En matemáticas , particularmente en la teoría de categorías , un morfismo es un mapa que preserva la estructura de una estructura matemática a otra del mismo tipo. La noción de morfismo se repite en gran parte de las matemáticas contemporáneas. En la teoría de conjuntos , los morfismos son funciones ; en álgebra lineal , transformaciones lineales ; en teoría de grupos , homomorfismos de grupo ; en topología , funciones continuas , etc.
En la teoría de categorías , el morfismo es una idea muy similar: los objetos matemáticos involucrados no necesitan ser conjuntos, y las relaciones entre ellos pueden ser algo más que mapas, aunque los morfismos entre los objetos de una categoría dada tienen que comportarse de manera similar a los mapas en ese sentido. tienen que admitir una operación asociativa similar a la composición de funciones . Un morfismo en la teoría de categorías es una abstracción de un homomorfismo . [1]
El estudio de los morfismos y de las estructuras (llamadas "objetos") sobre las que se definen es fundamental para la teoría de categorías. Gran parte de la terminología de los morfismos, así como la intuición subyacente a ellos, proviene de categorías concretas , donde los objetos son simplemente conjuntos con alguna estructura adicional y los morfismos son funciones que preservan la estructura . En la teoría de categorías, los morfismos a veces también se denominan flechas .
Definición
Una categoría C consta de dos clases , una de objetos y otra de morfismos . Hay dos objetos que están asociados a cada morfismo, el origen y el objetivo . Un morfismo f con fuente X y el objetivo Y está escrito f : X → Y , y está representado esquemáticamente por una flecha de X a Y .
Para muchas categorías comunes, los objetos son conjuntos (a menudo con alguna estructura adicional) y los morfismos son funciones de un objeto a otro objeto. Por lo tanto, la fuente y el objetivo de un morfismo a menudo se denominan dominio y codominio, respectivamente.
Los morfismos están equipados con una operación binaria parcial , llamada composición . La composición de dos morfismos f y g se define precisamente cuando el objetivo de f es la fuente de g , y se denota g ∘ f (o a veces simplemente gf ). La fuente de g ∘ f es la fuente de f , y el objetivo de g ∘ f es el objetivo de g . La composición satisface dos axiomas :
- Identidad
- Para cada objeto X , existe una ID morfismo X : X → X llamado el morfismo identidad en X , tal que para cada morfismo f : A → B tenemos Identificación del B ∘ f = f = f ∘ ID A .
- Asociatividad
- h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f siempre que se definan todas las composiciones, es decir, cuando el objetivo de f es la fuente de g , y el objetivo de g es la fuente de h .
Para una categoría concreta (una categoría en la que los objetos son conjuntos, posiblemente con estructura adicional, y los morfismos son funciones que preservan la estructura), el morfismo de identidad es solo la función de identidad , y la composición es solo una composición ordinaria de funciones .
La composición de los morfismos a menudo se representa mediante un diagrama conmutativo . Por ejemplo,
La colección de todos los morfismos de X a Y se denota Hom C ( X , Y ) o simplemente Hom ( X , Y ) y llamó al hom-set entre X y Y . Algunos autores escriben Mor C ( X , Y ), Mor ( X , Y ) o C ( X , Y ). Tenga en cuenta que el término hom-set es un nombre inapropiado, ya que no se requiere que la colección de morfismos sea un conjunto. Una categoría donde Hom ( X , Y ) es un conjunto para todos los objetos X e Y se llama localmente pequeña .
Tenga en cuenta que el dominio y el codominio son de hecho parte de la información que determina un morfismo. Por ejemplo, en la categoría de conjuntos , donde los morfismos son funciones, dos funciones pueden ser idénticas como conjuntos de pares ordenados (pueden tener el mismo rango ), mientras que tienen diferentes codominios. Las dos funciones son distintas desde el punto de vista de la teoría de categorías. Por tanto, muchos autores requieren que las clases hom ( X , Y ) sean disjuntas . En la práctica, esto no es un problema porque si esta disyunción no se mantiene, se puede asegurar agregando el dominio y el codominio a los morfismos (digamos, como el segundo y tercer componentes de un triple ordenado).
Algunos morfismos especiales
Monomorfismos y epimorfismos
Un morfismo f : X → Y se llama un monomorphism si f ∘ g 1 = f ∘ g 2 implica g 1 = g 2 para todos morfismos g 1 , g 2 : Z → X . Un monomorfismo se puede llamar mono para abreviar, y podemos usar monic como adjetivo. [2] Un morfismo f tiene una inversa por la izquierda o es un monomorphism división si hay un morfismo g : Y → X tal que g ∘ f = id X . Así f ∘ g : Y → Y es idempotente ; es decir, ( f ∘ g ) 2 = f ∘ ( g ∘ f ) ∘ g = f ∘ g . La g inversa izquierda también se llama retracción de f . [2]
Los morfismos con inversos a la izquierda son siempre monomorfismos, pero lo contrario no es cierto en general; un monomorfismo puede no tener una inversa izquierda. En categorías concretas , una función que tiene una inversa izquierda es inyectiva . Así, en categorías concretas, los monomorfismos son a menudo, pero no siempre, inyectivos. La condición de ser una inyección es más fuerte que la de ser un monomorfismo, pero más débil que la de ser un monomorfismo dividido.
