Grupo multiplicativo de enteros módulo n

el grupo de unidades del anillo de números enteros módulo n

En aritmética modular , los enteros coprime (primos relativos) an del conjunto de n enteros no negativos forman un grupo bajo el módulo de multiplicación n , llamado grupo multiplicativo de números enteros módulo n . De manera equivalente, los elementos de este grupo pueden ser considerados como las clases de congruencia , también conocidos como residuos modulo n , que son primos entre sí a n . Por tanto, otro nombre es el grupo de clases de residuos primitivos módulo n . En la teoría de los anillos${\displaystyle \{0,1,\dots ,n-1\}}$, una rama del álgebra abstracta , se describe como el grupo de unidades del anillo de números enteros módulo n . Aquí unidades se refiere a elementos con un inverso multiplicativo , que en este anillo son exactamente los primos entre sí a n .

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
Nociones basicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo cociente Producto (semi) directo Homomorfismos de grupo núcleo imagen suma directa producto de corona sencillo finito infinito continuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diedro nilpotente soluble Glosario de teoría de grupos Lista de temas de teoría de grupos
Grupos finitos Clasificación de grupos simples finitos cíclico alterno Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall grupo p Grupo abeliano elemental Grupo Frobenius Multiplicador de Schur Grupo simétrico S n Klein de cuatro grupos V Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Celosías Enteros ( Z ) Grupo libre Grupos modulares PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Círculo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductivo Variedad abeliana Curva elíptica
v t mi

Este grupo, generalmente denotado , es fundamental en la teoría de números . Ha encontrado aplicaciones en criptografía , factorización de enteros y pruebas de primalidad . Es un abeliano , finita grupo cuyo orden está dada por la función totient de Euler : para el primer n el grupo es cíclico y en general la estructura es fácil de describir, aunque incluso para primer n fórmula general hay para encontrar los generadores que se conoce.${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$${\displaystyle |(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }|=\varphi (n).}$

Axiomas de grupo

Es un ejercicio sencillo demostrar que, bajo la multiplicación, el conjunto de clases de congruencia modulo n que son primos entre sí a n satisface los axiomas de un grupo abeliano .

De hecho, a es coprimo de n si y solo si mcd ( a , n ) = 1 . Los números enteros de la misma clase de congruencia un ≡ b (mod n ) satisfacen gcd ( a , n ) = mcd ( b , n ) , por lo tanto, uno es primos entre sí a n si y sólo si el otro es. Por lo tanto la noción de clases de congruencia modulo n que son primos entre sí a n es bien definido.

Desde gcd ( a , n ) = 1 y mcd ( b , n ) = 1 implica gcd ( ab , n ) = 1 , el conjunto de clases primos entre sí a n es cerrado bajo la multiplicación.

La multiplicación de enteros respeta las clases de congruencia, es decir, a ≡ a ' y b ≡ b' (mod n ) implica ab ≡ a'b ' (mod n ) . Esto implica que la multiplicación es asociativa, conmutativa y que la clase de 1 es la identidad multiplicativa única.

Finalmente, dado a , el inverso multiplicativo de un módulo n es un entero x que satisface ax ≡ 1 (mod n ) . Existe precisamente cuando una es primos entre sí a n , porque en ese caso gcd ( a , n ) = 1 y por el lema de Bézout no son números enteros x e y satisfacer ax + ny = 1 . Observe que la ecuación ax + ny = 1 implica quex es primos entre sí a n , por lo que el inverso multiplicativo pertenece al grupo.

Notación

El conjunto de (clases de congruencia de) números enteros módulo n con las operaciones de suma y multiplicación es un anillo . Se denota   o    (la notación se refiere a tomar el cociente de enteros módulo el ideal o que consiste en los múltiplos de n ). Fuera de la teoría de números, a menudo se usa la notación más simple , aunque puede confundirse con los enteros p -ádicos cuando n es un número primo.${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$${\displaystyle (n)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$

El grupo multiplicativo de números enteros módulo n , que es el grupo de unidades en este anillo, puede escribirse como (dependiendo del autor)   (para alemán Einheit , que se traduce como unidad ) , o notaciones similares. Este artículo utiliza${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times },}$   ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*},}$   ${\displaystyle \mathrm {U} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ),}$   ${\displaystyle \mathrm {E} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{*}}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }.}$

La notación se refiere al grupo cíclico de orden n . Es isomorfo al grupo de números enteros módulo n bajo la suma. Tenga en cuenta que o también puede referirse al grupo en adición. Por ejemplo, el grupo multiplicativo para un primo p es cíclico y, por tanto, isomorfo al grupo aditivo , pero el isomorfismo no es obvio.${\displaystyle \mathrm {C} _{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z} }$

