En la teoría de sistemas matemáticos , un sistema multidimensional o sistema mD es un sistema en el que no solo existe una variable independiente (como el tiempo), sino que hay varias variables independientes.
Problemas importantes como la factorización y la estabilidad de los sistemas m -D ( m > 1) han atraído recientemente el interés de muchos investigadores y profesionales. La razón es que la factorización y la estabilidad no es una extensión directa de la factorización y la estabilidad de los sistemas 1-D porque, por ejemplo, el teorema fundamental del álgebra no existe en el anillo de polinomios m -D ( m > 1) .
Modelo de espacio de estados lineal multidimensional
Un modelo de espacio de estado es una representación de un sistema en el que el efecto de todos los valores de entrada "anteriores" está contenido por un vector de estado. En el caso de un sistema m -d, cada dimensión tiene un vector de estado que contiene el efecto de las entradas anteriores en relación con esa dimensión. La colección de todos estos vectores de estado dimensional en un punto constituye el vector de estado total en el punto.
Considere un sistema uniforme de dos dimensiones (2d) lineal de espacio discreto que es invariante en el espacio y causal. Se puede representar en forma de matriz-vector de la siguiente manera: [3] [4]
Representa el vector de entrada en cada punto. por , el vector de salida por el vector de estado horizontal por y el vector de estado vertical por . Entonces, la operación en cada punto se define por:
dónde y son matrices de dimensiones adecuadas.
Estas ecuaciones se pueden escribir de forma más compacta combinando las matrices:
Vectores de entrada dados en cada punto y valores de estado inicial, el valor de cada vector de salida se puede calcular realizando de forma recursiva la operación anterior.
Función de transferencia multidimensional
Un sistema bidimensional lineal discreto a menudo se describe mediante una ecuación en diferencias parciales en la forma:
dónde es la entrada y es la salida en el punto y y son coeficientes constantes.
Para derivar una función de transferencia para el sistema, la transformación 2d Z se aplica a ambos lados de la ecuación anterior.
La transposición produce la función de transferencia :
Entonces, dado cualquier patrón de valores de entrada, la transformación 2d Z del patrón se calcula y luego se multiplica por la función de transferenciapara producir la transformación Z de la salida del sistema.
Realización de una función de transferencia 2d
A menudo, un procesamiento de imágenes u otra tarea computacional md se describe mediante una función de transferencia que tiene ciertas propiedades de filtrado, pero se desea convertirla a la forma de espacio de estado para un cálculo más directo. Tal conversión se conoce como realización de la función de transferencia.
Considere un sistema causal espacialmente invariante lineal 2d que tiene una relación de entrada-salida descrita por:
Dos casos se consideran individualmente 1) la suma inferior es simplemente la constante 1 2) la suma superior es simplemente una constante. El caso 1 se denomina a menudo el caso de “todo cero” o de “respuesta de impulso finito”, mientras que el caso 2 se denomina caso de “todos los polos” o de “respuesta de impulso infinito”. La situación general se puede implementar como una cascada de los dos casos individuales. La solución para el caso 1 es considerablemente más simple que el caso 2 y se muestra a continuación.
Ejemplo: toda respuesta de impulso cero o finita
Los vectores de espacio de estado tendrán las siguientes dimensiones:
y
Cada término en la suma implica una potencia negativa (o cero) de y de que corresponden a un retraso (o desplazamiento) a lo largo de la dimensión respectiva de la entrada . Este retraso se puede efectuar colocandoestá a lo largo de la súper diagonal en el . y matrices y los coeficientes multiplicadores en las posiciones adecuadas en el . El valor se coloca en la posición superior del matriz, que multiplicará la entrada y agréguelo al primer componente del vector. Además, un valor de se coloca en el matriz que multiplicará la entrada y agregarlo a la salida . Las matrices aparecen de la siguiente manera:
^ Bose, NK, ed. (1985). Teoría de Sistemas Multidimensionales, Progreso, Direcciones y Problemas Abiertos en Sistemas Multidimensionales . Dordre http, Holanda: D. Reidel Publishing Company.
^Bose, NK, ed. (1979). Sistemas multidimensionales: teoría y aplicaciones . Prensa IEEE.
^ a bTzafestas, SG, ed. (1986). Sistemas multidimensionales: técnicas y aplicaciones . Nueva York: Marcel-Dekker.
^ a bKaczorek, T. (1985). Sistemas lineales bidimensionales . Lecture Notes Contr. e informar. Ciencias. 68 . Springer-Verlag.