En matemáticas, un conjunto multibrot es el conjunto de valores en el plano complejo cuyo valor absoluto permanece por debajo de algún valor finito a lo largo de las iteraciones por un miembro de la familia de recursiones polinomiales univariadas monic general . [1] [2] [3] El nombre es una combinación de múltiples y conjunto de Mandelbrot . Lo mismo se puede aplicar al conjunto de Julia , que se denomina conjunto de múltiples Julia .
donde d ≥ 2. El exponente d puede generalizarse más a valores negativos y fraccionarios. [4]
Ejemplos [5] [6]
El caso de
es el conjunto clásico de Mandelbrot del que se deriva el nombre.
Los conjuntos para otros valores de d también muestran imágenes fractales [7] cuando se trazan en el plano complejo.
Cada uno de los ejemplos de varias potencias d que se muestran a continuación se representa en la misma escala. Los valores de c que pertenecen al conjunto son negros. Los valores de c que tienen un valor ilimitado en recursividad y, por lo tanto, no pertenecen al conjunto, se trazan en diferentes colores, que se muestran como contornos, dependiendo del número de recursiones que causaron que un valor supere una magnitud fija en el algoritmo de tiempo de escape .
Poderes positivos
El ejemplo d = 2 es el conjunto original de Mandelbrot. Los ejemplos para d > 2 a menudo se denominan conjuntos multibrot . Estos conjuntos incluyen el origen y tienen perímetros fractales, con simetría rotacional ( d - 1) .
 z ↦ z 2 + c |  z ↦ z 3 + c |  z ↦ z 4 + c |
 z ↦ z 5 + c |  z ↦ z 6 + c |  z ↦ z 96 + c |
 z ↦ z 96 + c detalle x40 |
Poderes negativos
Cuando d es negativo, el conjunto rodea pero no incluye el origen. Hay un comportamiento complejo interesante en los contornos entre el conjunto y el origen, en un área en forma de estrella con simetría rotacional (1 - d ) . Los conjuntos parecen tener un perímetro circular, sin embargo, esto es solo un artefacto del radio máximo fijo permitido por el algoritmo de tiempo de escape, y no es un límite de los conjuntos que realmente se extienden en todas las direcciones hasta el infinito.
 z ↦ z −2 + c |  z ↦ z −3 + c |  z ↦ z −4 + c |  z ↦ z −5 + c |  z ↦ z −6 + c |
Poderes fraccionales
Representación a lo largo del exponente
Un método alternativo es representar el exponente a lo largo del eje vertical. Esto requiere fijar el valor real o imaginario y representar el valor restante a lo largo del eje horizontal. El conjunto resultante se eleva verticalmente desde el origen en una columna estrecha hasta el infinito. La ampliación revela una complejidad creciente. La primera protuberancia o pico prominente se ve en un exponente de 2, la ubicación del conjunto tradicional de Mandelbrot en su sección transversal. La tercera imagen aquí se representa en un plano que se fija en un ángulo de 45 grados entre los ejes real e imaginario. [8]
 Multibrot renderizado con valor real a lo largo del eje horizontal y exponente a lo largo del eje vertical, valor imaginario fijado en cero |  Multibrot renderizado con valor imaginario en el eje horizontal y exponente en el eje vertical, valor real fijado en cero |  Multibrot renderizado con exponente en eje vertical a lo largo de un plano en ángulo de 45 grados entre los ejes real e imaginario. |
Representación de imágenes
Todas las imágenes anteriores se renderizan mediante un algoritmo Escape Time que identifica puntos fuera del conjunto de forma sencilla. Se revela un detalle fractal mucho mayor trazando el exponente de Lyapunov , [9] como se muestra en el siguiente ejemplo. El exponente de Lyapunov es la tasa de crecimiento del error de una secuencia dada. Primero calcule la secuencia de iteración con N iteraciones, luego calcule el exponente como
y si el exponente es negativo, la secuencia es estable. Los píxeles blancos en la imagen son los parámetros c para los cuales el exponente es positivo, también conocido como inestable. Los colores muestran los períodos de los ciclos que atraen las órbitas. Todos los puntos de color azul oscuro (exterior) son atraídos por un punto fijo, todos los puntos del medio (azul más claro) son atraídos por un ciclo de período 2 y así sucesivamente.
Pseudocódigo
ALGORITMO DE TIEMPO DE ESCAPE=====================para cada píxel de la pantalla Do x = x0 = x coordenada de píxel y = y0 = coordenada y del píxel iteración: = 0 max_iteration: = 1000 while (x * x + y * y ≤ (2 * 2) e iteraciónhacen / * INSERTAR CÓDIGO (S) PARA Z ^ d DE LA TABLA DE ABAJO * / iteración: = iteración + 1 si iteración = max_iteración entonces color: = negro demás color: = iteración trama (x0, y0, color)
El valor complejo z tiene coordenadas ( x , y ) en el plano complejo y se eleva a varias potencias dentro del ciclo de iteración mediante los códigos que se muestran en esta tabla. Las potencias que no se muestran en la tabla se pueden obtener concatenando los códigos mostrados.
| z −2 | z −1 | z 2 (para el conjunto de Mandelbrot) | z 3 | z 5 | z n |
|---|---|---|---|---|---|
d = x ^ 4 + 2 * x ^ 2 * y ^ 2 + y ^ 4si d = 0 entonces ESCAPExtmp = (x ^ 2-y ^ 2) / d + ay = -2 * x * y / d + bx = xtmp | d = x ^ 2 + y ^ 2si d = 0 entonces ESCAPEx = x / d + ay = -y / d + b | xtmp = x ^ 2-y ^ 2 + ay = 2 * x * y + bx = xtmp | xtmp = x ^ 3-3 * x * y ^ 2 + ay = 3 * x ^ 2 * yy ^ 3 + bx = xtmp | xtmp = x ^ 5-10 * x ^ 3 * y ^ 2 + 5 * x * y ^ 4 + ay = 5 * x ^ 4 * y-10 * x ^ 2 * y ^ 3 + y ^ 5 + bx = xtmp | xtmp = (x * x + y * y) ^ (n / 2) * cos (n * atan2 (y, x)) + ay = (x * x + y * y) ^ (n / 2) * sin (n * atan2 (y, x)) + bx = xtmp |
Referencias
- ^ "Definición de multibrots" . Consultado el 28 de septiembre de 2008 .
- ^ "Multibrots" . Consultado el 28 de septiembre de 2008 .
- ^ Wolf Jung. "Homeomorfismos en los bordes del conjunto de Mandelbrot" (PDF) . pag. 23.
El conjunto Multibrot Md es el locus de conectividad de la familia de polinomios unicríticos z d + c , d ≥ 2
- ^ "Motor de conocimiento de computación WolframAlpha" .
- ^ "23 bonitos fractales de JavaScript" . 23 de octubre de 2008. Archivado desde el original el 11 de agosto de 2014.
- ^ "Fractales de Javascript" . Archivado desde el original el 19 de agosto de 2014.
- ^ "Morph animado de multibrots d = −7 a 7" . Consultado el 28 de septiembre de 2008 .
- ^ Generador fractal , "Rebanada multibrot"
- ^ Ken Shirriff (septiembre de 1993). "Una investigación de fractales generados por z → 1 / z n + c " . Computadoras y Gráficos . 17 (5): 603–607. doi : 10.1016 / 0097-8493 (93) 90012-x . Consultado el 28 de septiembre de 2008 .