Estructura

El orden del grupo multiplicativo de enteros módulo n es el número de números enteros en primos entre sí a n . Viene dada por la función totient de Euler : (secuencia A000010 en la OEIS ). Para primer p , .${\displaystyle \{0,1,\dots ,n-1\}}$${\displaystyle |(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }|=\varphi (n)}$${\displaystyle \varphi (p)=p-1}$

Caso cíclico

Artículo principal: raíz primitiva módulo n

El grupo es cíclico si y solo si n es 1, 2, 4, p ^k o 2 p ^k , donde p es un número primo impar y k > 0 . Para todos los demás valores de n, el grupo no es cíclico. ^{[1] [2] [3]} Esto fue probado por primera vez por Gauss . ^[4]${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$

Esto significa que para estos n :

${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{\varphi (n)},}$ dónde ${\displaystyle \varphi (p^{k})=\varphi (2p^{k})=p^{k}-p^{k-1}.}$

Por definición, el grupo es cíclico si y sólo si tiene un generador g (un grupo electrógeno { g } del tamaño de uno), es decir, las potencias dan todos los residuos posibles modulo n primos entre sí a n (las primeras potencias dar a cada exactamente una vez ). Un generador de se llama raíz primitiva módulo n . ^[5] Si hay algún generador, entonces los hay .${\displaystyle g^{0},g^{1},g^{2},\dots ,}$${\displaystyle \varphi (n)}$${\displaystyle g^{0},\dots ,g^{\varphi (n)-1}}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$${\displaystyle \varphi (\varphi (n))}$

Potencias de 2

Módulo 1 cualesquiera dos números enteros son congruentes, es decir, sólo hay una clase de congruencia, [0], coprime a 1. Por lo tanto, es el grupo trivial con φ (1) = 1 elemento. Debido a su naturaleza trivial, el caso de las congruencias módulo 1 generalmente se ignora y algunos autores optan por no incluir el caso de n = 1 en los enunciados del teorema.${\displaystyle (\mathbb {Z} /1\,\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{1}}$

En el módulo 2 solo hay una clase de congruencia coprime, [1], por lo que es el grupo trivial .${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{1}}$

Módulo 4 hay dos clases de congruencia coprime, [1] y [3], por lo que el grupo cíclico con dos elementos.${\displaystyle (\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2},}$

Módulo 8 hay cuatro clases de congruencia coprime, [1], [3], [5] y [7]. El cuadrado de cada uno de estos es 1, por lo que el grupo de cuatro de Klein .${\displaystyle (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2},}$

Módulo 16 hay ocho clases de congruencia coprimas [1], [3], [5], [7], [9], [11], [13] y [15]. es el subgrupo de 2 torsión (es decir, el cuadrado de cada elemento es 1), por lo que no es cíclico. Las potencias de 3, son un subgrupo de orden 4, al igual que las potencias de 5,   Por lo tanto${\displaystyle \{\pm 1,\pm 7\}\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2},}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }}$${\displaystyle \{1,3,9,11\}}$${\displaystyle \{1,5,9,13\}.}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{4}.}$

El patrón mostrado por 8 y 16 se cumple ^[6] para potencias superiores 2 ^k , k > 2 : es el subgrupo de 2 torsiones (por lo que no es cíclico) y las potencias de 3 son un subgrupo cíclico de orden 2 ^{k - 2} , entonces${\displaystyle \{\pm 1,2^{k-1}\pm 1\}\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2},}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2^{k-2}}.}$

Números compuestos generales

Según el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos , el grupo es isomorfo a un producto directo de grupos cíclicos de órdenes de potencia primos.${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$

Más específicamente, el teorema chino del resto ^[7] dice que si entonces el anillo es el producto directo de los anillos correspondientes a cada uno de sus factores de potencia primos:${\displaystyle \;\;n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}p_{3}^{k_{3}}\dots ,\;}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} \dots \;\;}$

De manera similar, el grupo de unidades es el producto directo de los grupos correspondientes a cada uno de los factores primos de potencia:${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$

${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} )^{\times }\dots \;.}$

Para cada potencia prima impar, el factor correspondiente es el grupo cíclico de orden , que puede además factorizar en grupos cíclicos de órdenes de potencia prima. Para potencias de 2, el factor no es cíclico a menos que k = 0, 1, 2, sino factores en grupos cíclicos como se describió anteriormente.${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /{p^{k}}\mathbb {Z} )^{\times }}$${\displaystyle \varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /{2^{k}}\mathbb {Z} )^{\times }}$

