ) establece que las curvas elípticas sobre el campo de los números racionales están relacionadas con formas modulares . Andrew Wiles demostró el teorema de modularidad para curvas elípticas semiestables , que fue suficiente para implicar el último teorema de Fermat . Más tarde, una serie de artículos de los exalumnos de Wiles, Brian Conrad , Fred Diamond y Richard Taylor , culminaron en un artículo conjunto conChristophe Breuil , extendió las técnicas de Wiles para demostrar el teorema de modularidad completo en 2001.
Campo | Teoría de los números |
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Conjeturado por | Yutaka Taniyama Goro Shimura |
Conjeturado en | 1957 |
Primera prueba por | Christophe Breuil Brian Conrad Fred Diamond Richard Taylor |
Primera prueba en | 2001 |
Consecuencias | Último teorema de Fermat |
Declaración
El teorema establece que cualquier curva elíptica sobrese puede obtener a través de un mapa racional con coeficientes enteros de la curva modular clásica por algún entero ; esta es una curva con coeficientes enteros con una definición explícita. Este mapeo se llama parametrización modular de nivel. Sies el número entero más pequeño para el que se puede encontrar dicha parametrización (que por el teorema de modularidad en sí se conoce ahora como un número llamado conductor ), entonces la parametrización puede definirse en términos de un mapeo generado por un tipo particular de forma modular de peso dos y nivel, una nueva forma normalizada con entero-expansión, seguida si es necesario de una isogenia .
Declaraciones relacionadas
El teorema de la modularidad implica un enunciado analítico estrechamente relacionado:
a una curva elíptica E sobrepodemos adjuntar una serie L correspondiente . La-series es una serie de Dirichlet , comúnmente escrita
La función generadora de los coeficientes es entonces
Si hacemos la sustitución
vemos que hemos escrito la expansión de Fourier de una función de la variable compleja , por lo que los coeficientes de la -las series también se consideran los coeficientes de Fourier de . La función obtenida de esta manera es, notablemente, una forma de cúspide de peso dos y nively también es una forma propia (un vector propio de todos los operadores de Hecke ); esta es la conjetura de Hasse-Weil , que se sigue del teorema de modularidad.
Algunas formas modulares de peso dos, a su vez, corresponden a diferenciales holomórficos para una curva elíptica. El jacobiano de la curva modular puede (hasta isogenia) escribirse como un producto de variedades abelianas irreducibles , correspondientes a formas propias de Hecke de peso 2. Los factores unidimensionales son curvas elípticas (también puede haber factores de dimensiones superiores, por lo que no todas las formas propias de Hecke corresponden a curvas elípticas racionales). La curva obtenida al encontrar la forma de cúspide correspondiente y luego construir una curva a partir de ella, es isógena a la curva original (pero no, en general, isomorfa a ella).
Historia
Yutaka Taniyama [1] declaró una versión preliminar (ligeramente incorrecta) de la conjetura en el simposio internacional de 1955 sobre teoría algebraica de números en Tokio y Nikkō . Goro Shimura y Taniyama trabajaron en mejorar su rigor hasta 1957. André Weil [2] redescubrió la conjetura y mostró que se seguiría de las (conjeturadas) ecuaciones funcionales para algunos retorcidos-serie de la curva elíptica; esta fue la primera evidencia seria de que la conjetura podría ser cierta. Weil también mostró que el conductor de la curva elíptica debe ser el nivel de la forma modular correspondiente. La conjetura de Taniyama-Shimura-Weil se convirtió en parte del programa Langlands .
La conjetura atrajo un interés considerable cuando Gerhard Frey [3] sugirió que implica el último teorema de Fermat . Hizo esto al intentar mostrar que cualquier contraejemplo del último teorema de Fermat implicaría la existencia de al menos una curva elíptica no modular. Este argumento se completó cuando Jean-Pierre Serre [4] identificó un eslabón perdido (ahora conocido como la conjetura épsilon o teorema de Ribet) en el trabajo original de Frey, seguido dos años más tarde por la finalización de Ken Ribet [5] de una prueba de la conjetura de épsilon.
Incluso después de recibir una atención seria, los matemáticos contemporáneos consideraron que la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil era extraordinariamente difícil de probar o tal vez incluso inaccesible de probar. [6] Por ejemplo, el Ph.D. de Wiles. El supervisor John Coates afirma que parecía "imposible de probar", y Ken Ribet se consideraba a sí mismo "una de la gran mayoría de personas que creían que era completamente inaccesible".
Andrew Wiles, [7] con ayuda de Richard Taylor , demostró la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil para todas las curvas elípticas semiestables , que usó para demostrar el último teorema de Fermat, y Diamond demostró finalmente la conjetura completa de Taniyama-Shimura-Weil. , [8] Conrad, Diamond & Taylor, [9] y Breuil, Conrad, Diamond & Taylor [10] quienes, basándose en el trabajo de Wiles, fueron reduciendo gradualmente los casos restantes hasta que se probó el resultado completo.
Una vez probada por completo, la conjetura se conoció como el teorema de modularidad.
Varios teoremas de la teoría de números similares al último teorema de Fermat se derivan del teorema de modularidad. Por ejemplo: ningún cubo se puede escribir como una suma de dos coprime -ésimos poderes, . (El casoEuler ya lo conocía ).
Generalizaciones
El teorema de modularidad es un caso especial de conjeturas más generales debido a Robert Langlands . El programa Langlands busca adjuntar una forma automórfica o representación automórfica (una generalización adecuada de una forma modular) a objetos más generales de geometría algebraica aritmética, como a cada curva elíptica sobre un campo numérico . La mayoría de los casos de estas conjeturas extendidas aún no se han probado. Sin embargo, Freitas, Le Hung y Siksek [11] demostraron que las curvas elípticas definidas sobre campos cuadráticos reales son modulares.
Notas
- ^ Taniyama 1956 .
- ^ Weil 1967 .
- ^ Frey 1986 .
- ^ Serre 1987 .
- ^ Ribet 1990 .
- ^ Singh 1997 , págs. 203-205, 223, 226.
- ^ Wiles 1995 . error sfn: varios objetivos (2 ×): CITEREFWiles1995 ( ayuda )
- ^ Diamante 1996 .
- ^ Conrad, Diamond y Taylor 1999 .
- ^ Breuil y col. 2001 .
- ^ Freitas, Le Hung y Siksek 2015 .
Referencias
- Breuil, Christophe; Conrad, Brian; Diamond, Fred; Taylor, Richard (2001), "Sobre la modularidad de las curvas elípticas sobre Q : ejercicios 3-ádicos salvajes", Journal of the American Mathematical Society , 14 (4): 843–939, doi : 10.1090 / S0894-0347-01- 00370-8 , ISSN 0.894 a 0.347 , MR 1839918
- Conrad, Brian; Diamond, Fred; Taylor, Richard (1999), "Modularidad de ciertas representaciones potencialmente Barsotti-Tate Galois", Journal of the American Mathematical Society , 12 (2): 521–567, doi : 10.1090 / S0894-0347-99-00287-8 , ISSN 0894-0347 , MR 1639612
- Cornell, Gary; Silverman, Joseph H .; Stevens, Glenn, eds. (1997), Formas modulares y último teorema de Fermat , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94609-2, MR 1638473
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enlaces externos
- Darmon, H. (2001) [1994], "Conjetura de Shimura-Taniyama" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Weisstein, Eric W. "Conjetura de Taniyama-Shimura" . MathWorld .