Un sistema multifractal es una generalización de un sistema fractal en el que un solo exponente (la dimensión fractal ) no es suficiente para describir su dinámica; en cambio, se necesita un espectro continuo de exponentes (el llamado espectro de singularidad ). [1]
Los sistemas multifractales son de naturaleza común. Incluyen la longitud de las costas , turbulencia completamente desarrollada , escenas del mundo real, dinámica de los latidos del corazón , [2] marcha humana [3] [ verificación fallida ] y actividad, [4] actividad del cerebro humano , [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] y series de tiempo de luminosidad natural. [12] Se han propuesto modelos en varios contextos que van desde turbulencias en dinámica de fluidos hasta tráfico de Internet, finanzas, modelado de imágenes, síntesis de texturas, meteorología, geofísica.y más. [ cita requerida ] El origen de la multifractalidad en datos secuenciales (series de tiempo) se ha atribuido a efectos de convergencia matemática relacionados con el teorema del límite central que tienen como focos de convergencia la familia de distribuciones estadísticas conocidas como modelos de dispersión exponencial Tweedie , [13] así como los modelos geométricos Tweedie. [14] El primer efecto de convergencia produce secuencias monofractales, y el segundo efecto de convergencia es responsable de la variación en la dimensión fractal de las secuencias monofractales. [15]
El análisis multifractal se utiliza para investigar conjuntos de datos, a menudo junto con otros métodos de análisis fractal y de lacunaridad . La técnica implica distorsionar conjuntos de datos extraídos de patrones para generar espectros multifractal que ilustran cómo varía la escala en el conjunto de datos. Las técnicas de análisis multifractal se han aplicado en una variedad de situaciones prácticas, como la predicción de terremotos y la interpretación de imágenes médicas. [16] [17] [18]
Definición
En un sistema multifractal , el comportamiento alrededor de cualquier punto está descrito por una ley de energía local :
El exponente se llama exponente de singularidad , ya que describe el grado local de singularidad o regularidad alrededor del punto. [ cita requerida ]
El conjunto formado por todos los puntos que comparten el mismo exponente singularidad se llama el colector de singularidad de exponente h , y es un conjunto fractal de dimensión fractal el espectro de singularidad. La curva versus se llama espectro de singularidad y describe completamente la distribución estadística de la variable. [ cita requerida ]
En la práctica, el comportamiento multifractal de un sistema físico no se caracteriza directamente por su espectro de singularidad . Más bien, el análisis de datos da acceso a los exponentes de escala múltiple . De hecho, las señales multifractales generalmente obedecen a una propiedad de invariancia de escala que produce comportamientos de ley de potencia para cantidades de múltiples resoluciones, dependiendo de su escala.. Dependiendo del objeto en estudio, estas cantidades multiresolución, denotadas por, pueden ser promedios locales en cajas de tamaño , gradientes a lo largo de la distancia , coeficientes wavelet a escala , etc. Para objetos multifractales, normalmente se observa una escala de ley de potencia global de la forma: [ cita requerida ]
al menos en algún rango de escalas y para algún rango de órdenes . Cuando se observa tal comportamiento, se habla de invariancia de escala, auto-semejanza o escalamiento múltiple. [19]
Estimacion
Usando el llamado formalismo multifractal , se puede demostrar que, bajo algunos supuestos adecuados, existe una correspondencia entre el espectro de singularidad y los exponentes de escala múltiple a través de una transformación de Legendre . Mientras que la determinación de requiere un análisis local exhaustivo de los datos, que daría lugar a cálculos difíciles y numéricamente inestables, la estimación de la se basa en el uso de promedios estadísticos y regresiones lineales en diagramas log-log. Una vez el se conocen, se puede deducir una estimación de gracias a una simple transformación de Legendre. [ cita requerida ]