El orden del grupo es el producto de los órdenes de los grupos cíclicos en el producto directo. El exponente del grupo, es decir, el mínimo común múltiplo de los órdenes en los grupos cíclicos, viene dado por la función de Carmichael (secuencia A002322 en la OEIS ). En otras palabras, es el número más pequeño de tal manera que para cada una primos entre sí a n , se mantiene. Divide y es igual a él si y solo si el grupo es cíclico.${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle \lambda (n)}$${\displaystyle \lambda (n)}$${\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}$${\displaystyle \varphi (n)}$

Subgrupo de testigos falsos

Si n es compuesto, existe un subgrupo del grupo multiplicativo, llamado "grupo de testigos falsos", en el que los elementos, cuando se elevan a la potencia n - 1 , son congruentes con 1 módulo n . (Debido a que el residuo 1 cuando se eleva a cualquier potencia es congruente con 1 módulo n , el conjunto de tales elementos no está vacío.) ^[8] Se podría decir, debido al pequeño teorema de Fermat , que tales residuos son "falsos positivos" o "falsos testigos "de la primordialidad de n . El número 2 es el residuo que se usa con más frecuencia en esta verificación de primalidad básica, por lo tanto, 341 = 11 × 31 es famoso ya que ²³⁴⁰es congruente con 1 módulo 341, y 341 es el número compuesto más pequeño (con respecto a 2). Para 341, el subgrupo de testigos falsos contiene 100 residuos y también el índice 3 dentro del grupo multiplicativo de 300 elementos mod 341.

Ejemplos

n = 9

El ejemplo más pequeño con un subgrupo no trivial de testigos falsos es 9 = 3 × 3 . Hay 6 residuos coprime a 9: 1, 2, 4, 5, 7, 8. Dado que 8 es congruente con −1 módulo 9 , se deduce que 8 ⁸ es congruente con 1 módulo 9. Así que 1 y 8 son falsos positivos para la "primordialidad" de 9 (ya que 9 no es en realidad primo). De hecho, estos son los únicos, por lo que el subgrupo {1,8} es el subgrupo de testigos falsos. El mismo argumento muestra que n - 1 es un "testigo falso" para cualquier n compuesto impar .

n = 91

Para n = 91 (= 7 × 13), hay residuos coprime a 91, la mitad de ellos (es decir, 36 de ellos) son testigos falsos de 91, es decir, 1, 3, 4, 9, 10, 12, 16, 17 , 22, 23, 25, 27, 29, 30, 36, 38, 40, 43, 48, 51, 53, 55, 61, 62, 64, 66, 68, 69, 74, 75, 79, 81, 82 , 87, 88 y 90, ya que para estos valores de x , x ⁹⁰ es congruente con 1 mod 91.${\displaystyle \varphi (91)=72}$

n = 561

n = 561 (= 3 × 11 × 17) es un número de Carmichael , por lo que s ⁵⁶⁰ es congruente con 1 módulo 561 para cualquier número entero s coprime a 561. El subgrupo de testigos falsos es, en este caso, incorrecto; es el grupo completo de unidades multiplicativas módulo 561, que consta de 320 residuos.

Ejemplos

Esta tabla muestra la descomposición cíclica de y un grupo electrógeno para n ≤ 128. La descomposición y los grupos electrógenos no son únicos; por ejemplo, (pero ). La siguiente tabla enumera la descomposición más corta (entre ellas, se elige la primera lexicográficamente; esto garantiza que los grupos isomórficos se enumeran con las mismas descomposiciones). El grupo electrógeno también se elige para que sea lo más corto posible, y para n con raíz primitiva, se lista la raíz primitiva más pequeña módulo n .${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /35\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /7\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{4}\times \mathrm {C} _{6}\cong \mathrm {C} _{4}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{3}\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{12}}$${\displaystyle \not \cong \mathrm {C} _{24}\cong \mathrm {C} _{8}\times \mathrm {C} _{3}}$

Por ejemplo, tome . Entonces significa que el orden del grupo es 8 (es decir, hay 8 números menores que 20 y coprime a él); significa que el orden de cada elemento divide a 4, es decir, la cuarta potencia de cualquier número coprime a 20 es congruente con 1 (mod 20). El conjunto {3,19} genera el grupo, lo que significa que cada elemento de es de la forma 3 ^a × 19 ^b (donde a es 0, 1, 2 o 3, porque el elemento 3 tiene orden 4 y, de manera similar, b es 0 o 1, porque el elemento 19 tiene el orden 2).${\displaystyle (\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }}$${\displaystyle \varphi (20)=8}$${\displaystyle \lambda (20)=4}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }}$