Dually a monomorfismos, un morfismo f : X → Y se llama un epimorfismo si g 1 ∘ f = g 2 ∘ f implica g 1 = g 2 para todos los morfismos g 1 , g 2 : Y → Z . Un epimorfismo se puede llamar epi para abreviar, y podemos usar épico como adjetivo. [2] Un morfismo f tiene una inversa por la derecha o es un epimorfismo división si hay un morfismo g : Y → X tal que f ∘ g = id Y . La inversa derecha g también se llama sección de f . [2] Los morfismos que tienen un inverso correcto son siempre epimorfismos, pero lo contrario no es cierto en general, ya que un epimorfismo puede no tener un inverso correcto.
Si un monomorfismo f se divide con g inversa izquierda , entonces g es un epimorfismo dividido con f inversa derecha . En categorías concretas , una función que tiene un inverso correcto es sobreyectiva . Así, en categorías concretas, los epimorfismos son a menudo, pero no siempre, sobreyectivos. La condición de ser una sobreyección es más fuerte que la de ser un epimorfismo, pero más débil que la de ser un epimorfismo escindido. En la categoría de conjuntos , la afirmación de que toda sobreyección tiene una sección es equivalente al axioma de elección .
Un morfismo que es tanto un epimorfismo como un monomorfismo se llama bimorfismo .
Isomorfismos
Un morfismo f : X → Y se llama un isomorfismo si existe un morfismo g : Y → X tal que f ∘ g = id Y y g ∘ f = id X . Si un morfismo tiene inversa a la izquierda y inversa a la derecha, entonces las dos inversas son iguales, por lo que f es un isomorfismo y g se llama simplemente la inversa de f . Los morfismos inversos, si existen, son únicos. La g inversa también es un isomorfismo, con f inversa . Se dice que dos objetos con un isomorfismo entre ellos son isomorfos o equivalentes.
Si bien todo isomorfismo es un bimorfismo, un bimorfismo no es necesariamente un isomorfismo. Por ejemplo, en la categoría de anillos conmutativos, la inclusión Z → Q es un bimorfismo que no es un isomorfismo. Sin embargo, cualquier morfismo que sea tanto un epimorfismo como un monomorfismo dividido , o un monomorfismo y un epimorfismo dividido , debe ser un isomorfismo. Una categoría, como Set , en la que todo bimorfismo es un isomorfismo se conoce como categoría equilibrada .
Endomorfismos y automorfismos
Un morfismo f : X → X (es decir, un morfismo con fuente idénticos y objetivo) es un endomorphism de X . Un endomorfismo dividido es un endomorfismo idempotente f si f admite una descomposición f = h ∘ g con g ∘ h = id. En particular, la envoltura de Karoubi de una categoría divide todo morfismo idempotente.
Un automorfismo es un morfismo que es tanto endomorfismo como isomorfismo. En cada categoría, los automorfismos de un objeto siempre forman un grupo , llamado grupo de automorfismos del objeto.
Ejemplos de
- En las categorías concretas estudiadas en álgebra universal ( grupos , anillos , módulos , etc.), los morfismos suelen ser homomorfismos . Asimismo, las nociones de automorfismo, endomorfismo, epimorfismo, homeomorfismo , isomorfismo y monomorfismo encuentran uso en el álgebra universal.
- En la categoría de espacios topológicos , los morfismos son funciones continuas y los isomorfismos se denominan homeomorfismos .
- En la categoría de variedades suaves , los morfismos son funciones suaves y los isomorfismos se denominan difeomorfismos .
- En la categoría de categorías pequeñas , los morfismos son functores .
- En una categoría de functor , los morfismos son transformaciones naturales .
Para obtener más ejemplos, consulte la teoría de la categoría de entrada .
Ver también
- Morfismo normal
- Morfismo cero
Notas
- ^ "morfismo" . nLab . Consultado el 12 de junio de 2019 .
- ↑ a b c d Jacobson (2009), pág. 15.
Referencias
- Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , 2 (2.a ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7.
- Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Categorías abstractas y concretas (PDF) . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6. Ahora disponible como edición gratuita en línea (4.2MB PDF).
enlaces externos
- "Morfismo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- "Categoría" . PlanetMath .
- "Tipos de morfismos" . PlanetMath .