Los sistemas multifractales a menudo se modelan mediante procesos estocásticos como las cascadas multiplicativas . La se interpretan estadísticamente, ya que caracterizan la evolución de las distribuciones de la como va de escalas mayores a menores. Esta evolución a menudo se denomina intermitencia estadística y delata una desviación de los modelos gaussianos . [ cita requerida ]
El modelado como una cascada multiplicativa también conduce a la estimación de propiedades multifractales. Roberts y Cronin 1996 Este método funciona razonablemente bien, incluso para conjuntos de datos relativamente pequeños. Un ajuste máximo probable de una cascada multiplicativa al conjunto de datos no solo estima el espectro completo, sino que también proporciona estimaciones razonables de los errores. [20]
Estimación de la escala multifractal a partir del recuento de cajas
Los espectros multifractales se pueden determinar a partir del recuento de cajas en imágenes digitales. Primero, se realiza un escaneo de recuento de cajas para determinar cómo se distribuyen los píxeles; entonces, esta "distribución de masa" se convierte en la base de una serie de cálculos. [21] [22] [23] La idea principal es que para los multifractales, la probabilidad de varios píxeles , apareciendo en una caja , varía según el tamaño de la caja , a algún exponente , que cambia sobre la imagen, como en la ecuación 0.0 ( NB : para monofractales, por el contrario, el exponente no cambia significativamente sobre el conjunto).se calcula a partir de la distribución de píxeles de recuento de cajas como en la ecuación 2.0 .
( Ecuación 0.0 )
- = una escala arbitraria ( tamaño de caja en recuento de cajas) en la que se examina el conjunto
- = el índice de cada caja colocada sobre el conjunto para un
- = el número de píxeles o masa en cualquier cuadro, , en tamaño
- = el total de cajas que contenían más de 0 píxeles, para cada
- la masa total o la suma de píxeles en todos los cuadros para este
( Ecuación 1.0 )
- la probabilidad de esta masa en relativo a la masa total para un tamaño de caja
( Ecuación 2.0 )
se utiliza para observar cómo se comporta la distribución de píxeles cuando se distorsiona de ciertas formas, como en la ecuación 3.0 y la ecuación 3.1 :
- = un rango arbitrario de valores para usar como exponentes para distorsionar el conjunto de datos
- la suma de todas las probabilidades de masa distorsionadas al elevarse a esta Q, para este tamaño de caja
( Ecuación 3.0 )
- Cuándo , La ecuación 3.0 es igual a 1, la suma habitual de todas las probabilidades, y cuando, cada término es igual a 1, por lo que la suma es igual al número de casillas contadas, .
- cómo se compara la probabilidad de masa distorsionada en una caja con la suma distorsionada de todas las cajas en este tamaño de caja
( Ecuación 3.1 )
Estas ecuaciones distorsionadoras se utilizan además para abordar cómo se comporta el conjunto cuando se escala, se resuelve o se corta en una serie de -Piezas dimensionadas y distorsionadas por Q, para encontrar diferentes valores para la dimensión del conjunto, como se muestra a continuación:
- Una característica importante de la ecuación 3.0 es que también se puede ver que varía según la escala elevada al exponenteen la ecuación 4.0 :
( Ecuación 4.0 )
Por tanto, una serie de valores para se puede encontrar a partir de las pendientes de la recta de regresión para el logaritmo de la ecuación 3.0 versus el logaritmo de para cada , basado en la ecuación 4.1 :
( Ecuación 4.1 )
- Para la dimensión generalizada:
( Ecuación 5.0 )
( Ecuación 5.1 )
( Ecuación 5.2 )
( Ecuación 5.3 )
- se estima como la pendiente de la recta de regresión para log A, Q versus log dónde:
( Ecuación 6.0 )
- Luego se encuentra en la ecuación 5.3 .