Los mod n de raíz primitiva más pequeños son (0 si no existe ninguna raíz)

0, 1, 2, 3, 2, 5, 3, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 3, 0, 0, 3, 5, 2, 0, 0, 7, 5, 0, 2, 7, 2, 0, 2, 0, 3, 0, 0, 3, 0, 0, 2, 3, 0, 0, 6, 0, 3, 0, 0, 5, 5, 0, 3, 3, 0, 0, 2, 5, 0, 0, 0, 3, 2, 0, 2, 3, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 7, 0, 5, 5, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 2, 7, 2, 0, 0, 3, 0, 0, 3, 0, ... (secuencia A046145 en la OEIS )

Los números de los elementos en un conjunto mínimo de generación de mod n son

0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 3, 1, 2, ... (secuencia A046072 en la OEIS )

Estructura de grupo de (Z / n Z) ^×

${\displaystyle n\;}$	${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$	${\displaystyle \varphi (n)}$	${\displaystyle \lambda (n)\;}$	Grupo electrógeno		${\displaystyle n\;}$	${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$	${\displaystyle \varphi (n)}$	${\displaystyle \lambda (n)\;}$	Grupo electrógeno		${\displaystyle n\;}$	${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$	${\displaystyle \varphi (n)}$	${\displaystyle \lambda (n)\;}$	Grupo electrógeno		${\displaystyle n\;}$	${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$	${\displaystyle \varphi (n)}$	${\displaystyle \lambda (n)\;}$	Grupo electrógeno
1	C 1	1	1	0		33	C 2 × C 10	20	10	2, 10		sesenta y cinco	C 4 × C 12	48	12	2, 12		97	C 96	96	96	5
2	C 1	1	1	1		34	C 16	dieciséis	dieciséis	3		66	C 2 × C 10	20	10	5, 7		98	C 42	42	42	3
3	C 2	2	2	2		35	C 2 × C 12	24	12	2, 6		67	C 66	66	66	2		99	C 2 × C 30	60	30	2, 5
4	C 2	2	2	3		36	C 2 × C 6	12	6	5, 19		68	C 2 × C 16	32	dieciséis	3, 67		100	C 2 × C 20	40	20	3, 99
5	C 4	4	4	2		37	C 36	36	36	2		69	C 2 × C 22	44	22	2, 68		101	C 100	100	100	2
6	C 2	2	2	5		38	C 18	18	18	3		70	C 2 × C 12	24	12	3, 69		102	C 2 × C 16	32	dieciséis	5, 101
7	C 6	6	6	3		39	C 2 × C 12	24	12	2, 38		71	C 70	70	70	7		103	C 102	102	102	5
8	C 2 × C 2	4	2	3, 5		40	C 2 × C 2 × C 4	dieciséis	4	3, 11, 39		72	C 2 × C 2 × C 6	24	6	5, 17, 19		104	C 2 × C 2 × C 12	48	12	3, 5, 103
9	C 6	6	6	2		41	C 40	40	40	6		73	C 72	72	72	5		105	C 2 × C 2 × C 12	48	12	2, 29, 41
10	C 4	4	4	3		42	C 2 × C 6	12	6	5, 13		74	C 36	36	36	5		106	C 52	52	52	3
11	C 10	10	10	2		43	C 42	42	42	3		75	C 2 × C 20	40	20	2, 74		107	C 106	106	106	2
12	C 2 × C 2	4	2	5, 7		44	C 2 × C 10	20	10	3, 43		76	C 2 × C 18	36	18	3, 37		108	C 2 × C 18	36	18	5, 107
13	C 12	12	12	2		45	C 2 × C 12	24	12	2, 44		77	C 2 × C 30	60	30	2, 76		109	C 108	108	108	6
14	C 6	6	6	3		46	C 22	22	22	5		78	C 2 × C 12	24	12	5, 7		110	C 2 × C 20	40	20	3, 109
15	C 2 × C 4	8	4	2, 14		47	C 46	46	46	5		79	C 78	78	78	3		111	C 2 × C 36	72	36	2, 110
dieciséis	C 2 × C 4	8	4	3, 15		48	C 2 × C 2 × C 4	dieciséis	4	5, 7, 47		80	C 2 × C 4 × C 4	32	4	3, 7, 79		112	C 2 × C 2 × C 12	48	12	3, 5, 111
17	C 16	dieciséis	dieciséis	3		49	C 42	42	42	3		81	C 54	54	54	2		113	C 112	112	112	3
18	C 6	6	6	5		50	C 20	20	20	3		82	C 40	40	40	7		114	C 2 × C 18	36	18	5, 37
19	C 18	18	18	2		51	C 2 × C 16	32	dieciséis	5, 50		83	C 82	82	82	2		115	C 2 × C 44	88	44	2, 114
20	C 2 × C 4	8	4	3, 19		52	C 2 × C 12	24	12	7, 51		84	C 2 × C 2 × C 6	24	6	5, 11, 13		116	C 2 × C 28	56	28	3, 115
21	C 2 × C 6	12	6	2, 20		53	C 52	52	52	2		85	C 4 × C 16	64	dieciséis	2, 3		117	C 6 × C 12	72	12	2, 17
22	C 10	10	10	7		54	C 18	18	18	5		86	C 42	42	42	3		118	C 58	58	58	11
23	C 22	22	22	5		55	C 2 × C 20	40	20	2, 21		87	C 2 × C 28	56	28	2, 86		119	C 2 × C 48	96	48	3, 118
24	C 2 × C 2 × C 2	8	2	5, 7, 13		56	C 2 × C 2 × C 6	24	6	3, 13, 29		88	C 2 × C 2 × C 10	40	10	3, 5, 7		120	C 2 × C 2 × C 2 × C 4	32	4	7, 11, 19, 29
25	C 20	20	20	2		57	C 2 × C 18	36	18	2, 20		89	C 88	88	88	3		121	C 110	110	110	2
26	C 12	12	12	7		58	C 28	28	28	3		90	C 2 × C 12	24	12	7, 11		122	C 60	60	60	7
27	C 18	18	18	2		59	C 58	58	58	2		91	C 6 × C 12	72	12	2, 3		123	C 2 × C 40	80	40	7, 83
28	C 2 × C 6	12	6	3, 13		60	C 2 × C 2 × C 4	dieciséis	4	7, 11, 19		92	C 2 × C 22	44	22	3, 91		124	C 2 × C 30	60	30	3, 61
29	C 28	28	28	2		61	C 60	60	60	2		93	C 2 × C 30	60	30	11, 61		125	C 100	100	100	2
30	C 2 × C 4	8	4	7, 11		62	C 30	30	30	3		94	C 46	46	46	5		126	C 6 × C 6	36	6	5, 13
31	C 30	30	30	3		63	C 6 × C 6	36	6	2, 5		95	C 2 × C 36	72	36	2, 94		127	C 126	126	126	3
32	C 2 × C 8	dieciséis	8	3, 31		64	C 2 × C 16	32	dieciséis	3, 63		96	C 2 × C 2 × C 8	32	8	5, 17, 31		128	C 2 × C 32	64	32	3, 127