- El significado se estima como la pendiente de la línea de regresión log-log para versus , dónde:
( Ecuación 6.1 )
En la práctica, la distribución de probabilidad depende de cómo se muestrea el conjunto de datos, por lo que se han desarrollado algoritmos de optimización para garantizar un muestreo adecuado. [21]
Aplicaciones
El análisis multifractal se ha utilizado con éxito en muchos campos, incluidas las ciencias físicas, de la información y biológicas. [24] Por ejemplo, la cuantificación de patrones de fisuras residuales en la superficie de muros de corte de hormigón armado. [25]
Análisis de distorsión de conjuntos de datos
El análisis multifractal se ha utilizado en varios campos científicos para caracterizar varios tipos de conjuntos de datos. [26] [4] [7] En esencia, el análisis multifractal aplica un factor de distorsión a los conjuntos de datos extraídos de los patrones, para comparar cómo se comportan los datos en cada distorsión. Esto se hace usando gráficos conocidos como espectros multifractales , análogos a ver el conjunto de datos a través de una "lente distorsionante", como se muestra en la ilustración . [21] En la práctica se utilizan varios tipos de espectros multifractales.
D Q vs Q
Un espectro multifractal práctico es el gráfico de D Q vs Q, donde D Q es la dimensión generalizada de un conjunto de datos y Q es un conjunto arbitrario de exponentes. Por tanto, la expresión dimensión generalizada se refiere a un conjunto de dimensiones para un conjunto de datos (los cálculos detallados para determinar la dimensión generalizada mediante el recuento de cajas se describen a continuación ).
Orden dimensional
El patrón general del gráfico de D Q vs Q se puede utilizar para evaluar la escala en un patrón. El gráfico es generalmente decreciente, sigmoidal alrededor de Q = 0, donde D (Q = 0) ≥ D (Q = 1) ≥ D (Q = 2) . Como se ilustra en la figura , la variación en este espectro gráfico puede ayudar a distinguir patrones. La imagen muestra espectros D (Q) de un análisis multifractal de imágenes binarias de conjuntos no fractales, mono y multifractales. Como es el caso en las imágenes de muestra, los no fractales y los monofractales tienden a tener espectros D (Q) más planos que los multifractales.
La dimensión generalizada también proporciona información específica importante. D (Q = 0) es igual a la dimensión de capacidad , que, en el análisis que se muestra en las figuras aquí, es la dimensión de recuento de cajas . D (Q = 1) es igual a la dimensión de información y D (Q = 2) a la dimensión de correlación . Esto se relaciona con el "multi" en multifractal, donde los multifractales tienen múltiples dimensiones en los espectros D (Q) versus Q, pero los monofractales permanecen bastante planos en esa área. [21] [22]
versus
Otro espectro multifractal útil es el gráfico de versus (ver cálculos ). Estos gráficos generalmente se elevan a un máximo que se aproxima a la dimensión fractal en Q = 0, y luego disminuyen. Al igual que los espectros D Q versus Q, también muestran patrones típicos útiles para comparar patrones no fractales, mono y multifractales. En particular, para estos espectros, los no fractales y los monofractales convergen en ciertos valores, mientras que los espectros de los patrones multifractales suelen formar jorobas en un área más amplia.
Dimensiones generalizadas de la distribución de la abundancia de especies en el espacio.
Una aplicación de D q versus Q en ecología es caracterizar la distribución de especies. Tradicionalmente, la abundancia relativa de especies se calcula para un área sin tener en cuenta la ubicación de los individuos. Una representación equivalente de las abundancias relativas de especies son los rangos de especies, que se utilizan para generar una superficie denominada superficie de rango de especies, [27] que se puede analizar utilizando dimensiones generalizadas para detectar diferentes mecanismos ecológicos como los observados en la teoría neutra de la biodiversidad , metacomunidad dinámica o teoría de nichos . [27] [28]
Ver también
- Movimiento browniano fraccional
- Análisis de fluctuación sin tendencia
- Distribuciones de tweedie
- Markov conmutación multifractal
- Rejilla estocástica plana ponderada (WPSL) [29]
Referencias
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