Ver también

• Factorización de la curva elíptica de Lenstra

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Grupo de multiplicación de módulo" . MathWorld .
2. Raíz primitiva , Enciclopedia de las matemáticas
3. ( Vinogradov 2003 , págs. 105-121, § VI RAÍCES E ÍNDICES PRIMITIVOS)
4. ( Gauss y Clarke 1986 , arts. 52 a 56, 82 a 891)
5. ( Vinogradov 2003 , p. 106)
6. ( Gauss y Clarke 1986 , arts. 90–91)
7. Riesel cubre todo esto. ( Riesel 1994 , págs. 267-275)
8. Erdős, Paul ; Pomerance, Carl (1986). "Sobre el número de testigos falsos por un número compuesto" . Matemáticas. Computación . 46 (173): 259–279. doi : 10.1090 / s0025-5718-1986-0815848-x . Zbl 0586.10003 . 

Referencias

The Disquisitiones Arithmeticae se ha traducido del latín ciceroniano de Gauss al inglés y al alemán . La edición alemana incluye todos sus artículos sobre teoría de números: todas las pruebas de reciprocidad cuadrática , la determinación del signo de la suma de Gauss , las investigaciones sobre la reciprocidad bicuadrática y notas inéditas.

• Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (traductor al inglés) (1986), Disquisitiones Arithmeticae (Segunda edición corregida) , Nueva York: Springer , ISBN 978-0-387-96254-2
• Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (traductor al alemán) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae y otros artículos sobre teoría de números) (segunda edición) , Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0191-3
• Riesel, Hans (1994), Números primos y métodos informáticos para la factorización (segunda edición) , Boston: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3743-9
• Vinogradov, IM (2003), "§ VI RAÍCES E ÍNDICES PRIMITIVOS" , Elementos de la teoría de números , Mineola, NY: Dover Publications, pp. 105-121, ISBN 978-0-486-49530-9

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Modulo Multiplication Group" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Raíz primitiva" . MathWorld .
• Herramienta basada en web para calcular tablas de grupo de forma interactiva por John Jones